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ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE | COSMOLOGIE | THÉORIE DES CORDES

51. COSMOLOGIE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-12-31 17:56:17 | {oUUID 1.727}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

La cosmologie s'occupe de comprendre la naissance et l'évolution de l'Univers par la méthode scientifique. C'est uniquement par ce jeu entre théories physiques, modélisations et observations que nous aborderons cette question ici. Nous éviterons soigneusement toute digression métaphysique. Les problèmes spécifiques de la cosmologie tiennent dans sa définition même: la statistique qui est une des grandes méthodes scientifiques est apparemment pauvre: nous n'avons qu'un univers à notre disposition. En outre, nous n'observons que le passé de l'Univers. Peut-on parler de prédictions dans ces conditions? Les théories sont cependant fiables dans la mesure où elles prédisent des comportements que des observations peuvent tester.

La cosmologie utilise principalement l'arsenal des mathématiques, de la physique théorique, de la physique des particules, de la physique nucléaire, de la physique des détecteurs et de l'astrophysique. Elle est donc interdisciplinaire. La cosmologie traite des échelles supérieures à la taille d'une galaxie jusqu'aux échelles définies par elle-même comme les horizons. Encore que la limite soit volontairement floue, la cosmologie ne traite pas des détails internes de la naissance et de l'évolution d'objets astrophysiques (comme les galaxies, les amas globulaires, ou des amas de galaxies) qui relèvent plus de la "cosmogonie".

MODÈLE COSMOLOGIQUE NEWTONIEN

Un modèle cosmologique est une représentation mathématique de l'Univers qui cherche à expliquer les raisons de son aspect actuel, et à décrire son évolution au cours du temps (appelé "temps cosmologique") mais pas de sa création!

Le modèle newtonien s'applique dans le cadre des hypothèses de la mécanique de Newton (action instantanée). Les résultats que nous allons étudier ici ont été découverts avant le développement de la Relativité Générale mais publiés après! Mais ce modèle présente l'avantage de la simplicité tout en étant capable de mettre en évidence et de discuter de la dynamique de l'Univers et de se préparer à l'étude des modèles d'Univers faisant usage des résultats de la Relativité Générale. Son inconvénient, outre le fait qu'il ne correspond pas tout à fait aux résultats expérimentaux, est de n'être plus valable dans des conditions extrêmes donc de ne pas être extrapolable à l'instant du Big Bang.

Avant de commencer, nous devons définir le "principe cosmologique" formé des deux assertions suivantes (en gros, il assure que nous ne sommes pas des observateurs privilégiés, et que ce que nous observons est bien représentatif de l'ensemble de l'Univers):

- L'espace (Univers) est homogène, c'est-à-dire qu'il présente les mêmes propriétés dans toutes ses régions. Ceci doit s'entendre à très grande échelle, au-delà du millier de Mpc (Mégaparsecs). Il est clair qu'à petite échelle existent des inhomogénéités, nous par exemple.

- L'espace (Univers) est isotrope, c'est à dire qu'il n'existe pas de direction particulière de l'espace, comme une direction d'aplatissement, ou un mouvement d'ensemble à l'échelle universelle par exemple.

Nous allons poser quelques autres hypothèses de travail:

H1. L'Univers est un fluide gazeux non visqueux dont les particules sont les galaxies. Sous l'hypothèse du principe cosmologique, le mouvement des galaxies, constituants de ce "fluide" est par construction, statistiquement au repos.

H2. L'Univers est thermodynamiquement un système fermé, sans travail et adiabatique (pas d'échange de chaleur avec l'extérieur).

H3. L'Univers en expansion homothétique (en expansion proportionnelle dans toutes ses dimensions) est pris comme ayant une géométrie sphérique avec un centre (eh oui c'est le modèle newtonien...).

H4. Sa masse volumique est uniquement fonction du temps et il y a conservation de la masse (et donc de l'énergie). Donc la quantité de matière y est constante!

H5. Nous acceptons la dynamique (approximation) newtonienne pour construire les modèles à suivre dans ce chapitre.

H6. L'origine du temps est assimilée à l'origine de création (horizon) de l'Univers et le référentiel d'étude est comobile aux particules (et se déplace donc avec les galaxies posées sur la trame de l'espace-temps) et appelé "référentiel matériel" (les galaxies sont donc immobiles dans ce référentiel!).

LOI DE HUBBLE

Sous l'hypothèse du principe cosmologique et des hypothèses précédentes, la distance d'un point origine O à un point M quelconque de l'Univers peut varier en fonction du temps (de manière indétectable à l'échelle humaine) sous la forme:

  (51.1)

où F(t) est le "facteur d'échelle" (noté R(t) suivant le contexte...).

En écrivant cette relation, nous considérons que les points O et M sont sur un plan à courbure nulle. Effectivement, si nous imaginons deux points sur une surface courbe circulaire (par exemple la surface d'une sphère) voyons ce qui se passe:

Figure: 51.1 - Illustration de la limite de validité du modèle

La distance entre deux points du cercle (in extenso de l'espace sphérique) est donnée par:

  (51.2)

Nous voyons très bien dans cette relation que si le rayon (de l'Univers sphérique) change d'un facteur F, alors la variation de la distance entre les 2 points n'est pas linéairement proportionnelle à ce facteur!! Ce qui n'est pas le cas dans un plan à courbure nulle.

Conséquence: Notre modèle newtonien n'est valable que dans un Univers plat alors que la relativité générale ou une approche purement énergétique classique (voir plus loin) peut prendre en compte différentes types de courbure !

Nous voyons tout de suite que la relation:

  (51.3)

est indépendante de l'origine choisie, en effet, si nous l'appliquons à deux points A, B quelconques, nous avons:

  (51.4)

Soit par différence:

  (51.5)

Dérivons par rapport au temps la relation:

  (51.7)

Le premier membre donne alors la vitesse des particules (ou de tout autre objet) au point :

  (51.8)

Soit en éliminant :

  (51.9)

Nous posons pour simplifier l'écriture:

  (51.10)

Nous avons donc:

  (51.11)

Cette relation est connue sous le nom de "loi de Hubble" (et qui d'après des recherches historiques devrait sa paternité plutôt à Georges Lemaître...).

Avant d'aller plus loin, il convient de s'arrêter sur cette équation pour l'instant présent :

  (51.12)

Cette équation dit que les objets de l'Univers s'éloignent avec une vitesse proportionnelle à leur éloignement dans tous les points de l'Univers sans référentiel privilégié (aucune galaxie ne semble être fixe alors qu'elles le sont dans le référentiel matériel!).

La constante  étant bien sûr identifiable à la "constante de Hubble" telle qu'elle est mesurée actuellement au début des années 2000 et valant environ: .

En unités S.I., puisqu'un mégaparsec vaut alors nous avons:

  (51.13)

Ainsi, une estimation actuelle de l'âge (horizon) de l'Univers pourrait être interprétée comme l'inverse de la constante de Hubble qui donne le "temps de Hubble":

  (51.14)

soit environ 13 milliards d'années (nous verrons une meilleure approche plus loin).

Inversement, nous pouvons nous amuser à calculer la distance à partir de laquelle nous pouvons atteindre la vitesse de la lumière avec la relation:

  (51.15)

et une application numérique donne grosso modo 13 milliards d'années-lumière. Telle est la distance de "l'horizon cosmologique".

ÉQUATIONS DE FRIEDMANN

Considérons maintenant un anneau sphérique de matière de rayon r et de masse constante m en expansion à la vitesse v, et contenant une boule de matière de masse M (elle aussi en expansion à la vitesse v).

Rappelons que selon le principe cosmologique, M et m n'ont pas la même densité à cause de la masse constante de l'Univers.

Nous pouvons appliquer à ce système la conservation de l'énergie mécanique car il est isolé (c'est d'ailleurs le seul vrai système isolé...). Nous obtenons alors l'équation:

  (51.16)

où  est une constante. En divisant par m chaque membre et en remplaçant M par son expression en fonction de la densité, nous obtenons:

  (51.17)

Or la loi de Hubble nous donne selon ce que nous avons vu plus haut:

  (51.18)

et:

  (51.19)

Nous obtenons:

  (51.20)

que nous simplifions en:

  (51.21)

Or,  sont des constantes. Nous introduisons une nouvelle constante k définie par (afin de simplifier les écritures):

  (51.22)

Nous obtenons donc l'équation:

  (51.23)

qui est n'est autre que la "première équation de Friedmann" que nous retrouvons fréquemment dans la littérature sous la forme suivante (parmi tant d'autres...):

  (51.24)

Il est possible d'obtenir la même équation à partir de l'équation d'Einstein des champs (cf. chapitre de Relativité Générale) et la métrique de Friedmann-Robertson-Walker (je n'ai rien écrit sur cette métrique dans le chapitre de Relativité Générale car elle est à ce jour trop compliquée à comprendre pour moi).

Signalons quand même une forme très courante de cette dernière relation. Lorsqu'en utilisant l'équivalence masse et énergie d'Einstein la densité n'est plus une densité massique mais une densité d'énergie, il faudra la diviser par la vitesse de la lumière au carré pour avoir à nouveau une densité massique. Il est en est de même si au dénominateur de la constante k, la masse m est remplacée par l'énergie, il faudra alors multiplier k par la vitesse de la lumière au carré. Nous avons alors en notant le rayon a (comme cela est souvent d'usage dans les ouvrages spécialisés) et en redistribuant les termes, la forme suivante de la première équation de Friedmann:

  (51.25)

Remarque: Einstein rajouta à cette équation pour des raisons de convictions personnelles et quasi religieuses une constante cosmologique qui lui permettait de rendre statique le facteur d'échelle de l'Univers. Nous (les auteurs du site) rejetons cette constante arbitraire, même si dans la physique contemporaine, elle est revenue à la mode (sa valeur a été cependant définie mathématiquement plutôt que religieusement) car elle permettrait d'expliquer la provenance de la matière sombre, les lois actuelles de notre Univers, la période inflationniste de notre Univers ainsi que sa géométrie. Ainsi, la première équation de Friedmann avec cette constante cosmologique, qui est un total artifice de travail, s'écrit alors:

  (51.26)

avec:

  (51.27)

C'est Andreï Sakharov qui a défini la valeur de cette constante cosmologique qui s'apparenterait soi-disant à l'énergie quantique du vide (fonction des champs de Higgs).

Deux idées guident les chercheurs de ce début de 21ème siècle: en physique quantique les équations du champ associées aux particules élémentaires servent à définir la théorie du Big Bang. La célèbre équation d'équivalence d'Einstein nous dit que l'énergie crée un champ gravitationnel comme l'électron en mouvement provoque un champ électromagnétique. Il découle de ces deux observations qu'en mesurant le champ gravitationnel nous avons un moyen de déterminer l'énergie du vide. Le champ gravitationnel ne concerne plus la matière mais bien la densité d'énergie du vide. Or la constante cosmologique est directement proportionnelle à la constante de la gravitation, G. Sa mesure est un jeu très dangereux car de sa valeur dépendent plusieurs lois fondamentales de physique et des propriétés non négligeables quant à la dynamique de notre Univers. Le débat reste donc complètement ouvert et si nous (les auteurs du site) trouvons une démonstration valable et rigoureuse de cette constante, nous mettrons à disposition du lecteur les conséquences de cette constante sur les modèles que nous allons voir ci-après.

Utilisons maintenant le premier principe de la thermodynamique (cf. chapitre de Thermodynamique) pour un système par définition fermé dont la somme de l'énergie cinétique et potentielle est constante (et donc la somme des variations est nulle pour ces deux énergies). Nous avons alors la variation d'énergie totale qui n'est donnée que par la variation d'énergie interne (cas le plus courant en thermodynamique pour les objets macroscopiques):

  (51.28)

et nous avons également vu dans le chapitre de Thermodynamique l'équation caractéristique du fluide à l'équilibre:

  (51.29)

Si le système est adiabatique (aucun transfert chaleur entre le système et l'extérieur), alors nous avons selon ce qui a été vu dans le chapitre de Thermodynamique:

  (51.30)

Donc:

  (51.31)

Puisque l'Univers est supposé sphérique dans notre modèle, nous avons:

  (51.32)

et dans le référentiel matériel où les galaxies (particules du fluide cosmique) sont immobiles:

  (51.33)

Soit:

  (51.34)

ce qui se simplifie en:

  (51.35)

en prenant la dérivée par rapport au temps cosmique t:

  (51.36)

d'où:

  (51.37)

Reprenons maintenant la première équation de Friedmann, obtenue plus haut, sous la forme:

  (51.38)

et mettons-la sous la forme suivante:

  (51.39)

Si nous différencions:

  (51.40)

Nous obtenons alors:

  (51.41)

Injectons:

  (51.42)

dans la relation:

  (51.43)

Nous obtenons alors:

  (51.44)

Soit:

  (51.45)

La relation suivante:

  (51.46)

est la "deuxième équation de Friedmann" qui serait aussi appelée parfois "équation de Raychaudhuri".

DENSITÉ CRITIQUE

Revenons à notre première équation de Friedmann sans constante cosmologique. Nous avons donc démontré plus haut que:

  (51.47)

Nous obtenons alors en injectant cette dernière relation dans la première équation de Friedmann la relation suivante:

  (51.48)

qui se réarrange avec:

  (51.49)

en:

  (51.50)

L'exposant du terme de gauche impose que le terme de droite soit positif ou nul tel que:

  (51.51)

Rappelons que les conditions initiales nous imposent qu'au temps  nous ayons:

 et   (51.52)

Effectivement:

  (51.53)

Il vient alors:

  (51.54)

Ce terme devrait être accessible à l'observation, hélas   est très mal connu et  encore plus. Autrement dit, compte tenu du signe "-" dans l'expression de k, nous ne connaissons aujourd'hui même pas le signe de cette constante.

Cependant, il peut être important de noter qu'il existe une valeur   appelée "densité critique" qui annule k et donc aussi (voir plus haut):

  (51.55)

ce qui implique que l'énergie totale de l'Univers serait nulle (selon des considérations de la cosmologie quantique).

Cette valeur de est donc trivialement:

  (51.56)

Pour  (valeur actuelle) nous trouvons:

  (51.57)

À titre de comparaison, un atome d'hydrogène pèse , la densité critique correspondrait donc à six atomes d'hydrogène par mètre cube.

Les physiciens ont défini une constante (variant dans temps) notée par la lettre grecque et appelée "paramètre de densité cosmologique" et donnée par le rapport des densités massiques (ou des densités énergétiques puisque le rapport sera la même!):

  (51.58)

souvent les astrophysiciens décomposent le paramètre de densité cosmologique en trois termes:

  (51.59)

Il est intéressant de travailler avec cette constante car dans le cas où:

- :

Nous avons:

  (51.60)

ce qui en remplaçant dans l'équation de Friedmann donne:  (un Univers plat comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- :

En effectuant le même raisonnement, et toujours en inégalités, nous avons alors: (un Univers à courbure positive (fermé) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- :

En effectuant le même raisonnement, mais en inégalités, nous avons alors:  (un Univers à courbure négative (ouvert) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

Ces trois situations peuvent se résumer géométriquement à:

Figure: 51.2 - Illustration des différents types de courbure

Revenons à l'équation:

  (51.61)

Nous pouvons écrire:

  (51.62)

En adoptant la notation:

  (51.63)

D'où:

  (51.65)

Il convient maintenant pour nous de considérer trois situations:

  (51.66)

qui correspondent donc respectivement en paramètre de densité cosmolgoique à:

  (51.67)

Remarque: Nous ne pouvons poser car dans nos hypothèses initiales se trouvait le principe de conservation de l'énergie.

MODÈLES COSMOLOGIQUES DE FRIEDMANN-LEMAITRE

Les modèles cosmologiques euclidiens de Friedmann-Lemaître consistent dans la limite newtonienne à étudier "l'équation fondamentale des modèles de Friedmann":

  (51.68)

en considérant les trois situations:

  (51.69)

ESPACE PLAT (K=0)

Le modèle d'espace plat (euclidien) consiste à supposer que . Autrement dit, nous sommes dans un Univers dont la densité est dite "densité critique" ou également simplement "plat" (comme nous le verrons avec le modèle relativiste).

Nous avons alors l'équation:

  (51.70)

En disposant les termes de manière adéquate:

  (51.71)

et en intégrant, il vient:

  (51.72)

Qui se simplifie en (nous élevons au carré d'où la suppression du double signe ±):

  (51.73)

Nous avons donc dans ce modèle la relation:

  (51.74)

à laquelle il nous faut rajouter une constante pour avoir la condition correspondant à aujourd'hui:

    (51.75)

qui reste satisfaite:

  (51.76)

Ce qui nous donne sur un tracé une fonction à l'allure suivante (ne pas se fier aux valeurs indiquées sur l'axe horizontal car elles sont arbitraires):

Figure: 51.4 - Évolution du facteur d'échelle pour un espace à courbure nulle

Nous avons mis la zone où  en évidence pour bien rappeler que cette partie de la solution est à rejeter.

Nous avons donc un modèle d'Univers dont le facteur d'échelle croit de façon exponentielle et et ce indéfiniment.

Remarque: Plus  est grand, plus la croissance du facteur d'échelle est grande (sous-entendu que la pente est bien évidemment plus grande).

ESPACE PLAT DOMINÉ PAR LA MATIÈRE

Il existe également une autre approche beaucoup plus élégante et subtile à mon goût que la démonstration précédente (je ne l'ai découverte que de nombreuses années après avoir rédigé la version précédente). Elle a en plus l'avantage de mettre en évidence une hypothèse qui n'est pas apparue avec les développements précédents.

Nous partons de la première équation de Friedmann:

  (51.77)

en posant toujours k comme étant nul et ensuite nous utilisons l'astuce qui consiste à partir de la relation démontrée plus haut (utilisée pour démontrer la deuxième équation de Friedmann):

  (51.78)

d'imposer que la pression P du fluide (quel qu'il soit: gaz ou radiation!) soit nulle. Nous disons alors que l'Univers est un univers dominé par la matière et nous en déduisons:

  (51.79)

ce qui nous donne:

  (51.80)

Dans ces conditions, la première équation de Friedmann devient:

  (51.81)

en réarrangeant et en simplifiant, nous avons alors:

  (51.82)

ce qui donne:

  (51.83)

Au temps , nous avons le facteur d'échelle qui vaut et donc la constante est nulle. Nous avons alors:

  (51.84)

En posant qu'au temps , le facteur d'échelle était unitaire, cette dernière relation se simplifie:

  (51.85)

si nous posons que le facteur d'échelle est aujourd'hui pris comme référence unitaire, il vient alors:

  (51.86)

et en y remplaçant les valeurs numériques actuellement connues pour la constante de Hubble, il vient que l'Univers est actuellement âgé d'environ 8.6 milliards d'années (à comparer aux 13 milliards du temps de Hubble obtenu plus haut!).

ESPACE PLAT DOMINÉ PAR LA RADIATION

Nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique lors de notre étude de la loi de Stefan-Boltzmann que la pression était liée à la densité d'énergie par la relation suivante:

  (51.87)

Pour un univers dominé par la radiation, la relation suivante démontrée plus haut:

  (51.88)

exprimée avec une densité d'énergie et non une densité de masse devient:

  (51.89)

Soit:

  (51.90)

et en utilisant la relation liant pression et densité d'énergie, il vient:

  (51.91)

Après un petit réarrangement, nous avons:

  (51.92)

d'où nous tirons que:

  (51.93)

Dans ces conditions, la première équation de Friedmann:

  (51.94)

devient d'abord en passant en densité d'énergie et en posant k comme étant nul:

  (51.95)

et nous pouvons donc substituer la densité d'énergie par le résultat obtenu juste précédemment:

  (51.96)

Nous avons alors:

  (51.97)

d'où:

  (51.98)

La primitive donne donc:

  (51.99)

Au moment du Big Bang en , nous avons le facteur d'échelle qui vaut et donc la constante est nulle. Nous avons alors:

  (51.100)

En posant qu'au temps , le facteur d'échelle était unitaire, cette dernière relation se simplifie:

  (51.101)

Dès lors, il vient:

  (51.102)

Soit après simplification:

  (51.103)

Ainsi, un univers plat dominé par la radiation a son facteur d'échelle qui croît légèrement plus lentement qu'un univers plat dominé par la matière.

Pour comparaison avec Maple 4.00b (en bleu: Univers plat dominé par la matière, en rouge: Univers plat dominé par la radiation):

>plot([t^(2/3),t^(1/2)],t=0..2*Pi,0..3,color=[blue,red]);

Figure: 51.5 - Évolution du facteur R pour un espace à courbure 0 dominé par la matière ou par la radiation

ESPACE SPHÉRIQUE (K>0)

Dans ce modèle (appelé aussi parfois "modèle elliptique"), nous considérons . Donc l'équation à traiter reste:

  (51.104)

Ce qui s'écrit aussi:

  (51.105)

Rappelons que nous avions supposé  pour  que  si nous effectuons le changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante:

  (51.106)

Nous recherchons donc une primitive de:

  (51.107)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant  donc  ce qui nous donne la primitive suivante à calculer:

  (51.108)

en refaisant un changement de variable:

  (51.109)

d'où à une constante multiplicative près:

  (51.110)

nous avons:

  (51.111)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématiques):

  (51.112)

avec:

  (51.113)

d'où:

  (51.114)

Il nous faut encore calculer (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (51.115)

Enfin:

  (51.116)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

  (51.117)

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration s'annule et nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale):

  (51.118)

où rappelons que la théorie nous impose .

Si nous traçons cette fonction pour une valeur  fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple 4.00b (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" ci-dessous pour l'instant car le signe "+" nous donnerait un tracé dans les différentiels de temps négatifs: ):

Figure: 51.6 - Évolution de facteur d'échelle pour un espace à courbure positive

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers arrive rapidement à une valeur finale. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (c'est à cause de la condition d'intégration).

En fixant une valeur de A, nous obtenons la représentation bidimensionnelle suivante:

Figure: 51.7 - Évolution particulière du facteur d'échelle pour un espace à courbure positive

Si nous effectuons un zoom au niveau , nous avons:

Figure: 51.8 - Évolution particulière du facteur d'échelle pour un espace à courbure positive (zoom)

Nous voyons que le critère  est parfaitement et naturellement respecté sans introduction d'une quelconque constante. Il suffit par ailleurs de remplacer F par 1 dans l'équation que nous avons obtenue pour voir que nous trouvons .

Remarque: Comme nous l'avons déjà précisé, toutes les valeurs de  inférieures à 1 sont à rejeter!

Analysons l'avant-dernier tracé en rappelant que:

  (51.119)

Une condition limite (condition d'intégration) pour que le terme de droite de l'égalité soit positif est que:

 ou   (51.120)

Donc, si  est plus petit que , nous ne sommes plus dans un domaine valable (réel) du modèle.

Il faut donc que:

 ou   (51.121)

Cette limite a été représentée par une ligne verticale bleue sur l'avant-dernier tracé. Nous y avons également représenté par une ligne horizontale verte la limite temporelle temps  correspondante à .

Au fait, au-delà de cette limite temporelle, ce que ne sait pas l'ordinateur qui a tracé notre fonction, c'est qu'il devrait basculer sur la fonction d'échelle avec le signe "+". Ainsi, lorsque nous exécutons le tracé des deux fonctions avec les bornes adéquates:

  (51.122)

nous obtenons alors (le temps est représenté sur l'axe vertical!):

Figure: 51.9 - Évolution particulière du facteur d'échelle pour un espace à courbure positive

Nous voyons que alors que pour  l'Univers entre dans une phase de contraction que nous appelons communément "Big Crunch". Après cette phase de rétraction, il est possible soit que l'Univers disparaisse totalement, soit qu'il entre à nouveau dans une phase dynamique cyclique (mathématiquement les deux issues sont possibles).

ESPACE SPHÉRIQUE DOMINÉ PAR LA MATIÈRE

Au même titre que pour le modèle à espace plat, il existe également une autre approche beaucoup plus élégante et subtile à mon goût que la démonstration précédente (je ne l'ai découverte aussi que de nombreuses années après avoir écrit le texte précédent). Elle aussi l'avantage de mettre en évidence une hypothèse qui n'est pas apparue avec les développements précédents et permet de tracer plus simplement dans Maple 4.00b le comportement du facteur d'échelle de l'Univers. On retrouve ainsi exactement le fameux graphique représentant l'évolution du facteur d'échelle de l'Univers disponible dans la quasi-totalité des ouvrages de vulgarisation sur le sujet.

Nous partons toujours de la première équation de Friedmann:

  (51.123)

Il est d'usage pour ce modèle de poser  (quitte à prendre tout nombre positif au moins en prendre un qui est sympathique...) et nous avons montré que lorsque la matière domine, nous avions:

  (51.124)

Dès lors:

  (51.125)

et il vient immédiatement:

  (51.126)

Soit:

  (51.127)

Si nous passons en temps comobile (déjà vulgarisé tout au début de ce chapitre) défini mathématiquement par:

  (51.128)

Nous avons alors:

  (51.129)

Notons cela sous la forme:

  (51.130)

où A est donc strictement positif. Faisons-y la substitution:

  (51.131)

nous avons alors:

  (51.132)

et nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la primitive est:

  (51.133)

Donc:

  (51.134)

Pour qu'au temps  nous ayons , il faut que la constante soit telle que:

  (51.135)

Dès lors:

  (51.136)

D'où:

  (51.137)

Maintenant, rappelons que:

  (51.138)

Dès lors:

  (51.139)

Soit:

  (51.140)

et comme nous devons avoir au temps  le temps comobile qui est aussi nul, la constante est donc nulle. Dès lors nous avons au final le système paramétrique suivant:

  (51.141)

avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers plat dominé par la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la radiation (en rouge) et enfin l'Univers à courbure positive dominé par la matière (vert) et en mettant des coefficients artificiels pour mieux distinguer les tracés:

>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi]],
t=0...Pi,0..3,color=[blue,red,green]);

Figure: 51.10 - Évolution du facteur R pour les configurations d'espace obtenues étudiées jusqu'à présent

Nous comprenons alors mieux pourquoi le modèle d'Univers à courbure positive est aussi considéré comme un modèle d'Univers fermé.

ESPACE SPHÉRIQUE DOMINÉ PAR LA RADIATION

Considérons maintenant un univers dominé par la radiation. Nous avons démontré que dans cette situation nous avions:

  (51.142)

et:

  (51.143)

Dans ce cas l'équation de Friedmann en termes de densité d'énergie s'écrit en posant :

  (51.144)

Ce qui devient:

  (51.145)

En injectant , il vient:

  (51.146)

Soit:

  (51.147)

Notons cela sous la forme:

  (51.148)

Si nous passons aussi en temps comobile:

  (51.149)

Nous avons alors:

  (51.150)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons démontré comment déterminer exactement la même primitive (car il s'agit d'une primitive usuelle). Nous avons:

  (51.151)

Pour qu'au temps  nous ayons , il faut que la constante soit telle que:

  (51.152)

D'où:

  (51.153)

Maintenant, rappelons que:

  (51.154)

Dès lors:

  (51.155)

Soit:

  (51.156)

et comme nous devons avoir au temps  le temps comobile qui est aussi nul, la constante vaut donc  . Dès lors nous avons au final le système paramétrique suivant:

  (51.157)

avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers plat dominé par la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la radiation (en rouge), l'Univers à courbure positive dominé par la matière (vert), l'Univers à courbure positive dominé par la radiation (noir):

>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi],
[0.5*(1-cos(t)),0.5*sin(t),t=0..2*Pi]],t=0...Pi,0..3,color=[blue,red,green,black]);

Figure: 51.11 - Évolution du facteur R pour un espace à courbure 0/+ dominé par la matière ou par la radiation

Nous avons donc meilleur intérêt à être dans un Univers sphérique dominé par la matière (ou un mélange matière-radiation)...

ESPACE HYPERBOLIQUE (K<0)

Dans ce modèle, nous considérons . Donc l'équation à traiter peut s'écrire:

  (51.158)

Ce qui s'écrit aussi:

  (51.159)

Rappelons que nous avions supposé  pour  que . Si nous effectuons le changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante:

  (51.160)

Nous recherchons donc une primitive de:

  (51.161)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant  donc  ce qui nous donne la primitive suivante à calculer:

  (51.162)

en refaisant un changement de variable:

  (51.163)

d'où à une constante multiplicative près:

  (51.164)

nous avons:

  (51.165)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématiques):

  (51.166)

avec:

  (51.167)

d'où:

  (51.168)

Il nous faut encore calculer :

  (51.169)

Enfin:

  (51.170)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

  (51.171)

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration s'annule):

  (51.172)

Nous devons évidemment avoir (nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale):

  (51.173)

Si nous traçons cette fonction pour une valeur  fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple  4.00b (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" car celui avec le signe "+" n'a pas de sens physique même translaté):

Figure: 51.12 - Évolution du facteur d'échelle pour un espace à courbure négative

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers croit indéfiniment rapidement. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (il s'agit au toujours fait de la condition d'intégration).

Nous voyons à nouveau que le critère  est naturellement parfaitement respecté. Toutes les valeurs de F(t) inférieures à 1 sont à rejeter !

Nous avons donc dans ce modèle hyperbolique un Univers qui croit indéfiniment de façon exponentielle (comme le modèle plat de Friedmann-Lemaître) car étant donné que , il n'y a plus de condition limite d'intégration (contrairement au modèle elliptique précédent).

ESPACE HYPERBOLIQUE DOMINÉ PAR LA MATIÈRE

Au même titre que pour les modèles à espace plat et sphérique, il existe également une autre approche beaucoup plus élégante et subtile à mon goût que la démonstration précédente (je ne l'ai découverte aussi que de nombreuses années après avoir écrit la version précédente). Elle aussi l'avantage de mettre en évidence une hypothèse qui n'est pas apparue avec les développements précédents et permet de tracer plus simplement dans Maple 4.00b le comportement du facteur d'échelle de l'Univers. On retrouve ainsi exactement le fameux graphique représentant l'évolution du facteur d'échelle de l'Univers disponible dans la quasi-totalité des ouvrages de vulgarisation sur le sujet.

Nous partons toujours de la première équation de Friedmann:

  (51.174)

Il est d'usage pour ce modèle de poser  (quitte à prendre tout nombre positif au moins en prendre un qui est sympathique...) et nous avons montré que lorsque la radiation domine, nous avions:

  (51.175)

Dans ce cas l'équation de Friedmann en termes de densité d'énergie s'écrit en posant :

  (51.176)

La première équation de Friedmann devient alors:

  (51.177)

Nous avons alors:

  (51.178)

d'où:

  (51.179)

Il s'agit exactement de la même intégrale que celle de l'univers sphérique dominé par la matière à la différence que sous la racine, nous avons +1 au lieu de -1. Nous allons donc procéder de la même manière en utilisant le temps comobile:

  (51.180)

Il vient alors:

  (51.181)

Notons cela sous la forme:

  (51.182)

où A est donc strictement positif. Faisons-y la substitution:

  (51.183)

nous avons alors:

  (51.184)

En utilisant la primitive usuelle démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral il vient:

  (51.185)

Soit en refaisant le changement de variables:

  (51.186)

Donc:

  (51.187)

Pour qu'au temps   nous ayons , il faut que la constante soit telle que:

  (51.188)

Ce qui nous amène à ce que la constante soit nulle et donc:

  (51.189)

Dès lors:

  (51.190)

D'où:

  (51.191)

et comme:

  (51.192)

Nous avons:

  (51.193)

Ce qui donne:

  (51.194)

Comme au temps , nous devons avoir , il vient que la constante doit être nulle. Donc pour finir, nous avons:

  (51.195)

avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers plat dominé par la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la radiation (en rouge), l'Univers à courbure positive dominé par la matière (vert), l'Univers à courbure positive dominé par la radiation (noir), l'Univers à courbure négative dominé par la matière (gris):

>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi],
[0.5*(1-cos(t)),0.5*sin(t),t=0..2*Pi],[0.5*(sinh(t)-t),
0.5*(cosh(t)-1),t=0..2*Pi]],t=0...Pi,0..3,color=[blue,red,green,black,gray]);

Figure: 51.13 - Évolution du facteur R pour les configurations d'espace obtenues étudiées jusqu'à présent

Nous pouvons donc observer que pour une courbure négative (du type hyperbolique), l'expansion croît nettement plus vite que pour un univers plat et ce sans fin.

ESPACE HYPERBOLIQUE DOMINÉ PAR LA RADIATION

Considérons maintenant un univers dominé par la radiation. Nous avons démontré que dans cette situation nous avions:

  (51.196)

et:

  (51.197)

La première équation de Friedmann devient alors:

  (51.198)

Nous avons alors:

  (51.199)

d'où:

  (51.200)

Il s'agit exactement de la même intégrale que l'univers sphérique dominé par la matière à la différence que sous la racine, nous avons +1 au lieu de -1. Nous allons donc procéder de la même manière en utilisant le temps comobile:

  (51.201)

Il vient alors:

  (51.202)

Notons cela sous la forme:

  (51.203)

où A est donc strictement positif. Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons démontré comment déterminer exactement la même primitive (car il s'agit d'une primitive usuelle). Nous avons:

  (51.204)

Pour qu'au temps   nous ayons , il faut que la constante soit nulle. Donc:

  (51.205)

D'où:

  (51.206)

et comme:

  (51.207)

Nous avons:

  (51.208)

Ce qui donne:

  (51.209)

Comme au temps , nous devons avoir , il vient que la constante doit être égale à . Donc pour finir, nous avons:

  (51.210)

avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers plat dominé par la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la radiation (en rouge), l'Univers à courbure positive dominé par la matière (vert), l'Univers à courbure positive dominé par la radiation (noir), l'Univers à courbure négative dominé par la matière (gris), l'Univers à courbure négative dominé par la radiation (brun):

>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi],
[0.5*(1-cos(t)),0.5*sin(t),t=0..2*Pi],[0.5*(sinh(t)-t),0.5*(cosh(t)-1),t=0..2*Pi],
[0.5*(cosh(t)-1),0.5*(sinh(t)),t=0..2*Pi]],t=0...Pi,0..3
,color=[blue,red,green,black,grey,brown]);

 
Figure: 51.14 - Évolution du facteur R pour un espace à courbure 0/+/- dominé par la matière ou par la radiation

Nous pouvons donc observer que pour une courbure négative (du type hyperbolique), l'expansion d'un Univers dominé par la radiation croit moins rapidement qu'un Univers dominé par la matière (c'est un peu intuitif...).

Soit pour résumer un peu mieux tout cela avec des légendes ce dernier graphique devient (faut quand même s'appliquer car l'Univers nous concerne tous...):

 
Figure: 51.15 - Résumé des modèles Newtonien d'Univers

UNIVERS OBSERVABLE

Nous avons déterminé plus haut une estimation actuelle de l'âge (horizon) de l'Univers comme pouvant être interprétée comme l'inverse de la constante de Hubble ce qui nous a donné:

  (51.211)

soit environ 13 milliards d'années.

À ce jour, nous ne savons pas si l'Univers est fini ou infini, bien que la majorité des théoriciens favorisent actuellement un Univers infini.

L'Univers observable se compose ainsi de tous les endroits qui pourraient nous avoir affectés depuis le Big Bang (attention! malgré son nom, cette théorie du Big Bang n'a rien à dire sur le début! Elle se contente de décrire l'évolution et l'expansion de l'Univers), en tenant compte que la vitesse de la lumière est certainement finie. L'horizon cosmique se trouve quant à lui à une distance de 14 à 15 milliards d'années-lumière selon les observations expérimentales de la fin du 20ème siècle.

La taille actuelle (la "distance comobile") de l'Univers observable est plus grande, puisque l'Univers a continué de s'étendre pendant le temps que la lumière met à nous parvenir, nous estimons qu'elle est d'environ ~40 milliards d'années-lumière.

Ce chiffre peut être obtenu en prenant un objet visible qui est à 13 milliards d'années de notre Terre. Celui-ci aura donc mis 13 milliards d'années pour s'éloigner de nous, sa lumière aura mis 13 milliards d'années pour arriver jusqu'à nous et pendant ce temps de parcours de la lumière, il se sera éloigné de 13 milliards d'années (puisque les objets à l'horizon cosmologique vont à la vitesse de la lumière). Soit un total de ~39 milliard d'années.

Celui-ci contiendrait d'après des estimations toutes heuristiques environ étoiles, répandues dans environ galaxies, elles-mêmes organisées en amas et superamas de galaxies (le nombre de galaxies pourrait être encore plus grand, selon le "champ profond de Hubble" observé avec le télescope spatial Hubble.)

Cependant il est difficile de s'imaginer ce que cela représente. À ce titre, nous avons trouvé sur Internet une magnifique série d'illustrations (http://atunivers.free.fr) que nous vous proposons:

1. L'Univers jusqu'à 13 milliards d'années-lumière (l'Univers visible):

Figure: 51.16 - Illustration simplifiée de l'Univers observable (source: http://atunivers.free.fr)

Cette carte essaie de montrer l'ensemble de l'Univers visible. Les galaxies dans l'Univers ont tendance à se rassembler en vastes feuilles et "superamas" de galaxies, entourant de grands vides, ce qui confère à l'univers une apparence cellulaire. Parce que la lumière dans l'univers ne voyage qu'à une vitesse finie, nous voyons les objets sur le bord de l'Univers quand celui-ci était très jeune, il y a 13 milliards d'années.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre de superamas de l'univers visible = 10 millions
- Nombre de groupes de galaxies de l'univers visible = 25 milliards
- Nombre de grandes galaxies de l'univers visible = 350 milliards
- Nombre de galaxies naines de l'univers visible = 7 trillions
- Nombre d'étoiles de l'univers visible = 30 milliards de trillions

2. L'Univers jusqu'à 1 milliard d'années-lumière (les superamas voisins):

Figure: 51.17 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 1 milliard d'a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

Quelques chiffres (estimations):

Les Galaxies et les amas de galaxies ne sont pas distribués régulièrement dans l'Univers. Au lieu de cela, ils sont rassemblés en de larges amas, feuillets et murs de galaxies séparés par de larges vides dans lesquels peu de galaxies semblent se trouver. La carte ci-dessus montre un certain nombre de ces superamas, y compris celui de la Vierge - un superamas plutôt petit dont notre galaxie fait partie. La carte entière représente à peu près 7% du diamètre de l'Univers visible. Les galaxies sont trop petites pour apparaître individuellement sur cette carte, chaque point y représente un groupe de galaxies.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre de superamas jusqu'à 1 milliard d'années-lumière = 100
- Nombre de groupes galactiques jusqu'à 1 milliard d'années-lumière = 240'000
- Nombre de grandes galaxies jusqu'à 1 milliard d'années-lumière = 3 millions
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 1 milliard d'années-lumière = 60 millions
- Nombre d'étoiles jusqu'à 1 milliard d'années-lumière = 250 trillions

3. L'Univers jusqu'à 100 millions d'années-lumière (le superamas de la Vierge):

Figure: 51.18 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 100 millions d'a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

Notre galaxie n'est qu'une parmi des milliers d'autres qui se trouvent à moins de 100 millions d'années-lumière. La carte ci-dessus montre comment les galaxies tendent à s'amasser par groupes, le plus important des amas proches étant l'amas de la Vierge (Virgo), une concentration de plusieurs centaines de galaxies qui domine les groupes de galaxies environnants. Collectivement, l'ensemble de ces groupes est connu sous le nom de Superamas de la Vierge. Le second amas le plus riche de ce volume est l'amas du Fourneau (Fornax), mais il est bien moins riche que celui de la Vierge. Seules les galaxies brillantes sont dessinées ici, notre galaxie est le point tout au centre.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre de groupes de galaxies jusqu'à 100 millions d'années-lumière = 200
- Nombre de grandes galaxies jusqu'à 100 millions d'années-lumière = 2'500
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 100 millions d'années-lumière = 50'000
- Nombre d'étoiles jusqu'à 100 millions d'années-lumière = 200 trillions

4. L'Univers à moins de 5 millions d'années-lumière (le groupe local de galaxies):

Figure: 51.19 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 5 millions d'a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

La Voie Lactée est une des trois grandes galaxies du groupe appelé "Groupe Local" qui contient aussi plusieurs dizaines de galaxies naines. La plupart de ces galaxies sont portées sur cette carte, mais il faut noter que beaucoup de ces galaxies naines sont très peu brillantes, et qu'il y en a donc certainement d'autres à découvrir.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre de grandes galaxies à moins de 5 millions d'années-lumière = 3
- Nombre de galaxies naines à moins de 5 millions d'années-lumière = 42
- Nombre d'étoiles à moins de 5 millions d'années-lumière = 700 milliards

5. L'Univers jusqu'à 500'000 années-lumière (les galaxies satellites):

Figure: 51.20 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 500'000 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

La Voie Lactée est entourée par plusieurs galaxies naines, qui contiennent chacune quelques dizaines de millions d'étoiles, ce qui est insignifiant comparé à la population de la Voie Lactée elle-même. La carte ci-dessus montre l'ensemble des galaxies naines les plus proches, elles sont liées gravitationnellement à la Voie Lactée, et gravitent autour d'elle en quelques milliards d'années.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre de grandes galaxies jusqu'à 500'000 années-lumière = 1
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 500'000 années-lumière = 12
- Nombre d'étoiles jusqu'à 500'000 années-lumière = 225 milliards

6. L'Univers jusqu'à 50'000 années-lumière (la Voie Lactée):

Figure: 51.21 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 50'000 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

Cette carte montre la Voie Lactée dans son ensemble - une galaxie spirale d'au moins deux cents milliards d'étoiles. Notre Soleil est profondément enfoui dans le Bras d'Orion à environ 26'000 années lumière du centre. Vers le centre de la Galaxie, les étoiles sont beaucoup plus proches les unes des autres qu'à la périphérie où nous vivons. Notez également la présence de petits amas globulaires bien en dehors du plan galactique, et la présence d'une galaxie naine voisine - dite du Sagittaire - qui est en train d'être lentement avalée par notre propre Galaxie.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre d'étoiles jusqu'à 50'000 années-lumière = 200 milliards

7. L'Univers jusqu'à 5'000 années-lumière (le Bras d'Orion):

Figure: 51.22 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 5'000 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

Ceci est une carte de notre coin de la Voie Lactée. Le Soleil est situé dans le Bras d'Orion - un bras assez petit comparé au Bras du Sagittaire, qui se situe plus près du centre galactique. La carte montre plusieurs étoiles visibles à l'oeil nu, situées loin dans le bras d'Orion. Le groupe d'étoiles le plus marquant est composé des étoiles principales de la constellation d'Orion - de laquelle le bras spiral tire son nom. Toutes ces étoiles sont des géantes et supergéantes lumineuses, des milliers de fois plus lumineuses que le Soleil. L'étoile la plus brillante de la carte est Rho Cassiopeia - à 4'000 années-lumière de nous, c'est juste une étoile à peine visible à l'oeil nu, mais en réalité c'est une supergéante 100'000 fois plus lumineuse que le Soleil.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre d'étoiles jusqu'à 5'000 années-lumière = 600 millions

8. L'Univers jusqu'à 250 années-lumière (le voisinage du Soleil):

Figure: 51.23 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 250 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

Cette carte indique les 1'500 étoiles les plus lumineuses situées à moins de 250 années-lumière. Toutes ces étoiles sont bien plus lumineuses que le Soleil, et la plupart sont visibles à l'oeil nu. Environ un tiers des étoiles visibles à l'oeil nu sont situées à moins de 250 années-lumière, même si cette zone ne représente qu'une toute petite partie de notre galaxie.

Quelques chiffres (estimations):

- Nombre d'étoiles jusqu'à 250 années-lumière = 260'000

9. L'Univers jusqu'à 12.5 années-lumière (les étoiles les plus proches):

Figure: 51.24 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de 12.5 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

Cette carte montre certaines étoiles jusqu'à une distance de 12.5 années-lumière de notre Soleil (il y en aurait 33 d'identifiées à ce jour). La plupart de ces étoiles sont des naines rouges - des étoiles avec une masse du dixième de celle du Soleil et une luminosité cent fois moins grande. Environ 80% des étoiles de l'Univers sont des naines rouges, et l'étoile la plus proche - Proxima du Centaure- en est un exemple typique.

Cette carte montre toutes les étoiles connues situées à moins de 20 années-lumière. On y trouve un total de 77 systèmes contenant 110 étoiles.

Figure: 51.25 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle de moins de 20 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)

Les distances entre les étoiles sont énormes. La distance du Soleil à Proxima Centauri est de 4.22 années-lumière, soit quarante trillions de kilomètres. Marcher sur cette distance prendrait un milliard d'années. Même les sondes spatiales les plus rapides mettraient soixante mille ans pour faire le voyage. Il y a actuellement quatre sondes qui quittent le système solaire - Pioneer 10 et 11, et Voyager 1 et 2 mais nous perdrons vraisemblablement le contact avec elles d'ici une vingtaine d'années. Le schéma ci-dessous essaie de montrer ces distances en élargissant le champ depuis le système solaire intérieur jusqu'à Alpha du Centaure.

Figure: 51.26 - Zoom de bas en haut pour illustrer les échelles (source: http://atunivers.free.fr)

RAYONNEMENT FOSSILE

L'existence et les propriétés du rayonnement cosmique découvert par Penzias et Wilson s'expliquent essentiellement par les deux phénomènes physiques que nous allons maintenant décrire dans leurs grandes lignes.

L'expansion de l'Univers a pour conséquence son refroidissement graduel. À partir des valeurs fantastiquement élevées qui ont dû régner aussitôt après le Big Bang qui a engendré l'Univers, sa température a progressivement décru. Lorsqu'elle atteint environ 3'000 [K] se produit le premier des deux phénomènes cruciaux qui nous intéressent ici: le rayonnement, qui jusque-là était en équilibre thermique avec les particules matérielles, cesse pratiquement d'interagir avec elles et en devient indépendant. Dans le "modèle standard" d'évolution de l'Univers, nous calculons que ce moment crucial se situe ans après le Big Bang.

Nous pouvons comprendre qualitativement les raisons physiques de ce phénomène. Un peu avant, lorsque par exemple la température était de 100'000 [K], l'Univers contenait essentiellement des photons, des électrons et des noyaux atomiques nus (principalement des protons, et, dans une moindre proportion, des particules , noyaux d'hélium 4). La température était trop élevée pour que les électrons et les noyaux puissent former des atomes, autrement que de manière transitoire et labile. L'interaction entre les photons et les particules chargées (surtout les électrons, les plus légères d'entre elles) est suffisamment intense, et la densité de ces dernières était alors suffisamment forte, pour que les photons soient sans arrêt diffusés, émis et absorbés. Malgré son expansion, l'Univers était alors à chaque instant en équilibre; sa température T était constamment bien définie, bien que décroissante au cours du temps, l'énergie des photons, c'est-à-dire la pulsation du rayonnement, était donc distribuée suivant la loi de Planck correspondant à cette température T.

La diminution de la température a ensuite permis la formation d'atomes à partir des électrons et des noyaux. Ce processus a entraîné une chute rapide de la section efficace moyenne d'interaction entre les photons et les particules matérielles (principalement à cause de la disparition des électrons libres), de sorte que l'Univers est devenu transparent aux photons. Une évaluation quantitative des caractéristiques du phénomène situe ce découplage au moment où la température est descendue à 3'000 [K].

Au moment du découplage, la densité volumique d'énergie du rayonnement est distribuée dans le spectre des pulsations selon la loi de Planck (cf. chapitre de Thermodynamique):

  (51.212)

où nous admettrons que T est la température (3'000 [K] environ - température d'ionisation des atomes les plus simples) à ce moment-là. Cette distribution va ensuite évoluer sous l'influence de l'expansion de l'Univers.

Considérons les photons situés, à cet instant t dans le volume , et dont la pulsation est à près. Leur nombre est donc égal à:

  (51.213)

Comme il n'y a plus d'absorption ni d'émission de photons à cette température (c'est une hypothèse mais comme les mesures expérimentales semblent confirmer ce modèle à défaut de mieux...), ce nombre va rester constant. Mais à cause de l'expansion de l'Univers, ces photons en nombre constant vont occuper un volume plus grand, et acquérir une longueur d'onde plus grande (selon l'expansion de la structure même de l'espace due à la valeur positive de la constante de Hubble) c'est-à-dire une pulsation plut petite (l'équivalent de l'effet Doppler). Pour préciser, examinons la situation à un instant t' ultérieur. Toutes les longueurs de l'Univers ont été multipliées entre, entre t et t', par le même facteur d'échelle F selon la loi de Hubble: l'arête r du volume cubique choisi est ainsi devenue:

  (51.214)

et la longueur d'onde des photons considérés:

  (51.215)

de sorte que leur pulsation vaut à l'instant t':

  (51.216)

Donc, l'énergie contenue à cet instant dans le volume et dans la bande de pulsations , que nous écrirons est donnée par:

  (51.217)

La densité volumique d'énergie à l'instant t', pour la bande de pulsation , s'écrit donc:

  (51.218)

Il s'ensuit que la distribution spectrale de l'énergie est encore à l'instant t' celle du corps noir:

  (51.219)

où la température correspondante T ' est telle que:

  (51.220)

Ainsi, après son découplage d'avec la matière, le rayonnement cosmique évolue en conservant la distribution d'un corps noir dont la température décroît régulièrement, dans la même proportion que s'accroissent les distances au cours de l'expansion de l'Univers (depuis le moment du découplage, le facteur F d'échelle est très voisin de 1'000 puisque pour passer de 3'000 [K] aux 2.7 [K] actuels il y a un facteur 1000...). Cette valeur de 100'0 nous permet à partir du modèle de Friedmann-Lemaître que nous avons démontré en partie ci-dessus de facilement calculer à quel moment de l'âge (horizon) de l'Univers ce découplage a eu lieu. C'est ainsi que nous trouvons une valeur d'à peu près années.

C'est en se fondant sur ce raisonnement que divers auteurs furent amenés à prédire l'existence dans l'Univers actuel, d'un rayonnement fossile de quelques kelvins. La découverte de Penzias et Wilson, confirme parfaitement le plus solide argument en faveur du modèle (cosmologique) standard, qui reconstitue l'histoire de l'Univers à partir de la "grande explosion" initiale.

L'UNIVERS TROU NOIR

Une hypothèse assez récente dans l'histoire de la cosmologie (quelques décennies) et qui est au coeur de nombreuses recherches théoriques (Hawking, Penrose et autres) est la possibilité d'assimiler notre Univers à un Trou Noir (cf. chapitre de Relativité Générale).

L'origine de l'idée peut se faire à partir d'un calcul très simple:

Nous savons que le rayon de l'Univers (actuel) est donné selon nos calculs précédents par:

  (51.221)

Or, nous avons démontré dans le chapitre de Relativité Générale (et de Mécanique Classique) que le rayon de Schwarzschild est donné par:

  (51.222)

Ce que nous pouvons écrire pour l'Univers sous la forme suivante:

  (51.223)

ce qui avec les valeurs de la densité critique et du rayon de l'horizon cosmologique calculé plus haut donne:

  (51.224)

Donc grosso modo, connaissant toutes les incertitudes que nous avons accumulées en particulier celle sur la constante de Hubble nous voyons que le rayon de Schwarzschild n'est pas très loin du rayon de l'Univers actuel.

Aussi curieux que cela puisse sembler, cette question n'est pas si farfelue et est très sérieusement étudiée. Il est donc théoriquement possible que tout notre univers soit encapsulé dans un gigantesque Trou Noir (donc de très grande masse et très faible densité comme nous le voyons avec nos valeurs numériques) d'un autre univers inaccessible...

Ce qui est sûr est que si tel était le cas, l'expansion de l'Univers (observée actuellement), ne pourrait pas se poursuivre au-delà de l'horizon de ce super Trou Noir, car rien venant de l'intérieur ne peut franchir cet horizon. Or, des observations récentes semblent montrer que l'expansion de l'Univers est loin de ralentir et tend plutôt à s'accélérer avec le temps, ce qui est en contradiction avec un tel Trou Noir Univers...

- Cosmologie, E. Elbaz, Éditions Ellipses, ISBN10: 2729892117 (268 pages) - Imprimé en 1998

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