
ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE | COSMOLOGIE | THÉORIE
DES CORDES
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
La cosmologie
s'occupe de comprendre la naissance et l'évolution de l'Univers
par la méthode scientifique.
C'est uniquement par ce jeu entre théories physiques, modélisations
et observations que nous aborderons cette question ici. Nous éviterons
soigneusement toute digression métaphysique. Les problèmes
spécifiques de la cosmologie tiennent dans sa définition
même: la statistique qui est une des grandes méthodes
scientifiques est apparemment pauvre: nous n'avons qu'un univers
à notre disposition. En outre, nous n'observons que le passé
de l'Univers. Peut-on parler de prédictions dans ces conditions?
Les théories sont cependant fiables dans la mesure
où
elles prédisent des comportements que des observations peuvent
tester.
La cosmologie utilise principalement l'arsenal des mathématiques,
de la physique théorique, de la physique des particules,
de la physique nucléaire, de la physique des détecteurs
et de l'astrophysique. Elle est donc interdisciplinaire. La
cosmologie
traite des échelles supérieures à la taille
d'une galaxie jusqu'aux échelles définies par elle-même
comme les horizons. Encore que la limite soit volontairement
floue,
la cosmologie ne traite pas des détails internes de la naissance
et de l'évolution d'objets astrophysiques (comme les
galaxies, les amas globulaires, ou des amas de galaxies) qui
relèvent
plus de la "cosmogonie".
MODÈLE COSMOLOGIQUE NEWTONIEN
Un modèle cosmologique est une représentation mathématique
de l'Univers qui cherche à expliquer les raisons de son aspect
actuel, et à décrire son évolution au cours du temps (appelé "temps
cosmologique") mais pas de sa création!
Le
modèle newtonien s'applique dans le cadre des hypothèses
de la mécanique
de Newton (action instantanée). Les résultats que
nous allons étudier
ici ont été découverts avant le développement
de la Relativité Générale
mais publiés après! Mais ce modèle présente
l'avantage de la simplicité
tout en étant capable de mettre en évidence et de
discuter de la dynamique de l'Univers et de se préparer à l'étude
des modèles
d'Univers faisant usage des résultats de la Relativité Générale.
Son inconvénient,
outre le fait qu'il ne correspond pas tout à fait aux
résultats
expérimentaux, est de n'être plus valable dans des conditions
extrêmes
donc de ne pas être extrapolable à l'instant du Big Bang.
Avant
de commencer, nous devons définir le "principe
cosmologique"
formé des deux assertions suivantes (en gros, il assure que nous
ne sommes pas des observateurs privilégiés, et que ce que nous
observons est bien représentatif de l'ensemble de l'Univers):
-
L'espace (Univers) est homogène, c'est-à-dire qu'il
présente
les mêmes
propriétés
dans toutes ses régions. Ceci doit s'entendre à très
grande échelle,
au-delà du millier de Mpc (Mégaparsecs). Il est clair qu'à petite
échelle existent des inhomogénéités,
nous par exemple.
-
L'espace (Univers) est isotrope, c'est à dire qu'il
n'existe pas de direction particulière de l'espace,
comme une direction d'aplatissement, ou un mouvement d'ensemble à l'échelle
universelle par exemple.
Remarque: Cette hypothèse de l'isotropie de l'Univers
et qui marche relativement bien dans les modèles théoriques
(voir ci-après) impose une constatation intéressante
si nous admettons un commencement à l'Univers. Cette constatation
implique que l'Univers a eu une phase dans son histoire
où
il n'a pas laissé à la matière le temps de
s'agglutiner pour former à ses débuts de groupes
de matières
inhomogènes et anisotropes qui seraient visibles aujourd'hui
à nos télescopes. De ceci, il découle
qu'à un moment de son histoire, l'Univers a eu un taux
d'expansion supérieur à celui que l'on pourrait
faire correspondre à la vitesse de la lumière
(c'est mal dit mais j'espère que c'est quand même
acceptable).
Nous
allons poser quelques autres hypothèses de travail:
H1. L'Univers est un fluide gazeux non visqueux
dont les particules sont les galaxies. Sous l'hypothèse
du principe cosmologique, le mouvement des galaxies, constituants
de ce "fluide" est par construction, statistiquement
au repos.
H2.
L'Univers est thermodynamiquement un système fermé, sans
travail et adiabatique (pas d'échange de chaleur avec l'extérieur).
H3.
L'Univers en expansion homothétique (en expansion proportionnelle
dans toutes ses dimensions) est pris comme ayant une géométrie
sphérique avec un centre (eh oui c'est le modèle
newtonien...).
H4.
Sa masse volumique est uniquement fonction du temps et il y a conservation
de la masse (et donc de l'énergie). Donc la quantité de
matière y est constante!
H5.
Nous acceptons la dynamique (approximation) newtonienne pour construire
les modèles à suivre dans ce chapitre.
H6.
L'origine du temps est assimilée à l'origine de création
(horizon) de l'Univers et le référentiel d'étude
est comobile aux particules (et se déplace donc avec les
galaxies posées sur
la
trame de l'espace-temps) et appelé "référentiel
matériel" (les galaxies sont donc immobiles
dans ce référentiel!).
LOI DE HUBBLE
Sous
l'hypothèse du principe cosmologique et des hypothèses précédentes,
la distance d'un point origine O à un point M quelconque
de l'Univers peut varier en fonction du temps (de manière indétectable
à l'échelle humaine) sous la forme:
(51.1)
où F(t) est le "facteur
d'échelle" (noté R(t)
suivant le contexte...).
En
écrivant cette relation, nous considérons que les
points O et
M sont
sur un plan à courbure nulle. Effectivement, si nous imaginons
deux points sur une surface courbe circulaire (par exemple
la surface d'une
sphère) voyons ce qui se passe:

Figure: 51.1 - Illustration de la limite de validité du modèle
La
distance entre deux points du cercle (in extenso de l'espace sphérique)
est donnée par:
(51.2)
Nous
voyons très bien dans cette relation que si le rayon (de
l'Univers sphérique) change d'un facteur F,
alors la variation de la distance entre les 2 points n'est
pas linéairement proportionnelle à ce facteur!! Ce
qui n'est pas le cas dans un plan à courbure nulle.
Conséquence:
Notre modèle newtonien n'est valable que dans un Univers
plat alors que la relativité générale ou une
approche purement énergétique classique (voir plus
loin) peut prendre en compte différentes
types de courbure !
Nous
voyons tout de suite que la relation:
(51.3)
est
indépendante de l'origine choisie, en effet, si nous l'appliquons
à deux points A, B quelconques,
nous avons:
(51.4)
Soit
par différence:
(51.5)
Remarques:
R1.
Au temps il
est évident que la relation précédente s'écrit:
(51.6)
et
nous impose .
Cette remarque est importante et nous y reviendrons plusieurs fois
pendant les développements qui vont suivre.
R2. La loi s'applique donc à un segment quelconque
dans l'Univers. C'est pourquoi l'Univers ne comporte pas de centre
géométrique et que nous pouvons nous représenter
l'expansion de
la trame de l'Univers: considérons un ballon mi-gonflé sur
la surface duquel nous traçons
deux repères (par exemple: deux croix tracées à l'encre).
En le gonflant davantage nous constaterons que ces deux croix
s'écartent
l'une de l'autre et donc la distance qui les sépare va s'accroître.
C'est ce que nous constatons actuellement avec les galaxies.
Dérivons
par rapport au temps la relation:
(51.7)
Le
premier membre donne alors la vitesse des particules (ou de tout
autre objet) au point :
(51.8)
Soit
en éliminant :
(51.9)
Nous
posons pour simplifier l'écriture:
(51.10)
Nous
avons donc:
(51.11)
Cette
relation est connue sous le nom de "loi
de Hubble" (et qui d'après des recherches historiques
devrait sa paternité plutôt à Georges Lemaître...).
Avant
d'aller plus loin, il convient de s'arrêter sur cette équation pour
l'instant présent :
(51.12)
Cette équation dit que les objets de l'Univers s'éloignent avec
une vitesse proportionnelle à leur éloignement dans tous les points
de l'Univers sans référentiel privilégié (aucune galaxie ne semble
être fixe alors qu'elles le sont dans le référentiel
matériel!).
Remarque: Cette relation permet d'avoir des vitesses supérieures
à celles de la lumière. Mais cela n'est pas une violation
de la relativité relativement à la constance de
la vitesse de la lumière! Effectivement, il ne faut pas
oublier que la loi de Hubble prend en compte l'expansion de la "trame"
de l'espace-temps sur laquelle se meut la lumière. Dès
lors si la trame s'étend selon un facteur d'expansion F
supérieur à l'unité, cela donne l'impression
que la lumière va plus vite que c et c'est ce
qui donne des redshift parfois de 4 ou 5!
La constante étant
bien sûr identifiable à la "constante
de Hubble" telle qu'elle est mesurée actuellement
au début des années 2000 et valant environ: .
En unités S.I., puisqu'un mégaparsec vaut
alors nous avons:
(51.13)
Ainsi,
une estimation actuelle de l'âge (horizon) de l'Univers pourrait être
interprétée
comme l'inverse de la constante de Hubble qui donne le "temps
de Hubble":
(51.14)
soit
environ 13 milliards d'années (nous verrons une meilleure
approche plus loin).
Inversement,
nous pouvons nous amuser à calculer la distance à partir de laquelle
nous pouvons atteindre la vitesse de la lumière
avec la relation:
(51.15)
et une application numérique donne grosso modo 13 milliards
d'années-lumière. Telle est la distance de "l'horizon
cosmologique".
ÉQUATIONS DE FRIEDMANN
Considérons
maintenant un anneau sphérique de matière de
rayon r et de
masse constante m en
expansion à la vitesse v,
et contenant une boule de matière
de masse M (elle aussi en expansion à la vitesse v).
Rappelons que selon le principe cosmologique, M et m n'ont
pas la même densité à
cause de la masse constante de l'Univers.
Nous pouvons appliquer à ce système la
conservation de l'énergie mécanique car il est isolé (c'est
d'ailleurs le seul vrai système isolé...). Nous obtenons alors
l'équation:
(51.16)
où
est
une constante. En divisant par m chaque
membre et en remplaçant M par
son expression en fonction de la densité, nous obtenons:
(51.17)
Remarque: Si
cela peut aider le lecteur à comprendre ce que nous avons
fait avec le terme de l'énergie potentielle, il peut se
référer
au chapitre de Mécanique Classique lorsque nous avons développé
les calculs de l'énergie potentielle d'une sphère
de matière.
Or
la loi de Hubble nous donne selon ce que nous avons vu plus haut:
(51.18)
et:
(51.19)
Nous
obtenons:
(51.20)
que
nous simplifions en:
(51.21)
Or,
sont
des constantes. Nous introduisons une nouvelle constante k définie
par (afin de simplifier les écritures):
(51.22)
Nous obtenons donc l'équation:
(51.23)
qui est n'est autre que la "première équation
de Friedmann" que
nous retrouvons fréquemment dans la littérature
sous la forme suivante (parmi tant d'autres...):
(51.24)
Il est possible d'obtenir la même équation à partir
de l'équation d'Einstein des champs (cf.
chapitre de Relativité Générale) et la métrique de Friedmann-Robertson-Walker (je n'ai
rien écrit sur cette métrique dans le chapitre de Relativité Générale
car elle est à ce jour trop compliquée à comprendre pour moi).
Signalons quand même une forme très
courante de cette dernière relation. Lorsqu'en utilisant
l'équivalence masse
et énergie d'Einstein la densité n'est
plus une densité massique mais une densité d'énergie,
il faudra la diviser par la vitesse de la lumière au carré pour
avoir à nouveau
une densité massique. Il est en est de même si au
dénominateur
de la constante k, la masse m est remplacée
par l'énergie, il faudra alors multiplier k par
la vitesse de la lumière au carré. Nous avons alors
en notant le rayon a (comme
cela est souvent d'usage dans les ouvrages spécialisés)
et en redistribuant les termes, la forme suivante de la première équation
de Friedmann:
(51.25)
Remarque: Einstein rajouta à cette équation
pour des raisons de convictions personnelles et quasi religieuses
une
constante
cosmologique
qui lui permettait de rendre statique
le facteur d'échelle de l'Univers. Nous (les auteurs du
site) rejetons cette constante arbitraire, même si dans la physique
contemporaine, elle est revenue à la mode (sa valeur a été cependant
définie mathématiquement
plutôt que religieusement) car elle permettrait d'expliquer
la provenance de la matière sombre, les lois actuelles de
notre Univers, la période
inflationniste de notre Univers ainsi que sa géométrie.
Ainsi, la première équation
de Friedmann avec cette constante cosmologique, qui est un total
artifice de travail, s'écrit alors:
(51.26)
avec:
(51.27)
C'est
Andreï Sakharov qui a défini la valeur de cette constante
cosmologique qui s'apparenterait soi-disant à l'énergie
quantique du vide (fonction des champs de Higgs).
Deux idées guident les chercheurs de ce début de
21ème
siècle: en physique quantique les équations du champ
associées
aux particules élémentaires servent à définir
la théorie du Big
Bang. La célèbre équation d'équivalence
d'Einstein nous dit que l'énergie crée un champ
gravitationnel comme l'électron en mouvement
provoque un champ électromagnétique. Il découle
de ces deux observations qu'en mesurant le champ gravitationnel
nous avons
un moyen de déterminer
l'énergie du vide. Le champ gravitationnel ne concerne plus
la matière
mais bien la densité d'énergie du vide. Or la constante
cosmologique est directement proportionnelle à la constante
de la gravitation,
G. Sa mesure est un jeu très dangereux car de sa
valeur dépendent plusieurs lois fondamentales de physique
et des propriétés
non négligeables quant à la dynamique de notre
Univers. Le débat
reste donc complètement ouvert et si nous (les auteurs
du site) trouvons une démonstration valable et rigoureuse
de cette constante, nous mettrons à disposition du lecteur
les conséquences de
cette constante sur les modèles que nous allons voir ci-après.
Utilisons maintenant le premier principe de la thermodynamique
(cf. chapitre de Thermodynamique) pour un système par définition
fermé dont la somme de l'énergie cinétique et potentielle est constante
(et donc la somme des variations est nulle pour ces deux énergies).
Nous avons alors la variation d'énergie totale qui n'est donnée
que par la variation d'énergie interne (cas le plus courant en
thermodynamique pour les objets macroscopiques):
(51.28)
et nous avons également vu dans le chapitre de Thermodynamique
l'équation caractéristique du fluide à l'équilibre:
(51.29)
Si le système est adiabatique (aucun transfert chaleur
entre le système et l'extérieur), alors nous avons
selon ce qui a été vu
dans le chapitre de Thermodynamique:
(51.30)
Donc:
(51.31)
Puisque l'Univers est supposé sphérique dans notre
modèle, nous
avons:
(51.32)
et dans le référentiel matériel où les galaxies
(particules du fluide cosmique) sont immobiles:
(51.33)
Soit:
(51.34)
ce qui se simplifie en:
(51.35)
en prenant la dérivée par rapport au temps cosmique t:
(51.36)
d'où:
(51.37)
Reprenons maintenant la première équation de Friedmann, obtenue
plus haut, sous la forme:
(51.38)
et mettons-la sous la forme suivante:
(51.39)
Si nous différencions:
(51.40)
Nous obtenons alors:
(51.41)
Injectons:
(51.42)
dans la relation:
(51.43)
Nous obtenons alors:
(51.44)
Soit:
(51.45)
La relation suivante:
(51.46)
est la "deuxième équation
de Friedmann" qui serait aussi appelée parfois "équation
de Raychaudhuri".
DENSITÉ CRITIQUE
Revenons à notre première équation de Friedmann
sans constante cosmologique. Nous avons donc démontré plus haut
que:
(51.47)
Nous
obtenons alors en injectant cette dernière relation dans la première
équation de Friedmann la relation suivante:
(51.48)
qui
se réarrange avec:
(51.49)
en:
(51.50)
L'exposant
du terme de gauche impose que le terme de droite soit positif ou
nul tel que:
(51.51)
Rappelons
que les conditions
initiales nous imposent qu'au temps nous
ayons:
et
(51.52)
Effectivement:
(51.53)
Il
vient alors:
(51.54)
Ce
terme devrait être accessible à l'observation, hélas est
très mal connu et encore
plus. Autrement dit, compte tenu du signe "-" dans l'expression
de k,
nous ne connaissons aujourd'hui même pas le signe de cette constante.
Cependant, il peut être
important de noter qu'il existe une valeur appelée
"densité critique"
qui annule k et donc aussi (voir plus haut):
(51.55)
ce qui implique que l'énergie totale de l'Univers serait
nulle (selon des considérations
de la cosmologie quantique).
Cette valeur de est
donc trivialement:
(51.56)
Pour
(valeur
actuelle) nous trouvons:
(51.57)
À titre de comparaison, un atome d'hydrogène pèse ,
la densité critique correspondrait donc à six
atomes d'hydrogène
par mètre cube.
Les
physiciens ont défini une constante (variant dans temps)
notée
par la lettre grecque
et
appelée "paramètre de
densité
cosmologique" et
donnée par le rapport des densités massiques (ou des densités
énergétiques puisque le rapport sera la même!):
(51.58)
souvent les astrophysiciens décomposent le paramètre de densité
cosmologique en trois termes:
(51.59)
Il
est intéressant de travailler avec cette constante car dans le cas
où:
-
:
Nous
avons:
(51.60)
ce
qui en remplaçant dans l'équation de Friedmann donne: (un
Univers plat comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).
-
:
En
effectuant le même raisonnement, et toujours en inégalités, nous
avons alors: (un
Univers à courbure positive (fermé) comme nous le verrons dans notre
étude du modèle relativiste).
-
:
En
effectuant le même raisonnement, mais en inégalités,
nous avons alors: (un
Univers à courbure négative (ouvert) comme nous le verrons
dans notre
étude du modèle relativiste).
Ces trois situations peuvent se résumer géométriquement à:

Figure: 51.2 - Illustration des différents types de courbure
Remarques:
R1.
Toutes les mesures qui ont pu être faites jusqu'à présent
n'ont pas permis de mettre en évidence une courbure
de l'Univers. Les mesures du rayonnement fossile par le
ballon BOOMERANG
et le satellite COBE tendent cependant à accréditer
l'hypothèse
d'un univers plat relativement aux simulations numériques:

Figure: 51.3 - Illustration de ce que donnerait l'expérience en fonction du type de
courbure
R2. La notion de topologie de l'Univers et son ouverture sont
en fait normalement deux notions distinctes. Quand nous parlons
d'Univers
fermé ou ouvert nous ne parlons normalement pas de sa topologie
mais de son destin. Ainsi, un Univers ouvert est en expansion
indéfiniment
et un Univers fermé se recontracte sur lui-même
au bout d'un certain temps. Cela dit, dans les modèles
que nous étudions
dans ce chapitre (à constante cosmologique nulle), la courbure
est directement liée à la densité, et donc à son
ouverture.
Revenons à l'équation:
(51.61)
Nous
pouvons écrire:
(51.62)
En
adoptant la notation:
(51.63)
Remarque: Les mesures actuelles donnent:
(51.64)
D'où:
(51.65)
Il
convient maintenant pour nous de considérer trois situations:
(51.66)
qui correspondent donc respectivement en paramètre
de densité cosmolgoique à:
(51.67)
Remarque: Nous ne pouvons poser  car
dans nos hypothèses initiales se trouvait le principe de conservation
de l'énergie.
MODÈLES COSMOLOGIQUES DE FRIEDMANN-LEMAITRE
Les
modèles cosmologiques euclidiens de Friedmann-Lemaître consistent
dans la limite newtonienne
à étudier "l'équation
fondamentale des modèles de Friedmann":
(51.68)
en considérant les trois situations:
(51.69)
Remarque: Il
est possible dans le cadre de la relativité générale
de trouver rigoureusement une solution aux équations d'Einstein
des champs appelée "métrique de Robertson-Walker" qui
dans le cas d'une approximation newtonienne nous redonne les équations
de Friedmann obtenues dans le présent
texte (souvent ce sont ces approximations qui sont utilisées
dans la littérature car la solution exacte est hors de portée
du cadre des cours universitaires traditionnels).
ESPACE PLAT (K=0)
Le modèle d'espace plat (euclidien) consiste à supposer
que .
Autrement dit, nous sommes dans un Univers dont la densité est
dite "densité critique" ou également
simplement "plat" (comme
nous le verrons avec le modèle relativiste).
Nous
avons alors l'équation:
(51.70)
En
disposant les termes de manière adéquate:
(51.71)
et
en intégrant, il vient:
(51.72)
Qui se simplifie en (nous élevons au
carré d'où la suppression du double signe ±):
(51.73)
Nous
avons donc dans ce modèle la relation:
(51.74)
à
laquelle il nous faut rajouter une constante pour avoir la condition
correspondant à aujourd'hui:
(51.75)
qui
reste satisfaite:
(51.76)
Ce
qui nous donne sur un tracé une fonction à l'allure suivante
(ne pas se fier aux valeurs indiquées sur l'axe horizontal
car elles sont arbitraires):

Figure: 51.4 - Évolution du facteur d'échelle pour
un espace à courbure nulle
Nous
avons mis la zone où en
évidence pour bien rappeler que cette partie de la solution
est
à rejeter.
Nous
avons donc un modèle d'Univers dont le facteur d'échelle croit de
façon exponentielle et et ce indéfiniment.
Remarque: Plus  est
grand, plus la croissance du facteur d'échelle est grande
(sous-entendu que la pente est bien évidemment plus grande).
ESPACE PLAT DOMINÉ PAR LA MATIÈRE
Il existe également une autre approche beaucoup plus élégante
et subtile à mon
goût que la démonstration précédente
(je ne l'ai découverte
que de nombreuses années après
avoir rédigé la version précédente).
Elle a en plus l'avantage de mettre en évidence une hypothèse
qui n'est pas apparue avec les développements précédents.
Nous partons
de la première équation de Friedmann:
(51.77)
en posant toujours k comme étant
nul et ensuite nous utilisons l'astuce qui consiste à partir
de la relation démontrée plus haut (utilisée
pour démontrer la deuxième équation de Friedmann):
(51.78)
d'imposer que la pression P du fluide
(quel qu'il soit: gaz ou radiation!) soit nulle. Nous disons alors
que l'Univers est un univers
dominé par la matière et nous en déduisons:
(51.79)
ce qui nous donne:
(51.80) Dans ces conditions, la première équation de Friedmann
devient:
(51.81)
en réarrangeant et en simplifiant, nous avons alors:
(51.82)
ce qui donne:
(51.83)
Au temps ,
nous avons le facteur d'échelle
qui vaut et
donc la constante est nulle. Nous avons alors:
(51.84)
En posant qu'au temps ,
le facteur d'échelle était unitaire, cette dernière
relation se simplifie:
(51.85)
si nous posons que le facteur d'échelle est aujourd'hui
pris comme référence unitaire, il vient alors:
(51.86)
et en y remplaçant les valeurs numériques
actuellement connues pour la constante de Hubble, il vient que
l'Univers est
actuellement âgé d'environ 8.6 milliards d'années
(à comparer aux
13 milliards du temps de Hubble obtenu plus haut!).
ESPACE PLAT DOMINÉ PAR LA RADIATION
Nous avons démontré dans le chapitre
de Thermodynamique lors de notre étude de la loi de Stefan-Boltzmann
que la pression était liée à la densité d'énergie
par la relation suivante:
(51.87)
Pour un univers dominé par la radiation, la relation suivante
démontrée plus haut:
(51.88)
exprimée avec une densité d'énergie et non
une densité de masse devient:
(51.89)
Soit:
(51.90)
et en utilisant la relation liant pression et
densité d'énergie,
il vient:
(51.91)
Après un petit réarrangement, nous
avons:
(51.92)
d'où
nous tirons que:
(51.93)
Dans ces conditions, la première équation
de Friedmann:
(51.94)
devient d'abord en passant en densité d'énergie
et en posant k comme étant nul:
(51.95)
et nous pouvons donc substituer
la densité d'énergie
par le résultat obtenu juste précédemment:
(51.96)
Nous
avons alors:
(51.97)
d'où:
(51.98)
La primitive donne donc:
(51.99)
Au moment du Big Bang en ,
nous avons le facteur d'échelle
qui vaut et
donc la constante est nulle. Nous avons alors:
(51.100)
En posant
qu'au temps , le facteur d'échelle était
unitaire, cette dernière relation se simplifie:
(51.101)
Dès
lors, il vient:
(51.102)
Soit après simplification:
(51.103)
Ainsi, un univers
plat dominé par la radiation a son
facteur d'échelle qui croît légèrement
plus lentement qu'un univers plat dominé par la matière.
Pour comparaison avec Maple 4.00b (en bleu: Univers plat
dominé par la matière, en rouge: Univers plat dominé par la radiation):
>plot([t^(2/3),t^(1/2)],t=0..2*Pi,0..3,color=[blue,red]);
Figure: 51.5 - Évolution du facteur R pour
un espace à courbure 0 dominé par la matière ou par
la
radiation
ESPACE SPHÉRIQUE (K>0)
Dans
ce modèle (appelé aussi parfois "modèle elliptique"), nous considérons .
Donc l'équation à traiter reste:
(51.104)
Ce
qui s'écrit aussi:
(51.105)
Rappelons
que nous avions supposé pour
que
si
nous effectuons le changement de variable ,
nous obtenons l'intégrale suivante:
(51.106)
Nous
recherchons donc une primitive de:
(51.107)
et
nous discuterons du signe ± après
avoir trouvé la primitive.
Nous
effectuons encore un changement de variable en posant donc
ce
qui nous donne la primitive suivante à calculer:
(51.108)
en
refaisant un changement de variable:
(51.109)
d'où
à une constante multiplicative près:
(51.110)
nous
avons:
(51.111)
Dans
le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous
avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation
(nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car
nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions
initiales auxquelles nous
ne
nous intéressions pas nécessairement en mathématiques):
(51.112)
avec:
(51.113)
d'où:
(51.114)
Il
nous faut encore calculer (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(51.115)
Enfin:
(51.116)
en
remettant en place tous les changements de variables et en introduisant
à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où
:
(51.117)
Entre
les deux bornes d'intégration nous
avons donc (la constante d'intégration s'annule et nous reprenons
le ± qui
se trouvait initialement dans l'intégrale):
(51.118)
où rappelons que la théorie nous impose .
Si nous traçons cette fonction pour
une valeur fixe.
Nous avons le tracé suivant dans Maple 4.00b (nous ne considérerons que
le cas avec le signe "-" ci-dessous pour l'instant car
le signe "+" nous donnerait un tracé dans les différentiels
de temps négatifs: ):
Figure: 51.6 - Évolution de facteur d'échelle pour
un espace à courbure positive
Remarque: Le temps est ici toujours représenté sur
l'axe vertical ainsi que pour tous les diagrammes suivants (il
vous faut tourner
un peu
la tête si habituellement vous mettez le temps sur l'axe des abscisses...).
Nous
voyons que plus la constante A est
petite, plus l'Univers arrive rapidement à une valeur finale. De
plus pour une valeur de k fixée,
certaines valeurs de A sont
interdites (c'est à cause de la condition d'intégration).
En
fixant une valeur de A,
nous obtenons la représentation bidimensionnelle suivante:

Figure: 51.7 - Évolution particulière du facteur d'échelle pour
un espace à courbure positive
Si nous effectuons un zoom au niveau ,
nous avons:

Figure: 51.8 - Évolution particulière du facteur d'échelle pour
un espace à courbure positive (zoom)
Nous
voyons que le critère est
parfaitement et naturellement respecté sans introduction d'une
quelconque constante. Il suffit par ailleurs de remplacer F par
1 dans l'équation que nous avons obtenue pour voir que nous trouvons
.
Remarque: Comme nous l'avons déjà précisé, toutes les valeurs de
 inférieures
à 1 sont à rejeter!
Analysons
l'avant-dernier tracé en rappelant que:
(51.119)
Une
condition limite (condition d'intégration) pour que le terme de
droite de l'égalité soit positif est que:
ou
(51.120)
Donc, si est
plus petit que ,
nous ne sommes plus dans un domaine valable (réel) du
modèle.
Il faut donc que:
ou
(51.121)
Cette limite a été représentée par
une ligne verticale bleue sur l'avant-dernier tracé. Nous
y avons
également représenté par une ligne horizontale
verte la limite temporelle temps correspondante
à
.
Au
fait, au-delà de cette limite temporelle, ce que ne sait pas l'ordinateur
qui a tracé notre fonction, c'est qu'il devrait basculer sur la
fonction d'échelle avec le signe "+". Ainsi, lorsque
nous exécutons
le tracé des deux fonctions avec les bornes adéquates:
(51.122)
nous
obtenons alors (le temps est représenté sur l'axe vertical!):
Figure: 51.9 - Évolution particulière du facteur d'échelle pour
un espace à courbure positive
Nous
voyons que alors que pour l'Univers
entre dans une phase de contraction que nous appelons communément
"Big Crunch". Après
cette phase de rétraction, il est
possible soit que l'Univers disparaisse totalement, soit qu'il
entre
à nouveau dans une phase dynamique cyclique (mathématiquement
les deux issues sont possibles).
ESPACE SPHÉRIQUE DOMINÉ PAR LA MATIÈRE
Au même titre que pour le modèle à espace
plat, il existe également
une autre approche beaucoup plus élégante
et subtile à mon goût que la démonstration
précédente (je ne l'ai découverte aussi que
de nombreuses années après avoir écrit le
texte précédent).
Elle aussi l'avantage de mettre en évidence une
hypothèse
qui n'est pas apparue avec les développements précédents
et permet de tracer plus simplement dans Maple 4.00b le comportement du
facteur d'échelle de l'Univers. On retrouve ainsi exactement
le fameux graphique représentant l'évolution du facteur
d'échelle
de l'Univers disponible dans la quasi-totalité des
ouvrages de vulgarisation sur le sujet.
Nous partons toujours de la première équation de Friedmann:
(51.123)
Il est d'usage pour ce modèle de poser (quitte à prendre
tout nombre positif au moins en prendre un qui est sympathique...)
et nous avons montré que lorsque la matière domine, nous avions:
(51.124)
Dès lors:
(51.125)
et il vient immédiatement:
(51.126)
Soit:
(51.127)
Si nous passons en temps comobile (déjà vulgarisé tout au début
de ce chapitre) défini mathématiquement par:
(51.128)
Nous avons alors:
(51.129)
Notons cela sous la forme:
(51.130)
où A est donc strictement positif. Faisons-y la substitution:
(51.131)
nous avons alors:
(51.132)
et nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral que la primitive est:
(51.133)
Donc:
(51.134)
Pour qu'au temps nous
ayons ,
il faut que la constante soit telle que:
(51.135)
Dès lors:
(51.136)
D'où:
(51.137)
Maintenant, rappelons que:
(51.138)
Dès lors:
(51.139)
Soit:
(51.140)
et comme nous devons avoir au temps le
temps comobile qui est aussi nul, la constante est donc nulle.
Dès lors nous avons au final le système paramétrique suivant:
(51.141)
avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers
plat dominé par
la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la
radiation (en rouge) et enfin l'Univers à courbure positive
dominé par la matière
(vert) et en mettant des coefficients artificiels pour mieux distinguer
les tracés:
>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi]],
t=0...Pi,0..3,color=[blue,red,green]);

Figure: 51.10 - Évolution du facteur R pour les configurations d'espace
obtenues étudiées jusqu'à présent
Nous comprenons alors mieux pourquoi le modèle d'Univers à courbure
positive est aussi considéré comme un modèle d'Univers fermé. ESPACE SPHÉRIQUE DOMINÉ PAR LA RADIATION
Considérons maintenant un univers dominé par la radiation. Nous
avons démontré que dans cette situation nous avions:
(51.142)
et:
(51.143)
Dans ce cas l'équation de Friedmann en termes de densité d'énergie
s'écrit en posant :
(51.144)
Ce qui devient:
(51.145)
En injectant ,
il vient:
(51.146)
Soit:
(51.147)
Notons cela sous la forme:
(51.148)
Si nous passons aussi en temps comobile:
(51.149)
Nous avons alors:
(51.150)
Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons
démontré comment déterminer exactement la même primitive (car il
s'agit d'une primitive usuelle). Nous avons:
(51.151)
Pour qu'au temps nous
ayons ,
il faut que la constante soit telle que:
(51.152)
D'où:
(51.153)
Maintenant, rappelons que:
(51.154)
Dès lors:
(51.155)
Soit:
(51.156)
et comme nous devons avoir au temps le
temps comobile qui est aussi nul, la constante vaut donc .
Dès lors nous avons au final le système paramétrique suivant:
(51.157)
avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers plat dominé par
la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la radiation (en
rouge), l'Univers à courbure positive dominé par la matière (vert),
l'Univers à courbure positive dominé par la radiation (noir):
>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi],
[0.5*(1-cos(t)),0.5*sin(t),t=0..2*Pi]],t=0...Pi,0..3,color=[blue,red,green,black]);

Figure: 51.11 - Évolution du facteur R pour
un espace à courbure 0/+ dominé par la matière
ou
par
la
radiation
Nous avons donc meilleur intérêt à être dans un Univers sphérique
dominé par la matière (ou un mélange matière-radiation)...
ESPACE HYPERBOLIQUE (K<0)
Dans
ce modèle, nous considérons .
Donc l'équation à traiter peut s'écrire:
(51.158)
Ce
qui s'écrit aussi:
(51.159)
Rappelons
que nous avions supposé pour
que
. Si
nous effectuons le changement de variable ,
nous obtenons l'intégrale suivante:
(51.160)
Nous
recherchons donc une primitive de:
(51.161)
et
nous discuterons du signe ± après
avoir trouvé la primitive.
Nous
effectuons encore un changement de variable en posant donc
ce
qui nous donne la primitive suivante à calculer:
(51.162)
en
refaisant un changement de variable:
(51.163)
d'où
à une constante multiplicative près:
(51.164)
nous
avons:
(51.165)
Dans
le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous
avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation
(nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car
nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions
initiales auxquelles nous
ne
nous intéressions pas nécessairement en mathématiques):
(51.166)
avec:
(51.167)
d'où:
(51.168)
Il
nous faut encore calculer :
(51.169)
Enfin:
(51.170)
en
remettant en place tous les changements de variables et en introduisant
à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où
:
(51.171)
Entre
les deux bornes d'intégration nous
avons donc (la constante d'intégration s'annule):
(51.172)
Nous
devons évidemment avoir (nous reprenons le ± qui
se trouvait initialement dans l'intégrale):
(51.173)
Si nous traçons cette fonction pour
une valeur fixe.
Nous avons le tracé suivant dans Maple 4.00b (nous
ne considérerons que
le cas avec le signe "-" car celui avec le signe "+"
n'a pas de sens physique même translaté):

Figure: 51.12 - Évolution du facteur d'échelle pour
un espace à courbure négative
Nous
voyons que plus la constante A est
petite, plus l'Univers croit indéfiniment rapidement.
De plus pour une valeur de k fixée,
certaines valeurs de A sont
interdites (il s'agit au toujours fait de la condition d'intégration).
Nous
voyons à nouveau que le critère est
naturellement parfaitement respecté. Toutes les valeurs de F(t) inférieures
à 1 sont à rejeter !
Nous
avons donc dans ce modèle hyperbolique un Univers qui croit indéfiniment
de façon exponentielle (comme le modèle plat de Friedmann-Lemaître)
car étant donné que ,
il n'y a plus de condition limite d'intégration (contrairement
au modèle elliptique précédent).
ESPACE HYPERBOLIQUE DOMINÉ PAR LA MATIÈRE
Au même titre que pour les modèles à espace
plat et sphérique, il existe également une autre
approche beaucoup plus élégante
et subtile à mon goût que la démonstration
précédente (je ne l'ai découverte aussi que
de nombreuses années après avoir écrit la
version précédente). Elle aussi l'avantage de mettre
en évidence une hypothèse qui n'est pas apparue avec
les développements précédents et permet de
tracer plus simplement dans Maple 4.00b le comportement du
facteur d'échelle
de l'Univers. On retrouve ainsi exactement le fameux graphique
représentant l'évolution du facteur d'échelle
de l'Univers disponible dans la quasi-totalité des ouvrages
de vulgarisation sur le sujet.
Nous partons toujours de la première équation de Friedmann:
(51.174)
Il est d'usage pour ce modèle de poser (quitte à prendre
tout nombre positif au moins en prendre un qui est sympathique...)
et nous avons montré que lorsque la radiation domine, nous avions:
(51.175)
Dans ce cas l'équation de Friedmann en termes de densité d'énergie
s'écrit en posant :
(51.176)
La première équation de Friedmann devient alors:
(51.177)
Nous avons alors:
(51.178)
d'où:
(51.179)
Il s'agit exactement de la même intégrale que celle de
l'univers sphérique
dominé par la matière à la différence
que sous la racine, nous avons +1 au lieu de -1. Nous allons donc
procéder de la même manière
en utilisant le temps comobile:
(51.180)
Il vient alors:
(51.181)
Notons cela sous la forme:
(51.182)
où A est donc strictement positif. Faisons-y la substitution:
(51.183)
nous avons alors:
(51.184)
En utilisant la primitive usuelle démontrée dans le chapitre
de Calcul Différentiel Et Intégral il vient:
(51.185)
Soit en refaisant le changement de variables:
(51.186)
Donc:
(51.187)
Pour qu'au temps nous
ayons ,
il faut que la constante soit telle que:
(51.188)
Ce qui nous amène à ce que la constante soit nulle et donc:
(51.189)
Dès lors:
(51.190)
D'où:
(51.191)
et comme:
(51.192)
Nous avons:
(51.193)
Ce qui donne:
(51.194)
Comme au temps ,
nous devons avoir ,
il vient que la constante doit être nulle. Donc pour finir, nous
avons:
(51.195)
avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers plat dominé par
la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la radiation (en
rouge), l'Univers à courbure positive dominé par la matière (vert),
l'Univers à courbure positive dominé par la radiation (noir), l'Univers à courbure
négative dominé par la matière (gris):
>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi],
[0.5*(1-cos(t)),0.5*sin(t),t=0..2*Pi],[0.5*(sinh(t)-t),
0.5*(cosh(t)-1),t=0..2*Pi]],t=0...Pi,0..3,color=[blue,red,green,black,gray]);

Figure: 51.13 - Évolution du facteur R pour les configurations d'espace
obtenues étudiées jusqu'à présent
Nous pouvons donc observer que pour une courbure négative (du
type hyperbolique), l'expansion croît nettement plus vite que pour
un univers plat et ce sans fin.
ESPACE HYPERBOLIQUE DOMINÉ PAR LA RADIATION
Considérons maintenant un univers dominé par la radiation. Nous
avons démontré que dans cette situation nous avions:
(51.196)
et:
(51.197)
La première équation de Friedmann devient alors:
(51.198)
Nous avons alors:
(51.199)
d'où:
(51.200)
Il s'agit exactement de la même intégrale que l'univers sphérique
dominé par la matière à la différence que sous la racine, nous
avons +1 au lieu de -1. Nous allons donc procéder de la même manière
en utilisant le temps comobile:
(51.201)
Il vient alors:
(51.202)
Notons cela sous la forme:
(51.203)
où A est donc strictement positif. Dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral nous avons démontré comment déterminer
exactement la même primitive (car il s'agit d'une primitive usuelle).
Nous avons:
(51.204)
Pour qu'au temps nous
ayons ,
il faut que la constante soit nulle. Donc:
(51.205)
D'où:
(51.206)
et comme:
(51.207)
Nous avons:
(51.208)
Ce qui donne:
(51.209)
Comme au temps ,
nous devons avoir ,
il vient que la constante doit être égale à .
Donc pour finir, nous avons:
(51.210)
avec Maple 4.00b nous avons alors en comparant l'Univers plat dominé par
la matière (en bleu), l'Univers plat dominé par la radiation (en
rouge), l'Univers à courbure positive dominé par la matière (vert),
l'Univers à courbure positive dominé par la radiation (noir), l'Univers à courbure
négative dominé par la matière (gris), l'Univers à courbure négative
dominé par la radiation (brun):
>plot([t^(2/3),t^(1/2),[0.5*(t-sin(t)),0.5*(1-cos(t)),t=0..2*Pi],
[0.5*(1-cos(t)),0.5*sin(t),t=0..2*Pi],[0.5*(sinh(t)-t),0.5*(cosh(t)-1),t=0..2*Pi],
[0.5*(cosh(t)-1),0.5*(sinh(t)),t=0..2*Pi]],t=0...Pi,0..3
,color=[blue,red,green,black,grey,brown]);
Figure: 51.14 - Évolution du facteur R pour
un espace à courbure 0/+/- dominé par la
matière
ou
par
la
radiation
Nous pouvons donc observer que pour une courbure négative (du
type hyperbolique), l'expansion d'un Univers dominé par la radiation
croit moins rapidement qu'un Univers dominé par la matière (c'est
un peu intuitif...).
Soit pour résumer un peu mieux tout cela avec des légendes ce
dernier graphique devient (faut quand même s'appliquer car l'Univers
nous concerne tous...):
Figure: 51.15 - Résumé des modèles Newtonien d'Univers
UNIVERS OBSERVABLE
Nous
avons déterminé plus haut une estimation actuelle
de l'âge (horizon) de l'Univers comme pouvant être interprétée
comme l'inverse de la constante de Hubble ce qui nous a donné:
(51.211)
soit
environ 13 milliards d'années.
Remarques:
R1. Nous noterons que les articles populaires et professionnels
de recherche en cosmologie emploient souvent le terme "Univers"
dans le sens de "Univers observable".
R2. Il faudrait au fait être plus rigoureux lorsque nous
parlons d'âge de l'Univers. Au fait, nous devrions plutôt
dire que l'horizon de l'Univers, pour un observateur comobile
depuis les époques les plus reculées, est de 13
milliards d'années. En clair, c'est le temps que mesurerait
quelqu'un qui serait resté observateur inertiel (en chute
libre: ne subissant aucune autre force que la gravitation)
tout au long de
l'évolution de l'Univers et dans un référentiel
tel qu'il aurait toujours perçu cet Univers comme homogène
et isotrope.
À ce jour, nous ne savons
pas si l'Univers est fini ou infini, bien que la majorité des
théoriciens
favorisent actuellement un Univers infini.
L'Univers observable se
compose ainsi de tous les endroits qui pourraient nous avoir
affectés depuis
le Big Bang (attention! malgré son nom, cette théorie
du Big Bang n'a rien à dire sur le début! Elle se
contente de décrire l'évolution
et l'expansion de l'Univers), en tenant compte que la vitesse
de la lumière
est certainement finie. L'horizon cosmique se trouve quant à lui à une
distance de 14 à 15 milliards d'années-lumière selon
les observations expérimentales
de la fin du 20ème siècle.
La taille actuelle (la "distance
comobile")
de l'Univers observable est plus grande, puisque l'Univers a continué
de s'étendre pendant le temps que la lumière met à nous
parvenir, nous estimons qu'elle est d'environ ~40 milliards d'années-lumière.
Ce chiffre peut être obtenu en prenant un objet visible
qui est
à 13 milliards d'années de notre Terre. Celui-ci
aura donc mis 13 milliards d'années pour s'éloigner
de nous, sa lumière
aura mis 13 milliards d'années pour arriver jusqu'à nous
et pendant ce temps de parcours de la lumière, il se sera éloigné de
13 milliards d'années (puisque les objets à l'horizon
cosmologique vont à la
vitesse de la lumière). Soit un total de ~39 milliard d'années.
Celui-ci contiendrait d'après des estimations toutes heuristiques
environ étoiles,
répandues dans environ galaxies,
elles-mêmes organisées en amas et superamas de galaxies
(le nombre de galaxies pourrait être encore plus grand, selon
le
"champ profond de Hubble" observé avec
le télescope spatial
Hubble.)
Cependant il est difficile de s'imaginer
ce que cela représente. À ce titre, nous avons trouvé
sur Internet une magnifique série d'illustrations (http://atunivers.free.fr)
que nous vous proposons:
1. L'Univers jusqu'à
13 milliards d'années-lumière (l'Univers visible):

Figure: 51.16 - Illustration simplifiée de l'Univers observable (source: http://atunivers.free.fr)
Cette carte essaie de montrer
l'ensemble de l'Univers visible. Les galaxies dans l'Univers
ont tendance à
se rassembler en vastes feuilles et "superamas" de
galaxies, entourant de grands vides, ce qui confère à l'univers
une apparence cellulaire. Parce que la lumière dans l'univers
ne voyage qu'à une vitesse finie, nous voyons les objets
sur le bord de l'Univers quand celui-ci était très
jeune, il y a 13 milliards d'années.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre de superamas de l'univers
visible = 10 millions
- Nombre de groupes de galaxies de l'univers visible = 25 milliards
- Nombre de grandes galaxies de l'univers visible = 350 milliards
- Nombre de galaxies naines de l'univers visible = 7 trillions
- Nombre d'étoiles de l'univers visible = 30 milliards
de trillions
2. L'Univers
jusqu'à
1 milliard d'années-lumière (les superamas voisins):

Figure: 51.17 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 1 milliard
d'a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
Quelques chiffres (estimations):
Les Galaxies et les amas de galaxies
ne sont pas distribués régulièrement dans
l'Univers. Au lieu de cela, ils sont rassemblés en de larges
amas, feuillets et murs de galaxies séparés par
de larges vides dans lesquels peu de galaxies semblent se trouver.
La carte ci-dessus
montre un certain nombre de ces superamas, y compris celui de la
Vierge - un superamas plutôt petit dont notre galaxie fait
partie.
La carte entière représente à peu près
7% du diamètre de l'Univers visible. Les galaxies sont
trop petites pour apparaître individuellement sur cette carte,
chaque
point y représente un groupe de galaxies.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre de superamas jusqu'à
1 milliard d'années-lumière = 100
- Nombre de groupes galactiques jusqu'à 1 milliard d'années-lumière
= 240'000
- Nombre de grandes galaxies jusqu'à 1 milliard d'années-lumière
= 3 millions
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 1 milliard d'années-lumière
= 60 millions
- Nombre d'étoiles jusqu'à 1 milliard d'années-lumière
= 250 trillions
3. L'Univers jusqu'à 100
millions d'années-lumière (le superamas
de la Vierge):

Figure: 51.18 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 100 millions
d'a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
Notre galaxie n'est qu'une parmi des
milliers d'autres qui se trouvent à moins de 100 millions
d'années-lumière. La carte ci-dessus montre comment
les galaxies tendent à s'amasser par groupes, le plus
important des amas proches étant l'amas de la Vierge
(Virgo), une concentration de plusieurs centaines de galaxies
qui domine les groupes de galaxies
environnants. Collectivement, l'ensemble de ces groupes est connu
sous le nom de Superamas de la Vierge. Le second amas le plus
riche
de ce volume est l'amas du Fourneau (Fornax), mais il est bien
moins riche que celui de la Vierge. Seules les galaxies brillantes
sont
dessinées ici, notre galaxie est le point tout au centre.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre de groupes de galaxies jusqu'à
100 millions d'années-lumière = 200
- Nombre de grandes galaxies jusqu'à 100 millions d'années-lumière
= 2'500
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 100 millions d'années-lumière
= 50'000
- Nombre d'étoiles jusqu'à 100 millions d'années-lumière
= 200 trillions
4. L'Univers à moins
de 5 millions d'années-lumière (le groupe local
de galaxies):

Figure: 51.19 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 5 millions
d'a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
La Voie Lactée est
une des trois grandes galaxies du groupe appelé "Groupe
Local" qui contient aussi plusieurs dizaines de galaxies naines.
La plupart de ces galaxies
sont portées sur cette carte, mais il faut noter que beaucoup
de ces galaxies naines sont très peu brillantes, et qu'il
y en a donc certainement d'autres à découvrir.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre de grandes galaxies à
moins de 5 millions d'années-lumière = 3
- Nombre de galaxies naines à moins de 5 millions d'années-lumière
= 42
- Nombre d'étoiles à moins de 5 millions d'années-lumière
= 700 milliards
5. L'Univers jusqu'à 500'000
années-lumière (les galaxies satellites):

Figure: 51.20 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 500'000
a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
La Voie Lactée est entourée
par plusieurs galaxies naines, qui contiennent chacune quelques
dizaines de millions d'étoiles, ce qui est insignifiant comparé
à la population de la Voie Lactée elle-même.
La carte ci-dessus montre l'ensemble des galaxies naines les plus
proches, elles sont liées gravitationnellement à la
Voie Lactée, et gravitent autour d'elle en quelques milliards
d'années.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre de grandes galaxies jusqu'à
500'000 années-lumière = 1
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 500'000 années-lumière
= 12
- Nombre d'étoiles jusqu'à 500'000 années-lumière
= 225 milliards
6. L'Univers jusqu'à
50'000 années-lumière (la Voie Lactée):

Figure: 51.21 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 50'000
a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
Cette carte montre la Voie Lactée
dans son ensemble - une galaxie spirale d'au moins deux cents milliards
d'étoiles. Notre Soleil est profondément enfoui
dans le Bras d'Orion à environ 26'000 années lumière
du centre. Vers le centre de la Galaxie, les étoiles sont
beaucoup plus proches les unes des autres qu'à la périphérie
où nous vivons. Notez également la présence
de petits amas globulaires bien en dehors du plan galactique,
et
la présence d'une galaxie naine voisine - dite du Sagittaire
- qui est en train d'être lentement avalée par notre
propre Galaxie.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre d'étoiles jusqu'à
50'000 années-lumière = 200 milliards
7. L'Univers
jusqu'à
5'000 années-lumière (le Bras d'Orion):

Figure: 51.22 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 5'000
a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
Ceci est une carte de notre coin de
la Voie Lactée. Le Soleil est situé dans le Bras
d'Orion - un bras assez petit comparé au Bras du Sagittaire,
qui se situe plus près du centre galactique. La carte montre
plusieurs étoiles visibles à l'oeil nu, situées
loin dans le bras d'Orion. Le groupe d'étoiles le plus
marquant est composé des étoiles principales de
la constellation d'Orion - de laquelle le bras spiral tire son
nom. Toutes ces étoiles
sont des géantes et supergéantes lumineuses, des
milliers de fois plus lumineuses que le Soleil. L'étoile
la plus brillante de la carte est Rho Cassiopeia - à 4'000
années-lumière
de nous, c'est juste une étoile à peine visible à
l'oeil nu, mais en réalité c'est une supergéante
100'000 fois plus lumineuse que le Soleil.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre d'étoiles jusqu'à
5'000 années-lumière = 600 millions
8. L'Univers jusqu'à 250 années-lumière (le
voisinage du Soleil):

Figure: 51.23 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 250 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
Cette carte indique les 1'500 étoiles
les plus lumineuses situées à moins de 250 années-lumière.
Toutes ces étoiles sont bien plus lumineuses
que le Soleil, et la plupart sont visibles à l'oeil nu.
Environ un tiers des étoiles visibles à l'oeil
nu sont situées
à moins de 250 années-lumière, même
si cette zone ne représente qu'une toute petite partie
de notre galaxie.
Quelques chiffres (estimations):
- Nombre d'étoiles jusqu'à
250 années-lumière = 260'000
9. L'Univers jusqu'à
12.5 années-lumière (les étoiles les plus
proches):

Figure: 51.24 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de 12.5 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
Cette carte montre certaines étoiles
jusqu'à une distance de 12.5 années-lumière
de notre Soleil (il y en aurait 33 d'identifiées à ce
jour). La plupart de ces étoiles
sont des naines rouges - des étoiles avec une masse du
dixième
de celle du Soleil et une luminosité cent fois moins grande.
Environ 80% des étoiles de l'Univers
sont des naines rouges, et l'étoile la plus proche
- Proxima du Centaure- en est un exemple typique.
Cette carte montre toutes les étoiles
connues situées à moins de 20 années-lumière.
On y trouve un total de 77 systèmes contenant 110 étoiles.

Figure: 51.25 - Illustration simplifiée de l'Univers à une échelle
de moins de 20 a.-l. (source: http://atunivers.free.fr)
Les distances entre les étoiles
sont énormes. La distance du Soleil à Proxima Centauri
est de 4.22 années-lumière, soit quarante trillions
de kilomètres. Marcher sur cette distance prendrait un
milliard d'années. Même les sondes spatiales les
plus rapides mettraient soixante mille ans pour faire le voyage.
Il y a actuellement
quatre sondes qui quittent le système solaire - Pioneer
10 et 11, et Voyager 1 et 2 mais nous perdrons vraisemblablement
le
contact avec elles d'ici une vingtaine d'années. Le schéma
ci-dessous essaie de montrer ces distances en élargissant
le champ depuis le système solaire intérieur jusqu'à
Alpha du Centaure.

Figure: 51.26 - Zoom de bas en haut pour illustrer les échelles (source: http://atunivers.free.fr)
RAYONNEMENT
FOSSILE
L'existence et les propriétés
du rayonnement cosmique découvert par Penzias et Wilson s'expliquent
essentiellement par les deux phénomènes physiques
que nous allons maintenant décrire dans leurs grandes lignes.
L'expansion de l'Univers
a pour conséquence
son refroidissement graduel. À partir des valeurs fantastiquement
élevées qui ont dû régner aussitôt
après le Big Bang qui a engendré l'Univers, sa température
a progressivement décru. Lorsqu'elle atteint environ
3'000 [K]
se produit le premier des deux phénomènes cruciaux
qui nous intéressent ici: le rayonnement, qui jusque-là
était en équilibre thermique avec les particules
matérielles,
cesse pratiquement d'interagir avec elles et en devient indépendant.
Dans le "modèle standard" d'évolution
de l'Univers, nous calculons que ce moment crucial se situe
ans après le Big Bang.
Nous pouvons comprendre qualitativement
les raisons physiques de ce phénomène. Un peu
avant, lorsque par exemple la température était
de 100'000 [K], l'Univers contenait essentiellement
des photons, des électrons
et des noyaux atomiques nus (principalement des protons, et, dans
une moindre proportion, des particules ,
noyaux d'hélium 4). La température était
trop
élevée pour que les électrons et les noyaux
puissent former des atomes, autrement que de manière transitoire
et labile. L'interaction entre les photons et les particules
chargées
(surtout les électrons, les plus légères d'entre
elles) est suffisamment intense, et la densité de ces dernières
était alors suffisamment forte, pour que les photons soient
sans arrêt diffusés, émis et absorbés.
Malgré son expansion, l'Univers était
alors à chaque instant en équilibre; sa température
T était constamment bien définie,
bien que décroissante
au cours du temps, l'énergie des photons, c'est-à-dire
la pulsation du rayonnement, était donc distribuée
suivant la loi de Planck correspondant à cette température
T.
La diminution de la température
a ensuite permis la formation d'atomes à partir des électrons
et des noyaux. Ce processus a entraîné une chute
rapide de la section efficace moyenne d'interaction entre
les photons et
les particules matérielles (principalement à cause
de la disparition des électrons libres), de sorte que l'Univers
est devenu transparent aux photons. Une évaluation quantitative
des caractéristiques du phénomène situe
ce découplage au moment où la température
est descendue à 3'000 [K].
Au moment du découplage,
la densité
volumique d'énergie du rayonnement est distribuée
dans le spectre des pulsations selon la loi de Planck (cf.
chapitre de Thermodynamique):
(51.212)
où nous admettrons
que T est la température (3'000 [K]
environ - température d'ionisation des atomes les plus
simples)
à ce moment-là. Cette distribution va ensuite évoluer
sous l'influence de l'expansion de l'Univers.
Considérons les photons situés,
à cet instant t dans le volume ,
et dont la pulsation est
à
près. Leur nombre est donc égal à:
(51.213)
Comme il n'y a plus d'absorption
ni d'émission de photons à cette température
(c'est une hypothèse mais comme les mesures expérimentales
semblent confirmer ce modèle à défaut de
mieux...),
ce nombre va rester constant. Mais à cause de l'expansion
de l'Univers, ces photons en nombre constant vont occuper un volume
plus grand, et acquérir une longueur d'onde plus grande
(selon l'expansion de la structure même de l'espace due à la
valeur positive de la constante de Hubble) c'est-à-dire
une pulsation plut petite (l'équivalent de l'effet Doppler).
Pour préciser, examinons la situation à un instant
t' ultérieur. Toutes les longueurs
de l'Univers ont été
multipliées entre, entre t et t',
par le même facteur d'échelle F selon
la loi de Hubble: l'arête
r du volume cubique choisi est ainsi devenue:
(51.214)
et la longueur d'onde des photons considérés:
(51.215)
de sorte que leur pulsation vaut à
l'instant t':
(51.216)
Donc, l'énergie contenue à
cet instant dans le volume
et dans la bande de pulsations ,
que nous écrirons
est donnée par:
(51.217)
La densité volumique d'énergie
à l'instant t',
pour la bande de pulsation ,
s'écrit donc:
(51.218)
Il s'ensuit que la distribution
spectrale de l'énergie est encore à l'instant
t' celle du corps noir:
(51.219)
où la température
correspondante T '
est telle que:
(51.220)
Ainsi, après son découplage
d'avec la matière, le rayonnement cosmique évolue
en conservant la distribution d'un corps noir dont la température
décroît régulièrement, dans la
même
proportion que s'accroissent les distances au cours de l'expansion
de l'Univers (depuis le moment du découplage, le facteur
F d'échelle est très
voisin de 1'000 puisque pour passer de 3'000 [K]
aux 2.7 [K]
actuels il y a un facteur 1000...). Cette valeur de 100'0 nous
permet
à partir du modèle de Friedmann-Lemaître que
nous avons démontré en partie ci-dessus de facilement
calculer à quel moment de l'âge (horizon) de l'Univers
ce découplage
a eu lieu. C'est ainsi que nous trouvons une valeur d'à peu
près
années.
C'est en se fondant sur ce raisonnement que divers auteurs furent
amenés à prédire l'existence dans l'Univers
actuel, d'un rayonnement fossile de quelques kelvins. La découverte
de Penzias et Wilson, confirme parfaitement le plus solide argument
en faveur du modèle (cosmologique) standard, qui reconstitue
l'histoire de l'Univers à partir de la "grande explosion"
initiale.
L'UNIVERS TROU NOIR
Une hypothèse assez récente dans l'histoire de la cosmologie
(quelques décennies) et qui est au coeur de nombreuses recherches
théoriques
(Hawking, Penrose et autres) est la possibilité d'assimiler notre
Univers à un Trou Noir (cf. chapitre de
Relativité Générale).
L'origine de l'idée peut se faire à partir d'un calcul très simple:
Nous savons que le rayon de l'Univers (actuel) est donné selon
nos calculs précédents par:
(51.221)
Or, nous avons démontré dans le chapitre de Relativité Générale
(et de Mécanique Classique) que le rayon de Schwarzschild est
donné
par:
(51.222)
Ce que nous pouvons écrire pour l'Univers sous la forme suivante:
(51.223)
ce qui avec les valeurs de la densité critique et du rayon de
l'horizon cosmologique calculé plus haut donne:
(51.224)
Donc grosso modo, connaissant toutes les incertitudes que nous
avons accumulées en particulier celle sur la constante
de Hubble nous voyons que le rayon de Schwarzschild n'est pas
très loin du
rayon de l'Univers actuel.
Aussi curieux que cela puisse sembler, cette question n'est pas
si farfelue et est très sérieusement étudiée. Il est donc théoriquement
possible que tout notre univers soit encapsulé dans un gigantesque
Trou Noir (donc de très grande masse et très faible densité comme
nous le voyons avec nos valeurs numériques) d'un autre univers inaccessible...
Ce qui est sûr est que si tel était le cas, l'expansion
de l'Univers (observée actuellement), ne pourrait pas se
poursuivre au-delà de
l'horizon de ce super Trou Noir, car rien venant de l'intérieur
ne peut franchir cet horizon. Or, des observations récentes
semblent montrer que l'expansion de l'Univers est loin de ralentir
et tend
plutôt à s'accélérer avec le temps,
ce qui est en contradiction avec un tel Trou Noir Univers...

- Cosmologie, E.
Elbaz, Éditions
Ellipses, ISBN10: 2729892117 (268
pages) - Imprimé en
1998
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