
ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE | COSMOLOGIE | THÉORIE
DES CORDES
Dernière mise à jour
de ce chapitre:
2017-12-31 17:56:15 | {oUUID 1.726}
Version: 3.0 Révision 9 | Avancement: ~90%
vues
depuis le 2012-01-01: 15'002
LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
L'astrophysique
est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne
principalement la physique et l'étude
des propriétés des objets de l'Univers (étoiles,
planètes, galaxies, milieu interstellaire par exemple),
comme leur luminosité, leur densité, leur température
et leur composition chimique. Les premières démarches
scientifiques dans ce domaine dateraient du tout début
du 19ème siècle.
Remarque: Actuellement, les astronomes ont une formation
en astrophysique et leurs observations sont généralement étudiées
dans un contexte astrophysique, de sorte qu'il y a moins de distinction
entre ces deux disciplines qu'auparavant.
ÉTOILES
Avant d'aborder le formalisme mathématique
relatif à la dynamique des étoiles, nous avons souhaité
suite à une demande des lecteurs, écrire une introduction
vulgarisée afin de compléter la culture générale
relative à ce domaine.
Les étoiles sont
donc des corps célestes gazeux dont la masse va de 0.05
masse solaire à 100 masses solaires. La luminosité d'une étoile
(sa puissance) va de 10-6
à 106 fois celle du Soleil. Grossièrement,
lorsque la masse double, la luminosité décuple.
La plupart des étoiles visibles à l'oeil nu dans
notre ciel sont des géantes bleues de 104 à 105 fois plus lumineuses que le Soleil ; elles ne représentent
cependant que 10% des étoiles qui peuplent notre galaxie,
les 90% restantes étant moins lumineuses que le Soleil.
Les astronomes (de Harvard entre 1918 à 1928) ont mis en place
une méthode
de classification des étoiles basée sur la position
dans leur spectre, des raies spectrales d'absorption (spectroscopie).
Autrefois
classées de A à Q, l'évolution de la spectrométrie
a permis leur regroupement et leur réorganisation. Les
classes sont aujourd'hui définies par les lettres OBAFGKM,
et chacune est divisée en 10 sous-classes, notées
de 0 à
9. La classification spectrale (tirée d'un spectre continu
qui se résume seulement à certaines raies du spectre
après le passage de la lumière dans un milieu donné)
peut
être croisée avec les classes de luminosité
de sorte que nous puissions en inférer la température à la surface de l'étoile
(nous démontrerons comment obtenir mathématiquement
cette information):

Figure: 48.1 - Méthode de classification de "Miss Cannon" des étoiles
Les étoiles O ont été découvertes à la
fin du 19ème siècle. Elles sont très chaudes
et leurs spectres les rapprochent des nébuleuses.
Les B sont des étoiles à hélium, les A à hydrogène.
L'élément prépondérant
des F est le calcium. Les G sont du même type que le Soleil
et les K en diffèrent assez peu. Les M sont caractérisées
par l'oxyde de titane et les S par l'oxyde de zirconium, tandis
que R et N contiennent
des hydrocarbures et du cyanogène.
La grande courbe au centre
indique l'évolution d'une étoile de même masse
que le Soleil. Après un passage sur la séquence
principale, elle devient une géante rouge, éventuellement
une nébuleuse planétaire (éjection du combustible
de l'étoile à de grandes distances), avant de
terminer sa vie sous la forme d'une naine blanche. Par comparaison
nous avons
indiqué l'évolution d'étoiles 10 ou 30 fois
plus massives que le Soleil: elles quittent la séquence
principale pour devenir des supergéantes puis elles finissent
en supernovae qui ne peuvent être représentées
sur ce diagramme!

Figure: 48.2 - Proportion de quelques familles d'astres existant dans l'Univers
Une étoile est dans un premier
temps en équilibre hydrostatique. Les forces gravitationnelles
dues à sa masse sont compensées par les forces de
pression interne dues à la température élevée
entretenue par des réactions thermonucléaires à
basse densité et à la pression de dégénérescence
des électrons à densité élevée.
Une étoile passe 90% de sa vie à fusionner de l'hydrogène
en hélium qui s'accumule en son centre. Durant
cette phase, elle évolue dans ce que nous appelons "la
séquence
principale" du diagramme de Hertzsprung-Russel représenté
ci-dessous. Ce diagramme met en relation la température
de surface (abscisse logarithmique présentée en
ordre opposé) et la luminosité (ordonnée
logarithmique) pour des populations d'étoiles. La séquence
principale apparaît comme une diagonale. La température
de surface et la luminosité étant directement fonction
de la masse:

Figure: 48.3 - Diagramme de classification de Hertzsprung-Russell
Chacune des étoiles
du ciel trouve sa place sur le diagramme introduit par Hertzsprung
et Russell (diagramme H-R ci-dessus) dont les diverses régions
permettent d'en repérer le stade d'évolution. Il
est alors possible d'y tracer une courbe représentative
de l'évolution
d'une étoile donnée à partir de la connaissance
de son état au moment de l'observation.
Ainsi, les étoiles
massives évoluent
plus vite que les étoiles de faible masse, mais ce résultat
est déduit d'autres considérations que celles permettant
de construire le diagramme. Le diagramme sert notamment à
évaluer l'âge moyen d'un amas d'étoiles à
partir de celui de ses composants. De même, il permet de
caractériser
les étoiles variables et leurs composantes telles les géantes
rouges qui deviennent instables et pulsantes en vieillissant.
Cette
famille d'objets instables définit une bande d'instabilité
sur le diagramme. Ce diagramme traduit la classification spectrale
des étoiles ou leur température de surface en fonction
de leur magnitude absolue ou de leur luminosité.
Ce diagramme, sur lequel toutes les
étoiles trouvent leur place dès que nous connaissons
leurs caractéristiques, fut développé indépendamment
en Europe par Ejnar Hertzsprung et aux États-Unis par
Henry Norris
Russell. L'axe horizontal indique la classification spectrale
en partant, à gauche, des étoiles les plus chaudes,
les bleues, pour atteindre les moins chaudes, les rouges, à
droite. Les étoiles se positionnent en groupes spécifiques
sur le diagramme: celles qui évoluent sur leur séquence
principale se situent sur une courbe incurvée qui commence
en haut, à gauche, et se termine en bas, à droite.
C'est sur cette courbe que se regroupent les étoiles
stables qui brûlent leur hydrogène et, parmi
elles, le Soleil qui se positionne au centre du diagramme.
Les géantes
et les supergéantes apparaissent dans la partie supérieure
droite, tandis que les naines blanches se regroupent dans la partie
inférieure gauche. Au fur et à mesure qu'elle
évolue, chaque étoile décrit une courbe particulière:
elle commence par suivre la trajectoire de Hayashi jusqu'à
ce qu'elle atteigne sa séquence principale sur laquelle
elle évolue tant que son noyau brûle de l'hydrogène.
Lorsque commence la combustion de l'hélium, elle remonte
vers le haut où se concentrent les géantes rouges
et y reste jusqu'à ce que la fusion nucléaire
s'arrête: elle s'effondre alors sur elle-même
pour rejoindre les naines blanches ou dans le cas d'une certaine
valeur de masses solaires, les étoiles à neutrons,
Trous Noirs ou encore, si sa masse est très élevée,
explose en supernovae.

Figure: 48.4 - Région du ciel en lumière visible avant et après la supernova de 1987
Lorsque la masse d'hélium
d'une étoile devient suffisante, l'augmentation de
pression induit une augmentation de la température amorçant
ainsi la fusion de l'hélium ("flash
de l'hélium")
en carbone, oxygène et néon créant un second
front de combustion à l'intérieur du premier.
Pour une étoile de masse solaire, les réactions s'arrêtent
à ce stade. L'étoile grossit et se refroidit
en surface. Elle devient une géante rouge 104
fois plus lumineuse qu'auparavant. Elle passe par des phases
d'instabilité et finit par expulser progressivement
ses couches externes en formant une "nébuleuse planétaire".
Son noyau, dont la densité est de plusieurs tonnes par centimètre
cube, se refroidit lentement: c'est la naine blanche (nous
aborderons ce processus sous forme mathématique plus loin).
L'équilibre y est maintenu par la pression de dégénérescence
des électrons.
Pour une étoile plus
massive, la température interne devient assez importante
pour que le carbone et l'oxygène puissent fusionner
en silicium. À son tour, s'il est en masse suffisante, le silicium
fusionnera
en fer. Les fronts de combustion se développent dans un
schéma
dit en pelures d'oignon. Le fer est le nucléotide
le plus stable: il se trouve au fond de la vallée de stabilité
(cf. chapitre de Physique Nucléaire).
Il ne peut ni fusionner, ni fissionner. Lorsque la densité atteint
une valeur critique (cela correspond à une masse totale
de l'étoile
de plus de 8 masses solaires), la pression de dégénérescence
des électrons n'arrive plus à maintenir
l'équilibre
contre la gravitation. En un dixième de seconde, le noyau
de fer s'effondre. Les autres couches du coeur se précipitent
vers le noyau effondré sous forme d'une onde dont
le maximum de vitesse correspond au rayon sonique.
La densité du noyau devient
alors énorme. Il se produit des réactions
inverses où les protons capturent les électrons
en formant des neutrons et libérant un flot de neutrinos.
Lorsque le noyau de l'étoile atteint la densité nucléaire
de ,
la compaction s'arrête brutalement (rayon d'environ
10km !). Les couches externes du noyau rebondissent par un choc
superélastique et entrent en expansion. Lorsque cette
onde de choc réfléchie rejoint le rayon sonique,
la température
monte tellement haut que la chiffrer n'a plus de sens. La
matière subit une photodésintégration complète
(tous les nucléotides sont désagrégés
en gaz de nucléons). Finalement par un mécanisme
pas clairement établi, toutes les couches externes de
l'étoile
sont éjectées dans l'espace: c'est une
"supernovae de type II".
Le noyau effondré,
presque entièrement
constitué de neutrons, sera en rotation rapide si l'étoile
initiale avait un moment cinétique non nul (conservation
du moment cinétique oblige). Le champ magnétique
est
également conservé et dépasse de loin tout
ce qui sera probablement jamais réalisable en laboratoire.
Cela provoque un rayonnement synchrotron qui donne l'illusion
que l'étoile
clignote. Cela provoque un rayonnement synchrotron qui donne l'illusion
que l'étoile clignote, c'est pourquoi ces jeunes "étoiles à neutrons" sont
dénommées "pulsars".
Pour les étoiles très massives
(plus de 50 masses solaires), la masse totale du coeur qui s'effondre
pourrait dépasser 3 masses solaires. Dans ce cas, la gravité
devient telle que sa masse s'effondre au-delà des dernières
forces répulsives et se compacte en une singularité.
La courbure de l'espace devient telle qu'aucune matière,
rayonnement ou information ne peut plus s'échapper
au-delà d'un volume appelé horizon ou sphère
de Schwarzschild. C'est un "Trou
noir". Tout ce
qui y tombe perd son identité. Un trou noir ne présente
plus que trois propriétés: sa masse, son moment
cinétique
et sa charge électrique. Nous disons qu'un trou noir
n'a pas de chevelure. De plus, une telle singularité
devrait toujours être cachée par un horizon, être
habillée.
GENÈSE
Nous allons voir maintenant comment des astres nouveaux peuvent
naître à partir d'immenses nuages de gaz qui s'étendent
entre les étoiles
dans les galaxies. Ce milieu interstellaire est une source potentielle
d'étoiles nouvelles, qui une fois leur vie terminée
(sous forme de géante rouge ou de supernovae), peuvent réinjecter
une partie de leur matériau dans l'espace intersidéral.
Au fait, personne ne sait vraiment les détails de la façon
dont un nuage interstellaire aboutit à une étoile car il
s'agit d'un problème fort difficile, essentiellement à cause
de l'apparition de toute une hiérarchie de structures, sous-structures,
etc. dans le nuage à mesure qu'il s'effondre sur lui-même. Des
mouvements turbulents apparaissent, qui ne peuvent être décrits
de manière
simple par les équations hydrodynamiques (cf.
chapitre de Mécanique
Des Milieux Continus). D'autres complications apparaissent
lorsque nous voulons tenir compte du champ magnétique sur
le gaz en contraction, ou d'explosions de supernovae dans le nuage...
Au moins, pouvons-nous donner les conditions nécessaires
pour qu'une étoile puisse se former au sein d'un nuage interstellaire.
Pour cela, plusieurs barrières doivent en fait être franchies.
Une première barrière est thermique. Une deuxième
barrière est
rotationnelle: une proto-étoile qui se contracte tourne
de plus en plus vite et peut littéralement exploser si sa
vitesse de rotation devient trop importante (conservation du moment
cinétique). Examinons
ces deux effets.
EFFONDREMENT D'UN NUAGE INTERSTELLAIRE
Deux forces opposées sont présentes dans un nuage de masse M et
de rayon R: une force d'autogravitation, qui tend à contracter
le nuage, et une force de pression thermique, qui tend à le faire
exploser.
Nous pouvons quantifier ces deux tendances opposées en
termes d'énergie: le nuage possède une énergie
potentielle de gravitation (négative) et une énergie
cinétique (positive) due à l'agitation
thermique de ses molécules.
Nous savons (cf. chapitre de Mécanique Classique) que l'énergie
potentielle de gravitation de deux particules de masses m et m'
séparées de r s'écrit .
Donc l'énergie potentielle d'un nuage sphérique (...) de masse M et
de rayon R est de l'ordre de:
(48.1)
Dans un gaz en équilibre thermodynamique, une particule
a une énergie
cinétique (cf. chapitre de Mécanique
Des Milieux Continus) de par
degré de liberté (translation, rotation, etc.).
Donc, si est
la masse moyenne d'une molécule du nuage, l'énergie
cinétique totale
de cette dernière aura pour expression:
(48.2)
Le nuage s'effondre alors si son énergie mécanique totale est
négative, soit (selon l'approximation précédente):
(48.3)
L'équation ci-dessus permet de définir la "masse
de Jeans" (dans l'hypothèse d'une distribution
sphérique
et homogène).
C'est la masse minimum (limite), à une température T et
une masse volumique données,
pour que le nuage commence son effondrement jusqu'à ce
qu'un autre processus physique intervienne éventuellement
pour stopper la contraction du gaz.
En éliminant le rayon
par:
(48.4)
dans
l'équation précédente, nous avons alors:
(48.5)
ce que les astrophysiciens notent à la suite de toutes les approximations
faites...:
(48.6)
où C est une constante sans unités. En prenant un nuage
composé d'hydrogène uniquement avec n atomes par mètre cube
(c'est donc une densité!), nous aurons et où est
la masse du proton. Nous pouvons alors exprimer la masse de Jeans
en masses solaires de la manière suivante:
(48.7)
où nous avons la certitude que et
où:
(48.8)
est la masse solaire (unité de masse conventionnellement
utilisée pour les étoiles ou les autres objets massifs).
Cette masse est donc comme le laisse deviner son nom, égale à la
masse de notre Soleil. Son symbole et sa valeur sont :
La masse solaire vaut environ 330 000 fois la masse de la Terre.
Nous voyons que la masse de Jeans varie comme .
Ceci a une conséquence importante: à mesure que le
nuage se contracte, n augmente,
et donc diminue.
Autrement dit, le nuage peut se fragmenter en sous-nuages une fois
la masse de Jeans pour ces sous-nuages atteinte. Ces derniers vont à leur
tour se scinder en sous-nuages, etc. Nous avons donc toute une
hiérarchie d'effondrements, depuis les grandes masses vers
les petites masses. La chose importante à noter aussi est que la masse de Jeans
d'un nuage est beaucoup plus grande que les masses stellaires
individuelles
(il suffit de voir les constantes contenues dans la relation précédente
pour se rendre compte que les facteurs sont relativement conséquents!).
Donc, les étoiles naissent en général par
ensemble de plusieurs étoiles: nous ne pouvons pas former
en principe un Soleil isolé dans une
galaxie, à partir d'un tout petit nuage. Une fois formées,
les étoiles
se diluent dans la galaxie par les effets de rotations et de marées
galactiques. Ainsi, le Soleil a perdu de vue ses soeurs depuis
bien longtemps probablement...
RAYON DE JEANS
Nous pouvons également exprimer la condition d'effondrement
en termes de "rayon de Jeans",
toujours pour une température T et
une masse volumique données.
Il suffit en fait d'éliminer M dans la relation:
(48.9)
Ainsi, nous avons:
(48.10)
Soit:
(48.11)
Ainsi, le rayon de Jeans est le rayon minimal pour qu'une sphère
de masse donnée soit stable. Au-delà, le nuage
stellaire va s'effondrer sur lui-même selon les mêmes
conditions que la masse de Jeans.
Au vu des valeurs des paramètres de la relation précédente,
nous voyons alors que les nuages de formation stellaire sont en
fait
immenses en ordre de grandeur. Ces véritables pépinières
sont ensuite dispersées
dans la galaxie par effet de marée galactique, comme nous
le soulignions plus haut.
TEMPS DE CHUTE LIBRE
Nous avons vu pour l'instant que la masse d'un nuage doit être
grande par rapport à celle du Soleil pour que l'effondrement se
produise. Nous allons maintenant estimer le temps que va prendre
le nuage pour s'effondrer sur lui-même.
Au début de l'effondrement, rien n'arrête la chute du
nuage, la pression interne est encore très faible et l'énergie
lumineuse provenant de l'échauffement progressif du nuage
(lié à la contraction
de ce dernier) est immédiatement évacuée car
le nuage est encore transparent.
Une parcelle de nuage à la périphérie, in
extenso à la distance R du
centre du nuage, subit une accélération:
(48.12)
de
la part de ce dernier. Elle commence donc à tomber vers
le centre avec la loi (cf.
chapitre de Mécanique Classique):
(48.13)
La parcelle aura
atteint le centre quand .
Nous obtenons donc:
(48.14)
Nous pouvons exprimer ce temps uniquement en terme de masse volumique,
puisque:
(48.15)
Nous avons alors:
(48.16)
À noter que le temps de chute ne dépend pas de la
taille de l'objet ni de sa masse, mais uniquement de sa masse volumique
dans ce modèle!
Une application numérique pour un nuage d'hydrogène ayant
une densité de n atomes par mètre cube donne
alors:
(48.17)
Nous remarquons que ces temps restent petits par rapport à l'âge
de l'Univers (13-14 milliards d'années). Ainsi, la genèse stellaire
est un phénomène relativement rapide: plusieurs générations d'étoiles
ont pu voir le jour depuis la formation des galaxies.
Indiquons enfin que (comme toujours en physique...) on trouve
plusieurs modèles dont les ordres de grandeurs sont relativement
différents. Ainsi, il est possible de trouver dans la littérature
également les modèles suivantes (dont je n'aime pas trop l'approche
théorique raisonp pour laquelle je n'en démontrerai pas les détails):
(48.18)
durée de vie nucléaire
L'âge des étoiles est principalement un problème de calcul du
carburant nucléaire. La résolution de ce problème a été apportée
par la relativité, et en particulier par l'équivalence masse-énergie
(cf. chapitre de Relativité Restreinte).
Même si la description détaillée des réactions nucléaires au
coeur du Soleil n'a été fait qu'au milieu des années 1930 par Hans
Bethe, les astrophysiciens ont soupçonné peu après les travaux
d'Einstein que cette équivalence pouvait expliquer l'éclat du Soleil
sur des milliards d'années, par exemple via la fusion de l'hydrogène
(proton, p) en hélium (deux protons, deux neutrons) via
une succession d'étapes (l'énergie indiquée est l'énergie cinétique
des différents éléments):
(48.19)
Le positron s'annihile immédiatement
avec l'un des électrons d'un atome d'hydrogène environnant
et leur masse-énergie est évacuée sous forme
de deux photons gamma:
(48.20)
Après ceci, le deutérium produit lors
de la première étape peut fusionner avec un nouveau noyau d'hydrogène
pour produire un isotope de l'hélium:
(48.21)
Finalement, deux isotopes de l'hélium peuvent
fusionner et produire l'isotope normal de l'hélium ainsi
que deux noyaux d'hydrogène qui peuvent commencer à nouveau
la réaction de trois façons différentes appelées
PP1, PP2 et PP3:
(48.22)
Et encore ces réactions ne se produisent
pas toutes selon les mêmes probabilités et les mêmes températures...
La mesure de la masse du proton donne ,
alors que l'hélium a une masse de ,
soit une perte en masse atomique de (nous négligeons la
masse des positrons qui est 10'000 fois plus petite ainsi que celle
du neutrino):
(48.23)
Donc une perte relative de masse par fusion (c'est la part de
la réaction qui s'échappe du Soleil sous forme d'énergie cinétique):
(48.24)
Nous allons démontrer plus bas que le Soleil émet
une puissance de:
(48.25)
Donc sa consommation en masse par seconde est de:
(48.26)
C'est à dire que sa masse diminue de 4.4 millions de tonnes par
seconde...
Or nous savons que ce nombre correspond seulement à 0.72% de
la masse mise en réaction dans la fusion. La masse totale mise
en réaction est alors (règle de trois):
(48.27)
Ainsi, à chaque seconde 627 millions de tonnes d'hydrogène (ionisé)
1 fusionnent en hélium 4 avec une perte de masse de 4.4 millions
de tonnes qui est transformée en énergie.
En estimant que seul le centre du Soleil remplit les conditions
thermiques pour la fusion, ceci nous amène à déterminer
son temps de vie nucléaire:
(48.28)
En transformant cela en années nous avons:
(48.29)
TEMPÉRATURE
INTERNE
Les
étoiles sont supposées être des amas sphériques d'hydrogène gazeux
où les interactions entre molécules sont régies par l'attraction
gravitationnelle.
Une
étoile n'a pas de paroi qui la délimite, c'est-à-dire qu'il n'y
a pas de forces extérieures donc:
(48.30)
En
utilisant le théorème du Viriel vu
dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus:
(48.31)
Nous
avons pour une masse sphérique gazeuse de rayon R de
masse M composée de N corps:
et
(48.32)
Remarque: Pour le calcul de l'énergie potentielle,
nous renvoyons le lecteur au chapitre de Mécanique Classique
du site.
Donc:
(48.33)
où
rappelons-le, k est la constante de Boltzmann.
Ce
qui nous donne:
(48.34)
Avec
pour une étoile donnée N étant le rapport de la masse totale
de l'étoile sur la masse moyenne d'une molécule.
Pour
le Soleil, il vient que .
C'est
la température centrale du Soleil. Les mesures optiques mesurées
depuis la Terre ne donnent que la température en surface (chromosphère),
soit 6'000 [°K]. La température interne calculée est donc environ
1'600 fois plus élevée qu'à la surface. Des méthodes indépendantes
basées sur les réactions nucléaires au centre du Soleil (mesure
du flux de neutrinos solaires) donnent le même ordre de grandeur,
mais les valeurs précises diffèrent d'un facteur 2 à 3.
TEMPÉRATURE
EXTERNE
Nous
avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique
que la loi de Stefan-Boltzmann, permet de calculer la température
d'un corps chauffé
à partir de son émittance ou de son énergie
interne en termes de densité tel que:
(48.35)
avec:
(48.36)
étant
la constante de Stefan-Boltzmann.
Prenons
un exemple intéressant qui nous concerne directement:
L'émittance
moyenne dite aussi "émittance
moyenne bolométrique"
reçue
par la Terre hors atmosphère, appelée aussi "constante
solaire" (qui n'est au fait pas constante... sur une
échelle de plusieurs milliards d'années), est directement
mesurable en orbite et vaut .
Connaissant
la distance moyenne au Soleil comme étant d'environ (Unité
Astronomique), nous pouvons calculer la surface de la sphère S à
et
donc la puissance solaire P.
Ainsi:
(48.37)
et:
(48.38)
Supposant
connu le rayon du Soleil comme valant ,
nous pouvons calculer sa surface S puis
l'émittance radiative solaire M(T).
Ainsi:
(48.39)
et:
(48.40)
Remarque: La surface rayonnante d'une étoile est appelée "photosphère".
À
l'aide de la loi de Stefan-Boltzmann, nous pouvons maintenant
calculer la température thermodynamique de la photosphère:
(48.41)
La
loi de Planck (cf. chapitre de Thermodynamique)
appliquée à cette
température nous permettrait de calculer la distribution
spectrale du rayonnement solaire et nous voyons alors que le maximum
de l'intensité
est dans le domaine visible (notre visibilité...) du spectre
qui va de 400 [nm] à 700 [nm].
LUMINOSITÉ
La
"luminosité bolométrique intrinsèque" d'une étoile correspond
à sa puissance totale rayonnée dans tout le spectre électromagnétique
dans la direction de l'observateur exprimée de façon relative à
la puissance totale rayonnée par le Soleil. En supposant toutes
les étoiles sphériques et isotropes, nous pouvons l'exprimer en
unités
solaires:
(48.42)
La
puissance rayonnée P se calcule elle, en multipliant
bien évidemment
l'émittance radiative (loi de Stefan-Boltzmann) par
la surface de l'étoile:
(48.43)
La
luminosité bolométrique intrinsèque d'une étoile
est donc proportionnelle au carré de son rayon et à la
quatrième puissance de sa température
de surface. En prenant le Soleil comme référence,
les constantes se simplifient. Nous pouvons alors écrire:
(48.44)
avec
et
d'où

En
astrophysique, nous utilisons également une échelle logarithmique
pour exprimer la luminosité bolométrique d'une étoile:
la magnitude absolue
M.
Cette unité a une origine empirique qui sera expliquée plus bas.
ÉCLAT
"L'éclat" e d'une
étoile est sa "luminosité apparente".
L'éclat (luminosité apparente) d'une étoile
correspond à la densité de rayonnement reçu par l'observateur,
c'est-à-dire
au flux et vaut le rapport entre la puissance de l'étoile
et la surface de la sphère dont le rayon est égal à la
distance d qui
sépare l'observateur de l'étoile:
(48.45)
L'éclat diminue ainsi avec
le carré
de la distance. Il est important de remarquer que cette grandeur
n'a aucune relation directe avec les propriétés intrinsèques
physiques de l'étoile concernée (contrairement à la
luminosité bolométrique!).
En astrophysique, nous utilisons également une autre
échelle où la luminosité apparente est donnée par une autre grandeur
d'origine empirique: la magnitude apparente, qui
sera expliquée de suite ci-dessous.
MAGNITUDE APPARENTE
Ptolémée en 137 après J.-C. avait défini
une échelle de six grandeurs pour exprimer l'éclat des étoiles,
la première pour les plus brillantes et la sixième pour les étoiles
tout juste visibles à l'oeil nu (6 grandeurs et donc 5 écarts).
Au cours du 19ème siècle,
avec l'arrivée de nouvelles techniques d'observations
photométriques
(photographiques puis photoélectriques), l'échelle
de grandeur a été remplacée par celle de "magnitude
apparente" qui a été définie
de telle sorte à ce que cette nouvelle échelle soit proche
de l'ancienne.
La définition est la suivante:
- L'échelle est logarithmique
en base 10 (par commodité des grandeurs manipulées)
- Il y a 5 écarts de magnitude
correspondant
à un rapport de luminosité apparente de 1 pour 100
(1:100)
- L'échelle est inverse
(une magnitude
élevée correspond à un faible éclat/luminosité apparente).
À l'aide de ces définitions, nous pouvons
construire une règle liant de façon relative les éclats
de deux
étoiles à leur magnitude apparente m.
Pour une étoile 2, cent
fois plus brillante
ou éclatante qu'une étoile 1, l'étoile 1 est
5 unités
de magnitude au-dessus de l'étoile 2 (n'oublions pas que
l'échelle
est inverse). Donc:
(48.46)
correspond à:
(48.47)
Nous pouvons alors poser les relations:
et
(48.48)
Par application de la règle de trois,
nous construisons:
(48.49)
En simplifiant, nous trouvons
la "loi
de Pogson" qui exprime la relation entre magnitudes
visuelles apparentes et éclats de deux étoiles:
(48.50)
Ainsi définie, l'échelle de magnitudes
visuelles n'est que relative. La référence photométrique est
similaire à l'éclat de Véga .
Pour se faire une idée des
magnitudes visuelles voici quelques exemples: Soleil -26.5,
Pleine Lune -15,
Vénus au maximum -4.8, Sirius la plus brillante des étoiles
-1.5 (type spectral A1 et distante de 8.6 années-lumière),
limite de la perception à l'oeil nu 6, limite de perception à travers
un télescope
amateur de 15 cm à ce jour (2003) 13, limite de perception du télescope
spatial Hubble 30.
Il faut préciser que la
magnitude apparente visuelle ne correspond pas exactement à la
magnitude apparente réelle,
car l'oeil
n'a pas la même
sensibilité pour
toutes les longueurs d'onde. Les étoiles bleues ou rouges
nous paraissent moins lumineuses à l'oeil qu'elles ne le sont en
réalité car une
partie du rayonnement se trouve dans les ultraviolets, respectivement
dans
l'infrarouge.
Il convient donc de préciser
s'il s'agit d'une magnitude apparente visuelle ou bolométrique.
En général,
les astrophysiciens utilisent les grandeurs bolométriques
dans leurs communiqués.
MAGNITUDE
ABSOLUE
La magnitude absolue M (ne
pas confondre avec la notation de l'émittance..) d'une étoile
est une grandeur logarithmique aussi, qui exprime cette fois
la
luminosité L bolométrique.
C'est la grandeur présentée en ordonnée du diagramme de Hertzsprung-Russel.
L'échelle de cette grandeur est basée sur la magnitude visuelle.
La magnitude apparente et
la magnitude absolue sont liées par la distance qui nous
sépare
de l'étoile.
À luminosité apparente intrinsèque constante,
la luminosité apparente
décroît
donc évidemment avec le carré de la distance comme
nous l'avons déjà vu. Afin d'établir une relation,
nous avons dû choisir une
distance de référence par une nouvelle définition.
Définition: La "magnitude
absolue" d'une étoile
est
égale à sa magnitude apparente si elle est distante
de 10 parsecs (32.6 années-lumière).
Soit une étoile placée à une distance
quelconque d.
Son éclat est
fonction de la distance et de son éclat si
elle était située à selon:
(48.51)
Par application de la règle de trois,
nous construisons:
(48.52)
En reprenant la loi de Pogson
et en assimilant à
la magnitude apparente m de
l'étoile à la distance d quelconque,
à
la magnitude apparente de l'étoile à (par
définition de sa magnitude absolue M) ainsi
que son
éclat à et
son éclat à la
distance quelconque, nous trouvons:
(48.53)
qui peut bien sûr aussi s'écrire:
(48.54)
En partant de cette définition,
la magnitude absolue du Soleil est de 4.7. Sa magnitude apparente
vue
depuis la Terre est de -26.5. Elle est de 4.7 à 10 [pc] donc
faiblement visible à l'oeil nu.
Cette dernière relation
de comparaison de la magnitude absolue avec la magnitude apparente
(qui est la magnitude observée effectivement sur Terre)
permet une estimation de la distance d de l'objet en astrophysique.
Remarque: Pour avoir la magnitude absolue, il faut des modèles
stellaires, et connaître la température de l'étoile
comme nous allons de suite le voir. Dans la pratique, la seule quantité
aisément accessible est évidemment la magnitude observée,
qui est en fait la combinaison de la magnitude apparente et de l'absorption
interstellaire.
La loi de Pogson exprime
de même la
relation entre magnitudes absolues M et
luminosités bolométriques L de
deux étoiles:
(48.55)
Ainsi, Déneb étant 300'000 fois plus
lumineux que le Soleil, la magnitude absolue est de -9.
En reprenant la loi de Pogson,
la magnitude absolue peut s'écrire relativement à la luminosité bolométrique
absolue du Soleil:
(48.56)
Avec et
,
la magnitude absolue bolométrique se calcule ainsi à partir
de la luminosité bolométrique:
(48.57)
En reprenant l'expression de la luminosité
bolométrique:
(48.58)
la
magnitude (bolométrique) absolue d'une étoile étant
directement fonction de sa température et de son rayon:
(48.59)
C'est le résultat
que nous voulions montrer depuis le début: la magnitude
absolue est directement liée à la luminosité bolométrique
de l'étoile,
raison pour laquelle c'est celle qui intéresse le plus
les astrophysiciens.
Remarque: La distance d'étoiles proches a pu être
déterminée
grâce
au satellite Hipparcos. Par mesure de la parallaxe (mesures de
la position de l'étoile à six mois d'intervalle et
par application des règles
trigonométriques élémentaires). Mais, au-delà de
quelques dizaines de parsecs, la mesure de la distance d'étoiles
par parallaxe devient très imprécise. En étudiant
le spectre de l'étoile,
nous pouvons déterminer sa classe spectrale, sa température
de surface et la placer dans le diagramme de Hertzsprung-Russel.
Il est donc possible
d'estimer sa magnitude absolue et de calculer approximativement
sa distance.
Cet artifice de mesure est fondamental
pour la cosmologie. C'est ainsi que l'on détermine la distance des
galaxies proches en mesurant la période de certaines étoiles variables
(nous y consacrons un petit chapitre ci-dessous).
La distance des galaxies lointaines
se calcule en mesurant la magnitude apparente de supernovae qui
s'y produisent fortuitement. En effet, les magnitudes absolues
des
supernovae du type Ia (nous les reconnaissons par l'absence de
raies d'hydrogène et par la décroissance de leur
luminosité) sont bien
calibrées car l'énergie dégagée par
ces explosions stellaires est relativement constante.
ÉTOILES VARIABLES
Les étoiles de la séquence principale
du diagramme de Hertzsprung-Russel sont des objets très stables.
La force de gravitation, qui tend à contracter l'astre, est exactement
compensée par les forces de pression interne, qui tendent à le
dilater. C'est au moment où l'étoile devient une géante rouge
que parfois l'équilibre est rompu. Commence alors une phase
d'instabilité qui
se traduit par de fortes variations de la luminosité de l'étoile.
La rupture de l'équilibre est provoquée
par un phénomène complexe qui met en jeu des variations
de transparence des couches d'hélium près de la
surface de l'étoile. À partir de
là, l'astre se met à connaître une succession de dilatations et
de contractions contrôlées par les forces qui assuraient
auparavant l'équilibre. Lorsque la force de pression l'emporte,
le volume de l'astre augmente. Mais la gravité freine
le mouvement et finit par provoquer la contraction. Le volume
de l'étoile passe alors sous
sa valeur moyenne, jusqu'à ce que la pression interne s'oppose à
la contraction et réussit à provoquer une nouvelle dilatation.
Ce ne sont pas les changements de taille
qui provoquent les variations de luminosité, mais ceux de la température.
Effectivement, comme nous l'avons vu précédemment,
la luminosité d'une étoile varie avec la quatrième puissance de
la température, alors qu'elle ne varie qu'avec le carré du rayon.
Lorsque le volume de l'étoile est cependant plus faible qu'en
moyenne, sa température est légèrement plus forte et la luminosité maximale.
Dans le cas contraire, la température est légèrement plus basse
qu'en moyenne et la luminosité minimale. L'éclat de l'étoile
change donc de façon périodique, d'où le nom d'étoile variable.
Il existe dans le diagramme
de Hertzsprung-Russel une bande d'instabilité qui traverse ce
diagramme presque verticalement dans laquelle se produisent
justement les phénomènes
thermiques en question.
Les deux principaux types de variables
pulsantes sont les Céphéides et les étoiles
RR Lyrae. Ces astres jouent un rôle central en astrophysique.
Les Céphéides sont des étoiles de quelques
masses solaires. Elles sont dans la phase de combustion de l'hélium
après
avoir atteint le stade de géante rouge. Les
étoiles de masse solaire arrivées à ce stade
deviennent des RR-Lyrae. Leur
luminosité varie avec une période comprise entre
un jour et plusieurs semaines. La propriété remarquable
des Céphéides est l'existence
d'une relation entre leur luminosité moyenne et la période
de leurs oscillations. Par exemple, leur luminosité moyenne
est de 1'000 fois celle du Soleil pour une période de quelques
jours et de 10'000 fois cette valeur pour une période de
plusieurs semaines. C'est cette relation qui fait des Céphéides
l'un des outils de base de l'astrophysique.
Si nous connaissons cette relation
pour une étoile variable, il est relativement aisé, par la détermination
de sa période d'en tirer la magnitude absolue M.
En mesurant alors sa magnitude apparente m nous
pouvons ensuite calculer sa distance d en
parsec à l'aide de la relation (démontrée précédemment):
(48.60)
La figure ci-dessous représente la
courbe période-luminosité des Céphéides.

Figure: 48.5 - Courbe période-luminosité des Céphéides
L'étalonnage de cette courbe ne peut
se faire que par des mesures de parallaxe sur des Céphéides proches.
Il n'en existe malheureusement pas d'assez rapprochées pour qu'il
soit possible d'utiliser la parallaxe annuelle. Il faut avoir recours
à la parallaxe secondaire qui est basée sur le mouvement du Soleil
dans la galaxie.
Exemple:
Nous repérons une Céphéide grâce à
son type de classe spectrale. Sa période est de 50 jours
et sa magnitude apparente .
La figure précédente donne, pour cette étoile,
une magnitude absolue
.
En appliquant ensuite la formule donnée
précédemment, nous trouvons:
(48.61)
Cette Céphéide est donc éloignée
de
630 [pc].
Grâce aux propriétés des Céphéides,
nous disposons d'un instrument de mesure qui porte jusqu'à quelques
dizaines de millions d'années-lumière. Il est donc
applicable au-delà de notre Voie lactée jusqu'aux galaxies
proches comme les membres du groupe local. Au-delà, il devient
difficile de détecter des Céphéides
aux caractéristiques connues.
Les étoiles RR Lyrae sont quant à elles des étoiles
peu massives et vieilles. Leur période d'oscillation est
inférieure à un
jour. Contrairement aux Céphéides, elles ont toutes
la même luminosité moyenne (magnitude
absolue de 0.5), environ 100 fois celle du Soleil.
Il
existe encore une certaine quantité d'étoiles variables
différentes
(variables à éclipses, des variables explosives,
variables binaires,etc.)
pour lesquelles nous pouvons trouver une source abondante d'information
sur l'Internet.
Il
existe d'autres méthodes plus connues de mesure des
distances que celle des Céphéides ou de l'effet
Doppler (voir plus loin pour les développements concernant
l'effet Doppler):
PARALLAXE
TRIGONOMÉTRIQUE
La méthode de parallaxe trigonométrique
est très simple (mais délicate à mettre en
oeuvre à la
surface de notre planète pour les étoiles très
distantes). Tout astronome amateur constate la fuite de l'étoile
qu'il observe dans son oculaire. Ce mouvement se nomme "mouvement
diurne". Il est dû à la
rotation de la Terre sur elle-même. L'étoile est également
animée
d'un mouvement elliptique beaucoup moins facilement détectable:
le "mouvement parallactique".
Il est dû, comme le suggère le schéma
ci-contre, à la rotation de la Terre autour du Soleil. Nous
mesurons donc l'angle :
(48.62)
si l'angle est faible (ce qui est très
fréquemment le cas étant donnée la distance
des étoiles), nous pouvons
prendre le premier terme du développement de Taylor (cf.
chapitre sur les Suites Et Séries) de
la fonction tangente:
(48.63)
Ce qui nous permet d'écrire:
(48.64)
où d est
la distance du Soleil à l'étoile et a celle de la
Terre au Soleil comme représenté ci-dessous:

Figure: 48.6 - Principe de la parallaxe trigonométrique
L'EFFET
DOPPLER-FIZEAU RELATIVISTE
L'effet Doppler-Fizeau
est le décalage entre la fréquence de l'onde émise
et de l'onde reçue lorsque l'émetteur et le récepteur
sont en mouvement l'un par rapport à l'autre. C'est une
technique très utilisée en astrophysique pour calculer
la distance d'un astre en supposant sa longueur d'onde d'émission
connue (ou estimée) et en mesurant sa longueur d'onde
reçue ou encore pour mesurer la vitesse de rotation (vitesse
radiale) des
étoiles en observant très précisément
et successivement leurs bords opposés et en mesurant le
décalage du spectre obtenu.
En ce début de 21ème siècle
la précision et la finesse des mesures de spectres a
atteint un niveau tel qu'il permet même
d'observer des variations minimes
de la distance des étoiles
et ainsi de spéculer sur d'éventuels satellites planétaires
(ceci ne pouvant fonctionner que si le plan de l'orbite passe par
la Terre).
L'effet Doppler des ondes électromagnétiques
doit être discuté indépendamment de l'effet Doppler
acoustique (appelé également "effet Doppler-Fizeau
Galiléen") démontré dans le chapitre
de Musique Mathématique.
Premièrement parce que les ondes électromagnétiques
ne consistent pas en un mouvement de matière et que par
conséquent la vitesse
de la source par rapport au milieu n'entre pas dans la discussion,
ensuite parce que leur vitesse de propagation est c (la
vitesse de la lumière) et reste la même pour tous les
observateurs indépendamment de leurs mouvements relatifs.
L'effet Doppler pour les ondes électromagnétiques
se calcule donc nécessairement
au moyen du principe de relativité et est symétrique
par rapport aux mouvement relatifs de la source et de l'observateur
(contrairement au cas acoustique).
Pour un observateur dans
un repère d'inertie, une onde électromagnétique plane et harmonique
peut être décrite par une fonction de la forme:
(48.65)
multipliée par un facteur
d'amplitude approprié. Pour un observateur attaché à un
autre repère d'inertie, les coordonnées x et t doivent être
remplacées par x' et t', obtenues par
la transformation de Lorentz (cf. chapitre
de Relativité Restreinte),
et celui-ci écrira par conséquent pour sa description
la fonction:
(48.66)
où k' et ne
sont pas nécessairement les mêmes que pour l'autre observateur
(justement c'est ce que nous cherchons à savoir). Par
ailleurs, le principe de relativité nous a permis
de démontrer dans le chapitre de Relativité Restreinte
que:
(48.67)
Ce qui impose que l'expression:
(48.68) reste
invariante quand nous passons d'un observateur d'inertie à un
autre. Nous aurons alors:
(48.69)
En utilisant les relations
de transformation de Lorentz (cf. chapitre
de Relativité Restreinte),
nous avons:
(48.70)
Par identification, il vient immédiatement:
(48.71)
si nous tenons compte que:
(48.72)
dans
le cas des ondes électromagnétiques, nous pouvons écrire
chacune de ces relations sous la forme:
(48.73)
Le rapport:
(48.74)
donne le "décalage spectral"
noté Z pour un mouvement de l'observateur par rapport à
la source suivant la direction de propagation.
Par ailleurs, la dernière relation avec les pulsations
est plus souvent donnée dans la littérature sous
la forme suivante:
(48.75)
Ce qui se note plus couramment sous la forme suivante:
(48.76)
Il faut bien
se rappeler que le décalage de pulsation (et donc de fréquence)
qui a lieu ici est dû à un mouvement relatif de
l'observateur par rapport à la source et non à autre chose
(ou réciproquement de la source par rapport à l'observateur).
Effectivement, lors
de notre étude
la relativité générale
(cf. chapitre de Relativité Générale),
nous verrons qu'il y a également superposition d'un décalage à cause
du champ gravitationnel environnant l'émetteur qui sera étudié comme étant
causé par la courbure de l'espace-temps.
Enfin, pour les sceptiques qui veulent vérifier d'une autre manière
que le phénomène Doppler est bien symétrique contrairement à l'effet
Doppler acoustique démontré dans le chapitre de Musique Mathématique,
voici une autre approche:
Considérons d'abord que c'est la source qui
s'éloigne. Si on la calculait par la relation classique
démontrée dans le chapitre de Musique Mathématique, la fréquence
du signal à la
réception serait:
(48.77)
et il faut prendre en compte la dilatation du temps
pour f
avec (cf. chapitre de Relativité Restreinte):
car l'intervalle de temps de l'observateur fixe
est plus long que celui de la source (le temps passe plus vite
pour l'observateur fixe).
Il vient alors:
(48.78)
et dans le cas où c'est l'observateur qui s'éloigne
de la source nous avions démontré dans le chapitre de Musique Mathématique
que:
(48.79)
et selon les mêmes considérations, nous
avons (simplement cette fois-ci c'est l'observateur qui se déplace):
(48.80)
Les deux relations sont bien symétriques dans le
cas relativiste (donc dans le cadre de l'électrodynamique)!
Remarque: En ce qui concerne la transformation de l'amplitude
du champ
électrique et du champ magnétique, il faut utiliser
le tenseur de Maxwell démontré dans le chapitre de
Relativité Restreinte.
Un très
bon exemple de l'application de l'effet Doppler consiste à étudier
les limites données par la mesure de la vitesse apparente.
Voyons de quoi il s'agit:
VITESSE
APPARENTE
En mesurant la vitesse apparente
de déplacement d'objets très rapides dans le ciel
(jets de plasma, etc.), les astrophysiciens ont obtenu des vitesses
apparentes
de déplacement supérieures à la vitesse de la lumière
dans le vide!
Au fait, il s'agit d'une
illusion qui peut se produire si la vitesse de l'objet est très
proche de celle de la lumière qu'il émet, donc assez proche de c.

Figure: 48.7 - Principe de mise en situation de la vitesse apparente
L'objet émet de la lumière à l'instant ,
celle-ci ne nous atteint pas instantanément mais doit parcourir
une distance d pour arriver à nous. Nous recevons après
le temps:
(48.81)
L'objet lui, se déplace à la vitesse v suivant un angle
noté θ avec la direction d'observation, donc à l'instant t,
l'objet s'est déplacé d'une distance .
La lumière émise par l'objet à l'instant t doit
parcourir la distance (application de Pythagore):
(48.82)
pour nous arriver (l'objet s'est
avancé de dans
la direction d'observation mais s'est éloigné de l'axe d'observation
de la distance ),
nous recevons donc la lumière qui a été émise par l'objet à l'instant t après
un temps :
(48.83)
Entre les deux positions
de l'objet, il s'est écoulé la durée t mais, vu de l'observateur,
l'intervalle de temps entre la réception des images de ces deux
positions est:
(48.84)
différent de t.
Pour un intervalle de temps t petit,
nous avons, en développement limité de Taylor:
(48.85)
Pendant cet intervalle de
temps, toujours vu de l'observateur, l'objet semble s'être déplacé sur
le plan du ciel de .
Ainsi, la vitesse apparente
de l'objet est:
(48.86)
Si nous posons l'angle comme
étant très proche d'un angle droit, nous avons alors le deuxième
terme du dénominateur qui est très petit ce qui nous permet avec
un développement de Taylor d'écrire une relation que l'on retrouve
assez souvent dans les manuels scolaires des petites classes:
(48.87)
Cherchons le maximum de cette fonction pour comprendre comment
une telle observation est possible en dérivant par rapport à et
en cherchant pour quelle valeur la dérivée s'annule:
(48.88)
et cela s'annule
après simplification du dénominateur pour:
(48.89)
d'où:
(48.90)
La vitesse apparente
est alors:
(48.91)
et elle est égale ou supérieure à c si
déjà:
(48.92)
donc:
(48.93)
Nous voyons ainsi
qu'il est possible d'observer des mouvements apparents plus
rapides que la lumière, alors même que l'objet est très rapide,
certes, mais plus lent que c. Comme il ne s'agit que
d'une illusion, il n'y a pas de contradiction avec la théorie
de la relativité.
En connaissant la vitesse
de déplacement d'un astre obtenue à l'aide de
l'effet Doppler et la vitesse apparente à l'aide des
observations, il est alors facile pour les astrophysiciens
de déterminer l'angle en
faisant un peu d'algèbre élémentaire à partir
de la relation ci-dessous:
(48.94)
LIMITE DE
CHANDRASEKHAR
Nous avons déjà déterminé
dans le chapitre de Mécanique Classique le rayon de Schwarzschild
(sous sa forme classique) qui exprime le rayon critique d'un corps
pour que la vitesse de libération à sa surface soit égale à la
vitesse de la lumière. Nous avions obtenu la relation ci-dessous
qui exprimait typiquement le rayon que devrait avoir un astre
donné pour
avoir une vitesse de libération égale à celle
de la lumière:
(48.95)
Dans
ce cas particulier l'astre est ce que nous avions appelé
un "Trou Noir". Cependant,
avant le trou noir, une étoile
passe comme nous en avons parlé, par plusieurs étapes
intermédiaires par lesquelles elle peut d'ailleurs se stabiliser.
Ainsi, vous avez dû souvent lire dans la littérature
que pour qu'une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons,
sa masse devait
être supérieure à 1.4 masses solaires mais sans démonstration
mathématique. Eh bien c'est ce que nous allons démontrer
maintenant!
Nous allons introduire le sujet par
l'étude de l'influence du principe d'incertitude sur la
taille d'un système atomique (il en limite la dimension
minimale). Cet exemple est fort puissant car il montre que le
principe d'incertitude ne
régit pas seulement le processus de la mesure mais aussi
le comportement global des systèmes quantiques.
Le premier exemple que nous pouvons
donner est celui de l'atome d'hydrogène, non que nous attendions
un résultat nouveau de cette méthode d'analyse, mais plutôt parce
que nous pouvons exposer l'usage du principe d'incertitude et insister
sur sa signification.
Nous admettons que le proton, dont
la masse l'emporte de beaucoup sur celle de l'électron, peut être
considéré comme fixe. L'énergie de l'électron s'écrit:
(48.96)
En physique classique, un système dont
l'énergie est donnée par la relation précédente ne possède pas de
minimum: si nous faisons tendre r
vers zéro en conservant la forme circulaire de l'orbite, il est
facile de voir que
tend vers .
En revanche, en physique quantique, cette limite n'a pas de sens: le principe d'incertitude s'y oppose.
Dans ce cas, la recherche du minimum
de
prend
un sens, car une contrainte apparaît qui maintient ce minimum à
une valeur finie. Elle se détermine en physique quantique (voir
le modèle de Bohr de l'atome dans le chapitre de Physique Quantique
Corpusculaire) et impose:
où
(48.97)
Cependant, cette relation mise à part,
si le rayon r de
l'atome devient trop faible sous des contraintes extérieures
(attention! nous nous affranchissons des orbites quantifiées
du modèle de Bohr de l'atome qui impose une contrainte à p)
la quantité de mouvement p de l'électron
ne peut être inférieure à l'incertitude qu'impose
le principe d'incertitude de Heisenberg, dès lors que
est de l'ordre du rayon r de
l'atome. La forme même de la relation précédente
limite la portée
de la méthode: nous ne pouvons espérer déterminer
mieux qu'un ordre de grandeur du minimum de .
Afin d'évaluer le minimum
de l'énergie totale, que nous interprétons comme l'état
fondamental de l'atome d'hydrogène, nous calculons le minimum
de en
éliminant p de l'expression:
par
(48.98)
Nous obtenons:
(48.99)
Le rayon de
l'atome dans l'état fondamental est la valeur de r qui
donne à E(r) sa
valeur minimale:
(48.100)
si bien que:
(48.101)
qui est l'expression bien connue du
rayon de Bohr vue en physique quantique corpusculaire lors de l'étude
du modèle de Bohr de l'atome. L'énergie de
l'état fondamental est donc maintenant facilement calculable.
Le but de cet exemple est de montrer
qu'avec le principe d'incertitude de Heisenberg nous pouvons par
un raisonnement très simple retrouver l'état fondamental d'un système.
C'est exactement de cette façon que nous allons procéder pour déterminer
les conditions qui font qu'un astre se retrouve dans son état fondamental.
Attaquons-nous maintenant à l'étude d'une
étoile. Schématiquement celle-ci se compose d'un
mélange de deux
gaz: celui qui est formé de noyaux d'une part, le gaz électronique
de l'autre.
Au cours de la vie de l'étoile, de
nombreux processus de fusion ont eu lieu. Ils ont accru à chaque
fois la taille et la masse des noyaux; Fe (le fer) qui est abondant
à la fin de la vie d'une étoile, contient en moyenne
56 nucléons
(voir la partie physique atomique du site).
Ces noyaux sont de nature chimique
ou isotopique variée. Comme ils sont peu nombreux en comparaison
des électrons, leur pression est celle d'un gaz classique chargé,
neutralisé par la présence des électrons: elle peut être ignorée,
et ce d'autant plus que la température est nulle.
La charge électronique seule ne permettrait
pas aux électrons de résister à l'effondrement d'une étoile
puisque la matière stellaire est neutre. À très
basse température, quand
le carburant est épuisé, la seule pression que le
gaz électronique
puisse opposer à la pression hydrostatique due à la pesanteur est
d'origine quantique.
En première approximation, les électrons
exercent donc l'un sur l'autre une répulsion apparente qui
n'est pas d'origine Coulombienne (principe d'exclusion de Pauli).
En première
approximation, ils obéissent à une relation analogue à celle
de l'électron atomique et qui s'écrit dans le cas
minimal (ou maximal de pression):
(48.102)
où d est la distance moyenne qui sépare deux électrons
voisins.
À température ,
l'équilibre est atteint quand l'énergie (la matière
de l'astre) totale du système est minimale.
Que se passe-t-il si nous essayons
d'évaluer la variation du rayon de
la Naine Blanche en fonction de sa masse ?
L'énergie potentielle gravifique d'une
étoile est donnée en bonne approximation par (cf.
chapitre de Mécanique
Classique):
(48.103)
étant
approximativement donnée par:
(48.104)
où
est la masse du proton et N le nombre de
nucléons que contient l'étoile: la contribution des
électrons à la masse de l'astre est négligeable et
il n'y a pas lieu de distinguer entre la masse du neutron et celle
du proton, presque
identiques.
La seconde contribution à l'énergie
est essentiellement celle du gaz électronique dégénéré (la
dégénérescence
correspond à l'existence de plusieurs états ayant
la même énergie),
d'origine cinétique. Nous pourrions être tentés
d'écrire simplement (en supposant que le nombre d'électrons
est égal au nombre de nucléons puisque nous sommes
pour rappel dans l'hypothèse simplificatrice d'un gaz d'hydrogène):
(48.105)
Cette manière de faire conduit à une
impasse. Si nous exigeons que la somme atteigne
une valeur minimale, nous aboutissons à une valeur du rayon
de l'étoile
tellement faible que, par application de la relation:
(48.106)
la
vitesse moyenne des électrons v dépasserait
celle de la lumière!
Pour éviter cette contradiction,
nous devons recourir à la mécanique relativiste qui nous a montré que,
dans ce cas (cf. chapitre de Relativité
Restreinte),
nous pouvons exprimer l'énergie totale comme:
(48.107)
si la valeur numérique de l'énergie
cinétique l'emporte considérablement sur l'énergie
de repos, nous avons alors:
(48.108)
et donc:
(48.109)
La distance moyenne d entre électrons s'évalue en supposant que l'étoile est homogène,
approximation suffisante dès lors que nous cherchons l'ordre de
grandeur d'une moyenne. Nous simplifions encore la géométrie en
admettant que chaque électron est entouré d'un domaine sphérique
de rayon d dans lequel il n'y a pas d'autre électron de même spin et où nous
ne pouvons compter qu'un électron de spin opposé. Dès lors:
(48.110)
Il reste à évaluer le minimum de la
somme:
(48.111)
compte tenu de la condition:
(48.112)
Il
vient encore:
(48.113)
puis:
(48.114)
que nous écrivons finalement:
(48.115)
Face à ce résultat, nous sommes confrontés
à une situation inattendue:
Si le facteur:
(48.116)
est
positif, alors l'énergie totale de la naine blanche l'est
aussi, ce qui signifie que le système n'est pas lié:
l'étoile est totalement
instable (elle n'a pas atteint son seuil d'énergie minimal).
Elle ne peut réduire son énergie qu'en augmentant
sans limites son rayon
r.
Nous voyons que le facteur
K est négatif si:
(48.117)
Si la Naine Blanche dépasse cette masse
alors nous ne pouvons plus traiter le problème avec les équations
précédentes. Elle satisfait alors aux équations régissant un astre
composé de neutrons uniquement (étoile à neutrons) et ceci constitue
alors un autre problème que nous n'aborderons pas ici pour
l'instant.
La masse (approximative) de la fameuse
"limite de Chandrasekhar" est donc donnée par:
(48.118)
Elle constitue la masse au-delà de
laquelle une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons.
Conventionnellement,
les astrophysiciens associent cette valeur limite à un facteur
multiplicateur de la masse du Soleil .
Nous avons effectivement (numériquement):
(48.119)
LIMITE DE RUPTURE DE ROTATION
Faisons l'hypothèse simplificatrice que la vitesse limite
de rotation possible d'un astre (planète ou étoile)
est celle qui équilibre la force centrifuge et force gravitationnelle à la
surface de l'astre telle que nous soyons amenés à écrire
(cf.
chapitre de Mécanique Classique):
(48.120)
Poser cette relation suppose évidemment qu'il n'y ait aucune
liaison autre que la gravité qui intervient dans la cohésion
interne de l'astre. Donc les valeurs de temps de rotation que nous
allons
obtenir représentent une borne supérieure (dans le
sens que la valeur réelle est probablement plus petite).
Il vient alors de la relation précédente:
(48.121)
Pour obtenir le temps de rotation auquel cela correspond il suffit
de diviser le périmètre à l'équateur
par cette vitesse:
(48.122)
Ainsi, pour la Terre, nous avons comme période de rotation
limite avant rupture:
(48.123)
Pour le Soleil:
(48.124)
Maintenant considérons le cas du pulsar NP0532 qui a une rotation
de 33 millisecondes. Nous souhaiterions en déterminer le rayon.
Nous avons alors en utilisant les relations précédentes:
(48.125)
En utilisant la relation théorique de la masse limite de Chandrasekhar
(puisqu'un pulsar est une étoile à neutrons tournant rapidement
sur elle-même):
(48.126)
Nous avons alors pour le rayon de plus petit pulsar possible
selon ces hypothèses:
(48.127)
Avec le pulsar milliseconde PSR J1748-2446ad ayant une période
de 1.39 millisecondes nous tombons alors sur:
(48.128)
ce qui est remarquable (même s'il s'agit d'une approximation)
de penser qu'une telle masse peut être contenue dans un si petit
rayon. À noter que pour ce dernier cela correspond à une
densité de:
(48.129)
|