Sciences.ch (Astronomie)

La cosmologie est la science qui étudie la structure, l'évolution et les lois générales de l'Univers considéré dans son ensemble (Larousse).

La mécanique céleste est la conséquence de la loi d'attraction universelle de Newton et du principe fondamental de la mécanique (cf. chapitre de Mécanique Classique), elle a pour principal objectif la description du mouvement d'objets astronomiques tels que les étoiles et planètes à l'aide des théories physiques et mathématiques.

Nous allons dans ce chapitre aborder le sujet, comme toujours sur ce site, de la manière la plus élémentaire possible.

D'abord, nous nous échaufferons avec une loi sympathique sur le vivant dans l'Univers... (l'équation de Drake). Une fois cet exercice de style accompli, nous commencerons à "énumérer" les lois de Kepler (en faisant souvent référence au chapitre de Mécanique Classique) pour ensuite étudier en détail les propriétés des orbitales képlériennes à l'aide de la mécanique et ensuite à l'aide de la relativité restreinte, ce qui nous amènera à constater une précession théorique des orbitales concernées. Ensuite, nous nous amuserons à modéliser approximativement la variation de la durée de la journée (et de la nuit) sur la Terre en fonction du mois et de la latitude. Enfin, pour terminer en beauté, nous nous lancerons dans le calcul détaillé des cinq points de Lagrange!

équation de Drake

Cette équation a été inventée (...) par F. Drake dans les années 1960 dans l'intention d'estimer le nombre de civilisations extra-terrestres dans notre galaxie avec qui nous pourrions entrer en contact. Le principal objet de cette équation pour les scientifiques est de déterminer ses facteurs, afin de connaître le nombre probable et (très) estimé de civilisations extraterrestres.

Cette équation empirique (qui reste un amusement... et dont le principe peut être appliqué à pas mal de domaines différents de la physique et de la vie...) s'écrit:

- est le nombre de planètes par étoile qui remplissent les conditions au développement de la vie

- est la fraction de planètes dont la vie s'est effectivement développée (compris entre 0 et 1)

- est la fraction de celles ou une vie intelligente s'est développée (compris entre 0 et 1)

- est la fraction qui a mis en oeuvre des moyens de communication radio (compris entre 0 et 1)

- est la fraction de temps pendant laquelle les civilisations vivront (compris entre 0 et 1)

Dans la pratique, il faut remarquer que l'équation consiste à essayer de déterminer une quantité inconnue à partir d'autres quantités qui sont tout aussi inconnues qu'elles..... Mais c'est une équation sympa à sortir et à évaluer entre amis pour passer le temps...

Il n'existe donc pas de garantie que l'on soit davantage fixé après cette estimation qu'avant (argument nommé parfois dans la littérature "garbage in, garbage out"...).

La valeur résultante peut motiver que les développements qui vont suivre ne sont pas applicables qu'à un seul système solaire dans l'Univers.... peut-être... (cela ferait beaucoup de vide gâché sinon...).

LOIS DE KEPLER

En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour d'un astre principal, sans les expliquer (à l'époque!). Elles ont été découvertes par Johannes Kepler à partir des observations et mesures (en quantité phénoménale) de la position des planètes faites par Tycho Brahé, mesures qui étaient très précises pour l'époque.

Les deux premières lois de Kepler furent publiées en 1609 et la troisième en 1618. Les orbites elliptiques, telles qu'énoncées dans ses deux premières lois, permettent d'expliquer la complexité du mouvement apparent des planètes.

Peu après, Isaac Newton découvrit en 1687 la loi de l'attraction gravitationnelle (ou gravitation), induisant celle-ci, par le calcul, les 3 lois de Kepler.

Nous allons maintenant nous efforcer à présenter ces lois de la manière la plus pertinente possible :

PREMIÈRE LOI

La "première loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi de conicité" ou encore "loi des orbites" s'énonce ainsi : Les orbites des planètes sont des coniques (ellipses) dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Au fait, il convient de préciser que ce n'est pas vraiment une "loi" dans le sens propre du terme puisque plus loin vous en trouverez la démonstration telle que :

Remarque: Le lecteur qui aura lu au préalable le chapitre de Géométrie Analytique ne sera pas étranger à cette relation...

DEUXIÈME LOI

La "deuxième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des aires", nous dit que le segment qui joint une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux (vitesse aréolaire constante) tel que :

C'est une relation qui découle de la conservation du moment cinétique comme nous l'avons déjà démontré dans le chapitre de Mécanique Classique. Donc à nouveau, son statut de "loi" est discutable dans le langage de la physique moderne!

Par ailleurs, rappelons que nous avions aussi obtenu comme résultat que le mouvement est et reste plan sans aucune action extérieure!

Nous constatons par ailleurs que cette loi nous donne que la vitesse de la planète est variable. Elle est plus grande au périhélie qu'à l'aphélie :

Ceci se vérifie pour la Terre par exemple. En effet cette dernière est plus proche du Soleil en hiver (pour l'hémisphère Nord) et elle a alors une vitesse sur trajectoire un peu plus élevée qu'en été; le temps de parcours est donc plus faible (l'hiver compte moins de jours que les autres saisons).

TROISIÈME LOI

La "troisième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des périodes", s'énonce ainsi : Les carrés des périodes de révolution T sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes D des orbites:

A nouveau, nous verrons plus loin que le statut de "loi" n'est plus justifiable à notre époque puisqu'il est possible de démontrer cette relation dont l'expression sera détaillée un tout petit peu plus loin comme étant réellement :

Bien évidemment, Kepler n'a pas d'emblée publié ses trois lois dans cette provocante simplicité. Leur ordre actuel n'est d'ailleurs pas celui de leur énonciation... Elles sont en réalité à dénicher au milieu d'un foisonnement de spéculations physiques et de réflexions sur l'harmonie du monde.

LOI DE LA GRAVITATION DE NEWTON

Pour vérifier l'exactitude de son hypothèse, Newton (relativement longtemps après) retrouva les lois de Kepler à partir de la loi de la gravitation, donnant ainsi l'explication du mouvement général des planètes.

Newton considéra pour déterminer la loi de gravitation une planète théorique, gravitant autour du Soleil sur une orbite circulaire à vitesse constante v. Pendant une orbite complète, la planète parcourt une distance égale à la circonférence du cercle de rayon R, soit

, en un temps (sa période) égal à cette distance divisée par sa vitesse, soit:

Newton s'appuie ensuite sur la troisième loi de Kepler avec toujours l'hypothèse d'une orbite circulaire.

Nous posons maintenant que equation

divisé par la constante est une nouvelle constante (que nous noterons de la même manière que la première bien qu'elle ne lui soit pas égale) tel que :

Ensuite, nous renversons les termes, cette expression devient (tout en notant que l'inverse de la constante d'origine est elle aussi une constante):

Par un autre calcul nous avons déjà établi dans le chapitre de Mécanique Classique l'expression de la force centrifuge:

Il existerait donc une force opposée à la force centrifuge qui maintient la cohésion orbitale et qui s'écrit:

Il est trivial que la masse centrale M du système orbital doit intervenir d'une façon ou d'une autre dans cette constante. Si la masse du corps secondaire intervient de façon proportionnelle dans la force centrifuge, l'envie est grande de faire de même avec la masse du corps central. Donc:

maintenant a priori il n'y aurait plus de paramètres à prendre en compte. La constante restante est là pour satisfaire à l'analyse dimensionnelle de telle façon que l'on ait des "Newtons" (nom donné à l'unité de force) des deux côtés de l'égalité. Les scientifiques ont déterminé avec grande précision cette "constante gravitationnelle" notée G qui a priori semble universelle et qui a comme valeur :

Evidemment il ne s'agit nullement d'une vraie démonstration car nous nous sommes basés sur les observations expérimentales de Kepler. Par contre à partir de la relativité générale il est possible de la démontrer (sous certaines hypothèses...)!

Remarque: En égalisant force centrifuge et force gravitationnelle il est assez facile d'obtenir une approximation de la vitesse de rotation des planètes sur leur orbite. Le lecteur qui fera le calcul verra que le chiffre tourne pour les planètes du système solaire une vitesse de l'ordre de 100'000 [km/h]

A partir de cette dernière relation, revenons brièvement sur notre troisième loi de Kepler et détaillons là un peu pour montrer qu'elle est valable pour tout type d'orbite conique et afin de déterminer sa l'expression de sa constante.

Exprimée dans le repère de Frenet (cf. chapitre Géométrie Différentielle), et décomposée en son accélération normale (centripète) et tangentielle, l'accélération par rapport à un référentiel géocentrique (dans le cas d'un référentiel situé au centre de masse du système l'expression change un peu) s'écrit :

Finalement la troisième loi de Kepler se retrouve alors fréquemment dans la littérature sous la forme suivante :

A partir de cette loi de la gravitation, nous pouvons retrouver toutes les lois de Newton. D'ailleurs nous l'avons déjà fait pour la deuxième et troisième loi de Newton puisque ce sont ces dernières que nous avons utilisé pour obtenir cette relation (c'est cependant un peu le serpent qui se mange la queue...).

Identiquement au champ électrique (cf. chapitre d'Électrostatique), nous pouvons développer:

Comme le champ électrique dérive d'un potentiel électrique, identiquement, le champ gravitationnel dérive lui aussi d'un potentiel gravitationnel. En effectuant le même développement qu'en électromagnétisme pour la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous démontrons que:

où

est le "potentiel gravitationnel" et qui varie en raison inverse de la distance relative des corps (ceci confirmant ce que nous avions démontré lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes) et vaut donc :

Remarque: Nous retrouverons souvent ce potentiel dans le chapitre de Relativité Générale. Il convient donc de s'en souvenir si possible.

Remarque: Evidemment en l'absence de champ nous avons

et donc

sera nul.

Comme en électromagnétisme à nouveau, nous démontrons comme nous l'avons fait pour la première équation de Maxwell que:

Si nous exprimons cette équation en fonction d'un potentiel gravitationnel

(noté aussi souvent par la lettre U comme en Électrostatique...), nous obtenons :

qui n'est d'autre que "l'équation de Newton-Poisson" que nous retrouverons aussi lors de notre étude de la relativité générale (elle y a une place importante pour des raisons de validation de la théorie d'Einstein)!

Cette équation signifie que la théorie newtonienne de la gravitation se résume à dire que le champ gravitationnel est décrit par un seul potentiel

engendré par la densité volumique de masse et déterminant l'accélération d'une particule d'épreuve plongée dans le champ extérieur

Amusons nous maintenant un peu avec l'équation de la gravitation de Newton pour obtenir quelques résultants intéressants et curieux :

Soit r la distance d'un objet du centre à l'extérieur de la Terre nous avons :

Maintenant, à l'intérieur de la Terre en notant la distance par rapport au centre par la lettre r et la masse centrale par M ', nous avons :

Pour de nombreuses personnes ce résultat est assez contre intuitif (faites un petit sondage dans votre entourage vous verrez).

SPHÉRISATION DES CORPS CÉLESTES

A l'aide de la loi de Newton nous pouvons répondre à pas mal de questions pertinentes de manière approximative et nous donnant des résultats tout à fait probants.

Un premier exemple et de se demander à quelle échelle il y a une transition du domaine des formes (les astéroïdes, lunes de Mars, comètes, etc.) au domaine des sphères (planètes et grandes lunes)? Pourquoi les satellites de Mars, Phobos et Deimos, ont une forme patatoïde tandis que notre lune est à peu près sphérique. Nous allons voir que ceci est dû à la masse qui est plus important dans le cas de notre lune. Effectivement, à partir d'une certaine masse, les formes géométriques quelconques ne sont plus possibles.

Pour aborder cette étude nous allons d'abord estimer la hauteur maximale d'une montagne sur une planète. Le Mont Everest a une altitude de 8.8 [km] tandis que le Mont Olympus sur Mars est de 27 [km]. Pourquoi de telles montagnes ne peuvent existe sur Terre?

Pour prendre une approche simpliste, nous allons supposer qu'une montagne doit être en équilibre hydrostatique. Nous connaissons expérimentalement la pression limite type dans un réseau cristallin de roches au delà de laquelle les roches commencent à "couler" :

Nous connaissons de par notre étude la mécanique des milieux continus (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) que la pression à la base d'une montagne de hauteur h sera donnée dans l'approximation hydrostatique :

En supposant une densité moyenne de

(croûte continentale de la Terre) nous obtenons :

Pour estimer la taille minimale

d'un astre, à partir de laquelle la forme sphérique devient prédominante par rapport aux déformations de la surface (c'est-à-dire :où la gravitation a pris le dessus sur les forces interatomique) , nous allons exiger que la taille

soit supérieure à la hauteur maximale d'une montagne

. Nous supposons aussi que la densité

reste constante à travers l'astre. En reprenant la relation :

APLATISSEMENT DES CORPS CÉLESTES

A cause de la symétrie du potentiel gravitationnel une étoile ou une planète devrait avoir une forme parfaitement sphérique à partir d'une certaine taille comme nous venons de le voir. Or, il n'est pas ainsi.

Dû à la rotation propre de l'astre, un terme centrifuge vient de modifier le potentiel, ce terme dépend de la latitude ce qi explique la forme ellipsoïdale.

où R est le rayon équatorial de l'astre à laquelle vient s'ajouter l'accélération centrifuge à une latitude donnée de rayon r :

explique simplement que la Terre est aplatie aux pôles (ou selon le point de vue : étirée à l'équateur...) et que plus une planète tourne vide, plus elle sera aplatie aux pôles.

Sur Terre, le rayon équatorial est de 6379 [km] tandis que le rayon polaire est de 6357 [km]. La différence est de 22 [km]. "L'aplatissement" d'une planète peut être exprimé comme :

soit la différence entre rayon équatorial et le rayon polaire divisé par le rayon équatorial.

Bien qu'un ellipsoïde de révolution soit la meilleure description pour la forme d'une planète :

il y a des imperfections entre le modèle et la réalité pour certains corps du système solaire (en particulier les planètes telluriques, les satellites, et les petits corps rocheux). Le géopotentiel d'une planète réelle peut avoir une forme nettement plus compliquée à cause des influences des inhomogénéités visibles de la surface comme l'atteste cette image satellite de la Terre omettant les parties liquides de la Terre (les déformations ont été un peu exagérées sur l'image ci-dessous) :

Les géodésistes tiennent compte de ces inhomogénéités. Ils mesurent et décrivent la forme des planètes qu'ils appellent "géoïdes".

STABILITÉ DES ATMOSPHÈRES

En comparant les vitesses de libération et les vitesses de divers gaz, nous pouvons expliquer la stabilité de certaines atmosphères et l'inexistence d'autres. Nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que la vitesse de libération d'un astre sphérique était donnée par la relation suivante (sur laquelle nous reviendrons aussi dans le chapitre de Relativité Générale):

Nous pouvons à l'aide des développements effectués dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus lors de notre détermination de la température cinétique. Rappelons que nous y avions démontré la relation suivante :

Une application numérique donne pour l'azote

et pour l'hydrogène

avec une température arbitraire de 300 [°K].

Donc l'azote est nettement piégé dans l'atmosphère terrestre. L'hydrogène, gaz léger, donc rapide l'est moins. Les deux gaz sont encore moins retenus par la Lune.

Remarque: En fait, la vitesse quadratique moyenne n'est pas la vitesse unique des molécules. Il y a une distribution des vitesses. Nous avons effectivement vu que la distribution de Maxwell-Boltzmann d'un gaz à l'équilibre dans le chapitre de Mécanique Statistique.

LIMITE DE ROCHE

La limite de Roche est la distance théorique en dessous de laquelle un satellite commencerait à se disloquer sous l'action des forces de marée causées par le corps céleste autour duquel il orbite, ces forces dépassant la cohésion interne du satellite.

Nous pouvons simplifier le problème en considérant le satellite liquide et en le décomposant en deux petites masses m de rayon r et de masse volumique .

La planète est une sphère de rayon R, de masse M, de masse volumique

, située à une distance D du satellite.

La force de cohésion du satellite résulte dans l'attraction gravitationnelle entre les 2 masses :

Le satellite est détruit si la différence de force entre les 2 masses est supérieure à la force de cohésion

trajectoires d'orbitales kepleriennes

L'observation (outil principal du physicien pour rappel) semble montrer qu'à première vue, les trajectoires suivies par les corps célestes en orbite autour d'astres sont bien de type coniques (ouf!). Sachant cela, nous pouvons afin de faciliter les calculs, anticiper la complexification des calculs et exprimer directement la dynamique d'un point matériel en des coordonnées polaires.

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, la vitesse en coordonnées polaires s'exprime par la relation (nous avons changé la lettre grecque de notation de l'angle pour nous adapter à la tradition):

où pour rappel le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième l'accélération tangentielle et le quatrième l'accélération de Coriolis (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Maintenant que nous avons les outils nécessaires, attaquons nous au cas des orbites képlériennes dans le cas d'un champ Newtonien.

Cependant, il est peu probable que le corps principal soit une sphère parfaite et homogène... Les astrophysiciens ont donc l'habitude de noter le potentiel Newtonien U sous la forme:

où

est appelée "constante de gravitation de l'astre" et où f est une fonction représentant les hétérogénéités de l'astre.

S'il est un endroit de l'univers où les lois de la mécanique sont parfaitement vérifiables, c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrêmement faibles. Dans le champ d'une seule force dérivant d'un potentiel, le mouvement vérifie la conservation de l'énergie mécanique.

Nous aboutissons ainsi à l'équation dite de l'énergie, dans laquelle E désigne "l'énergie spécifique" par unité de masse (kilogramme) envoyé.

La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre O du corps principal. Il en résulte la conservation du moment cinétique en norme et en direction, soit:

Le vecteur

est l'unitaire de

ou de

appelé "moment cinétique réduit". K est la constante des aires (cf. chapitre de Mécanique Classique) telle que:

Nous rappelons que la norme de la vitesse exprimée en coordonnées polaires plane est donné par la relation (n'oubliez pas que les deux vecteurs de la base polaire sont orthogonaux et que l'on peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la norme comme il l'a été démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel du site):

Plaçons-nous dans le plan orbital, en coordonnées polaires. Nous possédons deux intégrales premières dépendant des deux constantes essentielles E et K.

En égalant avec l'expression de

résultant de la conservation de l'énergie, nous avons:

Et là nous nous demandons comment nous pouvons faire pour nous en sortir. Après quelques heures de réflexions... nous nous rendons compte qu'il faut faire une substitution. Après une autre heure de chaos neuronal cela finit par aboutir. Nous décidons de poser (nous en avons tout à fait le droit), sachant que r est une fonction u de

Nous avons deux solutions suivant le signe que nous choisissons. Cependant à la fin de la résolution, nous remarquons que le seul choix physiquement intéressant est le signe négatif. Ainsi:

Nous laissons, par approximation, de côté la constante d'intégration qui impliquerait des très faibles oscillations sur la trajectoire de l'orbite (si vous faites une étude ou un TP sur le sujet, communiquez-moi les graphiques que vous obtenez avec ou sans la constante, cela m'intéresserait).

Or, nous voyons que notre choix du signe pour l'intégration se justifie pleinement puisque maintenant, si nous faisons un petit rappel sur les coniques, nous voyons que nous avons:

où e est l'excentricité (rapport du petit axe

) et p le paramètre focal (

) d'une ellipse. Ce qui correspond bien aux trajectoires que suivent les astres en orbite.

Le lecteur vérifiera comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique lors de notre étude des coniques que si :

PÉRIODE ORBITALE KEPLERIENNE

La loi des aires permet comme nous le savons déjà de calculer la période orbitale képlérienne T. En effet, l'aire S de l'ellipse valant

(cf. chapitre sur les Formes Géométriques) et ayant déjà déterminé lors de la définition du moment cinétique la relation (cf. chapitre de Mécanique Classique):

Par ailleurs, l'étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) nous a montré que :

DÉFLEXION CLASSIQUE DE LA LUMIÈRE

Les calculs effectués précédemment peuvent s'appliquer à un cas intéressant : la déviation de la lumière par un astre selon une interprétation newtonienne (bien évidemment!).

en posant

les relations trigonométriques élémentaires (cf. chapitre de Trigonométrie) nous donnent :

en négligeant l'énergie potentielle du photon puisque

, nous avons (attention!!! rappelons que selon ce que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte, le photon n'a pas de masse rigoureusement!):

et comme

est supposé petit, nous avons à l'aide du développement de Taylor de la fonction tangente (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) :

La théorie Newtonienne prévoit donc une déviation de 0.87 secondes d'arc pour un rayon lumineux frôlant la surface solaire. Ce qui est deux fois moins que ce qui peut être observé expérimentalement et que ce que donne la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale)!

prÉcession du pÉrihÈlie

Avant d'étudier la précession des orbites, nous souhaiterions rappeler que le champ gravitationnel et un champ conservatif et central. Ceci implique donc que le moment cinétique (cf. chapitre de Mécanique Classique) est constant et que la trajectoire a lieu dans un plan dont le vecteur normal à la surface conserve toujours la même direction (le vecteur moment cinétique est constant en norme et en direction pour rappel!).

Nous nous attaquerons à l'analyse de la précession du périhélie en prenant en compte les résultats de la théorie de la relativité restreinte (cela permettant d'être plus fin dans les résultats obtenus et de pouvoir appliquer ces mêmes résultats aux électrons en orbite autour du noyau de l'atome).

D1. Le "périhélie" est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché de l'étoile autour duquel il tourne.

D2. "L'aphélie" est le point de l'orbite d'un objet (planète, comète, etc.) où il est le plus éloigné de l'étoile autour duquel il tourne.

D3. "L'équinoxe" est l'instant où le l'étoile centrale traverse l'équateur de l'objet qui est en orbite autour de lui.

Remarque: Lorsque le Soleil passe de l'hémisphère Sud à l'hémisphère Nord de la Terre (en d'autres termes que le Soleil se trouve au Zénith à l'équateur à midi), c'est l'équinoxe de printemps (20 ou 21 mars), dans le sens inverse, c'est l'équinoxe d'automne (22 ou 23 septembre). A ces dates, il y a égalité du jour et de la nuit sur toute la Terre.

Evidemment, le résultat que nous obtiendrons ne sera pas complet, puisque comme nous le savons, il a fallu attendre le développement de la relativité générale pour donner avec exactitude la précession du périhélie de Mercure (nous y reviendrons).

Pour calculer cet effet de précession, nous allons rechercher l'équivalent d'une formule dite "formule de Binet" sous forme relativiste (nous verrons la forme classique dans le chapitre de Relativité Générale). Nous procédons comme suit :

Le lagrangien relativiste du système (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

Remarque: Nous soustrayons l'énergie au repos car seulement nous intéresse ici l'étude de l'énergie cinétique et potentielle.

Remarque: Pour déterminer l'expression de la vitesse en coordonnées polaires, nous avons utilisé le résultat de nos calculs du chapitre de Calcul Vectoriel.

- nous recherchons une relation du type

(puisque la trajectoire est une conique):

Effectivement car rappelons qu'en coordonnées polaires la vitesse est donnée par l'expression suivante:

Effectivement, le lagrangien étant constant au cours du temps (le système est conservatif !), nous avons donc:

Pour rechercher une solution à cette équation différentielle, nous allons grouper la variable u dans le membre de gauche:

Nous trouvons alors une simple équation différentielle dont la solution est bien connue:

Pour déterminer les constantes

nous nous plaçons d'abord dans la situation pour laquelle

, où r est minimal et donc par définition u maximal.

Et l'intérêt d'écrire cela ainsi est de remarquer que nous retombons sur l'équation d'une ellipse avec p étant le paramètre focal de la conique étant aussi donné par (cf. chapitre de Géométrie Analytique):

La trajectoire est toujours une ellipse mais l'angle

qui était nul au départ est devenu

Etant donné que

, un développement en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

Donc en conclusion, il y a un avancement du périhélie s'effectuant dans le sens de rotation du satellite. Pour un référentiel situé dans le plan de rotation du satellite, la trajectoire est toujours une ellipse.

par demi-période. Soit en explicitant le moment cinétique donné pour rappel par:

Nous allons maintenant nous permettre une approximation assez grossière (mélange de relativiste et non relativiste). Soit à considérer la dernière relation, nous avons obtenu lors de nos développements des trajectoires d'orbitales képlériennes la relation :

Malheureusement, les valeurs numériques pour Mercure ne donnent qu'une précession de 7'' d'angle par siècle et non pas les 43'' d'angle par siècle attendus (...) il manque un facteur 6 que seulement la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale) permet de trouver. Il est néanmoins intéressant de constater que la relativité, même restreinte, donne déjà une orbite qui précesse là où Newton voit une ellipse stable et que cette approximation fonctionne pour toutes les planètes exceptées Mercure (planète la plus proche du Soleil et subissant de plein fouet la courbure de l'espace-temps).

Remarque: En appliquant exactement le même raisonnement pour la physique quantique corpusculaire (potentiel électrique) mais avec les constantes ad-hoc vues dans le chapitre d'Électrostatique, nous trouvons :

(47.177)

avec étant le moment cinétique et dans le cas de l'atome nous prendrons (cf. chapitres Physique Quantique Corpusculaire):

(47.178)

avec la masse réduite valant:

(47.179)

Si les positions du périhélie (et donc de l'aphélie) du barycentre Terre-Lune étaient constantes dans le temps, la durée des différentes saisons serait, elle aussi constante. Mais l'orbite du barycentre Terre-Lune tourne lui aussi dans son plan dans le sens direct à raison d'environ 12'' par an (soit une révolution en environ 100'000 ans).

La précession des équinoxes s'effectue dans le sens contraire (sens rétrograde) à raison d'environ 50'' par an (soit une révolution en environ 26'000 ans). La combinaison de ces deux mouvements permet de calculer la période du passage du périhélie de la Terre par la direction de l'équinoxe de printemps, cette période d'environ 21'000 ans est appelée précession climatique.

En effet, tous les 10'500 ans (demi-période de la précession climatique) l'aphélie passe de l'été à l'hiver. Or même si la distance Terre-Soleil n'est pas le facteur prédominant dans la nature des saisons, la combinaison du passage de la Terre à l'aphélie en hiver donne des hivers plus rudes. La distance Terre-Soleil dépend également de la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre (due aux planètes extérieures et intérieures). Ainsi, les périodes glacières sont corrélées avec les minima de l'excentricité de l'orbite terrestre.

Les travaux de l'institut de mécanique céleste (France), depuis les années 1970, ont permis de confirmer définitivement les prédictions théoriques comme quoi la l'excentricité de l'orbite terrestre subit de larges variations formées de nombreux termes périodiques dont les plus importants ont des périodes voisines de 100'00 ans, et pour l'un d'eux, une période de 400'000 ans. Ces résultats confirment les variations climatiques de la Terre au cours de l'ère quaternaire. Les paléoclimatologies montrent en effet la corrélation entre les variations des éléments de l'orbite terrestre et les grandes glaciations du quaternaire.

Remarque: Dans le cas de l'atome d'hydrogène (voir le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire traitant du modèle relativiste de Sommerfeld) avec :

et la constante de structure fine égale approximativement à ~1/137, nous obtenons pour la précession du périhélie de l'orbite donnée:

equation (47.181)

selon un point de vue corpusculaire de la matière! (ce qui nous le savons n'est plus à l'ordre du jour).

DURÉE DE L'ARC DIURNE

Nous allons nous intéresser à la durée du jour, plus exactement à la portion de journée où nous sommes éclairés par le soleil, par rapport à la nuit où nous nous trouvons dans l'ombre.

Remarque: Merci à Xavier Hubaut pour ces très sympathiques développements.

Dans la réalité, la Terre tourne autour du soleil et décrit une orbite presque circulaire en même temps elle tourne sur elle-même autour de son axe qui est incliné d'environ 23°27' sur le plan de son orbite (l'écliptique).

Remarque: Il est évident qu'étant donnée la complexité du problème, nous le simplifierons en considérant une orbite circulaire, sans variations (précession, nutation) de l'axe de rotation de la Terre, nous supposerons que le soleil est réduit à un point (pas d'aurore, ni de crépuscule, etc.).

Rappelons que la précession est le changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet quand un couple (de force) lui est appliqué alors que la nutation est un balancement périodique de l'axe de rotation de la Terre autour de sa position moyenne en plus de la précession.

Représentons la Terre avec son axe de rotation vertical; en conséquence l'équateur sera situé dans un plan horizontal.

Supposons que ce jour-là, la Terre soit dans une position telle que les rayons du soleil forment un angle

avec le plan de l'équateur (ou que réciproquement la Terre forme un angle avec le plan de l'équateur). Remarquons que cet angle

sera toujours compris selon les mesures actuelles entre -23°27' et + 23°27'.

Pour que les choses soient plus gaies, nous avons choisi de faire notre analyse sur un jour où

est positif. Ainsi, dans l'hémisphère nord nous sommes proches du solstice d'été !

Nous chercherons donc durée du jour à un endroit situé à une latitude

? Pour fixer les idées, plaçons-nous dans les environs de Bruxelles à 50° de latitude Nord.

Considérons maintenant les figures ci-dessous où la première correspond à une vue de la Terre de côté à un instant t de son orbite lorsque

et la seconde à une coupure cylindrique de rayon NJ (correspond au rayon du parallèle de Bruxelles) du volume de la Terre à ce même instant :

Sur les figures ci-dessus, C désigne le centre de la Terre, et O le centre du parallèle de Bruxelles.

Fixons un instant t et désignons par M (matin) et S (soir) les deux points du parallèle de Bruxelles où le soleil se lève et se couche (ces points seront considérés comme fixes quelque soit t pour l'instant, ce qui est bien évidemment erroné par rapport à la réalité), tandis que J (jour) et N (nuit) seront ceux où il est respectivement midi et minuit.

P sera le point sur le disque correspondant au parallaxe de Bruxelles où le plan du méridien de midi (le plan dont un des côtés est NJ) coupe la droite MS.

Enfin,

désignera l'angle (où O est donc le centre du disque généré par le parallèle de Bruxelles) qui sous-tend la partie éclairée par le Soleil et r désignera le rayon

Pour simplifier le problème, supposons que pendant 24 heures la Terre tourne sur elle-même sans modifier la position de son axe de rotation par rapport au Soleil.

Or, en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques (cf. chapitre de Trigonométrie). Nous avons :

Or, il nous faut encore injecter le paramètre

. Connaissant la latitude

de Bruxelles, nous avons :

Aux équinoxes (c'est-à-dire quand l'équateur est confondu avec le plan de l'écliptique), nous avons

et donc :

Or, comme nous l'avons spécifié au début, il faut prendre la valeur absolue donc :

En d'autres, quelque soit la latitude que nous prenons, l'angle formé par la zone de nuit est égale à l'angle formé par la zone de jour (les deux étant égal à

Prenons maintenant le solstice d'été, lorsque

en considérant toujours la latitude de Bruxelles

, nous avons :

En résumé pour calculer la durée du jour, il suffit de connaître deux choses: la latitude du lieu et l'angle selon lequel le soleil tombe sur le plan de l'équateur à la date choisie. La valeur de cet angle est bien connue aux équinoxes (il vaut 0°) et aux solstices (il vaut +23°27' et -23°27').

La réponse est fort simple. Imaginons-nous, assis sur le Soleil regardant tout au long de l'année en direction du centre de la Terre.

Au cours de sa rotation autour du Soleil, l'axe de rotation de la Terre conserve son inclinaison sur l'écliptique. Vu du Soleil, cet axe tournera autour d'une normale au plan de l'écliptique et décrira donc un cône dont le demi-angle au sommet vaut 23°27' (voir figure plus bas).

L'angle d'attaque

des rayons solaires sur le plan de l'équateur variera donc en fonction de la date

(nous associons à la date, l'angle

parcouru par la Terre sur son orbite, à partir de sa position à l'équinoxe de printemps)

Par conséquent l'angle

variera en fonction de la date

de manière sinusoïdale.

Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par ce raisonnement semi-intuitif, voici une autre approche :

Pour la lisibilité du schéma, nous avons fortement exagéré l'angle formé par l'axe de rotation de la Terre avec l'écliptique.

Soit C le centre de la Terre, A l'extrémité d'un vecteur unité

dirigé suivant l'axe de rotation de la Terre (soit perpendiculaire au plan de l'équateur) et

un autre vecteur unité dirigé vers le Soleil. Soit maintenant

l'angle du rayon CS avec le plan de l'équateur et

l'angle entre les vecteurs unitaires

. Nous avons alors :

Effectivement, le vecteur

étant perpendiculaire au plan de l'équateur il forme un angle droit avec celui-ci dès lors puisque l'angle

est l'angle entre ce vecteur et l'écliptique

en est le complémentaire.

Décomposons maintenant

en la somme de

dirigé perpendiculairement au plan de l'écliptique et de

situé dans le plan de l'écliptique :

A présent le problème est résolu et la durée du jour sera fonction de deux variables: la date

et la latitude

Avec les outils informatiques à notre disposition, nous pouvons aisément calculer la valeur de

. Nous avons par exemple ci-dessous les variations de la durée du jour sur une année à des latitudes allant de 0 à 90° réparties de 10 en 10°

A partir de la latitude du cercle polaire, nous observons, en été, des périodes avec soleil ininterrompu (soleil de minuit) et, en hiver, des journées entières de nuit.

Pour Bruxelles (latitude=50°) nous voyons sur le graphique que la durée du jour varie approximativement entre les valeurs de 16h (solstice d'été) et 8h (solstice d'hiver).

POINTS DE LAGRANGE

Un "point de Lagrange" (noté L), ou "point de libration", est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, se combinent de manière à fournir un point d'équilibre à un troisième corps de masse négligeable, tel que les positions relatives des trois corps soient fixes.

Nous allons dans les développements qui vont suivre nous attarder à démontrer au mieux que de tels points sont au nombre de 5 notés respectivement L1à L5.

Il peut être utile de faire une présentation de ces différents points et de leurs propriétés avant de passer à la partie calculatoire. Cela aidant peut être à la compréhension du sujet.

Nous considérons un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre mais sur une même ligne. Cet objet subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre, et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, le point L1, la vitesse angulaire de l'objet devient exactement égale à celle de la Terre.

Le principe est similaire au cas précédent, de l'autre côté de la Terre. L'objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l'accélérer. À un certain point, le point L2, l'objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil.

De manière identique au point L2, il existe un point situé un peu plus loin que l'opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

- L4 et L5 : Sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les deux masses.

Il s'agit d'un subtil équilibre entre la force centripète exercée par les deux masses principales et la force centrifuge des masses considérées aux points intéressés. L4 est en avance sur la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces deux points sont parfois appelés "points de Lagrange triangulaires" ou "points troyens".

Fait remarquable, ces deux derniers points ne dépendent en rien des masses relatives des deux autres corps comme nous le verrons.

Pour les trois premiers points de Lagrange, la stabilité n'apparaît que dans le plan perpendiculaire à la ligne occupée par les deux masses. Par exemple, pour le point L1, si nous déplaçons un objet perpendiculairement à la ligne entre les deux masses, les deux forces gravitationnelles vont jouer pour le ramener vers la position initiale. L'équilibre est stable. En revanche, si nous le déplaçons vers une des deux masses, alors le champ de celle-ci va l'emporter sur l'autre et l'objet tendra à se rapprocher encore plus. L'équilibre est instable. Pour les points L4 et L5, la stabilité est obtenue grâce aux forces de Coriolis qui agissent sur les objets s'éloignant du point.

Étant données les questions de stabilité évoquées plus haut, nous ne trouvons pas d'objet naturel autour des points L1, L2 et L3 dans le système solaire. Cependant, ils représentent tout de même un intérêt pour les réalisations scientifiques, car ils permettent des économies de combustible pour le contrôle d'orbite et d'attitude. Ceci n'est pas valable pour le point L3, du fait de son éloignement de la Terre dont la seule application était que les auteurs de science-fiction et de bande dessinée aimaient y placer une Anti-Terre d'autant plus utopique que la masse de cette planète-jumelle y était bien trop élevée par rapport à la théorie énoncée plus haut. En revanche, des missions spatiales utilisent L1 et L2 : c'est le cas de la sonde SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) une station d'observation du Soleil située au point L1.

L4 et L5 étant stables, nous y trouvons de nombreux corps naturels. Dans le système Jupiter-Soleil, plusieurs centaines d'astéroïdes, appelés astéroïdes Troyens, s'y agglutinent (près de 1800 en avril 2005). Nous en comptons quelques-uns dans les systèmes Neptune-Soleil et Mars-Soleil. Curieusement, il semblerait que le système Saturne-Soleil ne soit pas en mesure d'en accumuler, à cause des perturbations joviennes. Nous trouvons également des objets à ces points dans le système Saturne-satellites de Saturne : Saturne-Téthys avec Télesto et Calypso aux points L4 et L5, et Saturne-Dioné avec Hélène au point L4 et Pollux au point L5. Dans le système Terre-Soleil, il n'y a pas d'objet connu de grande taille aux points Troyens, mais on y a découvert une légère surabondance de poussière en 1950. De légers nuages de poussière sont également présents pour le système Terre-Lune; cela a fait renoncer à y placer un télescope spatial comme le projet en avait été envisagé. Le satellite SoHO occupe depuis 1995 le point L1 à 1.5 million de kilomètres de la Terre. En 2007 le point L2 sera occupé par le satellite Planck chargé d'étudier le fond diffus cosmologique à 2.7 [°K].

A strictement parler ces 5 points existent uniquement pour deux corps en rotation circulaire l'un autour de l'autre. Dès que l'orbite des deux corps est elliptique, ces points ne sont plus des points d'équilibre. En pratique, si l'orbite est faiblement elliptique, comme c'est le cas pour les planètes réelles, on peut trouver des orbites oscillantes stables ne s'écartant pas beaucoup des régions correspondant aux points de Lagrange.

Nous allons donc considérer dans l'espace un système isolé de deux corps A et B, de masse

, en interaction gravitationnelle. Ces deux corps sont en orbite l'un autour de l'autre, à la manière d'un système de deux étoiles (système binaire) ou d'un système planète-satellite (Saturne-Titan par exemple). Nous cherchons à déterminer s'il existe des positions d'équilibre par rapport au système des deux corps en rotation pour un troisième corps (de masse suffisamment faible pour ne pas perturber le mouvement du système des deux corps principaux).

Soit O le barycentre (cf. chapitre de Mécanique Classique) de ces deux astres. Considérons un repère galiléen (en mouvement rectiligne et uniforme donc!) d'origine O. Par rapport à ce repère, nous supposerons que l'axe AB tourne à une vitesse angulaire constante

d'axe fixe

(perpendiculaire à la page dans la figure ci-dessus et dirigé en direction du lecteur) et que les distances

restent également constantes.

Nous savons par notre étude de la mécanique classique que dans un mouvement circulaire la force centrifuge est donnée par:

Nous avons donc (équilibre en force centrifuge et centripète) pour assurer l'équilibre :

Considérons un repère tournant R' lié à nos astres comme représenté sur la figure ci-dessus :

sera un vecteur unitaire colinéaire à AB,

un vecteur unitaire perpendiculaire à

et dans le plan de rotation des planètes et finalement

colinéaire à

Nous considérons dans ce repère tournant (avec les astres) un troisième astre S de masse négligeable m devant

, soumis à l'attraction gravitationnelle de A et B.

Maintenant notons

l'accélération de S par rapport à R',

sa vitesse et

le vecteur unitaire colinéaire à

où S ' est le projeté de S dans le plan Oxy, et

(dans la figure ci-dessus, nous avons supposé S dans le plan Oxy, et donc S et S ' sont confondus).

S est donc soumis à deux forces, l'une

dirigée vers A et l'autre

dirigée vers B, forces d'intensités respectives :

Dans un repère galiléen, ces deux forces imposent à S une accélération donnée par la loi de composition des accélérations dans un référentiel circulaire (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

Or, dans notre configuration la pulsation est constante et l'accélération d'entraînement est nulle puisque nous avons posé R ' comme référentiel principal. Il vient donc :

où selon schéma toutes les composantes sont positives. Le calcul du produit vectoriel donne (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

Nous obtenons alors, en projetant sur les trois axes x, y et z, les dérivées prises par rapport au temps t le système suivant :

pour que les coordonnées

du point S soit un point d'équilibre, il est bien évidemment que dans le référentiel tournant avec les astres A et B que :

Il vient par ailleurs immédiatement que la troisième équation à pour seule solution

et donc finalement le système se réduit à :

La troisième équation signifie simplement que les positions d'équilibre sont dans le plan Oxy (on pouvait s'en douter un peu...). La deux autres nous le verrons nous amènent à considérer cinq solution qui sont simplement nos cinq points de Lagrange L1,...,L5.

Si nous traçons avec un logiciel ad-hoc l'accélération (respectivement la force) avec les isoclines mises en évidences (courbes sur lesquelles l'accélération à même norme) nous obtenons :

et en demandant au logiciel de tracer que les isoclines projetées sur un plan :

où nous avons mis en évidence les cinq points de Lagrange tels et où les astres sont représentés par des points bleus et le barycentre du système par un point vert.

Le lecteur remarquera qu'il est difficile de deviner intuitivement cette configuration du potentiel. Dans le référentiel tournant avec le barycentre des deux corps massifs, le potentiel résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnel présente 3 extrema L1, L2 et L3 sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement. Les deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent au fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant ce qui peut être difficile à modéliser intuitivement.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU PREMIER TYPE

Ce que nous entendons par les positions d'équilibre du premier type sont simplement les solutions situées sur la droite AB tel que

ce qui revient à étudier seulement :

A cette situation nous allons considérer deux sous-cas possibles correspondant respectivement à L1 et L2 comme nous allons de suite le voir.

POINT L1 DE LAGRANGE

Maintenant pour dire quelque chose sur les solutions possibles de cette équation dérivons le membre de gauche. Nous obtenons alors :

Ce terme est strictement croissant de

lorsque x décrit

. Il y a donc une solution unique et un point d'équilibre noté L1 (premier point de Lagrange) entre A et B.

Si nous considérons typiquement le cas Terre-Soleil où

et donc

alors en

nous avons :

ce qui immédiatement négatif. La position d'équilibre sera donc obtenu pour une valeur positive de x que nous allons devoir déterminer.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque

tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O,

vers 0 et donc :

En d'autres termes, le point d'équilibre cherché L1 ici entre A et B se rapproche de B soit de l'astre le moins massif (ce qui correspond bien à la première figure que nous avons utilisé pour montrer l'emplacement des cinq points de Lagrange).

De par ce constat voici les développements que nous pouvons effectuer les calculs suivants :

La distance entre les deux astres A et B demeurant constante et égalant

nous écrivons :

Mais puisque

nous pouvons grossièrement la première relation sous la forme approximative suivante :

Selon le cas limite étudié précédemment, nous pouvons donc supposer L voisin de A tel qu'abusivement il soit possible d'écrire :

Maintenant la troisième loi de Kepler (cf. chapitre de Mécanique Classique) nous donne :

Puisque

est très supérieur à 1 et en admettant que

le soit aussi nous avons :

Un cas particulier du point L1 à considérer est lorsque

, alors

, O est alors le milieu de AB. Nous avons alors :

Parmi les quatre racines évidentes de cette équation la seule solution acceptable est

pour satisfaire

. En d'autres termes le point d'équilibre situé entre deux astres de même masse n'est autre que le barycentre de ces deux astres.

POINT L2 DE LAGRANGE

Le membre de gauche est une fonction strictement croissante de x de

lorsque x décrit

. Il y a donc une solution unique, et un point d'équilibre au delà de B. Ce point est noté L2.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque

tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O,

vers 0 et donc :

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera

. Le point L2 finit donc par se confondre avec B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant relativement à notre situation limite précédente :

Nous avons alors quasiment les mêmes développements que pour L1 à la différence que :

Un cas particulier à nouveau de L2 est lorsque

, alors

, O est alors le milieu de AB. Nous avons alors :

Il n'est plus possible d'extraire les racines ici. Il faut passer par une approximation numérique. Dans Maple, il suffit de mettre :

POINT L3 DE LAGRANGE

Le membre de gauche est une fonction strictement croissante de x de

lorsque x décrit

. Il y a donc une solution unique, et un point d'équilibre au delà de A. Ce point est noté L3.

Cette valeur peut être obtenu en considérant un cas limite : lorsque

tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O,

vers 0 et donc :

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera

. Le point L3 finit donc par se confondre avec la position diamétralement opposée à B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant relativement à notre situation limite précédente :

et celle-ci aussi (puisque OA tend vers zéro lorsque l'astre A devient très massif) :

où à la limite où l'astre A est vraiment massif nous tombons sur le premier terme...

Remarque: Chez certains auteurs de science-fiction, ce point L3 à l'opposé de la Terre par rapport au Soleil nous cacherait une hypothétique planète qui nous serait perpétuellement cachée par le Soleil.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU DEUXIÈME TYPE

Les positions d'équilibre du deuxième type sont donc celles pour lesquelles

. En d'autres termes les points situés hors de la droite AB, mais dans le plan Oxy.

POINT L4, L5 DE LAGRANGE

Pour déterminer les autres points d'équilibre restant, nous pouvons diviser la deuxième équation du système par y tel que le système devienne :

Retranchons à la première équation la deuxième multipliée par x. Nous obtenons alors pour la première :

Reprenons maintenant, en toute généralité, notre schéma du début en rajoutant quelques éléments :

où AB est le distance entre A et B et D est le centre de masse du système donné par :

Il est facile de vérifier que la somme des deux distances précédentes est égale à C et leur proportion

. Une autre forme de DB (qui nous sera utile) s'obtient en divisant numérateur et dénominateur par

Nous savons selon nos calculs précédents que

mais cela est insuffisant. Nous voulons encore connaître les angles des sommets A, B, S et c'est ce dont à quoi nous allons nous intéresser maintenant.

Dans ce cadre, si un satellite en S est en équilibre, il restera toujours à la même distance de A ou de B. Le centre de rotation des 3 points est le point D, la masse A elle-même tourne autour de lui. Si le satellite, en S, reste stabilisé, les trois corps ont la même période orbitale T. Si S est immobile dans ce cadre en rotation il ne sera pas soumis à la force de Coriolis mais uniquement à la force centrifuge, aussi bien de celle de A que de B.

Notons

la vitesse de rotation de B et

la vitesse de rotation de S. Nous avons alors :

Cela exprime simplement le fait bien connu que si deux objets tournent conjointement, le plus éloigné de l'axe est le plus rapide. Les vitesses sont proportionnelles aux distances de l'axe.

La force centrifuge sur B est en équilibre avec la force gravitationnelle de A s'exprime par :

Elle est équilibrée par les forces d'attraction et

des corps A et B. Néanmoins, seules les composantes de ces forces situées sur la ligne R s'opposent efficacement à cette force centrifuge. D'où :

Il y a aussi les forces s'appliquant à S et perpendiculaires à R doivent s'annuler. Si non, le corps S suivrait la masse la plus importante et ne resterait pas en position et ne serait donc plus en équilibre. Il faut donc que :

De toutes les équations obtenues jusqu'à maintenant les seules qui nous dérangent sont les vitesses et les angles

. Il faut donc que nous arrivions à éliminer ce qui convient pour n'avoir que les deux derniers paramètres (soit les angles).

Nous avons donc éliminé la vitesse de B. Maintenant, multiplions les deux côtés par

et divisons par

et multiplions par R :

et comme nous avons démontré au début

que nous noterons R'. Nous avons alors :

Nous pouvons maintenant remarquer une chose (faut le voir...). Si

(soit que le triangle ABS est équilatéral) la relation précédente se simplifie en :

Ce qui n'est d'autre que le théorème des sinus pour le triangle SDB (cf. chapitre de Trigonométrie) et est donc certain. En reprenant en arrière, nous pouvons maintenant prouver toutes les équations précédentes sont satisfaites si et seulement si ABS est équilatéral. Si nous n'avions pas posé ABS comme équilatéral, nous aurions obtenu une relation différente du théorème des sinues, sans vérification possible, et l'ensemble des équations exigées pour l'équilibre au point S n'auraient pu être satisfaites.

ABS (ou ABL peu importe l'écriture), forme alors un triangle équilatéral. Les deux points d'équilibre sont notés L4 et L5. L4 est situé en avance par rapport à l'astre de masse la plus petite, et L5 en retard.

En 2000, 385 astéroïdes en L4 et 188 astéroïdes en L5 ont été comptabilisés sur l'orbite de Jupiter, mais situés précisément selon un triangle équilatéral avec le Soleil et Jupiter de part et d'autre de Jupiter : ce sont les planètes troyennes. Il a également été observé deux objets au point L5 de Mars découverts en 1990 et 1998.