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Arithmétique

THÉORIE DE LA DÉMONSTRATION | NOMBRES | OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES
THÉORIE DES NOMBRES
| THÉORIE DES ENSEMBLES | PROBABILITÉS | STATISTIQUES

5. THÉORIE DES ENSEMBLES

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-04-14 00:47:58 | {oUUID 1.707}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Lors de notre étude des nombres, des opérateurs, et de la théorie des nombres (dans les chapitres du même nom), nous avons assez souvent utilisé les termes "groupes", "anneaux", "corps", "homomorphisme", etc. et continuerons par la suite à le faire encore de nombreuses fois. Outre le fait que ces concepts soient d'une extrême importance, permettant de faire des démonstrations ou de construire des concepts mathématiques indispensables à l'étude de la physique théorique contemporaine (physique quantique des champs, théories des cordes, modèle standard,...), ils permettent de comprendre les composants et les propriétés de base de la mathématique et de ses opérateurs en rangeant ceux-ci par catégories distinctes. Ainsi, choisir de mettre la théorie des ensembles en tant que cinquième chapitre de ce site est un choix tout à fait discutable puisque rigoureusement c'est par là que tout commence... Cependant, nous avions besoin d'exposer quand même la théorie de la démonstration ne serait-ce que pour les notations et les méthodes dont il sera fait usage ici.

Par ailleurs, lors de l'enseignement des mathématiques modernes dans le secondaire, voire primaire (années 1970), on introduisit le langage des ensembles et l'étude préalable des relations binaires pour une approche plus rigoureuse de la notion de fonctions et d'applications (voir la définition plus loin) et de la mathématique en général.

Définition: Nous parlons de "diagramme sagittal" (ou de "schéma sagittal" du latin sagitta = flèche) pour tout schéma représentant une correspondance entre les composantes de deux ensembles reliés totalement ou partiellement par un ensemble de flèches.

exempleExemple:

La représentation graphique d'une fonction définie de l'ensemble E={-3,-2,-1,0,1,2,3} vers l'ensemble F={0,1,2,3,...9} conduirait au diagramme sagittal ci-dessous:

equation
Figure: 5.1 - Fonction d'un ensemble de définition à un autre ensemble d'arrivée

Une relation de E dans E fournirait un diagramme sagittal du type:

equation
Figure: 5.2 - Fonction renvoyant dans son propre ensemble de définition

Le bouclage de chaque élément montrant une "relation réflexive" et la présence systématique d'une flèche retour indiquant une "relation symétrique".

Définition: Si l'ensemble d'arrivée est identique à l'ensemble de départ, nous disons que nous avons une "relation binaire".

Cependant le choix d'introduire la théorie des ensembles dans les classes d'école a une raison aussi un peu autre. Au fait, dans un souci de rigueur interne (in extenso: non liée à la réalité), une très grande partie des mathématiques a été reconstruite à l'intérieur d'un seul cadre axiomatique, dénommé donc "théorie des ensembles", dans le sens où chaque concept mathématique (autrefois indépendant des autres) est ramené à une définition dont tous les constituants logiques proviennent de ce même cadre: elle est considérée comme fondamentale. Ainsi, la rigueur d'un raisonnement effectué au sein de la théorie des ensembles est garantie par le fait que le cadre est "non-contradictoire" ou "consistant". Voyons les définitions qui construisent ce cadre.

Définitions:

D1. Nous appelons "ensemble" toute liste, collection ou rassemblement d'objets bien définis, explicitement ou implicitement.

D2. Un "Univers" U est un objet dont les constituants sont des ensembles.

Il faut noter que ce que les mathématiciens appellent "univers" n'est pas un ensemble! En fait il s'agit d'un modèle qui satisfait aux axiomes des ensembles.

Effectivement, nous verrons que nous ne pouvons pas parler de l'ensemble de tous les ensembles (ce n'est pas un ensemble), pour désigner l'objet qui est constitué de tous les ensembles ainsi, nous parlons d'univers.

D3. Nous appelons "éléments" ou "membres de l'ensemble" les objets appartenant à l'ensemble et nous notons:

  equation   (5.1)

si p est un élément de l'ensemble A et dans le cas contraire: 

equation   (5.2)

Si B est une "partie" de A, ou "sous-ensemble" de A, nous notons cela: 

equation  ou equation   (5.3)

dès lors:

equation   (5.4)

Nous identifions également un ensemble soit en listant ses éléments (pas toujours forcément dénombrables par ailleurs!), soit en donnant la définition de ses éléments (nombres pairs, impairs, diviseurs entiers de..., etc.).

exempleExemples:

E1. equation 

E2. equation

D4. Nous pouvons munir les ensembles d'un certain nombre de relations qui permettent de comparer leurs éléments (c'est utile parfois...) ou de comparer certaines de leurs propriétés. Ces relations sont appelées "relations de comparaisons" ou "relations d'ordre" (cf. chapitre sur les Opérateurs).

Remarques:

R1. La structure d'ensemble ordonné a été mise en place à la base dans le cadre de la théorie des Nombres par Cantor et Dedekind.

R2. Comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Opérateurs, equation sont totalement ordonnés par les relations usuelles equation. La relation equation, souvent dite "d'ordre strict", n'est pas une relation d'ordre car non réflexive et non antisymétrique (cf. chapitre sur les Opérateurs). Par exemple, dans equation, la relation "a divise b", souvent notée par le symbole " | ", est un ordre partiel.

R3. Si R est un ordre sur E et F est une partie de E, la restriction à F de la relation R est un ordre sur F, dit "ordre induit par R dans F".

R4. Si R est un ordre sur E, la relation R' définie par:

equation   (5.5)

est un ordre sur E, dit "ordre réciproque" de R. L'ordre réciproque de l'ordre usuel equation est l'ordre noté equation ainsi que l'ordre réciproque de l'ordre "a divise b" dans equation est l'ordre "b est multiple de a".

L'ensemble est l'entité mathématique de base, dont l'existence est posée: il n'est pas défini en tant que tel, mais par ses propriétés, données par les axiomes. Il fait appel à une procédure humaine: une sorte de fonction de catégorisation, qui permet à la pensée de distinguer plusieurs éléments qualifiés d'indépendants.

Nous pouvons démontrer à partir de ces concepts, que le nombre de sous-ensembles d'un ensemble de cardinal n est equation.

Démonstration:

Il y a d'abord l'ensemble vide equation, soit 0 élément choisi parmi n, in extenso equation (notation du coefficient binomial non conforme à la norme ISO 31-11!) conformément à ce que nous avons vu dans le chapitre de Probabilités:

equation   (5.6)

et ainsi de suite...

Le nombre de sous-ensembles (cardinal) de E correspond donc à la sommation de tous les coefficients binomiaux:

equation   (5.7)

Or, nous avons (cf. chapitre de Calcul Algébrique):

equation   (5.8)

Donc:

equation   (5.9)

equationC.Q.F.D.

exempleExemple:

Considérons l'ensemble equation, nous avons l'ensemble des parties P(S) constitué par:

- "L'ensemble vide": equation

- Les "singletons": equation

- Les "duets": equation

- Lui-même: equation

Tel que:

equation   (5.10)

Ce qui fait bien 8 éléments!

Remarque: L'ordre dans lequel sont différenciés les éléments ne rentre pas en compte lors du comptage des parties de l'ensemble de départ.

En mathématique appliquée, nous travaillerons presque exclusivement avec des ensembles de nombres. Nous nous restreindrons donc à l'étude des définitions et propriétés de ces derniers.

Maintenant, formalisons les concepts de base permettant de travailler avec les ensembles les plus courants que nous rencontrons dans les cursus scolaires de base.

AXIOMATIQUE DE ZERMELO-FRAENKEL

L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, abrégée "axiomatique ZF-C", présentée ci-dessous a été formulée par Ernst Zermelo puis précisée par Adolf Abraham Fraenkel au début du 20ème siècle et complétée par l'axiome du choix (d'où le C majuscule dans ZF-C). Elle est considérée comme la plus naturelle dans le cadre de la théorie des ensembles.

Remarque: Il existe bien d'autres axiomatiques, basées sur le concept plus général de "classe", comme celle développée par von Neumann, Bernays et Gödel (pour les notations, voir le chapitre traitant de la Théorie De La Démonstration).

Strictement et techniquement parlant, les axiomes de ZF sont des énoncés du calcul des prédicats du premier ordre (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes.

A1. Axiome d'extensionnalité:

Deux ensembles sont égaux si, et seulement si ils ont les mêmes éléments. C'est ce que nous notons:

equation   (5.11)

Donc A et B sont égaux si tout élément x de A appartient aussi à B et tout élément x de B appartient aussi à A.

A2. Axiome de l'ensemble vide: 

L'ensemble vide existe, nous le notons:

equation   (5.12)

et il n'a aucun élément, son cardinal vaut donc 0.

En réalité cet axiome peut être déduit à partir d'un autre axiome que nous verrons un peu plus loin mais il est pratique à introduire en tant que tel par commodité pédagogique dans les petites classes.

A3. Axiome de la paire:

Si A et B sont deux ensembles, alors, il existe un ensemble C contenant A et B et eux seuls comme éléments. Cet ensemble C se note alors {A, B}.

Du point de vue des ensembles considérés comme des éléments cela donne:

equation   (5.13)

Cet axiome montre aussi l'existence du "singleton" (single=seul) d'un ensemble noté:

{X}   (5.14)

qui est un ensemble dont le seul élément est X (donc de cardinal unitaire). Il suffit pour cela d'appliquer l'axiome en posant l'égalité entre A et B.

A4. Axiome de la somme (dit aussi "axiome de l'union" ou encore "axiome de la réunion"):

Cet axiome permet de construire la réunion d'un ensemble. Dit de façon plus commune: la réunion d'une famille quelconque d'un ensemble, est un ensemble.

La réunion d'une famille quelconque d'un ensemble est souvent noté:

equation   (5.15)  

ou si nous prenons certain de ses éléments:

equation   (5.16)

A5. Axiome des parties (dit aussi "axiome de l'ensemble des parties"): 

Il exprime que pour tout ensemble A, l'ensemble de ses parties P(A) existe.

Donc à tout ensemble A, nous pouvons associer un ensemble B qui contient exactement les parties (in extenso les sous-ensembles) C du premier:

equation   (5.17)

Nous avons déjà vu un tel exemple plus haut avec equation:

equation   (5.18)

A6. Axiome de l'infini:

Cet axiome exprime le fait qu'il existe un ensemble infini. Pour le formaliser, nous disons qu'il existe un ensemble, dit "ensemble autosuccesseur" K contenant equation (l'ensemble vide) tel que si x appartient à K, alors equation appartient également à K:

K est autosuccesseur: equation   (5.19)

Cet axiome exprime donc que l'ensemble des entiers existe. Effectivement, equation est ainsi le plus petit ensemble autosuccesseur, au sens de l'inclusion equation et par convention nous notons (où nous construisons l'ensemble des naturels):

equation   (5.20)

A7. Axiome de régularité (dit aussi "axiome de fondation"): 

Le but principal de cet axiome est d'éliminer la possibilité d'avoir A comme élément de lui-même.

Ainsi, pour tout ensemble non vide A, il existe un ensemble B qui est élément de A tel qu'aucun élément de A ne soit élément de B (il faut bien différencier le niveau du langage utilisé, un ensemble et ses éléments n'ont pas le même statut) ce que nous notons:

equation   (5.21)

et en conséquence nous obtenons ce que nous voulons. c'est-à-dire:

equation   (5.22)

Démonstration:

En effet, soit A un ensemble tel que equation. Considérons le singleton {A}, ensemble dont le seul élément est A. D'après l'axiome de fondation, nous devons avoir un élément de ce singleton qui n'a aucun élément en commun avec lui. Mais le seul élément possible est A lui-même, c'est-à-dire que nous devons avoir:

equation   (5.23)

Or par hypothèse, equation et par constructionequation. Donc equation, ce qui contredit l'assertion précédente. Dès lors:

equation   (5.24)

equationC.Q.F.D.

A8. Axiome de remplacement (dit aussi "schéma de remplacement"): 

Cet axiome exprime le fait que si une formule f est une fonctionnelle alors pour tout ensemble A, il existe un ensemble B constitué exactement des images des éléments A par cette fonction.

Soient, de manière un peu plus formelle, l'ensemble A d'éléments a et la relation binaire f (qui est donc en toute généralité une fonctionnelle), il existe un ensemble B constitué des éléments b tel que f(a,b) soit vraie. Si f est une fonction où b est non libre cela signifie alors que:

equation et equation   (5.25)

De manière technique nous écrivons cet axiome sous la forme:

equation   (5.26)

Donc pour tout ensemble A et tout élément qu'il contient, il existe un et un seul b défini par la fonctionnelle f tel qu'il existe un ensemble B où pour tout élément a appartenant à l'ensemble A il existe un b appartenant à l'ensemble B défini par la fonctionnelle f.

Voyons un exemple avec le prédicat binaire suivant qui pour la valeur de tout a de A détermine la valeur de tout b de B:

equation   (5.27)

Donc de la connaissance que a vaut 1 nous en dérivons que b vaut 2 et de manière similaire (in extenso par remplacement) si a vaut 3, nous en dérivons que b vaut 4.

Nous voyons bien au travers de ce petit exemple la relation forte qu'il y a à considérer le prédicat P comme une fonction naïve! Par ailleurs, comme il y une infinité possible de fonctions f, le schéma de remplacement est considéré comme une infinité d'axiomes.

A9. Axiome de sélection (dit aussi "schéma de compréhension"):

Cet axiome exprime simplement que pour tout ensemble A et toute propriété P exprimable dans le langage de la théorie des ensembles, l'ensemble des éléments de A qui satisfont la propriété P existe.

Donc de manière plus formelle, à tout ensemble A et toute condition ou proposition P(x), il correspond un ensemble B dont les éléments sont exactement les éléments x de A pour lesquels P(x) est vraie. C'est ce que nous notons:

equation   (5.28)

De manière plus complète et rigoureuse nous avons en réalité pour toute fonctionnelle f ne comportant pas a comme variable libre:

equation   (5.29)

C'est typiquement l'axiome qui nous sert à construire l'ensemble des nombres pairs:

equation   (5.30)

ou à démontrer l'existence de l'ensemble vide (et qui rend caduc l'axiome de l'ensemble vide) car il suffit de poser qu'il existe un ensemble satisfaisant la propriété:

equation   (5.31)

et ce quel que soit l'ensemble A. Et seulement l'ensemble vide satisfait cette propriété de par l'axiome de sélection.

Le respect des conditions très strictes de cet axiome permet d'éliminer les paradoxes de la "théorie naïve des ensembles", comme le paradoxe de Russel ou le paradoxe de Cantor qui ont invalidé la théorie naïve des ensembles.

Considérons par exemple l'ensemble R de Russell de tous les ensembles qui ne s'auto-contiennent pas (notez bien que nous donnons une propriété de R sans expliciter quel est cet ensemble):

equation   (5.32)

Le problème est de savoir si R se contient ou non. Si equation, alors, R s'auto-contient, et, par définition equation et inversement. Chaque possibilité est donc contradictoire.

Si maintenant nous désignons par C l'ensemble de tous les ensembles (l'Universel de Cantor), nous avons en particulier:

equation   (5.33)

ce qui est impossible (c.-à-d. par exemple avec la puissance du continu de l'ensemble de réels), d'après le théorème de Cantor (cf. chapitre Nombres).

Ces "paradoxes" (ou "antinomies syntaxiques") proviennent d'un non-respect des conditions d'application de l'axiome de sélection: pour définir E (dans l'exemple de Russel), il doit exister une proposition P qui porte sur l'ensemble R, qui doit être explicitée. La proposition définissant l'ensemble de Russell ou celui de Cantor n'indique pas quel est l'ensemble E. Elle est donc invalide!

Un exemple fort sympathique et fort connu (c'est la raison pour laquelle nous le présentons) permet de mieux comprendre (il s'agit du paradoxe de Russel dont nous avons déjà parlé plus longuement dans le chapitre de Théorie De La Démonstration):

Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier lui répondit: "Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."

En quoi donc, une telle affirmation si simple put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune étudiant si malin ?

La réponse est en effet innocente, jusqu'au moment où nous décidons de l'appliquer au cas du barbier: Se rase-t-il lui-même, Oui ou Non?

Supposons qu'il se rase lui-même: il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas.... Donc il ne rase pas lui-même........

Très bien! Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même: il entre alors dans la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous. Donc il se rase lui-même.

Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange: s'il se rase lui-même, il ne se rase pas, et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase. Cette logique est autodestructrice, stupidement contradictoire, rationnellement irrationnelle.

Vient alors l'axiome de sélection: Nous excluons le barbier de l'ensemble des personnes auxquelles s'applique la déclaration. Car en réalité, le problème vient du fait que le barbier est un élément de l'ensemble de tous les hommes de la cité. Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes ne s'applique pas au cas individuel du barbier.

A10. Axiome du choix:

Étant donné un ensemble A d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble B (l'ensemble de choix pour A) contenant exactement un élément pour chaque membre de A.

Indiquons cependant que la question de l'axiomatisation et donc des fondements se trouva quand même ébranlée de deux questions à l'époque de leur construction: quels axiomes valides doivent être choisis et dans un système d'axiomes la mathématique est-elle cohérente (ne risque-t-on pas de voir apparaître une contradiction)?

La première question fut soulevée d'abord par l'hypothèse du continu: si nous pouvons mettre deux ensembles de nombres en correspondance terme à terme, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal). Nous pouvons mettre en correspondance les entiers avec les rationnels comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Nombres, ils ont donc même cardinal, nous ne pouvons par contre mettre en correspondance les entiers avec les réels. La question est alors de savoir s'il y a un ensemble dont le nombre d'éléments serait situé entre les deux ou pas? Cette question est importante pour construire la théorie classique de l'analyse et les mathématiciens choisissent en général de dire qu'il n'y en a pas, mais nous pouvons aussi dire le contraire.

En fait l'hypothèse du continu est liée de manière plus profonde à l'axiome du choix qui peut aussi être formulé de la manière suivante: si C est une collection d'ensembles non vides alors nous pouvons choisir un élément de chaque ensemble de la collection. Si C a un nombre fini d'éléments ou un nombre dénombrable d'éléments, l'axiome semble assez évident: nous pouvons ranger les ensembles de C en les numérotant, et le choix d'un élément dans chaque ensemble est simple. Là où ça se complique c'est lorsque l'ensemble C a la puissance du continu: comment choisir des éléments s'il n'y pas la possibilité de les numéroter?

Finalement en 1938 Kurt Gödel montre que la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse du continu aussi bien qu'avec! Et pour clore tout ça Paul Cohen montre en 1963 que l'axiome du choix et l'hypothèse du continu ne sont pas liés.

CARDINAux

Définition: Des ensembles sont dits "équipotents" s'il existe une bijection (correspondance biunivoque) entre ces ensembles. Nous disons qu'ils ont alors même "cardinal" que la norme ISO 3111 préconise d'écrire card mais sur le présent site internet nous utiliserons tantôt card que Card.

Ainsi, plus rigoureusement, un cardinal (qui quantifie le nombre d'éléments contenus dans l'ensemble) est une classe d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs) pour la relation d'équipotence.

Remarque: Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles, sous une forme que nous qualifions aujourd'hui de "théorie naïve des ensembles". Mais, à côté de considérations élémentaires, sa théorie comportait des niveaux d'abstraction élevés. La vraie nouveauté de la théorie de Cantor, c'est qu'elle permet de parler de l'infini. Par exemple, une idée importante de Cantor a justement été de définir l'équipotence.

Si nous écrivons equation en tant qu'égalité de cardinaux, nous entendons alors par là qu'il existe deux ensembles équipotents A et B tels que:

equation  et equation   (5.34)

Les cardinaux peuvent donc être comparés. L'ordre ainsi défini est une relation d'ordre total (cf. chapitre sur les Opérateurs) entre les cardinaux (la preuve que la relation d'ordre est totale utilise l'axiome du Choix et la preuve qu'elle soit antisymétrique est connue sous le nom de théorème de Cantor-Bernstein que nous démontrons d'ailleurs plus bas).

Dire que equation signifie dans un vocabulaire simple que A est équipotent à une partie propre de B, mais B n'est équipotent à aucune partie propre de A. Les mathématiciens diraient que le Card(A) est plus petit ou égal au Card(B) s'il existe une injection de A dans B.

Nous avons vu lors de notre étude des nombres, en particulier des nombres transfinis, qu'un ensemble équipotent (ou en bijection) à equation était dit "ensemble dénombrable".

Voyons cette notion un petit peu plus dans les détails:

Soit A un ensemble, s'il existe un entier n tel qu'il y ait au moins à chaque élément de A un correspondant dans l'ensemble {1,2,...n}(au fait rigoureusement il s'agit d'une bijection... concept que nous définirons plus tard) nous disons alors que le cardinal de A, noté Card(A) ou card(A), est un "cardinal fini" et vaut n.

Dans le cas contraire, nous disons que l'ensemble A est de "cardinal infini" et nous posons:

equation    (5.35)

Un ensemble A est donc "dénombrable" s'il existe une bijection entre A et equation. Un ensemble de nombre A est "au plus dénombrable" s'il existe une bijection entre A et une partie equation. Un ensemble au plus dénombrable est donc soit de cardinal fini, soit dénombrable.

Nous vérifions dès lors les propositions suivantes:

P1. Une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

P2. Un ensemble contenant un ensemble non-dénombrable n'est lui aussi pas dénombrable.

P3. Le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable.

Remarque: Nous pouvons restreindre un ensemble de nombres par rapport à l'élément nul et aux éléments négatifs ou positifs qu'il contient et dès lors nous notons (exemple pour l'ensemble des réels):

equation   (5.36)

Ces notions étant analogues pour equation (l'ensemble des nombres complexes n'étant pas ordonné, la deuxième et troisième ligne ne s'y appliquent pas).

Donc tout sous-ensemble infini de equation est équipotent à equation lui-même, ce qui peut sembler contre-intuitif au premier abord...!

En particulier, il y a autant d'entiers naturels pairs que d'entiers naturels quelconques (utiliser la bijection equation) de equation vers P, où P désigne l'ensemble des entiers naturels pairs. Autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels, autant d'entiers relatifs que de nombres rationnels (voir le chapitre traitant des nombres pour les démonstrations).

Nous pouvons donc écrire:

equation   (5.37)

et plus généralement, toute partie infinie de equation est dénombrable.

Nous avons donc un résultat important: tout ensemble infini possède donc une partie infinie dénombrable.

Puisque nous avons démontré dans le chapitre traitant des nombres que l'ensemble des réels avait la "puissance du continu" et que l'ensemble des nombres naturels était de cardinal transfini equation, Cantor souleva la question s'il existait un cardinal transfini entre equation et le cardinal de equation? Autrement dit, nous avons donc une quantité infinie de nombres entiers, et une quantité encore plus grande de nombres réels. Alors, existe-t-il un infini qui soit à la fois plus grand que celui des entiers et plus petit que celui des nombres réels?

Le problème se posa en notant bien évidemment equation le cardinal de equation et (nouveauté) equation le cardinal de equation et en proposant de démontrer ou de contredire que:

equation   (5.38)

selon la loi combinatoire qui donne le nombre d'éléments de l'ensemble que l'on peut obtenir à partir de tous les sous-ensembles d'un ensemble (tel que nous l'avons démontré précédemment).

Le reste de sa vie, Cantor essaya, en vain, de démontrer ce résultat que l'on nomma "l'hypothèse du continu". Il n'y réussit pas et sombra dans la folie. En 1900, au congrès international des mathématiciens, Hilbert estima qu'il s'agissait là d'un des 23 problèmes majeurs qui devraient être résolus au 20ème siècle.

Ce problème se résout d'une façon assez étonnante. D'abord, en 1938, un des plus grands logiciens du 20ème siècle, Kurt Gödel, démontra que l'hypothèse de Cantor n'était pas réfutable, c'est-à-dire qu'on ne pourrait jamais démontrer qu'elle était fausse. Puis en 1963, le mathématicien Paul Cohen boucla la boucle. Il démontra qu'on ne pourrait jamais non plus démontrer qu'elle était vraie!!! Nous pouvons conclure à juste raison que Cantor avait perdu la raison à chercher à démontrer un problème qui ne pouvait pas l'être.

pRODUIT CARTÉSIEN

Si E et F sont deux ensembles, nous appelons "produit cartésien de E par F" l'ensemble noté equation(à ne pas confondre avec le produit vectoriel) formé de tous les couples possibles equatione est un élément de E et f un élément de F.

Autrement écrit:

equation   (5.39)

Nous notons le produit cartésien de E par lui-même: 

equation   (5.40)

et nous disons alors equation est "l'ensemble des couples d'éléments de E".

Nous pouvons effectuer le produit cartésien d'une suite d'ensembles equation et ainsi obtenir l'ensemble des n-uplets equationequation.

Dans le cas où tous les ensembles equation sont identiques à E, le produit cartésien equationse note bien évidemment equation. Nous disons alors que equation est "l'ensemble des n-uplets d'éléments de E".

Si E et F sont finis alors le produit cartésien equationest fini. De plus:

equation   (5.41)

De là, nous voyons que si les ensembles equation sont finis alors le produit cartésien equationest aussi fini et nous avons:

equation   (5.42)

En particulier:

equation    (5.43)

si E est un ensemble fini.

exempleExemples:

E1. Si equation est l'ensemble des nombres réels, equation est alors l'ensemble des couples de réels. Dans le plan rapporté à un repère, tout point M admet des coordonnées qui sont un élément de equation.

E2.  Lorsque nous lançons deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, chaque dé peut être symbolisé par l'ensemble equation.  Le résultat d'un lancer est alors un élément de equation. Le cardinal de equation est alors 36.  Il y a donc 36 résultats possibles quand nous lançons 2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Remarque: La théorie des ensembles ainsi que le concept de cardinal constituent la base théorique des logiciels de bases de données relationnelles.

BORNES

Soit M un ensemble de nombres quelconques de façon à ce que equation (exemple particulier mais fréquent). Nous avons comme définitions:

D1. equation est appelé "borne supérieure" ou "majorant" de l'ensemble M, si equation pour equation. Inversement, nous parlons de "borne inférieure" ou de "minorant" (il ne faut donc pas confondre le concept de borne avec le concept d'intervalle!).

D2. Soit equation. equation est appelé "plus petite borne supérieure" noté:

equation  (5.44)

de M si x est une borne supérieure de M et si pour toute borne supérieure equation nous avons equation. Inversement, nous parlons de "plus petite borne inférieure" que nous notons:

equation   (5.45)

Les définitions sont équivalentes dans le cadre de l'analyse fonctionnelle (voir chapitre du même nom) puisque les fonctions sont définies sur des ensembles.

Effectivement, soit f  une fonction dont le domaine de définition I balaie tout equation. Ce que nous notons:

equation    (5.46)

et soit equation.

Définitions:

D1. Nous disons que f présente un "maximum global" en equation si:

equation   (5.47)

D2. Nous disons que f présente un "minimum global" en equation si:

equation   (5.48)

Dans chacun de ces deux cas, nous disons que f présente un "extremum global" en equation (c'est un concept que nous retrouverons souvent dans le chapitre de Mécanique Analytique et Méthodes Numériques!).

D3. f est "majorée" s'il existe un réel M tel que equation. Dans ce cas, la fonction possède une borne supérieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

equation   (5.49)

et elle représente donc la plus petite borne supérieure (le plus petit majorant).

D4. f est "minorée" s'il existe un réel M tel que equation. Dans ce cas, la fonction possède une borne inférieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

equation   (5.50)

et elle représente la plus grande borne inférieure (le plus grand minorant).

D4. Nous disons que f  est "bornée" si elle est à la fois majorée et minorée (c'est le cas des fonctions trigonométriques).

OPÉRATIONS ENSEMBLISTES

Nous pouvons construire à partir d'au moins trois ensembles A,B,C, l'ensemble des opérations (dont nous devons les notations à Dedekind) existant dans la théorie des ensembles (très utiles dans l'étude des probabilités et statistiques). 

Remarque: Certaines des notations présentes ci-dessous se retrouveront fréquemment dans des théorèmes complexes, il est donc nécessaire de bien comprendre de quoi il en retourne.

Ainsi, nous pouvons construire les opérations ensemblistes suivantes:

INCLUSION

Dans le cas le plus simple, nous définissons "l'inclusion" par:

equation   (5.51)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: A est "inclus" (ou "fait partie", ou encore est un "sous-ensemble") dans B alors pour tout x appartenant à A chacun de ces x appartient aussi à B:

equation
Figure: 5.3 - Exemple visuel de l'inclusion

où le U dans le coin inférieur droit de la figure représente l'univers (de Cantor).

De ceci il en découle les propriétés suivantes:

P1. Si equation et equation alors cela implique equation=equation et réciproquement.

P2. Si equation et equation alors cela implique equation.

INTERSECTION

Dans le cas le plus simple, nous avons:

equation   (5.52)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: "L'intersection" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B:

equation
Figure: 5.4 - Exemple visuel de l'intersection

Plus généralement, si equation est une famille d'ensembles indexés par equation, l'intersection des equation est notée:

equation   (5.53)

Cette intersection est donc définie explicitement par:

equation   (5.54)

C'est-à-dire que l'intersection de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x qui se trouvent dans chaque ensemble de tous les ensembles de la famille.

Soient deux ensembles A et B, nous disons qu'ils sont "disjoints" si et seulement si:

equation   (5.55)

Par ailleurs, si:

equation   (5.56)

Les mathématiciens notent cela:

equation   (5.57)

et l'appellent "union disjointe".

On plaisante parfois en disant que la connaissance se construit sur la disjonction... (ceux qui comprendront apprécieront...).

Définition: Une collection equation d'ensembles non vides forment une "partition" d'un ensemble A si les propriétés suivantes sont vérifiées:

P1. equation et equation

P2. equation

exempleExemples:

E1. L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de equation.

E2. La loi d'intersection equation est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

equation   (5.58)

RÉUNION/UNION

Dans le cas le plus simple, nous avons:

equation   (5.59)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "réunion" ou "union" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A et en plus dans B:

equation
Figure: 5.5 - Exemple visuel de la réunion

Plus généralement, si equation est une famille d'ensembles indexés par equation, l'union des equationest notée equation. Cette réunion est définie par:

equation   (5.60)

C'est-à-dire que la réunion de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x pour lesquels il existe un ensemble indexé par i tel que x soit inclus dans cet ensemble equation.

Nous avons les propriétés de distributivité suivantes:

equation   (5.61)

equation   (5.62)

La loi de réunion  equation est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

equation   (5.63)

Nous appelons par ailleurs "lois d'idempotences" les relations (précisons cela pour la culture générale):

equation   (5.64)

et "lois d'absorptions" les lois:

equation   (5.65)

Les lois de réunion et d'intersection sont associatives telles que:

equation   (5.66)

et distributives telles que:

equation   (5.67)

DIFFÉRENCE

Dans le cas le plus simple, nous avons:

equation   (5.68)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "différence" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A (et qui excluent donc les éléments de B):

equation
Figure: 5.6 - Exemple visuel de la différence

Si nous nous rappelons du concept de "cardinal" (voir plus haut), nous avons avec les opérations précédemment définies, la relation suivante:

equation   (5.69)

d'où si equation:

equation   (5.70)

DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE

Soit U un ensemble. Pour tout equation nous définissons la différence symétrique equation entre A et B par:

equation   (5.71)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "différence symétrique" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A et de ceux se trouvant uniquement dans B (nous laissons donc de côté les éléments qui sont communs):

equation
Figure: 5.7 - Exemple visuel de la différence symétrique

Les propriétés triviales sont les suivantes:

P1. equation

P2. equation (pour la notion de complémentarité voir plus loin)

P3. equation

PRODUIT

Dans le cas le plus simple, nous avons:

equation   (5.72)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: "l'ensemble produit" (à ne pas confondre avec la multiplication ou le produit vectoriel) de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples tels que:

equation   (5.73)

L'ensemble produit des réels equation par exemple forme le plan où chaque élément est défini par une abscisse et son ordonnée. Nous retrouvons souvent les ensembles produits en mathématiques et en physique lors que nous travaillons avec des fonctions. Par exemple, une fonction de deux variables réelles qui donne un réel en sortie sera noté:

equation   (5.74)

mais cette notation n'est à ma connaissance pas normalisée et il en existe de nombreuses variantes.

COMPLÉMENTARITÉ

Dans le cas le plus simple, nous avons:

equation   (5.75)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: Le "complémentaire" est défini comme en prenant B un ensemble et A un sous-ensemble de B alors le complémentaire de A dans B est l'ensemble des éléments qui sont dans B mais pas dans A.

Par exemple, dans la figure ci-dessous nous avons le complémentaire de A par rapport à U qui est indiqué en gris (s'il est seul il s'agit donc de l'univers seul qui l'entoure):

equation
Figure: 5.8 - Exemple visuel de la complémentarité

Une autre notation très importante de la complémentarité qu'on retrouve parfois dans la littérature est la suivante:

equationou equation   (5.76)

où dans le cas particulier à droite ci-dessus, nous pourrions aussi écrire B/A (la notation equation serait rarement utilisée car elle peut prêter à confusion dans certaines situations).

Nous avons comme propriétés pour tout equation inclus dans B:

equation   (5.77)

equation   (5.78)

Voici quelques lois triviales relatives aux compléments:

equation   (5.79)

Il existe d'autres lois très importantes en logique booléenne. Si nous considérons trois ensembles A, B, C comme représentés ci-dessous:

equation
Figure: 5.9 - Exemple de trois ensembles particuliers

nous avons donc:

equation   (5.80)

et les fameuses "lois de De Morgan" sous forme ensembliste (cf. chapitre de Systèmes Logiques Formels) et qui sont données par les relations:

equation   (5.81)

Indiquons avant de passer à un autre sujet, qu'un nombre significatif d'adultes en emploi (souvent des cadres) en entreprise ayant oublié ces notions après leur sortie de l'école obligtoire doivent les étudier à nouveau lorsqu'ils apprennent le language SQL qui est le plus répandu à travers le monde pour interroger les serveurs de bases de données des entreprises. Ils apprennent alors très en formation continue professionnelle le schéma suivant pour construire leurs requêtes avec des jointures:

equation
Figure: 5.10 - Jointures courantes du langage SQL basé sur la théorie des ensembles

FONCTIONS ET APPLICATIONS

Définition: En mathématiques, une "application" (ou "fonction") notée f ou A est la donnée de deux ensembles, l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F (ou d'image de E), et d'une relation associant à chaque élément x de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que nous appelons "image de x par f " et que nous notons f(x).

Nous appelons "images" les éléments de f(E) et les éléments de E sont appelés les antécédents.

Nous disons alors que f est une application de E dans F notée:

equation   (5.82)

(se rappeler du premier diagramme sagittal présenté au début de ce chapitre), ou encore une application à arguments dans E et valeurs dans F.

Remarque: Le terme "fonction" est souvent utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire lorsque l'ensemble d'arrivée est equation ou equation. Nous parlons alors de "fonction réelle", ou de "fonction complexe".

Définitions:

D1. Le "graphe" (ou encore "graphique" ou "représentative") d'une application equation est le sous-ensemble du produit cartésien equation constitué des couples (x,f(x)) pour x variant dans E. La donnée du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection sur la première composante souvent notée x) et son image (par projection sur la seconde composante souvent notée y).

D2. Si le triplet equation est une fonction où E et F sont deux ensembles et equation est un graphe, E et F sont respectivement la source et le but de f. Le "domaine de définition" ou "ensemble de départ" de f est:

equation   (5.83)

D3. Etant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), toute fonction de equation vers G est appelée "loi de composition" de equation à valeurs dans G.

D4. Une "loi de composition interne" (ou simplement "loi interne") dans E est une loi de composition de equation à valeurs dans E (cas E=F=G). 

Remarque: La soustraction dans equation n'est pas une loi de composition interne bien qu'elle fasse partie des quatre opérations élémentaires apprises à l'école. Par contre l'addition sur equation en est bien une.

D5. Une "loi composition externe" (ou simplement "loi externe") dans E est une loi de composition de equation à valeurs dans E, où F est un ensemble distinct de E. En général, F est un corps, dit "corps de scalaires".

exempleExemple:

Dans le cas d'un espace vectoriel (voir définition beaucoup plus bas) la multiplication d'un vecteur (dont les composantes se basent sur un ensemble donné) par un réel est une loi de composition externe.

Remarque: Une loi de composition externe à valeurs dans E est aussi appelée "action de F sur E". L'ensemble F est alors le domaine d'opérateurs. On dit aussi que F opère sur E (ayez en tête l'exemple des vecteurs précédemment cité).

D6. Nous appelons "image de f", et nous notons Im(f), le sous-ensemble défini par:

equation   (5.84)

Ainsi, "L'image" d'une application equation est la collection des f(x) pour x parcourant E , c'est un sous-ensemble de F.

Et nous appelons "noyau de f", et nous notons Ker(f), le sous-ensemble très important en mathématiques défini par:

equation   (5.85)

Selon la figure (il faut bien comprendre ce concept de noyau car nous le réutiliserons de nombreuses fois pour démontrer des théorèmes ayant des applications pratiques importantes):

equation
Figure: 5.11 - Représentation du concept de noyau d'une fonction

Remarques:

R1. Ker(f) provient de l'allemand "Kern", signifiant tout simplement "noyau". En anglais, le noyau se dit aussi "kernel", signifiant "amande" dans le civil.

R2. Normalement les notations Im et Ker sont réservées aux homomorphismes de groupes, d'anneaux, de corps et aux applications linéaires entre espaces vectoriels ou modules etc.... (voir plus loin). Nous n'avons normalement pas l'habitude de les utiliser pour des applications quelconques entre ensembles quelconques. Mais bon...ça ne fait rien.

exempleExemple:

La fonction sinus a de son argument un noyau qui est 2πequation

Les applications peuvent avoir une quantité phénoménale de propriétés dont voici celles qui font partie des connaissances générales du physicien (pour plus de renseignements sur ce qu'est une fonction, voir le chapitre traitant de l'Analyse Fonctionnelle).

Soit f une application d'un ensemble E à un ensemble F alors nous avons les propriétés suivantes:

P1. Une application est dite "surjective" si:

Tout élément y de F est l'image par f d'au moins (nous insistons sur le "au moins") un élément de E. Nous disons encore que c'est une "surjection" de E dans F. Il découle de cette définition, qu'une applicationequation est surjective si et seulement si equation. En d'autres termes, nous écrivons aussi cette définition ainsi:

equation   (5.86)

ce qui s'illustre par:

equation
Figure: 5.12 - Représentation d'une fonction surjective

P2. Une application est dite "injective" si:

Tout élément y de F est l'image par f d'au plus (nous insistons sur le "au plus") un seul élément de E. Nous disons encore que f est une injection de E dans F. Il résulte de cette définition, qu'une applicationequation est injective si et seulement si les relations equation et equation impliquent equation autrement dit: une application pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective. Ou encore, une application est injective si l'une aux moins des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:

P2.1 equation

P2.2 equation

P2.3 equation l'équation en x, equation a au plus une solution dans E

Tout cela s'illustrant par:

equation
Figure: 5.13 - Représentation d'une fonction injective

P3. Une application est dite "bijective" si:

Une application f de E dans F est à la fois surjective et injective. Dans ce cas, nous avons que pour tout élément y de F , l'équation equation admet dans E une unique (ni "au plus", ni "au moins") pré-image x.  Ce que nous écrivons aussi:

equation   (5.87)

ce qui s'illustre par:

equation
Figure: 5.14 - Représentation d'une fonction bijective

Nous sommes ainsi tout naturellement amené à définir une nouvelle application de F dans E, appelée "fonction réciproque" de f et notée equation , qui a tout élément y de F, fait correspondre l'élément x de E pré-image (ou solution) unique de l'équation equation. Autrement dit:

equation   (5.88)

L'existence d'une application réciproque implique que le graphique d'une application bijective (dans l'ensemble des réels...) et celui de son application réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation equation

Effectivement, nous remarquons que si equation est équivalent à equation, alors ces équations impliquent que le point (x, y) est sur le graphique de f si et seulement si le point (y, x) est sur le graphique de equation.

exempleExemple:

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).

- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.

- L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.

- S'il est possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées: l'application sera alors à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective.

Remarques:

R1. Il vient des définitions ci-dessus qu'une application f est bijective (ou "biunivoque") dans l'ensemble des réels si et seulement si toute droite horizontale coupe la représentation graphique de la fonction en un seul point. Nous sommes donc amenés à faire la seconde remarque suivante:

R2. Une application qui vérifie le test de la droite horizontale est continument croissante ou décroissante en tout point de son domaine de définition.

P4. Une application est dite "fonction composée" si:

Soit equation une application de E dans F et equation une fonction de F dans G. L'application qui associe à chaque élément x de l'élément de E, equation de G s'appelle "application composée" de equation et de equation et se note:

equation   (5.89)

où symbole " equation " est appelé "rond". Ainsi, la relation précédente s'écrit "psi rond phi" mais se lit "phi rond psi"... Ainsi:

equation   (5.90)

Soit, de plus, equation une application de G dans H. Nous vérifions aussitôt que l'opération de composition est associative:

equation   (5.91)

Cela nous permet d'omettre les parenthèses et d'écrire plus simplement: equation

Dans le cas particulier où equation serait une application de E dans E, nous notons equation l'application composée equation (k fois).

Ce qui est important dans ce que nous venons de voir dans ce chapitre, c'est que toutes les propriétés définies et énoncées ci-dessus sont applicables aux ensembles de nombres.

Voyons en un exemple très concret et très puissant:

THÉORÈME DE CANTOR-BERNSTEIN

Attention. Ce théorème, dont le résultat peut sembler évident, n'est pas forcément simple à aborder (son formalisme mathématique n'est pas très esthétique...). Nous vous conseillons de lire très lentement et de vous imaginer les diagrammes sagittaux dans la tête lors de la démonstration.

Voici l'hypothèse à démontrer: Soient X et  Y deux ensembles. S'il existe une injection (voir la définition d'une fonction injective ci-dessus) de X vers Y et une autre de Y vers X, alors les deux ensembles sont en bijection (voir la définition d'une fonction bijective ci-dessus). Il s'agit donc aussi d'une relation antisymétrique.

Ce qui s'illustre par:

equation
Figure: 5.15 - Représentation d'une relation antisymétrique

Pour la démonstration, nous avons besoin en toute rigueur de démontrer au préalable un lemme (évident intuitivement mais pas formellement...) dont l'énoncé est le suivant:

Soient X, Y, Z trois ensembles tels que equation. Si X et Y sont en bijection, alors X et Z sont en bijection.

Un exemple d'application de ce lemme est l'ensemble des nombres naturels et des nombres rationnels qui sont en bijection. Dès lors, l'ensemble des entiers relatifs est en bijection avec l'ensemble des nombres naturels puisque:

equation   (5.92)

Démonstration:

D'abord, au niveau formel, créons une fonction f de Y à X telle quelle soit bijective:

equation   (5.93)

Nous avons besoin pour la suite d'un ensemble A qui sera défini par l'union des images des fonctions des fonctions f (du genre f(f(f...))) ) des pré-images de l'ensemble Z dont nous excluons les éléments de X (ce que nous notons: Z-X ). En d'autres termes (si la première forme n'est pas claire...) nous définissons l'ensemble A comme étant l'union des images de (Z-X) par les applications equation Ce que nous noterons :

equation   (5.94)

Nous avons donc par construction equation. Rremarquons que nous avons aussi:

equation   (5.95)

et en réindexant:

equation   (5.96)

Nous avons alors (faire un schéma de tête des diagrammes sagittaux peut aider à ce niveau-là...):

equation   (5.97)

Nous pouvons démontrer élégamment cette dernière relation:

equation
  (5.98)

Comme Z peut être partitionné (rien nous en empêche!) en les deux sous-ensembles disjoints equation et equation sans oublier queequation et equation , nous posons comme une définition l'application g telle que:

equation   (5.99)

tel que pour toute pré-image a nous ayons:

equation   (5.100)

(rappelez-vous de la définition des applications notées "f") et:

equation   (5.101)

L'application g est alors bijective car ses restrictions à equation et equation, (qui forment une partition) sont f et l'identité qui sont par définition bijectives.

Finalement il existe bien, par construction, une bijection entre X et Z.

equationC.Q.F.D.

Reprenons les hypothèses du théorème de Cantor-Bernstein:

Soit equation une injection de X vers Y et equation une injection de Y vers X

Nous avons alors:

equation et  equation   (5.102)

donc:

equation   (5.103)

Comme equation est injective, X et equation sont par définition en bijection et de même, comme equation est injective, equation et equation sont en bijection (là il est bon de relire...).

Donc: X et equation sont eux aussi en bijection.

En utilisant le lemme sur equation et X , il vient donc que equationest en bijection equationce qui nous donne avec ceux que nous avons vu juste précédemment, que puisque aussi equation et equation sont en bijection, alors que equationest en bijection avec equation,  alors X et Y sont en injection (ouf! c'est beau mais c'est aussi vicieux que simple).

equationC.Q.F.D.

Ce théorème s'interprète de la manière suivante: Si nous pouvons compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'éléments. Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis et c'est là sa force!

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.

STRUCTURES

L'algèbre dite "algèbre moderne" commence avec la théorie des structures algébriques due en partie à Carl F. Gauss et surtout à Évariste Galois. Ces structures existent en un très grand nombre mais seulement les fondamentales nous intéresseront ici. Avant de les détailler, voici un diagramme synoptique de ces principales structures et de leur hiérarchie:

equation
Figure: 5.16 - Diagramme synoptique des structures algébriques courantes

Remarques: Tout en haut du diagramme, la structure au nombre minimal de contraintes, en bas, un maximum. Soit, plus nous descendons, plus la structure est en quelque sorte spécialisée.

Soit pour simplifier les écritures, equation une loi de composition (comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou encore la division,...)...

Remarque: Cette notation généralisée est parfois appelée "notation stellaire".

Définitions: Soit equation et equation des symboles de lois internes à un ensemble E (cela pourrait être l'addition et la multiplication pour prendre le cas le plus connu) alors:

D1. equation est une "loi commutative" si: 

equation   (5.104)

D2. equation est une "loi associative" si:

equation   (5.105)

D3. n est "élément neutre" pour equation si:

equation   (5.106)

Nous admettrons par ailleurs sans démonstration (c'est intuitif) que s'il existe un élément neutre, il est unique.

D4. a' est "l'élément symétrique" (dans le sens général de l'opposé par exemple pour l'addition et l'inverse pour la multiplication) de a pour equation si:

equation   (5.107)

Nous admettrons également et sans démonstration que le symétrique de tout élément est unique.

D5.  equation est une "loi distributive" par rapport à equationsi:

equation   (5.108)

D6. b est "l'élément absorbant" si pour tout a et une loi equation nous avons:

equation   (5.109)

Remarques:

R1. Si a est son propre symétrique par rapport à la loi equation, les mathématiciens disent que a est "involutif".

R2. Si un élément b de E vérifie equation, alors b est dit "élément absorbant" pour la loi equation.

R3. Il faut toujours vérifier que les neutres et les symétriques le soient "à gauche" et "à droite". Ainsi, par exemple, dans equation, l'élément 0 n'est un neutre qu'à droite car equation mais equation.

MAGMA

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "magma" M , si les composants le constituant sont opérables par rapport à une loi interne equation:

equation est un magma si equation

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne equation est commutative, nous parlons de "magma commutatif".

R2. Si de plus la loi interne equation est associative, nous parlons de "magma associatif".

R3. Si de plus la loi interne equation possède un élément neutre, nous parlons de "magma unitaire".

Il est donc important de se rappeler que si nous désignons une structure algébrique par le terme "magma" tout court, cela ne signifie en aucun cas que la loi interne est commutative, associative ou même qu'elle possède un élément neutre !

Définition: Dans un magma equation, un élément x est dit "élément régulier" (ou "élément simplifiable") à gauche si pour tout couple equation nous avons:

equation   (5.110)

Remarque: Nous définissons de même un élément régulier à droite.

Ainsi, un élément est dit "régulier" s'il est régulier à droite et à gauche. Si * est commutative (ce qui est le cas pour un magma commutatif), les notions d'élément régulier à gauche ou à droite coïncident.

exempleExemple:

Dans equation tout élément est régulier et dans equation tout élément non nul est régulier.

Un magma equation est donc une structure algébrique élémentaire. Il existe des structures plus subtiles (monoïdes, groupes, anneaux, corps, espace vectoriels, etc.) dans lesquelles un ensemble est muni de plusieurs lois et de différentes propriétés. Nous allons les voir de suite et les utiliser tout au long de ce site.

MONOÏDE

Définition: Si la loi equation est associative et possède un élément neutre nous disons alors que le "magma associatif unitaire" est un "monoïde":

equation est un monoïde si equation

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne equation est commutative alors nous disons alors que la structure forme un "monoïde abélien" (ou simplement "monoïde commutatif").

R2. Dans certains ouvrages nous trouvons aussi comme définition que le monoïde est un "demi-groupe" (avec une loi associative) muni d'un élément neutre.

Montrons  tout de suite que l'ensemble des entiers naturels equation est un monoïde abélien totalement ordonné (comme nous l'avons partiellement vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication:

La loi d'addition ( + ) est-elle une opération interne telle que equation nous ayons:

equation   (5.111)

Nous pouvons démontrer que c'est bien le cas en sachant que 1 appartient à equation tel que:

equation   (5.112)

Donc equation et l'addition est bien une loi interne (nous disons également que l'ensemble equation est "stable" par rapport à l'addition) et en même temps associative puisque 1 peut être additionné à lui-même par définition dans n'importe quel ordre sans que le résultat en soit altéré. Si vous vous rappelez que la multiplication est une loi qui se construit sur l'addition, alors la loi de multiplication ( x ) est aussi une loi interne et associative !

Nous admettrons à partir d'ici qu'il est trivial que la loi d'addition est également commutative et que le zéro "0" en est l'élément neutre (n). Ainsi, la loi de multiplication est elle aussi commutative et il est trivial que "1" en est l'élément neutre (n).

Par ailleurs, pour parler déjà de quelque chose qui n'est pas directement en relation avec le monoïde... mais qui nous sera utile un peu plus loin, existe-t-il en restant dans la lignée de l'exemple précédent pour la loi d'addition ( + ) un symétrique equation tel que equation nous ayons:

equation   (5.113)

avec equation?

Il est assez trivial que pour que cette égalité soit satisfaite nous ayons:

equation   (5.114)

soit:

a + b = -c   (5.115)

or les nombres négatifs n'existent pas dans equation. Ce qui nous amène aussi à la conclusion que la loi d'addition ( + ) n'a pas de symétrique et que la loi de soustraction ( - ) n'existe pas dans equation (la soustraction étant rigoureusement l'addition d'un nombre négatif).

De même, car cela va aussi nous être utile un peu plus loin, existe-t-il  pour la loi de multiplication ( x ) un symétrique a' tel que equation nous ayons:

equation   (5.116)

avec equation ?

D'abord il est évident que:

equation   (5.117)

Mais excepté pour equation, le quotient 1/a  n'existe pas dans equation. Donc nous devons conclure qu'il n'existe pas pour tout élément de equation de symétriques pour la loi de multiplication et ainsi que la loi de division n'existe pas dans equation et que la loi de multiplication ne forme pas un monoïde dans cet ensemble.

Synthèse:

equation (lois)
(+)
(-)
(x)
(/)
Opération interne
oui
non
oui
non
Commutative
oui
oui
Élément neutre
oui
(zéro "0")
oui
(un "1")
Élément absorbant
non
oui
(zéro "0")
Symétrique
non
non
Tableau: 5.1  - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers naturels

Nous avons par exemple les propriétés suivantes relativement à l'ensemble des entiers naturels et au concept de monoïde:

P1. equation est totalement ordonné (attention cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P2. equation et equation sont des monoïdes abéliens.

P3. L'élément zéro "0" est l'élément absorbant pour le monoïde equation.

P4. Les lois de soustraction et division n'existent pas dans l'ensemble equation.

P5. equation est un monoïde abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication (attention la notation suivante est abusive car le monoïde n'est composé que d'une seule loi interne et d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 4 monoïdes):

equation   (5.118)

Remarques:

R1. Il est rare d'utiliser les monoïdes; car souvent, lorsque nous nous trouvons face à une structure trop pauvre pour pouvoir vraiment discuter, nous la prolongeons vers quelque chose de plus riche, comme un groupe, ou un anneau (voir plus loin) tel que l'ensemble des entiers relatifs.

R2. Dire qu'une structure algébrique est totalement ordonnée par rapport à certaines lois signifie que soit equation une loi, et R une relation d'ordre et a, bcd quatre éléments de la structure intéressée, alors si aRb et cRd implique equation. Nous notons alors cette structure equation ou simplement (S,R) et en indiquant la (ou les) loi concernée.

GROUPES

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "groupe", si les composants le constituant satisfont aux trois conditions de ce que nous nommons la "loi interne de groupe", définie ci-dessous:

equation est un groupe si equation

Dans ce cas, la loi de compositions interne equation sera souvent (mais pas exclusivement!) notée "+" et appelée "l'addition", le neutre e noté "0" et le symétrique de x noté "-x".

Insistons sur le fait que la structure de groupe est probablement une des plus importantes dans la pratique de l'ingénieur et de la physique moderne en général. Raison pour laquelle il convient d'y porter une attention toute particulière (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste)!

Si de plus, la loi interne equation est également commutative, nous disons alors que le groupe est un "groupe abélien" ou simplement "groupe commutatif".

S'il existe dans G au moins un élément a tel que tout élément de G est une puissance de a ou du symétrique a' de a, nous disons que equation est un "groupe cyclique de générateur a" s'il est fini, sinon nous disons qu'il est "monogène" (nous reviendrons sur les groupes cycliques dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Plus généralement un groupe equation d'élément neutre e, non réduit uniquement à {e} sera monogène, s'il existe un élément a de G distinct de e tel que equation. Un tel groupe sera cyclique, s'il existe un entier n non nul pour lequel equation. Le plus petit entier non nul vérifiant cette égalité est alors "l'ordre du groupe".

exempleExemple:

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers relatifs equation  est un groupe abélien totalement ordonné (comme nous l'avons vu dans le chapitre des Opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication.

D'abord pour raccourcir les développements, il est utile de rappeler que l'ensemble equation est un "prolongement" de equation par le fait que nous y avons ajouté tous les nombres symétriques de signe négatif ( equation).

Ainsi, en abusant toujours des notations (car normalement un groupe n'a qu'une seule loi et une seule relation d'ordre R suffit à l'ordonner):

equation  (5.119)

forme un groupe abélien totalement ordonné (4 groupes au fait!) et:

equation   (5.120)

un monoïde abélien (deux monoïdes au fait!) totalement ordonné.

Remarquons aussi que la loi de division n'existe pas pour tout élément de l'ensemble equation! Donc en toute généralité nous disons qu'elle n'y existe pas.

Synthèse:

equation (lois)
(+)
(-)
(x)
(/)
Opération interne
oui
oui
oui
non
Associative
oui
non
oui
Commutative
oui
non
oui
Élément neutre
oui
(zéro "0")
non
(0 pas neutre à gauche)
oui
(un "1")
Élément absorbant
non
non
oui
(zéro "0")
Symétrique
oui
(signe opposé)
oui
non
Tableau: 5.2  - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers relatifs

Nous avons donc les propriétés suivantes:

P1. equation est totalement ordonné (attention à nouveau cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P2. equation est un groupe commutatif dont zéro "0" est l'élément neutre.

P3. La loi de division n'existe pas dans l'ensemble equation.

P4. L'ensemble equation est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition (attention la notation suivante est encore une fois abusive car le groupe est composé que d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 2 groupes):

equation   (5.121)

L'ensemble equation n'est pas un groupe commutatif totalement ordonné par rapport à la loi de multiplication:

equation   (5.122)

Nous voyons de suite alors que equation a des propriétés trop restreintes, c'est la raison pour laquelle il est intéressant de le prolonger par l'ensemble des rationnels equation défini de manière très simpliste... par (cf. chapitre sur les Nombres):

equation   (5.123)

Ce qui signifie pour rappel que l'ensemble des rationnels est défini par l'ensemble des quotients p et q appartenant chacun à equation dont nous excluons à q de prendre la valeur nulle (la notation /q signifiant l'exclusion).

Et nous avons évidemment:

equation   (5.124)

Il est dès lors évident (sans démonstration et toujours en utilisant la notation abusive déjà commentée maintes fois plus haut...) que equation est aussi totalement ordonné et aussi que equation est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition seulement:

equation   (5.125)

Ce qui devient intéressant avec equation, c'est que la loi de multiplication devient une loi interne et forme un groupe abélien commutatif dit "groupe multiplicatif" par rapport à equation.

Démonstration:

Démontrons donc que le symétrique existe pour la loi de multiplication (.) tel que:

equation   (5.126)

Puisque dans equation tout nombre peut se mettre sous la forme:

equation    (5.127)

avec equation.

Alors puisque:

equation   (5.128)

Il existe donc un symétrique à tout rationnel dans equation pour la loi de multiplication.

equationC.Q.F.D.

Par définition, ou par construction, la division existe dans equation et est une opération interne. Mais est-elle associative telle que pour equation nous ayons:

equation   (5.129)

Démonstration:

Au fait, la démonstration est assez triviale si nous nous rappelons que la division se définit à partir de la loi de multiplication par l'inverse et que cette dernière loi est (elle!) associative. Ainsi, il vient:

equation   (5.130)

Donc la loi de division n'est pas associative dans equation.

equationC.Q.F.D.

Nous pouvons aussi nous demander si la loi de division ( / ) est cependant commutative tel que la relation:

equation   (5.131)

pour equation?

Nous voyons très bien que cela n'est pas le cas puisque nous pouvons écrire cette dernière relation sous la forme:

equation   (5.132)

Synthèse:

equation (lois)
(+)
(-)
(x)
(/)
Opération interne
oui
oui
oui
oui
Associative
oui
non
oui
non
Commutative
oui
non
oui
non
Élément neutre
oui
(zéro "0")
non
(0 pas neutre à gauche)

oui
(un "1")

oui
("1" neutre à droite)

Élément abs.
non
non
oui
(zéro "0")
oui
("0" au numérateur)
Symétrique
oui
(signe opposé)
oui
(signe opposé)
non
(excepté dans equation)
non
Tableau: 5.3  - Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des rationnels

Nous avons donc les propriétés suivantes:

P1. equation est totalement ordonné

P2. equation sont indépendamment des groupes abéliens totalement ordonnés

P3. Zéro "0" est l'élément absorbant par rapport au  groupe equation

P4. L'ensemble equation est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication que nous notons:

equation et equation   (5.133)

Les mêmes propriétés sont applicables à equation et à equation mais à la différence que ce dernier n'est pas ordonnable.

Cependant, il peut être compréhensible que pour equation vous soyez sceptiques. Développons donc tout cela:

Nous devons nous assurer que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres de la forme equation donne quelque chose d'encore de cette forme.

Additionnons les nombres  equation et  equation où a, b, c et d sont des réels:

equation   (5.134)

Donc l'addition est bien une loi interne commutative et associative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans l'ensemble des complexes.

Soustrayons les nombres  equation et  equation où  a, b, c et d  sont ici encore, des réels:

equation   (5.135)

Donc la soustraction est une opération interne; elle n'est ni commutative, ni associative elle n'a pas d'élément neutre à gauche et pas de symétrique.

Multiplions maintenant les nombres equation et  equation où  a, b, c et d  là toujours, des réels. Pour parvenir à nos fins, nous emploierons la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

equation   (5.136)

Donc la loi de multiplication est bien une opération interne commutative, associative et distributive (!) pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans equation (voir ci-après) dans l'ensemble des complexes.

Une division est avant tout une multiplication par l'inverse. Prouver qu'il existe un inverse c'est prouver qu'il existe un symétrique pour la multiplication. Inversons donc le nombre equationx et y sont des réels (différents de zéro):

equation   (5.137)

Donc l'inverse d'un nombre complexe est bien une opération interne non associative et non commutative pour laquelle il existe un élément neutre, et elle est symétrique. Il en est de même pour la division, qui correspond au produit par l'inverse d'un nombre complexe.

Voyons un exemple de groupe cyclique: Dans equation, considérons G={1,i,-1,-i} muni de la multiplication usuelle des nombres complexes. Alors equation est évidemment un groupe abélien. Un tel groupe est aussi monogène car engendré par les puissances d'un de ses éléments: i (ou bien -i). Ce groupe monogène étant fini, il s'agit alors d'un groupe cyclique.

ANNEAUX

L'anneau est le coeur de l'algèbre commutative qui est la structure algébrique correspondant aux concepts collégiens d'addition, de soustraction, et de multiplication.

Définition: Un groupe commutatif (ou "groupe abélien") A est un "anneau" s'il est muni d'une seconde loi de composition interne vérifiant les propriétés suivante:

equation est un anneau si equation

Comme nous le savons déjà, l'élément neutre de la première loi de composition interne + est noté "0" et appelé "zéro" de l'anneau. La deuxième loi interne est souvent notée par un point à mi-hauteur et appelée la "multiplication".

Remarques:

R1. Si de plus, la deuxième loi interne de composition equation est également commutative, l'anneau est dit "anneau commutatif". Nous rencontrons aussi des anneaux non-commutatifs dans lesquels la relation de commutativité n'est pas imposée ou ne s'impose pas et alors nous devons parfois l'imposer, il faut alors renforcer la propriété de l'élément neutre de cette deuxième loi en imposant à "1" d'être un élément neutre à la fois à droite et à gauche tel que: equation (un exemple d'anneau non-commutatif est fourni par l'ensemble des matrices equation à coefficients dans un anneau A, par exemple equation- voir chapitre d'Algèbre Linéaire).

R2. Si de plus, il existe dans A un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne equation, et que cet élément neutre est l'unité "1" nous disons alors que l'anneau est un "anneau unitaire" et 1 est appelé "unité" de l'anneau. Si l'anneau est commutatif et possède un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne alors nous parlons "d'anneau commutatif unitaire"

R3. Si equation, quels que soient les éléments a,b de A, l'anneau est dit "anneau intègre" ou "anneau sans diviseurs de zéro" (dans le cas contraire il est bien évidemment "non intègre").

R4. Un "anneau factoriel" est un anneau commutatif unitaire et intègre dans lequel le théorème fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie des Nombres) est vérifié.

Définitions:

D1. Un élément a d'un anneau A est un "élément unité" s'il existe equation tel que equation. Si un tel b existe il est unique (nous en avons vu un exemple lors de notre étude des classes de congruence en théorie des nombres).

D2. Soit A un anneau. Nous disons que A possède des diviseurs de zéro s'il existe equation avec equation et equation. Les éléments a et b sont appelés des "diviseurs de zéro".

Remarques:

R1. Il est clair qu'un anneau est intègre si et seulement si il ne possède aucun diviseur de zéro.

R2. Les notions d'unité et de diviseurs de zéro sont incompatibles mais un élément d'un anneau peut être ni l'un ni l'autre. C'est le cas, par exemple, de tous les entiers equation dans equation. Ce ne sont ni des unités, ni des diviseurs de zéro.

Nous verrons un exemple important d'anneau dans le cadre de notre étude des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) mais nous en avons déjà vu de très importants lors de notre étude des classes de congruence dans le chapitre de théorie des nombres.

Voyons quelques exemples d'anneaux: Lors de notre étude des groupes nous avons trouvé que les structures:

equation   (5.138)

sont tous les quatre des groupes abéliens et les trois premiers sont en plus totalement ordonnés.

La loi de division n'étant en aucun cas associative, nous pouvons nous restreindre à étudier pour chacun des groupes précités, le couple de lois: (+) et ( x ).

Ainsi, il vient très vite que:

equation   (5.139)

constituent des anneaux commutatifs unitaires et intègres.

Remarque: Nous considérerons comme évident, à ce niveau du discours, que le lecteur aura remarqué que est equation un "sous-anneau" de equation dans le sens où les opérations définies sont internes à chacun des ensembles et que les éléments neutres et identité sont identiques et qu'il existe pour chaque élément de ces ensembles un opposé qui est dans le même ensemble. Nous allons approfondir le concept de sous-anneau un peu plus loin.

Soit A un anneau. Nous avons les propriétés suivantes:

P1. equation

P2. equation

P3. equation

Démonstrations:

DM1. La propriété P1 découle de la définition D4 vu tout au début de la partie concernant les structures algébriques (tout élément possède un opposé/symétrique). En effet, nous pouvons additionner à l'égalité equation l'élément -a. Nous obtenons alors equation par l'existence de l'opposé cela donne equation d'où equation.

DM2. La propriété P2 découle des définitions D3 (existence de l'élément neutre), D4 (existence de l'opposé/symétrique), D5 (distributivité par rapport à l'autre loi) ainsi que de la propriété P1 ci-dessus. En effet, nous avons:

equation   (5.140)

Nous avons donc equation. La propriété P1 ci-dessus permet de conclure que equation (nous pourrions discuter de la pertinence de ce genre de démonstration...).

DM3. La propriété P3. se montre à l'aide de P2. Nous avons:

equation   (5.141)

en ajoutant -a à cette dernière égalité, nous avons:

equation   (5.142)

equationC.Q.F.D.

SOUS-ANNEAU

Définition: Soit A un anneau et equation un sous-ensemble de A. Nous disons que S est un "sous-anneau" de A si:

P1. equation (élément neutre de A est aussi celui deS)

P2. equation

P3. equation

P4. equation

exempleExemple:

L'anneau equation est un sous-anneau de equation

CORPS

Définition: Nous désignons un ensemble de nombres par le terme "corps" si:

equation est un corps si equation

Donc un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible ou en d'autres termes: un anneau dont tous les éléments non nuls sont des unités est un corps.

Remarques:

R1. Si la loi interne equation est également commutative, le corps est dit "corps commutatif".

R2. Les quaternions (cf. chapitre sur les Nombres) forment par exemple un corps non commutatif pour l'addition et la multiplication.

Voyons des exemples de corps parmi les anneaux unitaires suivant:

equation   (5.143)

Il nous faut d'abord déterminer lesquels ne constituent pas des groupes par rapport à la loi interne de multiplication ( equation ).

Comme nous l'avons déjà vu dans notre étude des groupes précédemment, il est évident qu'il nous faut éliminer equation à cause de l'existence des inverses qui n'est pas assurée dans cet ensemble.

Ainsi, les corps fondamentaux de l'arithmétique sont:

equation   (5.144)

et puisque la loi de multiplication ( equation ) est commutative dans ces ensembles, nous pouvons affirmer que ces corps sont également des corps commutatifs.

Nous avons souvent dans les petites classes le schéma suivant pour le corps le plus important:

equation
Figure: 5.17 - Propriétés classique de l'ensemble des réels

Ainsi, nous appellerons "corps" un système C de nombres réels ou complexes a tels que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux quelconques de ces nombres a appartiennent au même système C.

Nous énonçons également cette propriété de la manière suivante: les nombres d'un corps se reproduisent par les opérations rationnelles (addition, soustraction, multiplication, division). Ainsi, il est évident que le nombre zéro ne pourra jamais former le dénominateur d'un quotient et l'ensemble des entiers ne peut former un corps car la division dans l'ensemble des nombres entiers ne donne pas nécessairement un résultat dans ce même ensemble.

ESPACES VECTORIELS

Lorsque nous définissons un "vecteur" (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous faisons habituellement référence à un "espace euclidien" (cf. aussi chapitre de Calcul Vectoriel) de n dimensions de equation. Cependant, la notion d'espace vectoriel est beaucoup beaucoup plus vaste que ce dernier qui ne représente qu'un cas particulier.

Définition: Un "espace vectoriel (EV)" ou "K-espace vectoriel" (abrégé: K-ev) sur le corps K (nous prendrons fréquemment pour ce corps equation ou equation) est un ensemble equation possédant les propriétés:

equation   (5.145)

Nous avons donc deux lois de composition (en prenant les notations traditionnelles des vecteurs qui sera peut-être plus parlante et utile pour la suite...):

1. Une loi de composition interne: l'addition notée + qui vérifie:

1.1. Associativité: equation

1.2. Commutativité: equation

1.3. Élément neutre: equation

1.4. Élément opposé: equation

2. Une loi de composition externe: la multiplication par un scalaire, notée equation, qui vérifie:

2.1. Associativité: equation

2.2. Distributivité à droite par rapport au corps K: equation

2.3. Distributivité à gauche par rapport à E: equation

2.4. Élément neutre (de K sur E): equation

Remarques:

R1. Nous disons alors que l'espace vectoriel a une "structure algébrique vectorielle" et que ces éléments sont des "vecteurs", les éléments de K des "scalaires".

R2. Les opérations respectives s'utilisent fréquemment comme l'addition et la multiplication que nous connaissons déjà très bien sur equation, ce qui est bien commode pour nos habitudes….

R3. Dorénavant, pour distinguer les éléments du corps K et de l'ensemble E, nous noterons ceux de  K par des lettres grecques et ceux de E par des lettres latines majuscules.

R4. Outre les cinq propriétés énumérées ci-dessus, il ne faut pas oublier d'ajouter les cinq autres propriétés du groupe abélien (opération interne, commutativité, associativité, élément neutre, élément inverse). Ce qui nous fait donc au total dix propriétés à respecter.

Il est inutile de démontrer que ces propriétés sont respectées pour equation et, par conséquent pour equation. Nous pouvons cependant nous poser la question à propos de certains sous-ensembles de equation.

exempleExemples:

E1. Considérons la région rectangulaire illustrée dans la figure (a) et en perspective dans la figure (c) ci-dessous:

equation
Figure: 5.18 - Exemple du concept d'espace vectoriel

Ce sous-ensemble de equation n'est pas un espace vectoriel car, entre autres, la propriété d'opération interne du groupe abélien n'est pas satisfaite. En effet, si nous prenons deux vecteurs à l'intérieur du rectangle et que nous les additionnons, il se peut que le résultat sorte du rectangle. Par contre, il est facile de voir que la droite (infinie) illustrée dans la figure (b) respecte toutes les propriétés énumérées précédemment et, par conséquent, défini un espace vectoriel. Notons bien, cependant, que cette droite se doit de passer par l'origine, sinon la propriété d'élément neutre du groupe abélien ne serait pas respectée (l'élément neutre n'existant plus).

E2. Un autre exemple d'un espace vectoriel est l'ensemble equation des polynômes de degré deux ou moins (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Par exemple, deux éléments de cet espace sont:

equation   (5.146)

Cet ensemble respecte les 10 propriétés d'un espace vectoriel. En effet, si nous additionnons deux polynômes de degré deux ou moins, nous obtenons un autre polynôme de degré deux ou moins. Nous pouvons aussi multiplier un polynôme par un scalaire sans changer l'ordre (ou degré) de celui-ci, etc. Nous pouvons donc représenter un polynôme par des vecteurs dont les termes sont les coefficients du polynôme.

Mentionnons que nous pouvons aussi former des espaces vectoriels avec des ensembles de fonctions plus générales que des polynômes. Il importe seulement de respecter les dix propriétés fondamentales d'un espace vectoriel !

Ainsi défini, un espace vectoriel E sur K est une action de equation sur equation qui est compatible avec la loi de groupe (par extension un "automorphisme" - voir la définition plus loin - sur equation).

Définition: Soit E un espace vectoriel, nous appelons "sous-espace vectoriel" (SEV) F de E un sous-ensemble de E si et seulement si (notation des matheux):

equation   (5.147)

ou en utilisant une autre notation (celle utilisée plutôt par les physiciens):

equation   (5.148)

ALGÈBRES

Une "C-algèbre A" où C est un corps commutatif (appelée aussi souvent "K-alègbre A" pour "Körper" en allemand)), est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + (addition) et equation (produit) et d'une loi externe equation (multiplication) à domaine d'opérateurs C (produit par un scalaire) si et seulement si:

equation   (5.149)

exempleExemples:

E1. Pour reprendre un exemple dans la lignée de celui sur les exemples vectoriels, l'espace euclidien equation muni de l'addition (+), de la multiplication equation et du produit vectoriel equation est une equation-algèbre non associative et non commutative notée equation.

E2. equation est une equation-algèbre (un nombre complexe pouvant être vu comme un vecteur à deux composantes selon ce que nous avons vu dans le chapitre des Nombres).

HOMOMORPHISMES

Le concept d'homomorphismes (du grec homoios = semblable et morphê = forme) a été défini par les mathématiciens car permettant de mettre en évidence des propriétés remarquables des fonctions en particulier avec leurs structures, leur noyau, et de ce que nous appelons les "idéaux" (voir plus loin). Ils nous permettront ainsi d'identifier une structure algébrique d'une autre.

Définitions:

D1. Si equation et equation sont deux magmas (peu importe la notation utilisée pour les lois internes), une application f de A dans B est un "homomorphisme de magma" ou "morphisme de magma" (par abus de langage nous écrivons parfois juste "homomorphisme") si:

equation   (5.150)

en d'autres termes, si l'image d'un composé dans A est le composé des images dans B.

D2. Si equation et equation sont deux monoïdes, une application f de A dans B est un "homomorphisme de monoïde" si:

equation   (5.151)

equation sont les éléments neutres respectifs des monoïdes A,B.

D3. Si A, B sont deux anneaux, un "homomorphisme d'anneaux" (très important pour le chapitre de Cryptographie!) de A dans B est une application equation telle que nous ayons pour tout equation:

equation   (5.152)

equation sont les éléments neutres des anneaux A, B par rapport à la multiplication.

Soit equation un homomorphisme d'anneaux. Alors:

P1. equation

P2. equation

P3. Si a est une unité de A, alors f(a) est une unité de B et equation

Démonstrations:

DM1. Par equation, nous avons equation. En ajoutant equation des deux côtés de l'égalité, nous obtenons equation

DM2. La propriété P2 découle aussi de equation et de la propriété P1. En effet, nous avons equation. En additionnant equation aux deux côtés de la dernière égalité, nous obtenons equation.

DM3. Soient equation tels que equation. Alors par equation et equation, nous avons equation et de même equation ce qui montre que f(b) est l'inverse de f(a) si b est l'inverse de a.

equationC.Q.F.D.

Montrons maintenant qu'un homomorphisme d'anneaux equation est injectif si et seulement si l'élément 0 est la seule pré-image de 0 (et donc réciproquement), ce qui se note techniquement:

equation   (5.153)

c'est-à-dire que le noyau est trivial.

Démonstration:

La condition est clairement nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante:

Nous supposons donc que equation. Soit equation tel que equation. Alors comme nous avons un homomorphisme d'anneaux nous pouvons écrire:

equation   (5.154)

qui implique que equation donc que equation .

Ce qui montre que f est injectif si c'est un homomorphisme et que et que equation en est effectivement une condition suffisante.

equationC.Q.F.D.

D4. Soient equation et equation , deux groupes et f une application equation. Nous disons que f est un "homomorphisme de groupe" si (nous pourrions tout aussi bien mettre * au lieu de + dans le premier groupe et + au lieu de * dans le deuxième groupe, la définition resterait la même en remplaçant simplement les opérateurs respectifs!):

equation   (5.155)

equation sont les éléments neutres respectifs des groupes A,B . Nous remarquons que la seule différence entre un homomorphisme d'anneau et un homomorphisme de groupe est que ce dernier à deux lois au lieu d'une et que nous y rajoutons le concept d'inverse.

Ceci dit, la troisième proposition ci-dessus est en fait une conséquence de la définition composée uniquement des deux premières lignes. Effectivement, considérons un homomorphisme f entre les groupes equationet equation avec equation et equation respectivement les éléments neutres de A et B.

Nous avons alors:

equation   (5.156)

d'où:

equation   (5.157)

et donc:

equation   (5.158)

exempleExemple:

La fonctione exponentielle e est un mrophisme du groupe (equation+,+) sur le groupe (equation+,*).

D5. Soit f une application equationd'un corps vers un autre. Nous disons que f est un "homomorphisme de corps" si f est un homomorphisme d'anneaux...

Effectivement, le fait que l'homomorphisme de corps soit le même que celui d'un anneau tient juste au fait que la différence entre les deux structures est que les éléments du corps sont tous inversibles (aucune loi ou propriété de loi ne diffère entre les deux selon leur définition).

Montrons maintenant que tout homomorphisme de corps est injectif ("homomorphisme injectif") en se rappelant que plus haut nous avons démontré que tout homomorphisme d'anneaux l'était!

Démonstration:

Si a est différent de 0 et equation (nous utilisons ici la propriété que les éléments d'un corps sont inversibles!) alors:

equation   (5.159)

Donc lorsque a est différent de zéro f(a) est différent de 0 ce qui prouve que equation et donc que f est injective.

equationC.Q.F.D.

D6. Soient A et B deux K-ev et equation une application de A dans B. Nous disons que f est une "application linéaire" ou "homomorphisme d'espaces vectoriels" (il est sous-entendu que c'est relativement aux lois indiquées et pour l'application choisie) si:

equation   (5.160)

et nous notons L(A,B) l'ensemble des applications linéaires.

Remarques:

R1. Nous avions déjà défini plus haut le concept d'application linéaire mais n'avions pas précisé que les deux ensembles A et B étaient des K-ev.

R2. L'application linéaire est appelée "forme linéaire" si et seulement si equation

D7. Si l'homomorphisme est bijectif nous dirons alors que f est un "isomorphisme". S'il existe un isomorphisme entre A et B, nous disons que A et B sont "isomorphes" et nous noterons cela equation.

Remarque: L'isomorphisme permet au fait d'identifier deux ensembles munis d'une structure algébrique identique (que ce soit groupe, anneau, etc.) mais dont les éléments sont nommés d'une façon différente.

D8. Si l'homomorphisme f est une application uniquement interne, nous dirons alors que f est un "endomorphisme" (en d'autres termes, nous avons un endomorphisme si dans la définition de l'homomorphisme nous avons A=B).

Remarque: Si nous avons un endomorphisme f de E, f est donc restreint à Im(f). Donc le terme "endomorphisme" veut juste dire que l'application f arrive dans E et pas qu'elle touche tous les éléments de E. Nous avons equation et pas forcément equation car dans ce dernier cas nous disons que f est surjective comme nous l'avons déjà vu.

D9. Si l'endomorphisme f est en plus bijectif (donc en d'autres termes si l'homomorphisme est un endomorphisme et un isomorphisme), nous dirons alors que f est un "automorphisme".

IDÉAL

Définition: Soit A un anneau commutatif. Un sous-ensemble equation est un "idéal" si:

P1. equation pour tout equation

P2. equation pour tout equation et tout equation

En d'autres termes, un idéal est un sous-ensemble fermé pour l'addition et stable pour la multiplication par un élément quelconque de A.

exempleExemple:

L'ensemble des nombres pairs est par un exemple d'idéal de l'ensemble des nombres naturels.

Remarque: Les idéaux equationet equation sont appelés les "idéaux triviaux".

Pour savoir si un idéal est égal à tout l'anneau, il est utile d'utiliser la propriété suivante qui spécifie que si A est un anneau et I un idéal de A, alors si equation nous avons equation.

Démonstration:

Ceci résulte de la propriété P2 de la définition d'un idéal:

Pour tout equation, nous avons equation car equation.

equationC.Q.F.D.

Un premier exemple d'idéal est donné par le noyau d'un homomorphisme d'anneaux. Effectivement, démontrons que le noyau d'un homomorphisme equation est un idéal de R.

Démonstration:

Soient equation. Alors:

equation   (5.161)

ce qui montre que equation. Soit equation, alors:

equation   (5.162)

ce qui montre que equation.

equationC.Q.F.D.

Proposition: Soit A un anneau et soit equation. Le sous-ensemble:

equation   (5.163)

noté equation ou aA, est un idéal (nous allons voir un exemple concret après la prochaine définition).

Définitions:

D1. Un idéal equation d'un anneau A est dit "idéal principal" s'il existe equation tel que equation.

D2. Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est dit "anneau principal".

Montrons maintenant que l'anneau equation est principal (car tous ses idéaux sont principaux).

Démonstration:

Soit I un idéal de equation (il est facile d'en choisir un: par exemples tous les multiples de 2 ou de 3, etc.). Soit equation le plus petit entier positif non nul de I. Nous allons montrer que equation:

Soit a un élément quelconque de I. La division euclidienne nous permet d'écrire:

equation   (5.164)

avec equation (nous l'avons déjà démontré).

Mais comme equation et que equation, par la définition d'un idéal, nous avons equation (la somme ou différence des éléments d'un idéal appartenant à l'idéal). Par choix de r (r' étant inférieur à r) ceci implique que equation et donc que equation.

Ainsi tout élément de I est un multiple de r et donc:

equation   (5.165)

equationC.Q.F.D.

La démonstration ci-dessus n'utilise que la division euclidienne sur equation. Nous pouvons alors généraliser ce résultat aux anneaux qui possèdent une division euclidienne. Ainsi, par exemple, l'anneau k[X] des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients dans un corps k est un anneau principal car il possède une division euclidienne.

Démonstration:

Soit I un idéal de k[X]. Notons d le plus petit degré que puisse avoir un polynôme non nul de I. Si equation alors equation et donc equation. Autrement, soit a(X) un polynôme de degré d. Si equation alors on peut diviser u(X) par a(X). Il existe equation tels que equation et equation. Donc equation ce qui entraîne equation (autrement contradiction avec la minimalité de d). Par suite, equation. Nous venons de montrer que equation

equationC.Q.F.D.

Ainsi, les seuls idéaux de equation sont ceux de la forme equation. De plus si nous avons d et m qui sont des entiers > 1. Alors equation si et seulement si d | m.

Démonstration:

Si d | m alors il existe n avec equation. Soit equation un élément de equation. Alors:

equation   (5.166)

ce qui montre que equation.

Réciproquement, si equation ceci implique que m est de la forme equation et ceci prouve que d divise m.

equationC.Q.F.D.

Démontrons aussi qu'un anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux {0},R.

Démonstration:

Montrons que la condition est nécessaire: Soit I un idéal non nul de R et equation un élément non nul. Par hypothèse (qu'il s'agit d'un corps), il est inversible, c'est-à-dire qu'il existe equation tel que equation. Ceci implique que equation et donc, par un résultat obtenu plus haut equation.

Réciproquement, supposons que tout idéal equation soit l'idéal nul. Alors si equation est un élément non nul de R, l'idéal principal (r) doit être égal à R. Mais ceci implique que equation et donc qu'il existe equation avec equation ce qui montre que r est inversible. L'anneau R est donc un corps.

equationC.Q.F.D.

Cette caractérisation va nous permettre de démontrer facilement que tout homomorphisme partant d'un corps est injectif. Soit que si equation est un homomorphisme où R est un corps, alors f est injectif.

Démonstration:

Nous mettons ensemble ce qui a été vu jusque-là. Nous avons démontré plus haut que le noyau Ker(f) d'un homomorphisme est un idéal. Mais nous avons également démontré plus haut que nous avons soit equation soit equation (car l'anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux).

Mais vu que equation (de par la définition d'un homomorphisme) il s'ensuit qu'il reste equation (puisque nous avons démontré que si A est un anneau et I un idéal de A alors si equation alors equation). Ceci implique par un théorème précédent (où nous avons démontré que si equation l'homomorphisme est injectif) que... f est injective.

equationC.Q.F.D.

Etudions maintenant les homomorphismes dont l'anneau de départ est equation. Soit A un anneau et equation un homomorphisme. Par définition d'un homomorphisme et par ses propriétés, il faut que equation et equation. Mail il faut encore que:

equation   (5.167)

pour tout equation. Ainsi f est complètement déterminé par la donnée de f(1) et est donc unique. Réciproquement, nous montrons que l'application equation définie par:

equation   (5.168)

est un homomorphisme d'anneaux. En résumé, il existe un et un seul homomorphisme de equation dans un anneau quelconque A.

Définition: Soient A un anneau et equation l'unique homomorphisme défini précédemment. Si f est injectif, nous dirons que A est de "caractéristique nulle". Sinon, Ker(f) est un idéal non trivial de equation et comme equation est dès lors principal (comme nous l'avons démontré plus haut) il est de la forme equation avec equation. L'entier m est appelé la "caractéristique de A".

Remarque: Moins formellement, la caractéristique d'un anneau est le plus petit entier positif m tel que equation. S'il n'y en a pas, alors la caractéristique est nulle.

exempleExemple:

L'anneau equation est de caractéristique nulle car l'unique homomorphisme equation est l'identité. Il est donc injectif. Les injections equation montrent que equation (et equation également) sont des corps de caractéristique nulle.

Nous nous proposons maintenant de démontrer que la caractéristique d'un anneau intègre (et en particulier d'un corps) est égale 0 ou à un premier p.

Démonstration:

Nous montrons la contraposée. Soit A un anneau de caractéristique equation avec m non premier. Il existe alors des entiers naturels equation tels que equation. Soit equation l'unique homomorphisme (défini précédemment). Par définition (de l'idéal) de m, nous avons equation mais equation. Mais alors equation ce qui montre que A n'est pas intègre.

equationC.Q.F.D.

Remarque:La réciproque du théorème n'est pas vraie comme le montre l'exemple de l'anneau equation où l'addition et la multiplication se font composante par composante. C'est un anneau de caractéristique nulle mais avec des diviseurs de zéro:

equation   (5.169)

En Savoir Plus

- Introduction à la théorie des ensembles, P.R. Halmos, Éditions Jacques Gabay, ISBN10: 876471264 (127 pages) - Réimprimé en 1997

- Applied Mathematics for Database Professionals, L. De Hann + T. Koppelaars, Éditions APress , ISBN13: 9781590597453 (376 pages) - Imprimé en 2007


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THÉORIE DES NOMBRESPROBABILITÉS


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