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THÉORIE DE LA DÉMONSTRATION | NOMBRES | OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES
THÉORIE DES NOMBRES | THÉORIE DES ENSEMBLES | PROBABILITÉS | STATISTIQUES

Dernière mise-à-jour de ce chapitre: 27.04.2012 15:11
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STATISTIQUES DE RANGS

Les statistiques de rangs, appelées aussi "statistiques d'ordre", sont définies comme l'ensemble des techniques de calculs statistiques ou d'inférence statistiques qui ont pour objectif principal de se débarrasser de la connaissance d'une distribution paramétrée et en utilisant pour cela uniquement les rangs (ordonnés) des caractéristiques mesurées. Il s'agit d'un outil très puissant et très utilisé dans la pratique pour faire de la statistique non-paramétrée!

TESTS DE RANG (NON PARAMÉTRIQUES)

Comme nous l'avons déjà mentionné plus haut, nous parlons de tests paramétriques lorsque nous stipulons que les données sont issues d'une distribution paramétrée. Dans ce cas, les caractéristiques des données peuvent être résumées à l'aide de paramètres estimés sur l'échantillon, la procédure de test subséquente ne porte alors que sur ces paramètres.

Rappelons aux lecteurs les tests le petit nombre de tests que nous avons démontrés jusqu'à maintenant (nous espérons ne pas avoir commis d'erreurs trop graves dans le listing ci-dessous):

Lorsque les données sont quantitatives, les tests non paramétriques transforment les valeurs en rangs. L'appellation "tests de rangs" est alors souvent rencontrée. Lorsque les données sont qualitatives, seuls les tests non paramétriques sont utilisables.

TEST (DE RANG) APPARIÉ DE WILCOXON

L'idée du test de Wilcoxon est la suivante: si nous rassemblons deux échantillons de mesures, et que nous rangeons les valeurs dans l'ordre, l'alternance des  (de taille ) et des  (de taille ) devrait être assez régulière si les deux échantillons de loi de répartition F et respectivement G suivent la même loi de probabilité. Il s'agit donc d'un "test d'ajustement" d'échantillons appariés.

Il ne s'agit donc pas comme le test d'ajustement du khi-deux de comparer des mesures à une loi théorique, mais à d'autres mesures.

Prenons un exemple avant de nous attaquer à l'aspect théorique. Voici deux échantillons de taille 10 () de variables quantitatives:

  (7.1)

Voici les statistiques d'ordre de l'échantillon de taille 20 () regroupé et ordonné (les 10 valeurs du premier échantillon sont soulignées):

  (7.2)

Les valeurs du premier échantillon X (dites "valeurs de traitement") ont tendance à être plus petites que celles du second Y (dites "valeurs de contrôle") ce que nous représentons souvent sous la forme graphique suivante (en trichant un peu avec MS Excel):

Figure: 7.1 - Comparaison des valeurs de deux échantillons dans MS Excel

L'idée est alors de chercher à savoir si cette tendance est significative. C'est-à-dire de savoir si nous avons une réelle différence du type entre leurs lois de répartitions respectives:

Figure: 7.2 - Exemple générique de la comparaison de deux foctio de répartitions

ou si elles peuvent considérées comme identiques. Pour cela, il faut bien étudier la notion de "rang":

Étant donné un n-échantillon aléatoire  d'une loi statistique continue quelconque, nous notons  le rang des  ordonnés dans une population d'échantillons. Le rang i est donc un nombre entier non nul et strictement positif compris entre 1 et N (somme des tailles de tous les échantillons).

Exemple:

Dans:

  (7.3)

Nous avons les "statistiques d'ordre" respectives:

  (7.4)

Une fois le concept de "rang" défini, intéressons-nous à la somme dans le cadre de notre exemple avec les deux échantillons:

  (7.5)

La somme des rangs, notée traditionnellement  (W pour Wilcoxon), du premier échantillon est alors:

  (7.6)

et pour le deuxième échantillon:

  (7.7)

Valeurs que nous appelons "statistique de Wilcoxon".

Nous pouvons donc déjà constater qu'il y a effectivement une différence qui semble a priori non négligeable en termes de rang sur les deux échantillons. Tout le problème reste maintenant à construire un outil mathématique rigoureux permettant d'en conclure un fait avec une certaine certitude.

Pour cela, introduisons d'abord la moyenne des rangs en utilisant le résultat démontré dans le chapitre de Suites et Séries en considérant un seul échantillon:

  (7.8)

En calculant cela, nous remarquons assez vite qu'il s'agit de l'espérance de la loi discrète uniforme démontrée plus haut dans ce même chapitre pour une variable aléatoire discrète dont les valeurs sont comprises entre 1 et n, soit exactement la définition du rang! Ainsi, nous avons le rang qui aura pour caractéristique de moyenne et de variance pour toute la population:

  (7.9)

Mais évidemment pour un échantillon seul cela n'a aucun intérêt! Reprenons nos deux séries  respectivement de tailles égales  sans distinction:

  (7.10)

Nous avons alors les indicateurs statistiques de rangs sans distinction (il faut bien garder en tête que nous ne savons pas encore à ce niveau du développement si cela nous sera utile ou non):

  (7.11)

et les indicateurs statistiques des rangs mais cette fois-ci avec distinction:

  (7.12)

Nous avons alors les indicateurs statistiques locaux:

  (7.13)

Ces calculs étant effectués, nous n'avons ceci dit rien de concrètement rigoureux pour l'instant en ce qui concerne le test apparié de Wilcoxon dont l'objectif est pour rappel de vérifier si les deux échantillons suivent la même loi ou non.

Pour avancer, considérons les  valeurs de l'échantillon X. Nous savons (cf. chapitre de Probabilités), qu'il y a alors:

  (7.14)

nombre de rangements possibles des  dans la population des échantillons et que si le test apparié de Wilcoxon se vérifie (c'est-à-dire: les lois de probabilités sont les mêmes pour les deux échantillons), les différents rangements sont équiprobables.

Par exemple, si nous prenons deux échantillons avec respectivement chacun deux mesures (2 variables aléatoires de traitement et 2 de contrôle), nous avons :

    (7.15)

arrangements différents tous distincts:

  (7.16)

Mais ce n'est pas ce que nous voulons dans le cas présent car déjà nous souhaiterions pouvoir distinguer les deux échantillons et aussi ne pas prendre en compte les arrangements qui consistent uniquement en une permutation des variables d'un même échantillon. Nous avons alors (cf. chapitre de Probabilités):

  (7.17)

combinaisons possibles! Effectivement avec 2 échantillons comprenant 2 variables de traitement (X) et 2 variables de contrôle (Y), nous avons:

Si l'hypothèse du test apparié de Wilcoxon est juste, les 6 classements sont équiprobables. Nous en déduisons le tableau suivant:

Ce tableau étant construit, supposons que nous observions pour la somme des ranges des variables de traitement: . Le seuil d'un test unilatéral donnerait alors conformément au tableau ci-dessus:

  (7.18)

ou si nous obtenions :

  (7.19)

Nous rejetterions donc l'hypothèse d'une distribution identique entre les deux échantillons à tout seuil supérieur (ou respectivement inférieur) fixé à l'avance par la politique du laboratoire... en test unilatéral ou bilatéral (raison pour laquelle les logiciels donnent les valeurs unilatérales du test + bilatérales en même temps).

Deux choses très importantes qu'il faut remarquer pour la suite sont que:

- Premièrement dans la construction du tableau précédent (dont voici à nouveau une partie):

Il y a une symétrie à la valeur 5, ce qui signifie que la loi de  est symétrique dans ce cas particulier. Mais si nous prenons un autre exemple avec deux échantillons comprenant respectivement 2 variables de contrôle et 3 de traitements (2 variables aléatoires):

le lecteur pourra vérifier que quel que soit le nombre d'échantillons et le nombre de variables de contrôle et de traitement, le tableau de probabilités ci-dessus est toujours symétrique (bon il y a une démonstration mathématique de ceci mais je la trouve peu élégante). Mais au fait c'est assez intuitif, comme les combinaisons  sont indépendantes du fait que les rangs soient rangés dans l'ordre croissant ou décroissant, il est forcé qu'il y ait une symétrie.

- Deuxièmement les valeurs des variables mesurées ne rentrent pas en compte dans cette statistique paramétrique mais uniquement les valeurs tabulées des rangs avec leurs probabilités associées. Effectivement, comme vous avez pu le remarquer, nous n'avons pas eu besoin des valeurs explicites des variables aléatoires pour construire le tableau précédent.

Maintenant, sachant que la loi de  est symétrique et discrète nous souhaiterions calculer son espérance (nous ne intéresserons pas au calcul de la variance de cette loi car nous trouvons qu'elle n'apporte dans la pratique aucune information utile).

Le calcul de l'espérance est relativement facile. Effectivement, comme la loi est symétrique, l'espérance est alors la moyenne de la borne supérieure et inférieure des rangs. Voyons cela:

- La plus petite valeur possible de  est en supposant qu'elle est dans l'échantillon X (les algorithmes informatiques déterminent automatiquement dans quel échantillon mais de toute façon dans la pratique, les échantillons ont quasiment toujours la même taille) :

  (7.20)

- La plus grande valeur possible est naturellement (se souvenir que ):

  (7.21)

L'espérance vaut alors:

  (7.22)

Exemple:

Passons à un cas pratique. Considérons donc 2 échantillons comprenant 2 variables de traitement (X) et deux variables de contrôle (Y) (c'est un peu simpliste et absudre comme exemple mais cela facilit l'aspect pédagogique...), nous avons:

  (7.23)

Soit (la variable de traitement a donc le rangs 1 et 3):

  (7.24)

Soit:

  (7.25)

Nous avons le tableau suivant comme nous l'avons montré plus haut:

avec dans le cas présent:

  (7.26)

Si nous choisissons le seuil de confiance traditionnel à 5% en bilatéral, nous avons selon le tableau ci-dessus que:

  (7.27)

  (7.28)

Donc en d'autres termes nous voyons qu'il y a:

  (7.29)

de probabilité cumulée que soit compris entre 3 et 7 (la barre au-dessus du 6 signifie pour rappel que ce chiffre se répète à l'infini). Donc forcément 4 est compris dans l'intervalle bilatéral du 95%... et nous pouvons accepter l'hypothèse comme quoi les deux échantillons ne sont pas différents.

TEST (DE RANG) DE MANN-WITHNEY

Le test de Mann-Withney est au fait un test d'ajustement non-paramétrique très simple qui, dans sa version exacte (car il y en a deux versions... les deux étant données par certains logiciels comme SAS), découle du test de Wilcoxon. Par ailleurs il en est inspiré à un tel point que nous l'appelons parfois dans l'industrie le "test de Wilcoxon-Mann-Withney" ou "test d'ajustement de Wilcoxon-Mann-Withney" ou encorew "test MWW".

Le but de ce test et de trouver un moyen de vérifier que deux échantillons non nécessairement de même taille (!!!) sont issues suivent une même loi ou non (in extenso sont issues d'une même population ou non)! C'est ce petit truc en plus utile dans la pratique qui fait que lorsque la taille des deux échantillons est identique, le test d'ajustement de Mann-Withney se réduit au test de Wilcoxon.

Certains logiciels par ailleurs portent les choses à confusion car ils proposent le test de Mann-Withney... plus deux versions du test de Wilcoxon: une pour données appariées (celle vue plus haut) et une pour données indépendantes (non appariées) et en fait, le test de Wilcoxon pour données indépendantes n'est que le test de Mann-Withney... Certains logiciels contournent le problème en indiquant que lorsqu'un test de Mann-Withney est effectué, la sortie des résultats indiquera le test d'ajustement de Wilcoxon pour données appariées et le test de Wilcoxon pour données indépendantes.

Pour voir de quoi il s'agit, construisons le tableau de rang utilisant 2 échantillons comprenant 2 variables de contrôle et 3 variables de traitement, nous avons alors:

Dont nous déduisons le tableau suivant:

Maintenant imaginons que nous ayons une autre expérience à analyser utilisant 2 échantillons comprenant 3 variables de contrôle et 2 variables de traitement (le symétrique du précédent donc!), nous avons alors:

Dont nous déduisons le tableau suivant (le lecteur remarquera que c'est exactement le même que le précédent en ce qui concerne les probabilités!!):

Eh bien l'idée du test de Mann-Withney est très simple:

Plutôt que de tabuler des situations symétriques, il suffit de soustraire à chaque valeur de , la valeur  afin que chaque tableau soit identique et qu'un des deux seul soit utile. Voyons cela d'abord avec le premier tableau:

Dont nous déduisons le tableau suivant:

Maintenant imaginons que nous ayons une autre expérience à analyser utilisant 2 échantillons comprenant 3 variables de contrôle et 2 variables de traitement, nous avons alors en utilisant la même idée:

Dont nous déduisons cette fois-ci exactement le même tableau que précédemment:

raison pour laquelle la littérature mentionne qu'on peut prendre celui que l'on veut!

Donc pour résumer, la variante de Mann-Whitney (dans le cas concret ici présent il s'agit de la variante dite "variante exacte de Mann-Whitney") consiste à tabuler pour les situations symétriques une variable notée  définie naturellement par:

  (7.30)

notée aussi très souvent dans la littérature:

  (7.31)

car alors:

  (7.32)

et donc:

  (7.33)

Dans les tables que l'on peut trouver dans les livres, les probabilités sont données avec la valeur normalisée de U. Ainsi, si nous reprenons notre exemple précédent mais avec les notations d'usage dans la pratique (U au lieu de ):

Nous voyons que la probabilité cumulée que  est de 0.4. La table précédente se trouve dans la littérature sous la forme suivante:

où nous avons mis en rouge la colonne correspondant à notre exemple () et en vert et gras la valeur prise comme exemple dans le paragraphe précédent. Ensuite il convient au praticien de choisir avec ces tableaux s'il souhaite faire un test bilatéral ou unilatéral.

TRAITEMENT DES ÉGALITÉS

Lorsque nous procédons à un test de rang de type Wilcoxon-Mann-Withney ou autre, des égalités de rangs peuvent se produire.

Reprenons pour l'exemple:

  (7.36)

avec les données suivantes:

Une solution conventionnelle consiste à attribuer à chaque "?" le rang moyen. Donc dans le cas présent, nous avons:

  (7.37)

Le tableau:

devient alors dans ce cas particulier:

où  (remarquez la petite * en haut à droite!) représente la statistique de Wilcoxon lorsque nous sommes en présence d'égalités statistiques. La loi de  peut être plus ou moins différente de celle de . Effectivement:

STATISTIQUES DES VALEURS EXTRÊMES

La statistique des valeurs extrêmes est un domaine très important dans la finance et l'ingénierie de la qualité (pour ne citer que les deux exemples les plus connus) qui permet d'étudier l'interpolation et la justification asymptotique des distributions. Comme le lecteur va le voir, cette statistique constitue de par sa construction un sous-domaine des statistiques d'ordre.

Soient  des variables aléatoires supposées indépendantes et identiquement distribuées de loi F et de densité f.  Rappelons que nous définissons la statistique d'ordre i notée  par:

  (7.38)

En posant:

  (7.39)

Les variables  et  définissent les statistiques d'ordres extrêmes et leur écart:

  (7.40)

et dite "déviation extrême". Nous accepterons comme triviale la relation:

  (7.41)

Déterminons maintenant la fonction de répartition de :

  (7.42)

car dire que  équivaut à dire que pour chaque  nous avons  (pas facile à deviner qu'il faut avoir cette approche...).

Nous avons alors puisque les variables sont indépendantes (cf. chapitre de Probabilités):

  (7.43)

et par suite nous avons évidemment la fonction de distribution:

  (7.44)

Respectivement en se basant sur la même idée:

  (7.45)

et par suite nous avons évidemment la fonction de distribution:

  (7.46)

Il vient alors:

  (7.47)

en ayant utilisé la linéarité de l'espérance et le fait que pour les deux fonctions de distribution nous travaillons sur la même variable aléatoire.

En faisant une intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

  (7.48)

en n'oubliant pas que  et .

Maintenant considérons le cas particulier où la fonction de répartition suit une loi Normale centrée réduite:

  (7.49)

Nous avons alors:

  (7.50)

Faisons un changement de variables:

  (7.51)

Nous avons alors:

  (7.52)

et nous trouvons alors la relation donnée (99% du temps sans démonstrations) dans les livres de statistiques des procédés:

  (7.53)

appelée "constante de Hartley" et donc:

  (7.54)

Cette constante est donc impossible à ce jour à calculer formellement. Soit il faut passer par des approximations en série de Taylor des termes de l'intégrale, ce qui devient un cauchemar pour n grand, soit par un calcul utilisant la méthode de Monte-Carlo (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Comme c'est relativement long à implémenter dans un tableur, les ingénieurs qualité préfèrent utiliser des tables dans lesquelles nous trouvons par exemple:

Voyons maintenant la variance de l'étendue en utilisant toujours la relation de Huyghens:

  (7.55)

Le calcul de  est très peu digeste (du moins je n'ai rien trouvé de satisfaisant aux exigences de Sciences.ch), la plus petite démonstration complète tient sur 3 à 4 pages A4 et n'apporte formellement rien puisque nous finissons sur une intégrale non calculable à la main (par contre si quelqu'un a une démonstration simple, détaillée et élégante qu'il n'hésite pas à se manifester!). C'est pour cette raison qu'après avoir posé:

  (7.56)

si nous écrivons comme le font de nombreux ouvrages techniques:

  (7.57)

il vient alors que:

  (7.58)

Mais comme nous ne connaissons pas l'estimateur du maximum de vraisemblance non biaisé de l'écart-type , nous allons utiliser la relation démontrée:

  (7.59)

Pour avoir finalement un estimateur biaisé de la variance de l'étendue:

  (7.60)

Voici quelques valeurs tabulées de :

COEFFICIENT DE CORRÉLATION DES RANGS DE SPEARMAN

Le coefficient de corrélation des rangs de Spearman, noté  est le coefficient de corrélation de la suite , des rangs inspiré naturellement du coefficient de corrélation linéaire de Pearson vu au début de ce chapitre:

  (7.61)

Prenons un exemple avant de nous attaquer à l'aspect théorique. Des mesures d'une population de taille 10 (nous avons repris les mêmes valeurs que celles prises pour les études des tests de rangs non paramétriques précédents):

avec leurs rangs respectifs selon l'idée d'approche de Kendall (idée simple mais à laquelle il fallait penser!):

Maintenant démontrons que la relation donnée précédemment se simplifie drastiquement car les valeurs de R, comme celles de S, parcourent la suite des n premiers entiers. Or nous avons démontré dans le chapitre de Suites et Séries que:

    (7.62)

donc:

  (7.63)

Il vient alors:

  (7.64)

Nous avons également démontré dans le chapitre de Suites et Séries que:

    (7.65)

donc:

  (7.66)

Il vient alors:

  (7.67)

Maintenant jouons un peu pour obtenir une expression encore plus simplifiée en observant que:

  (7.68)

il vient alors que:

  (7.69)

Nous avons alors:

  (7.70)

Or, nous avons démontré que:

  (7.71)

Dès lors:

  (7.72)

Ainsi, nous trouvons la fameuse relation disponible dans tous les livres de Statistiques au final:

  (7.73)

Le coefficient de Spearman reprend les propriétés essentielles du coefficient de Pearson à savoir que:

  (7.74)

et prend la valeur 0 lorsque les variables sont indépendantes (en n'oubliant pas les subtilités importantes y relatives déjà mentionnées lors de notre étude du coefficient de Pearson).

CALCULS D'ERREURS/INCERTITUDES

Il est impossible de connaître (mesurer) la valeur exacte d'une grandeur physique expérimentalement, il est très important donc d'en déterminer l'incertitude.

Nous appelons bien évidemment "erreur", la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte. Cependant, comme nous ignorons la valeur exacte, nous ne pouvons pas connaître l'erreur commise quand même.... Le résultat est donc toujours incertain. C'est la raison pour laquelle nous parlons des "incertitudes de mesure".

Nous distinguons deux types d'incertitudes:

1. Les "erreurs systématiques": elles affectent le résultat constamment et dans le même sens (erreurs des appareils de mesures, limites de précision, etc.). Il faut alors éliminer, ou corriger le résultat, si possible !

2. Les "erreurs accidentelles" (statistiques): il faut alors répéter les mesures, calculer la moyenne et évaluer l'incertitude en utilisant les outils de statistique.

Le deuxième type d'erreurs fait un très gros usage de tous les outils statistiques que nous avons présentés jusqu'à maintenant. Nous ne reviendrons donc pas dessus et nous nous concentrerons alors uniquement sur quelques nouveaux concepts.

INCERTITUDES ABSOLUES ET RELATIVES

Si la vraie valeur d'une grandeur est x (supposée connue théoriquement) et la valeur mesurée est , alors est "l'incertitude absolue" (l'incertitude due aux appareils de mesure) ou "erreur absolue".

L'intervalle de confiance de la mesure est alors notée:

  (7.75)

ou:

  (7.76)

"L'incertitude relative" ou "erreur relative" est quant à elle définie par:

  (7.77)

L'incertitude absolue permet de connaître l'approximation du dernier chiffre significatif de celle-ci. Par contre, lorsque nous désirons comparer deux mesures ayant des incertitudes absolues afin de déceler laquelle a la plus grande marge d'erreur, nous calculons l'incertitude relative de ce nombre en divisant l'incertitude absolue par le nombre, et transformons en pourcentage.

En d'autres termes, l'incertitude relative permet d'avoir une idée de la précision de la mesure en %. Si nous faisons une mesure avec une incertitude absolue de 1 [mm], nous ne saurons pas si c'est une bonne mesure ou non. Ça dépend si nous avons mesuré la taille d'une pièce de monnaie, de notre voisin, de la distance Paris-Marseille ou de la distance Terre-Lune. Bref, ça dépend de l'incertitude relative (c'est-à-dire du rapport de l'incertitude absolue sur la mesure).

ERREURS STATISTIQUES

Dans la plupart des mesures, nous pouvons estimer l'erreur due à des phénomènes aléatoires, appelée "erreur aléatoire", par une série de n mesures et ce à l'opposé de "l'erreur systématique" qui est la part non aléatoire de l'erreur.

L'erreur aléatoire permet d'introduire les notions de:

- Répétabilité: qui est définie comme l'étroitesse de l'accord entre les résultats de mesurages successifs d'une même grandeur, effectués avec la même méthode, par le même opérateur, avec les mêmes instruments de mesure, dans le même laboratoire, et à des intervalles de temps assez courts.

- Reproductibilité (parfois appelé "justesse"): qui est définie comme l'étroitesse de l'accord entre les résultats de mesurages successifs d'une même grandeur, dans le cas où les mesurages individuels sont effectués: suivant différentes méthodes, au moyen de différents instruments de mesure, par différents opérateurs dans différents laboratoires.

Ces deux notations sont toujours regroupées sous le sigle "R&R" ou "Étude R&" dans l'industrie. En général, l'accord est moins bon quand il s'agit de reproductibilité.

Ces deux types d'erreurs peuvent être illustrés par le tir à la cible de façon plus générale:

Figure: 7.3 - Types d'erreurs en ingénierie de laboratoire

Comme nous l'avons vu plus haut, la valeur moyenne arithmétique sera alors:

  (7.78)

et l'écart moyen (estimateur biaisé démontré plus haut):

  (7.79)

et l'écart quadratique moyen ou écart-type (estimateur sans biais):

  (7.80)

et nous avions démontré que l'écart-type de la moyenne était donné par:

  (7.81)

et comme nous l'avons vu, après un grand nombre de mesures indépendantes, la distribution des erreurs sur une mesure suit une loi Normale telle que nous puissions écrire (si nous n'avons pas assez de mesures, nous utiliserons l'I.C. basé sur la loi de Student):

  (7.82)

bref nous pouvons réutiliser tous les outils statistiques vus jusqu'ici dans le domaine de la mesure en laboratoire ou ailleurs!

Le résultat d'une mesure doit ainsi comporter en toute rigueur 4 éléments. Par exemple:

  (7.83)

où nous avons:

1. La valeur numérique avec un nombre correct de décimales

2. Unité de la mesure selon le standard du système international

3. Incertitude élargie de (intervalle de confiance)

4. La valeur entière du k utilisée pour l'intervalle de confiance.

PROPAGATION DES ERREURS

Soit une mesure et une fonction de x. Quelle est l'incertitude sur y si nous connaissons uniquement l'incertitude d'un appareil de mesure mais qui ne serait pas donnée sous forme d'écart-type statistique?

Lorsque est petit, f(x) est remplacé au voisinage de x par sa tangente (il s'agit simplement de la dérivée bien sûr):

  (7.84)

mais si y dépend de plusieurs grandeurs x, z, t mesurées avec les incertitudes :

  (7.85)

l'erreur maximale possible est alors la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (7.86)

Ce que nous notons aussi souvent:

  (7.87)

Ce qui conduit à:

  (7.88)

Il apparaît ainsi clairement qu'une opération mathématique ne peut améliorer l'incertitude sur les données.

Si l'incertitude de l'appareil de mesure est donnée sous forme statistiques (écart-type), il est évident dès lors que nous allons utiliser les propriétés de la variance déjà vues au début de ce chapitre... pour des cas simples.

CHIFFRES SIGNIFICATIFS

Dans les petites écoles (et aussi les plus grandes parfois), il est demandé de transformer une mesure exprimée en une certaine unité en une autre unité.

Par exemple, en prenant les tables, nous pouvons avoir le type de conversion suivante:

  (7.89)

Vient alors la question suivante (que l'élève peut avoir oublié...). Au départ d'une mesure dont la précision est de l'ordre de 1 [lb] (donc de l'ordre de 0.5 [kg]), une simple conversion d'unité pourrait-elle amener à une précision au 1/10 [mg] près ?

De cet exemple il faut donc retenir qu'une marge d'incertitude est associée à toute valeur mesurée et à toute valeur calculée à partir de valeurs mesurées.

Dans les sciences exactes, tout raisonnement, toute analyse doit prendre cette incertitude en compte.

Mais pourquoi des chiffres sont-ils significatifs et d'autres pas alors ? Parce qu'en sciences, nous ne rapportons que ce qui a objectivement été observé (principe d'objectivité). En conséquence, nous limitons l'écriture d'un nombre aux chiffres raisonnablement fiables en dépit de l'incertitude: les chiffres significatifs. La précision que des chiffres supplémentaires sembleraient apporter est alors illusoire.

Il faut alors savoir arrondir selon des règles et conventions:

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est supérieur à 5, le chiffre précédent est augmenté de 1 (exemple: 12.66 s'arrondit à 12.7). Dans MS Excel:

=ROUND(12.66;1)=12.7

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est inférieur à 5, le chiffre précédent reste inchangé (exemple 12.64 s'arrondit à 12.6). Dans MS Excel:

=ROUND(12.64;1)=12.6

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est égal à 5, si un des chiffres qui le suivent n'est pas nul, le chiffre précédent est augmenté de 1 (exemple: 12.6502 s'arrondit à 12.7). Dans MS Excel:

=ROUND(12.6502;1)=12.7

- Si le chiffre de rang le plus élevé que nous laissons tomber est un 5 terminal (qui n'est suivi d'aucun chiffre) ou qui n'est suivi que de zéros, nous augmentons de 1 le dernier chiffre du nombre arrondi s'il est impair, sinon nous le laissons inchangé (exemples: 12.75 s'arrondit à 12.8 et 12.65 à 12.6). Dans ce dernier cas, le dernier chiffre du nombre arrondi est toujours un chiffre pair. Les tableurs ne respectent pas vraiment cette dernière règle, effectivement avec MS Excel nous avons:

=ROUND(12.75;1)=12.8
=ROUND(12.65;1)=12.7

Au fait dans la pratique ces règles sont peu utilisées car les logiciels (tableurs) n'intègrent pas des fonctions adaptées. Il est alors d'usage d'arrondir simplement à la valeur de la décimale la plus proche.

Les chiffres significatifs d'une valeur comprennent tous ses chiffres déterminés avec certitude ainsi que le premier chiffre sur lequel porte l'incertitude (ce dernier significatif occupe le même rang que l'ordre de grandeur de l'incertitude).

Souvent, les sources de données ne mentionnent pas d'intervalle de confiance (c'est-à-dire une indication +/-). Par exemple, lorsque nous écrivons nous considérons conventionnellement que l'incertitude est du même ordre de grandeur que le rang du dernier chiffre significatif (soit le chiffre incertain).

En fait, seul le rang décimal de l'incertitude est implicite: sa marge réelle n'est pas précisée.

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