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THÉORIE DE LA DÉMONSTRATION | NOMBRES | OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES
THÉORIE DES NOMBRES | THÉORIE DES ENSEMBLES | PROBABILITÉS | STATISTIQUES

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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

STATISTIQUES DE RANGS

Les statistiques de rangs, appelées aussi "statistiques d'ordre", sont définies comme l'ensemble des techniques de calculs statistiques ou d'inférence statistiques qui ont pour objectif principal de se débarrasser de la connaissance d'une distribution paramétrée et en utilisant pour cela uniquement les rangs (ordonnés) des caractéristiques mesurées. Il s'agit d'un outil très puissant et très utilisé dans la pratique pour faire de la statistique non-paramétrée!

TESTS DE RANG (NON PARAMÉTRIQUES)

Comme nous l'avons déjà mentionné plus haut, nous parlons de tests paramétriques lorsque nous stipulons que les données sont issues d'une distribution paramétrée. Dans ce cas, les caractéristiques des données peuvent être résumées à l'aide de paramètres estimés sur l'échantillon, la procédure de test subséquente ne porte alors que sur ces paramètres.

Rappelons aux lecteurs les tests le petit nombre de tests (du moins ceux qui ont des noms particuliers) que nous avons démontrés jusqu'à maintenant (nous espérons ne pas avoir commis d'erreurs trop graves dans le listing ci-dessous):

Lorsque les données sont quantitatives, les tests non paramétriques transforment les valeurs en rangs. L'appellation "tests de rangs" est alors souvent rencontrée. Lorsque les données sont qualitatives, seuls les tests non paramétriques sont utilisables.

L-STATISTIQUES

Avant de s'attaquer aux tests non paramétriques, donnons quelques définitions que lecteur risquerait de trouver dans la littérature hyperspécialisée et dont nous avons évité l'utilisation (du moins jusqu'à maintenant...).

La médiane, la moyenne et l'étendue suggèrent l'utilisation de combinaisons linéaires de composantes du vecteur des statistiques d'ordre.

Ainsi, notons  une statistique d'ordre (donc les valeurs ordonnées dans l'ordre décroissant et numérotées par leur rang). Nous définissons alors la "L-statistique" par:

  (7.1)

et donc le premier "L-estimateur" le plus connu est la moyenne arithmétique pour laquelle:

  (7.2)

Le deuxième L-estimateur le plus connu est la médiane pour laquelle nous avons lorsque n est impair:

  (7.3)

et lorsque n est pair:

  (7.4)

Enfin, le troisième L-estimateur le plus connu est l'étendue pour lequel nous avons:

  (7.5)

Il y a d'autres L-estimateurs empiriques mais nous nous arrêterons ici car la liste est relativement longue.

TEST DE LA SOMME DES RANGS DE WILCOXON

L'idée du "test de la somme des rangs de Wilcoxon" est la suivante: si nous rassemblons deux échantillons de mesures, et que nous rangeons les valeurs dans l'ordre, l'alternance des  (de taille ) et des  (de taille ) devrait être assez régulière si les deux échantillons de loi de répartition F et respectivement G suivent la même loi de probabilité. Il s'agit donc d'un "test d'ajustement".

Il ne s'agit donc pas comme le test d'ajustement du Khi-deux de comparer des mesures à une loi théorique, mais à d'autres mesures.

Prenons un exemple avant de nous attaquer à l'aspect théorique. Voici deux échantillons de taille 10 () de variables quantitatives:

  (7.6)

Voici les statistiques d'ordre de l'échantillon de taille 20 () regroupé et ordonné (les 10 valeurs du premier échantillon sont soulignées):

  (7.7)

Les valeurs du premier échantillon X (dites "valeurs de traitement") ont tendance à être plus petites que celles du second Y (dites "valeurs de contrôle") ce que nous représentons souvent sous la forme graphique suivante (en trichant un peu avec Microsoft Excel 11.8346):

Figure: 7.1 - Comparaison des valeurs de deux échantillons dans Microsoft Excel 11.8346

L'idée est alors de chercher à savoir si cette tendance est statistiquement significative. C'est-à-dire de savoir si nous avons une réelle différence du type entre leurs lois de répartitions respectives:

Figure: 7.2 - Exemple générique de la comparaison de deux foctio de répartitions

ou si elles peuvent considérées comme identiques. Pour cela, il faut bien étudier la notion de "rang":

Étant donné un n-échantillon aléatoire  d'une loi statistique continue quelconque, nous notons  le rang des  ordonnés dans une population d'échantillons. Le rang i est donc un nombre entier non nul et strictement positif compris entre 1 et N (somme des tailles de tous les échantillons).

Exemple:

Dans:

  (7.8)

Nous avons les "statistiques d'ordre" respectives:

  (7.9)

Une fois le concept de "rang" défini, intéressons-nous à la somme dans le cadre de notre exemple avec les deux échantillons:

  (7.10)

La somme des rangs, notée traditionnellement  (W pour Wilcoxon), du premier échantillon est alors:

  (7.11)

et pour le deuxième échantillon:

  (7.12)

Valeurs que nous appelons "statistique de Wilcoxon".

Nous pouvons donc déjà constater qu'il y a effectivement une différence qui semble a priori non négligeable en termes de rang sur les deux échantillons. Tout le problème reste maintenant à construire un outil mathématique rigoureux permettant d'en conclure un fait avec une certaine certitude.

Pour cela, introduisons d'abord la moyenne des rangs en utilisant le résultat démontré dans le chapitre de Suites et Séries en considérant un seul échantillon:

  (7.13)

En calculant cela, nous remarquons assez vite qu'il s'agit de l'espérance de la loi discrète uniforme démontrée plus haut dans ce même chapitre pour une variable aléatoire discrète dont les valeurs sont comprises entre 1 et n, soit exactement la définition du rang! Ainsi, nous avons le rang qui aura pour caractéristique de moyenne et de variance pour toute la population:

  (7.14)

Pour ceux qui trouverais cette analogie douteuse voici sinon la démonstration de la variance en utilisant la relation de Huyghens et la somme des carrées des entiers positifs démontrée dans le chapitre de Suites Et Séries:

  (7.15)

Mais évidemment pour un échantillon seul cela n'a aucun intérêt! Reprenons nos deux séries  respectivement de tailles égales  sans distinction:

  (7.16)

Nous avons alors les indicateurs statistiques de rangs sans distinction (il faut bien garder en tête que nous ne savons pas encore à ce niveau du développement si cela nous sera utile ou non):

  (7.17)

et les indicateurs statistiques des rangs mais cette fois-ci avec distinction:

  (7.18)

Nous avons alors les indicateurs statistiques locaux:

  (7.19)

Ces calculs étant effectués, nous n'avons ceci dit rien de concrètement rigoureux pour l'instant en ce qui concerne le test de la somme des rangs de Wilcoxon dont l'objectif est pour rappel de vérifier si les deux échantillons suivent la même loi ou non (et donc ont in extenso les mêmes moments comme l'espérance, la variance, la médiane, etc.).

Pour avancer, considérons les  valeurs de l'échantillon X. Nous savons (cf. chapitre de Probabilités), qu'il y a alors:

  (7.20)

nombre de rangements possibles des  dans la population des échantillons et que si le test de la somme des rangs de Wilcoxon se vérifie (c'est-à-dire: les lois de probabilités sont les mêmes pour les deux échantillons), les différents rangements sont équiprobables.

Par exemple, si nous prenons deux échantillons avec respectivement chacun deux mesures (2 variables aléatoires de traitement et 2 de contrôle), nous avons :

    (7.21)

arrangements différents tous distincts:

  (7.22)

Mais ce n'est pas ce que nous voulons dans le cas présent car déjà nous souhaiterions pouvoir distinguer les deux échantillons et aussi ne pas prendre en compte les arrangements qui consistent uniquement en une permutation des variables d'un même échantillon. Nous avons alors (cf. chapitre de Probabilités):

  (7.23)

combinaisons possibles! Effectivement avec deux échantillons comprenant deux variables de traitement (X) et deux variables de contrôle (Y), nous avons:

Si l'hypothèse du test de la somme des rangs de Wilcoxon est juste, les 6 classements sont équiprobables. Nous en déduisons le tableau suivant:

Ce tableau étant construit, supposons que nous observions pour la somme des ranges des variables de traitement: . Le seuil d'un test unilatéral donnerait alors conformément au tableau ci-dessus:

  (7.24)

ou si nous obtenions :

  (7.25)

Nous rejetterions donc l'hypothèse d'une distribution identique entre les deux échantillons à tout seuil supérieur (ou respectivement inférieur) fixé à l'avance par la politique du laboratoire... en test unilatéral ou bilatéral (raison pour laquelle les logiciels donnent les valeurs unilatérales du test + bilatérales en même temps).

Deux choses très importantes qu'il faut remarquer pour la suite sont que:

- Premièrement dans la construction du tableau précédent (dont voici à nouveau une partie):

Il y a une symétrie à la valeur 5, ce qui signifie que la loi de  est symétrique dans ce cas particulier. Mais si nous prenons un autre exemple avec deux échantillons comprenant respectivement deux variables de contrôle et trois de traitements (deux variables aléatoires):

le lecteur pourra vérifier que quel que soit le nombre d'échantillons et le nombre de variables de contrôle et de traitement, le tableau de probabilités ci-dessus est toujours symétrique (bon il y a une démonstration mathématique de ceci mais je la trouve peu élégante). Mais au fait c'est assez intuitif, comme les combinaisons  sont indépendantes du fait que les rangs soient rangés dans l'ordre croissant ou décroissant, il est forcé qu'il y ait une symétrie.

- Deuxièmement les valeurs des variables mesurées ne rentrent pas en compte dans cette statistique paramétrique mais uniquement les valeurs tabulées des rangs avec leurs probabilités associées. Effectivement, comme vous avez pu le remarquer, nous n'avons pas eu besoin des valeurs explicites des variables aléatoires pour construire le tableau précédent.

Maintenant, sachant que la loi de  est symétrique et discrète nous souhaiterions calculer son espérance (nous ne intéresserons pas au calcul de la variance de cette loi car nous trouvons qu'elle n'apporte dans la pratique aucune information utile).

Le calcul de l'espérance est relativement facile. Effectivement, comme la loi est symétrique, l'espérance est alors la moyenne de la borne supérieure et inférieure des rangs. Voyons cela:

- La plus petite valeur possible de  est en supposant qu'elle est dans l'échantillon X (les algorithmes informatiques déterminent automatiquement dans quel échantillon mais de toute façon dans la pratique, les échantillons ont quasiment toujours la même taille):

  (7.26)

- La plus grande valeur possible est naturellement (se souvenir que ):

  (7.27)

L'espérance de la somme des rangs d'un des deux échantillons vaut alors:

  (7.28)

Donc au final:

  (7.29)

Pour le calcul de la variance, qui nous sera utile pour faire au besoin une approximation que nous verrons plus loin, apparaît (malheureusement) la covariance car la connaissance d'un des rangs donnne une information partielle sur les autres. Nous avons donc:

  (7.30)

Nous savons déjà au vu de ce que nous avons démontré juste plus haut que:

  (7.31)

Le problème reste donc le terme avec la covariance. Pour la calculer il existe des techniques rigoureuses tenant sur plusieurs pages et une astuce qui est beaucoup plus courte. L'astuce consiste à utiliser la variable globale de rang que nous noterons avec . Comme la somme des est une constante, nous avons alors:

  (7.32)

Il vient alors:

  (7.33)

Nous pouvons alors reprendre le calcul initial en remplaçant les covariances par leur expression, la dernière relation obtenue pour les covariances calculées sur les s'appliquant également (ce qui n'est pas forcément intuitif... mais l'astuce fonctionne) aux :

  (7.34)

Soit au final:

  (7.35)

Ce qui est bien le même résultat que la méthode rigoureuse que l'on peut trouver dans certaines rares références.

Exemple:

E1. Passons à un cas pratique d'abord pour le cas exact. Considérons donc 2 échantillons comprenant 2 variables de traitement (X) et deux variables de contrôle (Y) (c'est un peu simpliste et absurde comme exemple mais cela facilite l'aspect pédagogique...), nous avons:

  (7.36)

Soit (la variable de traitement a donc le rangs 1 et 3 ce qui fait une somme de rang de 4):

  (7.37)

Soit:

  (7.38)

Nous avons le tableau suivant comme nous l'avons montré plus haut:

avec dans le cas présent:

  (7.39)

Si nous choisissons le seuil de confiance traditionnel à 5% en bilatéral, nous avons selon le tableau ci-dessus que:

  (7.40)

  (7.41)

Donc en d'autres termes nous voyons qu'il y a:

  (7.42)

de probabilité cumulée que soit compris entre 3 et 7 (la barre au-dessus du 6 signifie pour rappel que ce chiffre se répète à l'infini). Donc forcément 4 est compris dans l'intervalle bilatéral du 95%... et nous pouvons accepter l'hypothèse comme quoi les deux échantillons ne sont pas différents. La p-value correspondant en bilatéral est donc la moitié de 33.333333%.

Si la taille des deux échantillons est assez grande (la majorité des praticiens considérent que chaque échantillon doit avoir au moins 20 individus), il a été montré par simulations que nous pouvons faire l'approximation (utilisée par beaucoup de logiciels de statistiques):

  (7.43)

bien évidemment en déterminant ensuite toujours la p-value en bilatéral. Avec l'exemple précédent ( n'ayant que 4 individus au total), nous avons donc:

  (7.44)

Ce qui correspondant à une probabilité cumulée de 21.93%. Donc la p-value correspondante en bilatéral est d'environ 44% (à comparer à la valeur d'environ 33% avec le cas exact).

TEST DE LA SOMME DES RANGS DE MANN-WITHNEY

Le "test de la somme des rangs de Mann-Withney" est au fait un test d'ajustement non-paramétrique très simple qui se déduit du test de la somme des rangs de Wilcoxon. Par ailleurs il en est inspiré à un tel point que nous l'appelons parfois dans l'industrie le "test de Wilcoxon-Mann-Withney" ou "test d'ajustement de Wilcoxon-Mann-Withney" ou encore"test MWW" (sans spécifier à chaque fois qu'il repose sur la somme des rangs).

Le but de ce test, identiquement au test de la somme des rangs de Wilcoxon, est de trouver un moyen de vérifier que deux échantillons indépendants non nécessairement de même taille sont issus d'une même loi ou non (in extenso sont issus d'une même population ou non) mais avec une approche différente!

Certains logiciels par ailleurs portent les choses à confusion car ils proposent le test de la somme des rangs de Wilcoxon sous le nom de test de de Mann-Withney... et inversement... et de plus n'indiquent pas ou ne proposent pas toujours le choix entre la version exacte ou approximative... Et en plus le test de la somme des rangs de Wilcoxon et celui de la somme des rangs signés que nous verrons plus loin n'est pas différencié.... donc attention! C'est typiquement un problème dont la source est l'absence d'une norme ISO définissant la terminologie et les options qui doivent être disponibles...

Pour voir en quoi ce test consiste, construisons le tableau de rangs utilisant deux échantillons comprenant deux variables de contrôle et trois variables de traitement, nous avons alors:

Dont nous déduisons le tableau suivant:

Maintenant imaginons que nous ayons une autre expérience à analyser utilisant deux échantillons comprenant trois variables de contrôle et deux variables de traitement (le symétrique du précédent donc!), nous avons alors:

Dont nous déduisons le tableau suivant (le lecteur remarquera que c'est exactement le même que le précédent en ce qui concerne les probabilités!!):

Eh bien l'idée du test de Mann-Withney est très simple:

Plutôt que de tabuler des situations symétriques, il suffit de soustraire à chaque valeur de , la valeur  afin que chaque tableau soit identique et qu'un des deux seul soit utile. Voyons cela d'abord avec le premier tableau:

Dont nous déduisons le tableau suivant:

Maintenant imaginons que nous ayons une autre expérience à analyser utilisant deux échantillons comprenant trois variables de contrôle et deux variables de traitement, nous avons alors en utilisant la même idée:

Dont nous déduisons cette fois-ci exactement le même tableau que précédemment:

raison pour laquelle la littérature mentionne qu'on peut prendre celui que l'on veut!

Donc pour résumer, la variante de Mann-Whitney (dans le cas concret ici présent il s'agit de la variante dite "variante exacte de Mann-Whitney") consiste à tabuler pour les situations symétriques une variable notée  définie naturellement par:

  (7.45)

notée aussi très souvent dans la littérature:

  (7.46)

car alors:

  (7.47)

et donc:

  (7.48)

Dans les tables que l'on peut trouver dans les livres, les probabilités sont données avec la valeur normalisée de U. Ainsi, si nous reprenons notre exemple précédent mais avec les notations d'usage dans la pratique (U au lieu de ):

Nous voyons que la probabilité cumulée que  est de 0.4. La table précédente se trouve dans la littérature parfois sous la forme suivante:

où nous avons mis en rouge la colonne correspondant à notre exemple () et en vert et gras la valeur prise comme exemple dans le paragraphe précédent. Ensuite il convient au praticien de choisir avec ces tableaux s'il souhaite faire un test bilatéral ou unilatéral.

Pour voir la version approximative (asymptotique) du test U de Mann-Withney nous avons besoin de l'espérance et de la variance. Pour cela, rappelons que nous avons donc vu que la somme des rangs normalisés était donnée par:

  (7.51)

mais nous pouvons aussi utiliser comme nous l'avons vu:

  (7.52)

et puisque:

  (7.53)

avec pour rappel:

  (7.54)

nous avons donc:

  (7.55)

La moyenne des deux U est donc la moyenne arithmétique de la somme. Nous avons donc:

  (7.56)

Ce qui signifie que ou doit être suffisemment différent de cette dernière moyenne pour que l'on rejette l'hypothèse nulle comme quoi les deux échantillons proviennet d'une même loi de distribution. Mais pour déterminer la p-value, nous avons qu'il nous faut aussi l'écart-type. Donc cherchons-le!

L'écart-type est le même que pour le test de la somme des rangs de Wilcoxon (puisque le deuxième terme dans l'expression des U est une constante dont la variance est nulle. Ainsi, il ne reste plus que la variance de la somme des rangs et nous avons déjà démontré plus haut qu'elle valait:

  (7.57)

Exemple:

Reprenons l'exemple fait avec le test de la somme des rangs de Wilcoxon mais un peu modifié (pour que l'exemple soit plus parlant) c'est-à-dire:

  (7.58)

Soit groupé et ordonné:

  (7.59)

Nous avons alors:

  (7.60)

Donc nous pouvons choisir n'importe lequel pour le test vu que les deux U sont égaux. Si nous regardons le tableau créé plus haut, avec (), nous avons donc une probabilité cumulée de 60% que U soit égal à 3. Donc nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle (en unilatéral) comme quoi les deux échantillons proviennent de la même distribution.

L'approximation en loi Normale donne alors:

  (7.61)

Donc la probabilité cumulée est de 50% avec l'approximation Normale ce qui correspondant à une p-value de 50%. Là encore nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle.

TRAITEMENT DES ÉGALITÉS

Lorsque nous procédons à un test de la somme des rangs de type Wilcoxon-Mann-Withney ou autre, des égalités de rangs peuvent se produire.

Reprenons pour l'exemple:

  (7.62)

avec les données suivantes:

Une solution conventionnelle consiste à attribuer à chaque "?" le rang moyen. Donc dans le cas présent, nous avons:

  (7.63)

Le tableau:

devient alors dans ce cas particulier:

où  (remarquez la petite * en haut à droite!) représente la statistique de Wilcoxon lorsque nous sommes en présence d'égalités statistiques. La loi de  peut être plus ou moins différente de celle de . Effectivement:

STATISTIQUES DES VALEURS EXTRÊMES

La statistique des valeurs extrêmes est un domaine très important dans la finance et l'ingénierie de la qualité (pour ne citer que les deux exemples les plus connus) qui permet d'étudier l'interpolation et la justification asymptotique des distributions. Comme le lecteur va le voir, cette statistique constitue de par sa construction un sous-domaine des statistiques d'ordre.

Soient  des variables aléatoires supposées indépendantes et identiquement distribuées de loi F et de densité f.  Rappelons que nous définissons la statistique d'ordre i notée  par:

  (7.103)

En posant:

  (7.104)

Les variables  et  définissent les statistiques d'ordres extrêmes et leur écart:

  (7.105)

et dite "déviation extrême". Nous accepterons comme triviale la relation:

  (7.106)

Déterminons maintenant la fonction de répartition de :

  (7.107)

car dire que  équivaut à dire que pour chaque  nous avons  (pas facile à deviner qu'il faut avoir cette approche...).

Nous avons alors puisque les variables sont indépendantes (cf. chapitre de Probabilités):

  (7.108)

et par suite nous avons évidemment la fonction de distribution:

  (7.109)

Respectivement en se basant sur la même idée:

  (7.110)

et par suite nous avons évidemment la fonction de distribution:

  (7.111)

Il vient alors:

  (7.112)

en ayant utilisé la linéarité de l'espérance et le fait que pour les deux fonctions de distribution nous travaillons sur la même variable aléatoire.

En faisant une intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

  (7.113)

en n'oubliant pas que  et .

Maintenant considérons le cas particulier où la fonction de répartition suit une loi Normale centrée réduite:

  (7.114)

Nous avons alors:

  (7.115)

Faisons un changement de variables:

  (7.116)

Nous avons alors:

  (7.117)

et nous trouvons alors la relation donnée (99% du temps sans démonstrations) dans les livres de statistiques des procédés:

  (7.118)

appelée "constante de Hartley" et donc:

  (7.119)

Cette constante est donc impossible à ce jour à calculer formellement. Soit il faut passer par des approximations en série de Taylor des termes de l'intégrale, ce qui devient un cauchemar pour n grand, soit par un calcul utilisant la méthode de Monte-Carlo (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Comme c'est relativement long à implémenter dans un tableur, les ingénieurs qualité préfèrent utiliser des tables dans lesquelles nous trouvons par exemple:

Voyons maintenant la variance de l'étendue en utilisant toujours la relation de Huyghens:

  (7.120)

Le calcul de  est très peu digeste (du moins je n'ai rien trouvé de satisfaisant aux exigences de Sciences.ch), la plus petite démonstration complète tient sur 3 à 4 pages A4 et n'apporte formellement rien puisque nous finissons sur une intégrale non calculable à la main (par contre si quelqu'un a une démonstration simple, détaillée et élégante qu'il n'hésite pas à se manifester!). C'est pour cette raison qu'après avoir posé:

  (7.121)

si nous écrivons comme le font de nombreux ouvrages techniques:

  (7.122)

il vient alors que:

  (7.123)

Mais comme nous ne connaissons pas l'estimateur du maximum de vraisemblance non biaisé de l'écart-type , nous allons utiliser la relation démontrée:

  (7.124)

Pour avoir finalement un estimateur biaisé de la variance de l'étendue:

  (7.125)

Voici quelques valeurs tabulées de :

TEST (DE L'ÉTENDUE) DE TUKEY

Supposons que nous avons  variables aléatoires centrées réduites et indépendantes. Et notons U une variable aléatoire suivant une loi du Khi-deux à v degrés de liberté.

Définissons maintenant pour des raisons qui paraîtront évidentes un peu plus loin, "l'étendue Studentisée" (l'origine du nom provient de sa ressemblance avec la définition de la loi de Student) par:

  (7.126)

et tentons de déterminer si cette relation suit une loi connue et une application possible (nous retrouvons au numérateur ce que nous avions défini plus haut comme étant la "déviation extrême" mais avec une autre notation).

Pour cela, montrons que nous tombons sur la définition ci-dessus en considérant un cas un peu plus général où nous avons  variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi Normale  et avec l'écart type :

  (7.127)

et étudions le rapport:

  (7.128)

Maintenant, procédons aux transformations classiques déjà vues et démontrées et utilisées maintes fois depuis le début de ce chapitre:

  (7.129)

Et nous avons alors:

  (7.130)

Donc voilà déjà pour la première étape. Pour l'instant, même si nous ne savons toujours pas si cette définition loi suit une distribution connue, nous pouvons déjà poser la définition très intéressante suivante (le terme de gauche est toujours positif):

  (7.131)

ou autrement écrite:

  (7.132)

et donc nous pouvons calculer quelle est la probabilité cumulée d'une étendue obtenue par mesures comparée à une étendue critique  correspondant directement à un seuil  imposé. Ce qui nous amène à pouvoir écrire que:

  (7.133)

Maintenant, rappelons que nous avons vu plus haut que la fonction de distribution de la déviation extrême était donnée par une relation à notre connaissance non calculable analytiquement:

  (7.134)

Donc la fonction de distribution  n'est par conséquence pas assimilable à une loi connue quand  est une loi quelconque. Il faut donc malheureusement tabuler cette distribution par la méthode de Monte-Carlo (cf. chapitre de Méthodes Numériques) ou se réferer à des tables déjà existantes.

Maintenant pour continuer, nous faisons un crochet par l'ANOVA à un facteur contrôlé que nous avions étudié. Rappelons d'abord que nous avons démontré que que pour des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées nous avions:

  (7.135)

et puisque l'ANOVA un facteur contrôlé est aussi basé sur l'hypothèse que:

  (7.136)

cela implique qu'asymptotiquement les estimateurs ont la même propriété:

  (7.137)

Nous savons aussi que l'écart-type de la moyenne d'un échantillon de l'ANOVA un facteur contrôlé est donc donné la cadre et les hypothèses de l'ANOVA à un facteur contrôlé par:

  (7.138)

Mais dans le cadre de l'ANOVA à un facteur contrôlé, nous avons aussi montré que sous les hypothèses imposées, nous avions:

  (7.139)

Il vient alors que:

  (7.140)

est un estimateur de:

  (7.141)

Et comme nous avions démontré que:

  (7.142)

Il vient alors que:

  (7.143)

Dès lors, nous sommes naturellement amenés à constater que la relation que nous avons définie plus  haut:

  (7.144)

peut-être utilisée dans l'étude de l'ANOVA à un facteur contrôlé sous la forme:

  (7.145)

pour faire un test préalable ou postérieur (post hoc) à une ANOVA à un facteur contrôlé pour vérifier l'hypothèse d'égalité des moyennes et identifier quelles sont les moyennes aberrantes (test de comparaisons multiples). Donc le test de Tukey est souvent accompagné du test C de Cochran que nous avons déjà étudié plus haut lorsque nous faisons une ANOVA à un facteur contrôlé.

Soit, dans le cadre de l'ANOVA, nous devrions rejeter l'hypothèse d'égalité des moyennes des échantillons si:

  (7.146)

ou autrement écrit:

  (7.147)

Dans ce cas, il est alors quasi immédiat que nous pouvons construire l'intervalle de confiance suivant:

  (7.148)

Il faut savoir maintenant qu'il existe un test post-hoc de l'ANOVA à un facteur qui lors de l'application de:

  (7.149)

ne va pas prendre les deux moyennes les plus extrêmes mais va comparer toutes les moyennes deux à deux (et pourquoi pas après tout!) avec la plus grande moyenne (bon on pourrait aussi s'amuser à faire toutes les combinaisons possibles comme le font certains logiciels de statistiques). Dans ce cas la relation à utiliser sera la même que ci-dessus à la différence que si nous avons par exemple une ANOVA à un facteur avec 4 niveaux nous aurons alors 3 comparaisons deux à deux (les différences des moyennes doivent toujours être positives). Ainsi, en imaginant que la troisième moyenne est la plus grande et que dans l'ordre décroissant les moyennes les plus grandes sont la 4ème, 2ème et 1ère (donc la 1ère est la plus petite) il vient alors:

  (7.150)

Cette façon de faire (d'étendre le prinicipe de base du test de Tukey), s'appelle le "test de Newman-keuls" ou encore "test de Student–Newman–Keuls (SNK)".

COEFFICIENT DE CORRÉLATION DES RANGS DE SPEARMAN

Le coefficient de corrélation des rangs de Spearman, noté  est le coefficient de corrélation de la suite , des rangs inspiré naturellement du coefficient de corrélation linéaire de Pearson vu au début de ce chapitre:

  (7.151)

Prenons un exemple avant de nous attaquer à l'aspect théorique. Des mesures d'une population de taille 10 (nous avons repris les mêmes valeurs que celles prises pour les études des tests de rangs non paramétriques précédents):

avec leurs rangs respectifs selon l'idée d'approche de Kendall (idée simple mais à laquelle il fallait penser!):

Maintenant démontrons que la relation donnée précédemment se simplifie drastiquement car les valeurs de R, comme celles de S, parcourent la suite des n premiers entiers. Or nous avons démontré dans le chapitre de Suites et Séries que:

    (7.152)

donc:

  (7.153)

Il vient alors:

  (7.154)

Nous avons également démontré dans le chapitre de Suites et Séries que:

    (7.155)

donc:

  (7.156)

Il vient alors:

  (7.157)

Maintenant jouons un peu pour obtenir une expression encore plus simplifiée en observant que:

  (7.158)

il vient alors que:

  (7.159)

Nous avons alors:

  (7.160)

Or, nous avons démontré que:

  (7.161)

Dès lors:

  (7.162)

Ainsi, nous trouvons la fameuse relation disponible dans tous les livres de Statistiques au final:

  (7.163)

Le coefficient de Spearman reprend les propriétés essentielles du coefficient de Pearson à savoir que:

  (7.164)

et prend la valeur 0 lorsque les variables sont indépendantes (en n'oubliant pas les subtilités importantes y relatives déjà mentionnées lors de notre étude du coefficient de Pearson).

À remarquer que ce coefficinet semble défini comme pour une corrélation d'une paire de variables (je n'en ai jamais vu de généralisation).

CALCULS D'ERREURS/INCERTITUDES

Il est impossible de connaître (mesurer) la valeur exacte d'une grandeur physique expérimentalement, il est très important donc d'en déterminer l'incertitude.

Nous appelons bien évidemment "erreur", la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte. Cependant, comme nous ignorons la valeur exacte, nous ne pouvons pas connaître l'erreur commise quand même.... Le résultat est donc toujours incertain. C'est la raison pour laquelle nous parlons des "incertitudes de mesure".

Nous distinguons deux types d'incertitudes:

1. Les "erreurs systématiques": elles affectent le résultat constamment et dans le même sens (erreurs des appareils de mesures, limites de précision, etc.). Il faut alors éliminer, ou corriger le résultat, si possible !

2. Les "erreurs accidentelles" (statistiques): il faut alors répéter les mesures, calculer la moyenne et évaluer l'incertitude en utilisant les outils de statistique.

Le deuxième type d'erreurs fait un très gros usage de tous les outils statistiques que nous avons présentés jusqu'à maintenant. Nous ne reviendrons donc pas dessus et nous nous concentrerons alors uniquement sur quelques nouveaux concepts.

INCERTITUDES ABSOLUES ET RELATIVES

Si la vraie valeur d'une grandeur est x (supposée connue théoriquement) et la valeur mesurée est , alors est "l'incertitude absolue" (l'incertitude due aux appareils de mesure) ou "erreur absolue".

L'intervalle de confiance de la mesure est alors notée:

  (7.165)

ou:

  (7.166)

"L'incertitude relative" ou "erreur relative" est quant à elle définie par:

  (7.167)

L'incertitude absolue permet de connaître l'approximation du dernier chiffre significatif de celle-ci. Par contre, lorsque nous désirons comparer deux mesures ayant des incertitudes absolues afin de déceler laquelle a la plus grande marge d'erreur, nous calculons l'incertitude relative de ce nombre en divisant l'incertitude absolue par le nombre, et transformons en pourcentage.

En d'autres termes, l'incertitude relative permet d'avoir une idée de la précision de la mesure en %. Si nous faisons une mesure avec une incertitude absolue de 1 [mm], nous ne saurons pas si c'est une bonne mesure ou non. Ça dépend si nous avons mesuré la taille d'une pièce de monnaie, de notre voisin, de la distance Paris-Marseille ou de la distance Terre-Lune. Bref, ça dépend de l'incertitude relative (c'est-à-dire du rapport de l'incertitude absolue sur la mesure).

ERREURS STATISTIQUES

Dans la plupart des mesures, nous pouvons estimer l'erreur due à des phénomènes aléatoires, appelée "erreur aléatoire", par une série de n mesures et ce à l'opposé de "l'erreur systématique" qui est la part non aléatoire de l'erreur.

L'erreur aléatoire permet d'introduire les notions de:

- Répétabilité: qui est définie comme l'étroitesse de l'accord entre les résultats de mesurages successifs d'une même grandeur, effectués avec la même méthode, par le même opérateur, avec les mêmes instruments de mesure, dans le même laboratoire, et à des intervalles de temps assez courts (voir plus un peu plus bas un traiement et une définition plus rigoureuse conforme aux normes internationales).

- Reproductibilité (parfois appelé "justesse"): qui est définie comme l'étroitesse de l'accord entre les résultats de mesurages successifs d'une même grandeur, dans le cas où les mesurages individuels sont effectués: suivant différentes méthodes, au moyen de différents instruments de mesure, par différents opérateurs dans différents laboratoires.

Ces deux notations sont toujours regroupées sous le sigle "R&R" ou "Étude R&" dans l'industrie. En général, l'accord est moins bon quand il s'agit de reproductibilité.

Ces deux types d'erreurs peuvent être illustrés par le tir à la cible de façon plus générale:

Figure: 7.3 - Types d'erreurs en ingénierie de laboratoire

Comme nous l'avons vu plus haut, la valeur moyenne arithmétique sera alors:

  (7.168)

et l'écart moyen (estimateur biaisé démontré plus haut):

  (7.169)

et l'écart quadratique moyen ou écart-type (estimateur sans biais):

  (7.170)

et nous avions démontré que l'écart-type de la moyenne était donné par:

  (7.171)

et comme nous l'avons vu, après un grand nombre de mesures indépendantes, la distribution des erreurs sur une mesure suit une loi Normale telle que nous puissions écrire (si nous n'avons pas assez de mesures, nous utiliserons l'I.C. basé sur la loi de Student):

  (7.172)

bref nous pouvons réutiliser tous les outils statistiques vus jusqu'ici dans le domaine de la mesure en laboratoire ou ailleurs!

Le résultat d'une mesure doit ainsi comporter en toute rigueur 4 éléments. Par exemple:

  (7.173)

où nous avons:

1. La valeur numérique avec un nombre correct de décimales

2. Unité de la mesure selon le standard du système international

3. Incertitude élargie de (intervalle de confiance)

4. La valeur entière du k utilisée pour l'intervalle de confiance.

RÉPÉTABILITÉ

La répétabilité r, mesure de l'écart probable entre deux mesurages sur des objets de même nature, dans un même laboratoire, sous des conditions opératoires semblables, est définie normativement (dans les normes ISO 5725:1987 et AFNOR NF X 06-041 Fidelité des méthodes d'essai) dans le cas monodimensionnel par:

  (7.174)

où p est une probabilité élevée, généralement égale à 95% et  deux variables indépendantes et identiquement distribuées selon une loi Normale d'espérance et variance inconnues . De par la stabilité de la loi Normale, il vient alors:

  (7.175)

Or, nous avons vu au début de ce chapitre dans le cadre de l'étude de l'intervalle de confiance de la moyenne que:

  (7.176)

Donc in extenso:

  (7.177)

et dès lors en utilisant les tables, nous avons:

  (7.178)

Et donc:

  (7.179)

Soit avec la notation des normes pour laboratoires:

  (7.180)

Mais dans le cas présent, nous avons un variance doublée. Donc il vient:

  (7.181)

Nous retrouvons dans la relation disponible dans la norme avec le fameux coefficient de 2.77. Évidemment après il est évident que la valeur de r doit être minimisée!

PROPAGATION DES ERREURS

Soit une mesure et une fonction de x. Quelle est l'incertitude sur y si nous connaissons uniquement l'incertitude d'un appareil de mesure mais qui ne serait pas donnée sous forme d'écart-type statistique?

Dans ce type de situation nous parlons de "mesure indirecte". C'est typiquement le cas si nous voulons mesurer une intensité en mesurant cette dernière indirectement en faisant le ratio du voltage par la résistant utilisée pour la mesure. Il est effectivement évident que dans cette dernière situation nous ne pouvons pas faire la somme de l'incertitute du voltage et de la résistant car le système est alors inhomogène au niveau des unités.

Lorsque est petit, f(x) est remplacé au voisinage de x par sa tangente (il s'agit simplement de la dérivée bien sûr):

  (7.182)

mais si y dépend de plusieurs grandeurs x, z, t mesurées avec les incertitudes :

  (7.183)

l'erreur maximale possible est alors la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (7.184)

Ce que nous notons aussi souvent comme étant la somme des dérivées partielles avec leur incertitude respective:

  (7.185)

Qui donne alors la "loi de propagation" de la problématique étudiée. La dérivée partielle en facteur de l'incertitude est dans le domaine de la science de la mesure, appelée "coefficient d'incertitude".

Ce qui conduit à:

  (7.186)

Il apparaît ainsi clairement qu'une opération mathématique ne peut améliorer l'incertitude sur les données.

Évidemment cette loi de propagation (linéaire) n'est valable que dans un intervalle ou la fonction peut être approximée linéaire. Il faut donc être prudent quant à son utilisation! Sinon quoi il faut prendre une approximation en série de Taylor d'ordre plus élevés.

Si l'incertitude de l'appareil de mesure est donnée sous forme statistiques (écart-type), il est évident dès lors que nous allons utiliser les propriétés de la variance déjà vues au début de ce chapitre... pour des cas simples.

CHIFFRES SIGNIFICATIFS

Dans les petites écoles (et aussi les plus grandes parfois), il est demandé de transformer une mesure exprimée en une certaine unité en une autre unité.

Par exemple, en prenant les tables, nous pouvons avoir le type de conversion suivante:

  (7.187)

Vient alors la question suivante (que l'élève peut avoir oublié...). Au départ d'une mesure dont la précision est de l'ordre de 1 [lb] (donc de l'ordre de 0.5 [kg]), une simple conversion d'unité pourrait-elle amener à une précision au 1/10 [mg] près ?

De cet exemple il faut donc retenir qu'une marge d'incertitude est associée à toute valeur mesurée et à toute valeur calculée à partir de valeurs mesurées.

Dans les sciences exactes, tout raisonnement, toute analyse doit prendre cette incertitude en compte.

Mais pourquoi des chiffres sont-ils significatifs et d'autres pas alors ? Parce qu'en sciences, nous ne rapportons que ce qui a objectivement été observé (principe d'objectivité). En conséquence, nous limitons l'écriture d'un nombre aux chiffres raisonnablement fiables en dépit de l'incertitude: les chiffres significatifs. La précision que des chiffres supplémentaires sembleraient apporter est alors illusoire.

Il faut alors savoir arrondir selon des règles et conventions:

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est supérieur à 5, le chiffre précédent est augmenté de 1 (exemple: 12.66 s'arrondit à 12.7). Dans la version anglaise de Microsoft Excel 11.8346:

=ROUND(12.66;1)=12.7

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est inférieur à 5, le chiffre précédent reste inchangé (exemple 12.64 s'arrondit à 12.6). Dans la version anglaise de Microsoft Excel 11.8346:

=ROUND(12.64;1)=12.6

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est égal à 5, si un des chiffres qui le suivent n'est pas nul, le chiffre précédent est augmenté de 1 (exemple: 12.6502 s'arrondit à 12.7). Dans la version anglaise de Microsoft Excel 11.8346:

=ROUND(12.6502;1)=12.7

- Si le chiffre de rang le plus élevé que nous laissons tomber est un 5 terminal (qui n'est suivi d'aucun chiffre) ou qui n'est suivi que de zéros, nous augmentons de 1 le dernier chiffre du nombre arrondi s'il est impair, sinon nous le laissons inchangé (exemples: 12.75 s'arrondit à 12.8 et 12.65 à 12.6). Dans ce dernier cas, le dernier chiffre du nombre arrondi est toujours un chiffre pair. Les tableurs ne respectent pas vraiment cette dernière règle, effectivement avec la version anglaise de Microsoft Excel 11.8346 nous avons:

=ROUND(12.75;1)=12.8
=ROUND(12.65;1)=12.7

Au fait dans la pratique ces règles sont peu utilisées car les logiciels (tableurs) n'intègrent pas des fonctions adaptées. Il est alors d'usage d'arrondir simplement à la valeur de la décimale la plus proche.

Les chiffres significatifs d'une valeur comprennent tous ses chiffres déterminés avec certitude ainsi que le premier chiffre sur lequel porte l'incertitude (ce dernier significatif occupe le même rang que l'ordre de grandeur de l'incertitude).

Souvent, les sources de données ne mentionnent pas d'intervalle de confiance (c'est-à-dire une indication +/-). Par exemple, lorsque nous écrivons nous considérons conventionnellement que l'incertitude est du même ordre de grandeur que le rang du dernier chiffre significatif (soit le chiffre incertain).

En fait, seul le rang décimal de l'incertitude est implicite: sa marge réelle n'est pas précisée.

- 100 Statistical tests, Gopal K Kanji, SAGE Publications Ltd, ISBN10: 141292376X (249 pages) - Imprimé en 2006

- Applied Multivariate Statistical Analysis (6th Edition), Johnson Richard A. + Wichern Dean W., Pearson, ISBN10: 0131877151 (794 pages) - Imprimé en 2007

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