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THÉORIE DE LA DÉMONSTRATION | NOMBRES | OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES
THÉORIE DES NOMBRES | THÉORIE DES ENSEMBLES | PROBABILITÉS | STATISTIQUES

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-12-31 17:55:14 | {oUUID 1.710}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Parler des nombres comme nous l'avons fait dans le chapitre précédent amène naturellement à considérer les opérations de calculs. Il est donc logique que nous fassions une description non exhaustive des opérations qui peuvent exister entre les nombres. Ce sera l'objectif de ce chapitre.

Nous considérerons sur ce site qu'il existe deux types d'outils fondamentaux en arithmétique (nous ne parlons pas de l'algèbre mais de l'arithmétique!):

1. Les opérateurs arithmétiques:

Il existe deux opérateurs de base (addition et soustraction) à partir desquels nous pouvons construire d'autres opérateurs: la "multiplication" (dont le symbole contemporain aurait été introduit en 1574 par William Oughtred) et la "division".

Ces quatre opérateurs sont couramment appelés "opérateurs rationnels". Nous verrons ces derniers plus en détails après avoir défini les relations binaires.

2. Les opérateurs (relations) binaires:

Il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal, plus petit ou égal) qui permettent de comparer des grandeurs d'éléments se trouvant à gauche et à droite (donc au nombre de deux, d'où leur nom) afin d'en tirer certaines conclusions. La majorité des symboles de relations binaires ont été introduites par Viète et Harriot au 16ème siècle).

Il est bien évidemment essentiel de connaître au mieux ces deux outils et leurs propriétés avant de se lancer dans des calculs plus ardus.

RELATIONS BINAIRES

Le concept de "relation" est la base de toute la mathématique dont le but est d'étudier - par observation et déduction (raisonnement), calcul et comparaison - des configurations ou relations abstraites ou concrètes de ses objets (nombres, formes, structures) en cherchant à établir les liens logiques, numériques ou conceptuels entre ces objets.

Définitions:

D1. Considérons deux ensembles non vides E et F (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) non nécessairement identiques. Si à certains éléments x de E nous pouvons associer par une règle mathématique précise R (non ambiguë) un élément y de F, nous définissons ainsi une "relation fonctionnelle" de E vers F et qui s'écrit:

  (3.1)

Ainsi, de façon plus générale, une relation fonctionnelle R peut être définie comme une règle mathématique qui associe à certains éléments x de E, certains éléments y de F.

Alors, dans ce contexte plus général, si xRy, nous disons que y est une "image" de x par R et que x est un "antécédent" ou "pré-image" de y.

L'ensemble des couples (x, y) tels que xRy soit une assertion vraie forme un "graphe" ou une "représentation" de la relation R. Nous pouvons représenter ces couples dans un repère adéquatement choisi pour faire une représentation graphique de la relation R.

Il s'agit d'un type de relations sur lequel nous reviendrons dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle et qui ne nous intéresse pas directement dans ce chapitre.

D2. Considérons un ensemble A non vide, si nous associons à cet ensemble (et à celui-ci uniquement!) des outils permettant de comparer les éléments le composant alors nous parlons de "relation binaire" ou "relation de comparaison" et qui s'écrit pour tout élément x et y composant A:

xRy   (3.2)

Ces relations peuvent aussi être représentées sous forme graphique. Dans le cas des opérateurs binaires classiques de comparaisons où A est l'ensemble des nombres naturels, relatifs, rationnels ou réels, cette forme graphique est représentée par une droite horizontale (le plus souvent...); dans le cas de la congruence (cf. chapitre de Théorie des Nombres) elle est représentée par des droites dans le plan dont les points sont donnés par la contrainte de la congruence.

Comme nous l'avons déjà dit, il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal, plus petit ou égal). Mais nous verrons un peu plus loin que la définition rigoureuse des relations binaires permet donc de construire des outils plus abstraits (comme par exemple la congruence bien connue par les élèves de petites classes et que nous étudierons dans le chapitre de Théorie des Nombres).

ÉGALITÉS

Il est fort difficile de définir la notion "d'égalité" dans un cas général applicable à toute situation. Pour notre part, nous nous permettrons pour cette définition de nous inspirer du théorème d'extensionalité de la théorie des ensembles (que nous verrons plus tard):

Définitions:

D1. Deux éléments sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes valeurs. L'égalité est décrite par le symbole = qui signifie "égal à" (ce symbole aurait été introduit par Robert Rocorde en 1557).

Propriété (triviale): Si nous avons , et c un nombre et une opération quelconque (telle que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division) alors:

    (3.3)

Cette propriété est très utilisée pour résoudre ou simplifier des équations de type quelconque.

D2. Si deux éléments ne sont pas égaux (donc sont inégaux...), nous les relions par le symbole et nous disons qu'ils sont "non égaux".

Il existe encore d'autres symboles d'égalités, qui sont une extension des deux que nous avons définis précédemment. Malheureusement, ils sont assez souvent mal utilisés (disons plutôt qu'ils sont utilisés aux mauvais endroits) dans la plupart des ouvrages disponibles sur le marché:

  (3.4)

qui correspondent dans l'ordre à: presque égal (plutôt utilisé en ingénierie), asymptotiquement égal à (utilisé en analyse fonctionnelle), approximativement égal (utilisé en physique lors d'approximation de séries), identique à (utilisé aussi bien en analyse fonctionnelle qu'en physique), tend vers la limite (idem) et enfin proportionnel à (utilisé en physique ou en mathématiques financières).

Nous avons la propriété suivant en ce qui concerne l'égalité stricte:

où pour rappel (cf. chapitre Théorie de la Démonstration), le symbole "" signifie "implique".

COMPARATEURS

Les comparateurs sont des outils qui nous permettent de comparer et d'ordonner tout couple de nombres (et in extenso aussi des ensembles!).

La possibilité d'ordonner des nombres est presque fondamentale en mathématique. Dans le cas contraire (s'il n'était pas possible ou non imposé d'ordonner), il y aurait des tas de choses qui choqueraient nos habitudes, par exemple (certains des concepts présentés dans la phrase qui suit n'ont pas encore été vus mais nous souhaitons quand même y faire référence): plus de fonctions monotones (en particulier de suites) et lié à cela la dérivation n'indiquerait donc rien sur un "sens de variation", plus d'approche de zéros d'un polynôme par dichotomie (algorithme classique de recherche dans un ensemble ordonné partagé en deux à chaque itération), en géométrie, plus de segments ni de demi-droites, plus de demi-espace, plus de convexité, nous ne pouvons plus orienter l'espace, etc. C'est donc important de pouvoir ordonner les choses comme vous l'aurez compris.

Ainsi, pour tout  nous écrivons lorsque a est plus grand ou égal à b:

    (3.5)

et lorsque a est plus petit ou égal à b:

    (3.6)

Remarque: Il est utile de rappeler que l'ensemble des réels est un groupe totalement ordonné (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), sans quoi nous ne pourrions pas définir des relations d'ordre entre ses éléments (ce qui n'est pas le cas des nombres complexes que nous ne pouvons pas ordonner!).

Définition: Le symbole est une "relation d'ordre" (voir la définition rigoureuse plus bas!) qui signifie "plus petit ou égal à " et inversement le symbole est aussi une relation d'ordre qui signifie "plus grand ou égal à".

Nous avons également concernant la comparaison stricte les propriétés suivantes qui sont relativement intuitives:

  (3.7)

et:

  (3.8)

Ainsi que:

  (3.9)

et:

  (3.10)

Si:

  (3.11)

Si:

  (3.12)

inversement:

  (3.13)

Nous avons aussi:

  (3.14)

et inversement: 

  (3.15)

Nous pouvons bien évidemment multiplier, diviser, additionner ou soustraire un terme de chaque côté de la relation telle que celle-ci soit toujours vraie. Petite remarque cependant, si vous multipliez les deux membres par un nombre négatif il faudra bien évidemment changer le comparateur tel que si:

    (3.16)

et inversement:

  (3.17)

Nous avons aussi:

    (3.18)

Soit:

    (3.19)

Si p est un nombre entier pair alors:

  (3.20)

sinon si p est impair:

  (3.21)

Ce résultat provient simplement de la multiplication des signes puisque la puissance lorsqu'elle est non fractionnaire n'est qu'une multiplication.

Finalement:

  (3.22)

Les relations:

    (3.23)

correspondent donc respectivement à: (strictement) plus grand que, (strictement) plus petit que, plus petit ou égal à, plus grand ou égal à, beaucoup plus grand que et enfin beaucoup plus petit que.

Ces relations peuvent être définies de façon un peu plus subtile et rigoureuse et ne s'appliquent pas seulement aux comparateurs (voir par exemple la relation de congruence dans le chapitre de Théorie Des Nombres)!

Voyons cela de suite (le vocabulaire qui va suivre est aussi défini dans le chapitre de Théorie Des Ensembles):

Définition: Soit une relation binaire R d'un ensemble A vers lui-même, une relation R dans A est un sous-ensemble du produit cartésien  (c'est-à-dire que la relation binaire engendre un sous-ensemble de par les contraintes qu'elle impose aux éléments de A qui satisfont la relation) avec la propriété d'être:

P1.  Une "relation réflexive" si :

    (3.24)

P2. Une "relation symétrique" si :

  (3.25)

P3. Une "relation antisymétrique" si : 

  (3.26)

P4. Une "relation transitive" si :

  (3.27)

P5. Une "relation connexe" si :

  (3.28)

Les mathématiciens ont donné des noms particuliers aux familles de relations satisfaisant certaines de ces propriétés.

Définitions:

D1. Une relation est appelée "relation d'ordre stricte" si et seulement si elle est uniquement transitive (certains spécifient alors qu'elle est donc forcément antiréflexive mais on s'en doute...).

D2. Une relation est appelée un "pré-ordre" si et seulement si elle est réflexive et transitive.

D3. Une relation est appelée "une relation d'équivalence" si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive.

D4. Une relation est appelée "relation d'ordre" si et seulement si elle est réflexive, transitive et antisymétrique (donc les relations >,< ne sont pas des relations d'ordre car non réflexives).

D5. Une relation est appelée "relation d'ordre total" si et seulement si elle est réflexive, transitive, connexe et antisymétrique.

Pour les autres combinaisons il semblerait (?) qu'il n'y ait pas de désignations particulières chez les mathématiciens...

Si nous résumons:

Relation binaire
réflexive	oui	non	non	non	oui	oui
symétrique	oui	oui	non	non	non	non
transitive	oui	non	oui	oui	oui	oui
connexe	non	non	non	non	oui	oui
antisymétrique	oui	non	non	non	oui	oui

Ainsi, nous voyons que les relations binaires forment avec les ensembles précités, des relations d'ordre total et qu'il est très facile de voir quelles relations binaires sont des relations d'ordre partiel, total ou d'équivalence.

Définition: Si R est une relation d'équivalence sur A. Pour  , la "classe d'équivalence" de x est par définition l'ensemble:

[x] est donc un sous-ensemble de A () que nous noterons aussi... par la suite R (attention donc à ne pas confondre dans ce qui suit la relation d'équivalence et le sous-ensemble...).

Nous disposons ainsi d'un nouvel ensemble qui est "l'ensemble des classes d'équivalences" ou "ensemble quotient" noté A/R. Ainsi:

  (3.30)

Il faut savoir que dans A/R nous ne regardons plus [x] comme un sous-ensemble de A mais comme un élément!

Une relation d'équivalence, de manière vulgarisée sert donc à coller une seule étiquette à des éléments qui vérifient une même propriété, et à les confondre avec ladite étiquette (en sachant ce que nous faisons avec cette étiquette).

Exemple:

Dans l'ensemble des entiers relatifs , si nous étudions les restes de la division par 2, nous avons que ceux-ci valent toujours soit 0 soit 1.

La classe d'équivalence de zéro est alors appelée l'ensemble des nombres entiers pairs, la classe d'équivalence de 1 est appelée l'ensemble des entiers impairs. Nous avons donc deux classes d'équivalences pour deux partitions de (gardez toujours cet exemple simple en tête pour les éléments théoriques qui suivront cela aide énormément).

Si nous nommons la première 0 et la deuxième 1, nous retrouvons les règles d'opérations entre nombres pairs et impairs:

  (3.31)

ce qui signifie respectivement que la somme de deux entiers pairs est paire, que la somme d'un pair et d'un impair est impaire et que la somme de deux impairs est paire.

Et pour la multiplication:

  (3.32)

ce qui signifie respectivement que le produit de deux pairs est pair, le produit d'un pair et d'un impair est pair et que le produit de deux impairs est impair.

Et hop, nous avons déplacé les opérations de sur cet ensemble quotient noté .

Maintenant, pour vérifier que nous avons bien affaire à une relation d'équivalence, il faudrait encore vérifier qu'elle est réflexive (xRx), symétrique (si xRy alors yRx) et transitive (si xRy et yRz alors xRz). Nous verrons comment vérifier cela quelques paragraphes plus loin car cet exemple constitue un cas très particulier de relation de congruence.

Définition: L'application définie par est appelée "projection canonique". Tout élément est alors appelé "représentant de la classe" [x].

Considérons maintenant un ensemble E. Alors nous proposons de démontrer qu'il y a bijection entre l'ensemble des relations d'équivalence sur E et l'ensemble des partitions de E. En d'autres termes cette proposition dit qu'une relation d'équivalence sur E n'est rien d'autre qu'une partition de E.

Démonstration:

Soit R une relation d'équivalence sur E. Nous choisissons comme ensemble d'indexation des partitions et nous posons pour tout , .

Il suffit de vérifier les deux propriétés suivantes de la définition des partitions pour montrer que la famille est une partition de E:

P1. Soient tels que alors (trivial) .

P2. est évident car si alors .

C.Q.F.D.

Encore une fois, il est aisé de vérifier avec l'exemple pratique de la division par 2 donné plus haut que la partition des nombres pairs et impairs satisfait ces deux propriétés.

Nous avons donc associé à la relation d'équivalence R une partition de E. Réciproquement si est une partition de E alors nous vérifions facilement que la relation R définie par xRy si et seulement s'il existe tel que est une relation d'équivalence! Les deux applications ainsi définies sont bijectives et réciproques l'une de l'autre.

Exemple:

Nous allons à présent appliquer sur un exemple un peu moins trivial que le précédent ce que nous venons de voir à la construction des anneaux après quelques rappels (pour le concept d'anneau voir le chapitre de Théorie Des Ensembles).

Rappels:

R1. Soit deux nombres . Nous disons que "n divise m" et nous écrivons si et seulement si il existe un entier tel que (cf. chapitre de Théorie Des Nombres).

R2. Soit un entier. Nous définissons la relation R par nRm si et seulement si ou dit autrement nRm si et seulement si il existe tel que . Généralement nous écrivons ceci aussi (modulo d) au lieu de et nous disons que "n est congru à m modulo d". Rappelons aussi que (modulo d) si et seulement si d divise n (cf. chapitre de Théorie Des Nombres).

Nous allons maintenant introduire une relation d'équivalence sur . Démontrons que pour tout entier , la congruence modulo d est une relation d'équivalence sur (nous avons déjà démontré cela dans le chapitre de théorie des nombres lors de notre étude de la congruence mais refaisons le travail pour le plaisir).

Démonstration (contrôle des trois propriétés de l'équivalence):

P1. Réflexivité: car .

P2. Symétrie: Si alors et donc c'est-à-dire .

P3. Transitivité: Si et alors et donc c'est-à-dire .

C.Q.F.D.

Dans la situation ci-dessus, nous notons l'ensemble des classes d'équivalence et noterons la classe d'équivalence de la congruence d'un entier n donnée par:

  (3.33)

(chaque différence de deux valeurs se trouvant dans les accolades est divisible par d et c'est bien ainsi une classe d'équivalence) et ainsi:

  (3.34)

En particulier (trivial car nous obtenons ainsi tout ):

  (3.35)

Ainsi, nous voyons que le premier exemple que nous avions donné avec les nombres pairs et impairs est un cas particulièrement simple des classes d'équivalence de congruence modulo 2 car elles se réduisent toutes à seulement deux classes.

Remarque: Les opérations d'addition et de multiplication définies sur définissent des opérations d'addition et de multiplication sur . Nous disons alors que ces opérations sont compatibles avec la relation d'équivalence et forment alors un anneau (cf. chapitre de Théorie Ensembles).

LOIS FONDAMENTALES DE L'ARITHMÉTIQUE

Comme nous l'avons déjà dit précédemment, il existe un opérateur de base (addition) à partir duquel il possible de définir la multiplication, la soustraction (à condition que l'ensemble de nombres soit ad hoc) et la division (même remarque que pour la soustraction) et autour desquels nous pouvons construire toute la mathématique analytique.

Bien évidemment il y a certaines subtilités à prendre en compte lorsque le niveau de rigueur augmente. Le lecteur peut alors se reporter au chapitre de Théorie Des Ensembles où ses lois fondamentales sont redéfinies avec plus de justesse.

ADDITION

Définition: L'addition de nombres entiers est une opération notée "+" qui a pour seul but de réunir en un seul nombre toutes les unités contenues dans plusieurs autres. Le résultat de l'opération se nomme "somme" ou "total". Les nombres à additionner sont appelés "termes de l'addition".

Ainsi, A+B+C... sont les termes de l'addition et le résultat est la somme des termes de l'addition.

Ou sous forme schématique d'un cas particulier:

Figure: 3.1 - Exemple schématique de l'addition

Voici une liste de quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de l'addition:

P1. La somme de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que l'addition est une "opération commutative". Ce qui signifie concrétement pour deux nombres quelconques:

  (3.36)

P2. La somme de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que l'addition est "opération associative".

  (3.37)

P3.  Le zéro est l'élément neutre de l'addition car tout nombre additionné à zéro donne ce même nombre.

  (3.38)

P4. Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, l'addition peut comporter un terme de telle façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé" pour l'addition.

  (3.39)

Nous allons définir plus rigoureusement l'addition en utilisant l'axiomatique de Peano dans le cas particulier de l'ensemble des nombres entiers naturels comme nous en avons déjà fait mention dans le chapitre traitant des Nombres. Ainsi, avec ces axiomes il est possible de démontrer qu'il existe (existence) une et une seule application (unicité), notée "+", de  dans  vérifiant:

  (3.40)

où s signifie: "successeur".

Soient  des nombres quelconques alors nous pouvons noter également la somme ainsi:

  (3.41)

en définissant des bornes supérieure et inférieure à la somme indexée (au-dessus et en-dessous de la lettre grecque majuscule "sigma").

Voici quelques rappels des propriétés relatives à cette notation condensée:

  (3.42)

où k est une constante et:

  (3.43)

  (3.44)

Voyons maintenant quelques cas concrets d'additions de différents nombres simples afin de mettre en pratique les bases.

Exemples:

L'addition de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par coeur à compter jusqu'au nombre résultant de cette opération. Ainsi (exemples pris sur la base décimale):

 , ,   (3.45)

Pour les plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur. Ainsi par exemple:

  (3.46)

Démarche: nous additionnons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche. Pour la première colonne nous avons donc 4+5=9 ce qui nous donne:

  (3.47)

et nous continuons ainsi pour la deuxième 4+7=11 mais à la différence que comme nous avons un nombre supérieur à la dizaine, nous reportons le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition. Ainsi:

  (3.48)

La troisième colonne se calcule dès lors comme 4+2+1=7 ce qui nous donne:

  (3.49)

Pour la dernière colonne nous avons 9+5=14 et à nouveau nous reportons le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition. Ainsi:

    (3.50)

et la dernière colonne donne:

  (3.51)

Voilà comment nous procédons donc pour l'addition de nombres quelconques: nous faisons une addition par colonne de droite à gauche et si le résultat d'une addition est supérieur à la dizaine, nous reportons une unité sur la colonne suivante.

Cette méthodologie d'addition est simple à comprendre et à effectuer. Nous ne étendrons pas plus sur le sujet pour l'instant.

SOUSTRACTION

Définition: La soustraction du nombre entier A par le nombre entier B notée par le symbole "-", c'est trouver le nombre C qui, ajouté à B, redonne A. 

Remarque: L'opération n'est rigoureusement parlant pas possible dans les entiers naturels que si .

Nous écrivons la soustraction sous la forme:

  (3.52)

qui doit vérifier:

  (3.53)

Ou sous forme schématique avec un cas particulier:

Figure: 2.2 - Exemple schématique de la soustraction

Voici quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de soustraction (bon cela découle de l'addition...):

P1. La soustraction de plusieurs nombres dépend de l'ordre des termes. Nous disons alors que la soustraction est une "opération non-commutative". Effectivement:

  (3.54)

P2. La soustraction de plusieurs nombres change si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la soustraction est une "opération non-associative". Effectivement:

  (3.55)

P3. Le zéro n'est pas l'élément neutre de la soustraction. Effectivement, tout nombre à qui nous soustrayons zéro donne ce même nombre, donc le zéro est neutre à droite... mais pas à gauche car tout nombre que nous soustrayons à zéro ne donne pas zéro! Nous disons alors que le zéro est seulement "neutre à droite" dans le cas de la soustraction.

P4. Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, la soustraction peut comporter un terme de telle façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé" pour la soustraction.

Exemples:

La soustraction de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par coeur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

 , ,   (3.56)

Pour les plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur (au même titre que l'addition). Ainsi par exemple:

  (3.57)

nous soustrayons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche. Pour la première colonne nous avons ce qui fait que nous reportons -1 sur la colonne suivante (deuxième) et écrivons en bas de la barre d'égalité de la première colonne:

  (3.58)

et nous continuons ainsi pour la deuxième ce qui fait que nous reportons -1 sur la colonne suivante (troisième) et comme nous reportons en bas de la barre d'égalité de la deuxième colonne:

  (3.59)

La troisième colonne se calcule dès lors comme et nous reportons -1 sur la colonne suivante  (quatrième) et comme  nous reportons en bas de la barre d'égalité de la troisième colonne:

  (3.60)

Pour la dernière colonne nous avons nous reportons donc rien sur la colonne suivante et comme nous reportons 0 en bas de la barre d'égalité de la quatrième colonne:

  (3.61)

Voilà comment nous procédons donc pour la soustraction de nombres quelconques. Nous faisons une soustraction par colonne de droite à gauche et si le résultat d'une soustraction est inférieur à zéro nous faisons reporter -1 sur la colonne suivante et l'addition du dernier report sur la soustraction obtenue en bas de la barre d'égalité.

Nous avons lorsque nous mélangeons l'addition et la soustraction les relations suivantes qui en découlent:

  (3.62)

La méthodologie utilisée pour la soustraction se basant sur exactement le même principe que l'addition nous ne nous étendrons pas plus sur le sujet. Cette méthode est très simple et nécessite bien sûr une certaine habitude à travailler avec les chiffres pour être totalement appréhendée.

MULTIPLICATION

Définition: La multiplication de nombres est une opération qui a pour but, étant donné deux nombres, l'un appelé "multiplicateur" m, et l'autre "multiplicande" M, d'en trouver un troisième appelé "produit" P qui soit la somme (donc la multiplication d'écoule de la somme!) d'autant de nombres égaux au multiplicande qu'il y a d'unités au multiplicateur:

  (3.63)

Le multiplicande et le multiplicateur sont appelés les "facteurs du produit".

La multiplication s'indique à l'aide du signe "" (anciennement) ou du point de ponctuation surélevé (notation moderne) ou sans aucun symbole tel que:

  (3.64)

Remarque: Le signe de croix "" pour la multiplication se trouverait pour la première fois dans l'ouvrage d'Oughtred (1631) quant au point à mi-hauteur (notation moderne pour la multiplication), nous le devrions à Leibniz. Dès 1544, Stiefel, dans un de ses ouvrages n'employait aucun signe et désignait le produit de deux nombres en les plaçant l'un après l'autre.

Nous pouvons définir la multiplication en utilisant l'axiomatique de Peano dans le cas particulier des nombres entiers naturels comme nous en avons déjà fait mention dans le chapitre traitant des Nombres. Ainsi, avec ces axiomes il est possible de démontrer qu'il existe (existence) une et une seule application (unicité), notée "" ou plus souvent ".", de  dans  vérifiant:

  (3.65)

Remarque: Ce site n'ayant pas pour vocation de s'adresser à des mathématiciens, nous nous passerons de la démonstration (relativement longue) et admettrons intuitivement que l'application "" existe et est unique...

La puissance est une notation particulière d'un cas précis de multiplications. Lorsque le(s) multiplicateur(s) et multiplicande(s) sont identique(s) en valeur numérique, nous notons la multiplication (par exemple):

  (3.66)

c'est ce que nous nommons la "notation en puissance" ou "l'exponentiation". Le nombre en exposant est ce que nous nommons la "puissance" ou "l'exposant" du nombre (n en l'occurrence). La notation en exposants se trouve pour la première fois dans l'ouvrage de Chuquet intitulé "Triparty en la science des nombres" (1484).

Vous pouvez vérifier par vous-même que ses propriétés sont les suivantes (par exemple):

  (3.67)

de même:

  (3.68)

Voici quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de multiplication:

P1. La multiplication de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que la multiplication est une "opération commutative".

P2. La multiplication de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la multiplication est "opération associative".

P3. L'unité est l'élément neutre de la multiplication car tout multiplicande multiplié par le multiplicateur 1 est égal au multiplicande.

P4. La multiplication peut comporter un terme de telle façon à ce que le produit soit égal à l'unité (l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "inverse pour la multiplication" (mais cela dépend rigoureusement dans quel ensemble de nombres nous travaillons).

P5. La multiplication est "distributive", c'est-à-dire que:

  (3.69)

l'opération inverse s'appelant la "factorisation".

Introduisons encore quelques notations particulières relatives à la multiplication:

1. Soient  des nombres quelconques (non nécessairement égaux) alors nous pouvons noter le produit ainsi:

  (3.70)

en définissant des bornes supérieure et inférieure au produit indexé (au-dessus et en-dessous de la lettre grecque majuscule "Pi").

Rappel des propriétés relatives à cette notation:

    (3.71)

pour tout nombre k tel que:

  (3.72)

Nous avons aussi par exemple:

  (3.73)

2. Nous définissons également la "factorielle" simplement (car il existe aussi une manière complexe de la définir en passant par la fonction Gamma d'Euler comme cela est fait dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) par:

  (3.74)

Exemples:

Voyons quelques exemples simples de multiplications élémentaires. La multiplication de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par coeur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

 , ,   (3.75)

Pour les beaucoup plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur. Ainsi par exemple:

  (3.76)

nous multiplions colonne par colonne et nous additionnons l'ensemble des résultats décalés d'un chiffre comme ci-dessous (8x4=32, 8x7=56, 8x5=40, 8x4=32) ainsi nous obtenons:

  (3.77)

Cette méthodologie est très logique si vous avez bien compris comment nous construisons un chiffre en base dix. Ainsi, nous avons (nous supposerons pour l'instant la distributivité comme connue):

  (3.78)

Pour ne pas surcharger l'écriture dans la multiplication par la méthode "verticale", nous ne représentons pas les zéros qui surchargeraient inutilement les calculs (et ce d'autant plus si le multiplicateur et/ou le multiplicande sont de très grands nombres).

DIVISION

Définition: La division de nombres entiers (pour commencer par le cas le plus simple...) est une opération, qui a pour but, étant donné deux nombres entiers, l'un appelé "dividende", l'autre appelé "diviseur", d'en trouver un troisième appelé "quotient" qui soit le plus grand nombre dont le produit par le diviseur puisse se retrancher (donc la division découle de la soustraction!) du dividende (la différence étant nommée le "reste" ou la "congruence"). 

D'une façon générale dans le cadre des nombres entiers, si nous notons D le dividende, d le diviseur, Q le quotient et R le reste nous avons la relation:

    (3.79)

en sachant que la division était initialement notée de la manière suivante:

  (3.80)

Nous indiquons l'opération de division en plaçant entre les deux nombres, le dividende et le diviseur un ": " ou une barre de division " / ".

Nous désignons également souvent par "fraction" (au lieu de "quotient"), le rapport de deux nombres ou autrement dit, la division du premier par le deuxième.

Si nous divisons deux nombres entiers et que nous souhaitons un entier comme quotient et comme reste (s'il y en a un...), alors nous parlons de "division euclidienne".

Par exemple, la division d'un gâteau, n'est pas un division euclidienne car le quotient n'est pas un entier, excepté si l'on en prend les quatre quarts...:

Figure: 3.3 - Exemple schématique de la division et du fractionnement (fraction)

Si nous avons:

   (3.81)

nous appelons  l'inverse du dividende. A tout nombre est associé un inverse qui satisfait cette condition.

De cette définition il vient la notation (avec x étant un nombre quelconque différent de zéro): 

    (3.82)

Dans le cas de deux nombres fractionnaires, nous disons qu'ils sont "inverses" ou "réciproques", lorsque leur produit est égal à l'unité (comme la relation précédente) pour toute valeur de x, positive ou négative.

Les propriétés des divisions avec les notations condensées de puissances (exponentiation) sont les suivantes (nous laisserons le soin au lecteur de le vérifier avec des valeurs numériques):

  (3.83)

ou:

  (3.84)

Nous en déduisons donc:

  (3.85)

Rappelons qu'un nombre premier (entier relatif) est un nombre qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et l'unité (rappelons que 1 n'est pas un nombre premier). Donc tout nombre qui n'est pas premier a au moins un nombre premier comme diviseur (excepté 1 par définition!). Le plus petit des diviseurs d'un nombre entier est donc un nombre premier (nous détaillerons les propriétés des nombres premiers relativement au sujet de la division dans le chapitre de Théorie des Nombres).

Voyons quelques propriétés de la division (certaines nous sont déjà connues car elles découlent d'un raisonnement logique des propriétés de la multiplication):

  (3.86)

où la deuxième ligne est ce que nous appelons une "amplification des termes" et la cinquième ligne une "mise au dénominateur commun".

Nous avons aussi les propriétés suivantes:

P1. La division de plusieurs nombres dépend de l'ordre des termes. Nous disons alors que la division est une "opération non-commutative". Ce qui signifie que nous avons quand A est différent de B:

  (3.87)

P2. Le résultat de la division de plusieurs nombres change si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la division est "opération non-associative":

  (3.88)

P3. L'unité est l'élément neutre à droite de la division car tout dividende divisé par le diviseur 1 est égal au dividende mais l'unité n'est par contre pas neutre à gauche.

P4. La division peut comporter un terme de telle façon à ce que la division soit égale à l'unité (l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "symétrique pour la division".

Si a et b sont deux nombres réels positifs et non nuls nous avons:

,   (3.89)

  (3.90)

Nous pouvons maintenant définir la racine q-ième principale d'un nombre quelconque a:

    (3.91)

la dernière relation n'étant définie que pour . Au niveau de la terminologie, nous avons:

  (3.92)

qui est une racine, le nombre a est le "radicande" et q est l'indice de la racine. Le symbole est appelé le "radical".

De ce qui a déjà été dit pour les puissances, nous pouvons conclure aisément que la racine q-ème d'un produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines q-ème de chacun des facteurs:

  (3.93)

et:

    (3.94)

il en ressort que:

  et    (3.95)

Nous avons également si :

    (3.96)

si est impair et:

  (3.97)

si est pair.

Si et est impair, alors:

  (3.98)

est le nombre réel négatif b tel que:

  (3.99)

Si est pair alors bien sûr, comme nous l'avons déjà vu, la racine est complexe (cf. chapitre sur les Nombres).

Si le dénominateur d'un quotient contient un facteur de la forme  avec , en multipliant le numérateur et le dénominateur par , nous supprimerons la racine au dénominateur, puisque:

  (3.100)

Nous appelons communément ce procédé "rendre un dénominateur rationnel". Nous pouvons bien sûr faire de même avec le numérateur.

Exemple:

Voyons un exemple mondialement connu de l'application de la racine qui concerne l'origine des formats papier A6, A5, A4, A3, A2, A1, A0 etc...

Ce format a au fait la propriété (c'est un objectif à l'origine) de conserver ses proportions lorsque nous plions ou coupons la feuille en deux dans sa grande dimension. Ainsi, si nous appelons L la longueur et l la largeur de la feuille, nous avons:

  (3.101)

Il en ressort que:

  (3.102)

Comme le format A0 à par définition une superficie de . Pour ce format nous avons alors:

  (3.103)

Nous en déduisons donc:

  (3.104)

et donc:

  (3.105)

d'où nous tirons aussi:

  (3.106)

Les autres formats de déduisant donc pour rappel en divisant par deux la feuille dans sa grande dimension.

POLYNÔMES ARITHMÉTIQUES

Définition: Un "polynôme arithmétique" (à ne pas confondre avec les polynômes algébriques qui seront étudiés dans la section d'Algèbre) est un ensemble de nombres séparés les uns des autres par les opérations d'addition ou de soustraction (+ ou -). 

Les composants enfermés dans le polynôme sont appelés "termes" du polynôme. Lorsque le polynôme contient un unique terme, nous parlons alors de "monôme", s'il y a deux termes nous parlons de "binôme", et ainsi de suite...

La valeur d'un polynôme arithmétique est égale à l'excès de la somme des termes précédés du signe + sur la somme des termes précédés du signe -.

Démonstration:

  (3.107)

quelles que soit les valeurs des termes.

C.Q.F.D.

Mettre en évidence l'unité négative -1 est ce que nous appelons une "factorisation" ou "mise en facteurs". L'opération inverse, s'appelant une "distribution" ou "développement".

Le produit de plusieurs polynômes peut toujours être remplacé par un polynôme unique que nous appelons le "produit effectué". Nous opérons habituellement comme  suit: nous multiplions successivement tous les termes du premier polynôme, en commençant par la gauche, par le premier, le second, ..., le dernier terme du second polynôme. Nous obtenons ainsi un premier produit partiel. Nous faisons, s'il y a lieu, la réduction des termes semblables. Nous multiplions ensuite chacun des termes du produit partiel successivement par le premier, le second, ..., le dernier terme du troisième polynôme en commençant par la gauche et ainsi de suite.

Le produit des polynômes A,B,C, ...L, ... est la somme de tous les produits de n facteurs formés avec un terme de A, un terme de B, ..., et un terme de L. S'il n'y a aucune réduction, le nombre de termes du produit est alors égal au produit des nombres de termes des facteurs.

VALEUR ABSOLUE

Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.

Exemples:

E1. +7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7

E2. -5 est constitué du signe - et de la valeur absolue 5

La valeur absolue de +7 est donc 7, la valeur absolue de -5 est donc 5.

Définition: Pour tout nombre réel x, la "valeur absolue" de x, notée  est donnée par:

  (3.108)

Nous remarquons que:

  (3.109)

Ainsi que les expressions équivalentes:

  (3.110)

et:

  (3.111)

et encore:

  (3.112)

ces dernières étant souvent utilisées dans le cadre de la résolution des inéquations.

Indiquons qu'il est aussi utile d'interpréter l'expression  comme la distance entre les deux nombres x et y sur la droite réelle. Ainsi, en munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur absolue, il devient un espace métrique.

La résolution d'une inéquation telle que  se résout alors simplement à l'aide de la notion de distance. La solution est l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayon 9 ou autrement écrit:

  (3.113)

La valeur absolue a quelques propriétés triviales que nous énoncerons sans démonstrations:

P1. La valeur absolue de la somme algébrique de plusieurs nombres réels est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues des composantes de la somme:

  (3.114)

ce que les mathématiciens appellent parfois la "première inégalité triangulaire".

P2. La valeur absolue de la différence est supérieure ou égale à la valeur absolue de la différence des valeurs absolues des composantes de la différence:

  (3.115)

ce que les mathématiciens appellent parfois la "deuxième inégalité triangulaire".

P3. La valeur absolue du produit (multiplication) est égale au produit des valeurs absolues:

  (3.116)

P4. La valeur absolue du rapport est égale au rapport des valeurs absolues:

  (3.117)

RÉGLES DE CALCUL

Fréquemment en informatique (dans le développement en particulier), nous parlons de "priorité des opérateurs". En mathématiques nous parlons de "priorité des ensembles d'opérations et des règles des signes". De quoi s'agit-il exactement?

Nous avons déjà vu quelles étaient les propriétés des opérations d'addition, soustraction, multiplication, mise en puissance et division. Nous tenons donc à ce que le lecteur différencie la notion de "propriété" de celle de "priorité" (que nous allons tout de suite voir) qui sont deux notions complètement différentes!

En mathématiques, en particulier, nous définissons les priorités des symboles: {[( )]}

Autrement dit:

1. Les opérations qui sont entre parenthèses ( ) doivent être effectuées en premier dans le polynôme.

2. Les opérations qui sont entre crochets [ ] doivent être effectuées en second à partir des résultats obtenus des opérations qui se trouvaient entre les parenthèses ( ).

3. Finalement, à partir des résultats intermédiaires des opérations qui se trouvaient entre parenthèses ( ) et crochets [ ], nous calculons les opérations qui se situent entre les accolades { }.

Faisons un exemple, ceci sera plus parlant.

Exemple:

Soit à calculer le polynôme:

  (3.118)

Selon les règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons d'abord tous les éléments qui sont entre parenthèses ( ), c'est-à-dire:

, ,   (3.119)

ce qui nous donne:

  (3.120)

Toujours selon le règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons maintenant tous les éléments entre crochets en commençant toujours à calculer les termes qui sont dans les crochets [ ] au plus bas niveau des autres crochets [ ]. Ainsi, nous commençons par calculer l'expression  qui se trouve dans le crochet de niveau supérieur: .

Cela nous donne  et donc:

  (3.121)

Il nous reste à calculer maintenant  et donc:

  (3.122)

Nous calculons maintenant l'unique terme entre accolades, ce qui nous donne:

    (3.123)

Finalement il nous reste:

  (3.124)

Évidemment il s'agit d'un cas particulier... Mais le principe est toujours le même.

La priorité des opérateurs arithmétiques est une notion spécifique aux langages informatiques (comme nous en avons déjà fait mention) du fait qu'on ne peut dans ces derniers écrire des relations mathématiques que sur une ligne unique.

Ainsi, en informatique l'expression: 

  (3.125)

s'écrit (à peu de choses près): 

  (3.126)

Un non-initié pourrait y lire:

 ou  ou   (3.127)

ou:

    (3.128)

et encore quelques autres... ce qui vous en conviendrez, est fort dangereux car nous arriverons à des résultats différents à chaque fois (cas particuliers mis à part...) !

Ainsi, il a logiquement été défini un ordre de priorité des opérandes tel que les opérations soient effectuées dans l'ordre suivant:

1. - Négation

2. ^ Puissance

3. * / Multiplication et division

4. \ division entière (spécifique à l'informatique)

5. Mod Modulo (cf. chapitre de Théorie Des Nombres)

6. + - Addition et soustraction

Évidemment les règles des parenthèses ( ), crochets [ ], et accolades { } qui ont été définies en mathématiques s'appliquent à l'informatique.

Ainsi, nous obtenons dans l'ordre (nous remplaçons chaque opération effectuée par un symbole):

D'abord les termes entre parenthèses:

  (3.129)

Ensuite les règles de priorité des opérateurs s'appliquent dans l'ordre défini précédemment:

D'abord la négation (1):

    (3.130)

ensuite la puissance (2): 

    (3.131)

nous appliquons la multiplication (3): 

    (3.132)

et finalement la division (3): 

    (3.133)

Les règles (4) et (5) ne s'appliquent pas à cet exemple particulier.

Finalement (6):

    (3.134)

Ainsi, en suivant ces règles, ni l'ordinateur, ni l'être humain ne peuvent (ne devraient) se tromper lors de l'interprétation d'une équation écrite sur une ligne unique.

En informatique, il existe cependant plusieurs opérateurs que nous ne retrouvons pas en mathématiques et qui changent souvent de propriétés d'un langage informatique à un autre. Nous ne nous attarderons pas trop là-dessus cependant, nous avons mis ci-dessous un petit descriptif:

L'opérateur de concaténation " & " est évalué avant les opérateurs de comparaisons.

Les opérateurs de comparaison (=, <, >, ...) possèdent tous une priorité identique.

Cependant, les opérateurs les plus à gauche dans une expression, détiennent une priorité plus élevée.

Les opérateurs logiques sont évalués dans l'ordre de priorité suivant:

1. Not - 2. And - 3. Or - 4. Xor - 5. Eqv - 6. Imp

Maintenant que nous avons vu les priorités des opérateurs, quelles sont les règles des signes en vigueur en mathématiques?

D'abord, il faut savoir que ces dernières ne s'appliquent que dans le cas de la multiplication et de la division. Soient deux nombres positifs . Nous avons:

    (3.135)

Autrement dit, la multiplication de deux nombres positifs est un nombre positif et ceci est généralisable à la multiplication de n nombres positifs.

Nous avons:

  (3.136)

Autrement dit, la multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif est négative. Ce qui est généralisable à un résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombres négatifs et à un résultat négatif pour un nombre impair de nombres négatifs sur la totalité n des nombres de la multiplication.

Nous avons:

  (3.137)

Autrement dit, la multiplication de deux nombres négatifs est positive. Ce qui est généralisable à un résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombre négatifs et à un résultat négatif pour un nombre impair de nombres négatifs.

Pour ce qui est des divisions, le raisonnement est identique:

 et   (3.138)

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division sera positif.

Nous avons:

 et   (3.139)

Autrement dit, si soit le numérateur ou le dénominateur est négatif, alors le résultat de la division sera forcément négatif.

Nous avons:

 et   (3.140)

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division, sera forcément positif.

Évidemment, si nous avons une soustraction de termes, il est possible de la réécrire sous la forme:

  (3.141)

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