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DE LA DÉMONSTRATION |
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3.
OPÉRATEURS
ARITHMÉTIQUES |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Parler
des nombres comme nous l'avons fait dans le chapitre précédent
amène naturellement
à considérer les opérations de calculs. Il
est donc logique que nous fassions une description non exhaustive
des opérations qui peuvent exister entre les nombres. Ce
sera l'objectif de ce chapitre.
Nous considérerons sur ce site qu'il existe deux types d'outils
fondamentaux en arithmétique (nous ne parlons pas de l'algèbre
mais de l'arithmétique!):
1. Les opérateurs arithmétiques:
Il existe
deux opérateurs de base (addition et soustraction) à partir
desquels nous pouvons construire d'autres opérateurs:
la "multiplication"
(dont le symbole contemporain aurait été introduit
en 1574 par William Oughtred) et la "division".
Ces quatre opérateurs sont couramment appelés "opérateurs
rationnels". Nous
verrons ces derniers plus en détails après avoir
défini
les relations binaires.
Remarque: Rigoureusement l'addition suffirait si nous
considérons
l'ensemble commun des réels car dès lors la soustraction
n'est que l'addition d'un nombre négatif.
2. Les opérateurs (relations) binaires:
Il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent
de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal,
plus petit ou
égal) qui permettent de comparer des grandeurs d'éléments
se trouvant
à gauche et à droite (donc au nombre de deux, d'où
leur nom) afin d'en tirer certaines conclusions. La majorité des
symboles de relations binaires ont été introduites par Viète et
Harriot au 16ème siècle).
Il est bien évidemment essentiel de connaître au mieux
ces deux outils et leurs propriétés avant de se
lancer dans des calculs plus ardus.
RELATIONS
BINAIRES
Le
concept de "relation" est
la base de toute la mathématique
dont le but est d'étudier - par observation et déduction (raisonnement),
calcul et comparaison - des configurations ou relations abstraites
ou concrètes
de ses objets (nombres, formes, structures) en cherchant à établir
les liens logiques, numériques ou conceptuels entre ces objets.
Définitions:
D1. Considérons deux ensembles
non vides E et F (cf.
chapitre de Théorie Des Ensembles) non nécessairement
identiques. Si à certains éléments x de E nous
pouvons associer par une règle mathématique
précise R (non ambiguë) un élément y de F,
nous définissons ainsi une "relation
fonctionnelle" de E vers F et
qui s'écrit:
(3.1)
Ainsi, de façon plus générale, une relation fonctionnelle R peut être
définie
comme une règle mathématique qui associe à certains éléments x de E,
certains éléments y de F.
Alors, dans ce contexte plus général, si xRy, nous disons
que y est une "image" de x par R et
que x est un "antécédent" ou "pré-image" de y.
L'ensemble des couples (x, y) tels que xRy soit
une assertion vraie forme un "graphe" ou
une "représentation" de
la relation R.
Nous pouvons représenter
ces couples dans un repère adéquatement choisi pour
faire une représentation
graphique de la relation R.
Il s'agit d'un type de relations sur lequel nous reviendrons dans
le chapitre d'Analyse Fonctionnelle et qui ne nous intéresse
pas directement dans ce chapitre.
D2. Considérons un ensemble A non vide, si nous
associons à cet ensemble (et à celui-ci uniquement!) des outils
permettant de comparer les éléments le
composant alors nous parlons de "relation
binaire" ou "relation
de comparaison" et qui s'écrit pour tout élément x et y
composant A:
xRy (3.2)
Ces relations peuvent aussi être représentées
sous forme graphique. Dans le cas des opérateurs binaires
classiques de comparaisons où A est
l'ensemble des nombres naturels, relatifs, rationnels ou réels,
cette forme graphique est représentée par une
droite horizontale
(le plus souvent...); dans le cas de la congruence (cf.
chapitre de Théorie des Nombres) elle est représentée
par des droites dans le plan dont les points sont donnés
par la contrainte
de la congruence.
Comme nous l'avons déjà
dit, il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent
de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal, plus petit
ou égal). Mais nous verrons un peu plus loin que la définition
rigoureuse des relations binaires permet donc de construire des
outils plus abstraits (comme par exemple la congruence bien connue
par
les élèves de petites classes et que nous étudierons dans le
chapitre de Théorie des Nombres).
ÉGALITÉS
Il est fort difficile
de définir la notion "d'égalité" dans
un cas général applicable
à toute situation. Pour notre part, nous nous permettrons pour
cette définition de nous inspirer du théorème d'extensionalité de
la théorie des ensembles (que nous verrons plus tard):
Définitions:
D1. Deux éléments sont égaux si, et seulement
si, ils ont les mêmes
valeurs. L'égalité est décrite par le
symbole = qui signifie
"égal à" (ce
symbole aurait été introduit par Robert Rocorde en 1557).
Propriété (triviale): Si nous avons ,
et c un nombre et
une opération quelconque (telle que l'addition, la soustraction,
la multiplication ou la division) alors:
(3.3)
Cette
propriété est très utilisée pour résoudre ou simplifier des équations
de type quelconque.
D2. Si deux éléments ne sont pas égaux (donc
sont inégaux...),
nous les relions par le symbole
et nous disons qu'ils sont "non égaux".
Il existe encore d'autres symboles d'égalités, qui sont une extension
des deux que nous avons définis précédemment. Malheureusement,
ils sont assez souvent mal utilisés (disons plutôt qu'ils
sont utilisés aux mauvais endroits) dans la plupart des ouvrages
disponibles sur le marché:
(3.4)
qui
correspondent dans l'ordre à: presque égal
(plutôt utilisé en ingénierie), asymptotiquement égal à (utilisé en
analyse fonctionnelle), approximativement égal
(utilisé en physique lors d'approximation
de séries), identique à (utilisé aussi
bien en analyse fonctionnelle qu'en physique), tend
vers la limite (idem) et enfin proportionnel à (utilisé en
physique ou en mathématiques financières).
Nous avons la propriété suivant en ce qui concerne l'égalité stricte:

où pour rappel (cf. chapitre Théorie de la Démonstration),
le symbole " " signifie
"implique".
COMPARATEURS
Les comparateurs sont des outils qui
nous permettent de comparer et d'ordonner tout couple de nombres
(et in extenso aussi des ensembles!).
La possibilité d'ordonner
des nombres est presque fondamentale en mathématique. Dans le
cas contraire (s'il n'était pas possible ou non imposé d'ordonner),
il y aurait des tas de choses qui choqueraient nos habitudes,
par
exemple (certains des concepts présentés dans la phrase qui suit
n'ont pas encore été vus mais nous souhaitons quand même y faire
référence): plus de fonctions monotones (en particulier de
suites) et lié à cela la dérivation n'indiquerait donc rien
sur un "sens
de variation", plus d'approche de zéros d'un polynôme par
dichotomie (algorithme classique de recherche dans un ensemble
ordonné
partagé en deux à chaque itération), en géométrie,
plus de segments ni de demi-droites, plus de demi-espace, plus
de
convexité, nous ne pouvons plus orienter l'espace, etc. C'est
donc important de pouvoir ordonner les choses comme vous l'aurez
compris.
Ainsi, pour tout nous
écrivons lorsque a est
plus grand ou égal à b:
(3.5)
et lorsque a est
plus petit ou égal à b:
(3.6)
Remarque: Il est utile de rappeler que l'ensemble des
réels  est
un groupe totalement ordonné ( cf.
chapitre de Théorie Des Ensembles), sans quoi nous
ne pourrions pas définir des relations d'ordre entre ses éléments
(ce qui n'est pas le cas des nombres complexes que nous ne pouvons
pas
ordonner!).
Définition: Le symbole est
une
"relation d'ordre" (voir
la définition rigoureuse plus bas!) qui signifie "plus
petit ou égal à "
et inversement le symbole est
aussi une relation d'ordre qui signifie "plus
grand ou égal à".
Nous avons également concernant la comparaison
stricte les
propriétés suivantes qui sont relativement intuitives:
(3.7)
et:
(3.8)
Ainsi que:
(3.9)
et:
(3.10)
Si:
(3.11)
Si:
(3.12)
inversement:
(3.13)
Nous avons aussi:
(3.14)
et inversement:
(3.15)
Nous
pouvons bien évidemment multiplier, diviser, additionner
ou soustraire un terme de chaque côté de la relation telle
que celle-ci soit toujours vraie. Petite remarque cependant, si
vous multipliez les deux membres
par un nombre négatif il faudra bien évidemment changer
le comparateur tel que si:
(3.16)
et
inversement:
(3.17)
Nous avons aussi:
(3.18)
Soit:
(3.19)
Si p
est un nombre entier pair alors:
(3.20)
sinon
si p est
impair:
(3.21)
Ce
résultat provient simplement de la multiplication des
signes puisque la puissance lorsqu'elle est non fractionnaire
n'est qu'une
multiplication.
Finalement:
(3.22)
Les relations:
(3.23)
correspondent donc respectivement à: (strictement) plus
grand que, (strictement) plus petit que, plus petit ou égal à,
plus grand ou égal à, beaucoup plus grand que et
enfin beaucoup plus petit que.
Ces relations peuvent être définies
de façon un peu plus subtile et rigoureuse et ne s'appliquent
pas seulement aux comparateurs (voir par exemple la relation de
congruence dans le chapitre de Théorie Des
Nombres)!
Voyons cela
de suite (le vocabulaire qui va suivre est aussi défini
dans le chapitre de Théorie Des Ensembles):
Définition:
Soit une relation binaire R
d'un ensemble A
vers lui-même, une relation R
dans A est
un sous-ensemble du produit cartésien
(c'est-à-dire que la relation binaire engendre un sous-ensemble
de par les contraintes qu'elle impose aux éléments de A
qui satisfont la relation) avec la propriété d'être:
P1.
Une "relation réflexive" si
:
(3.24)
P2.
Une "relation symétrique" si
:
(3.25)
P3.
Une "relation
antisymétrique" si :
(3.26)
P4.
Une "relation transitive" si
:
(3.27)
P5.
Une "relation connexe" si
:
(3.28)
Les mathématiciens ont donné des noms particuliers
aux familles de relations satisfaisant certaines de ces propriétés.
Définitions:
D1. Une relation est appelée "relation
d'ordre stricte"
si et seulement si elle est uniquement transitive (certains spécifient
alors qu'elle est donc forcément antiréflexive mais on s'en doute...).
D2. Une relation est appelée un "pré-ordre"
si et seulement si elle est réflexive et transitive.
D3.
Une relation est appelée "une
relation d'équivalence" si
et seulement si elle est réflexive, symétrique
et transitive.
D4. Une relation est appelée "relation
d'ordre" si
et seulement si elle est réflexive, transitive
et antisymétrique (donc les relations >,< ne sont pas des
relations d'ordre car non réflexives).
D5. Une relation est appelée "relation
d'ordre total" si
et seulement si elle est réflexive, transitive, connexe
et antisymétrique.
Pour les autres combinaisons il semblerait (?) qu'il n'y ait pas
de désignations particulières chez les mathématiciens...
Remarque: Les relations d'ordre binaire ont toutes des
propriétés
similaires dans les ensembles naturels, rationnels, relatifs et
réels
(il n'y a pas de relation d'ordre naturelle sur l'ensemble des
nombres complexes).
Si nous résumons:
Relation
binaire |
|
|
|
|
|
|
réflexive |
oui |
non |
non |
non |
oui |
oui |
symétrique |
oui |
oui |
non |
non |
non |
non |
transitive |
oui |
non |
oui |
oui |
oui |
oui |
connexe |
non |
non |
non |
non |
oui |
oui |
antisymétrique |
oui |
non |
non |
non |
oui |
oui |
Tableau: 3.1
- Types de relations binaires
Ainsi, nous
voyons que les relations binaires forment
avec les ensembles précités, des relations d'ordre total et
qu'il
est très facile de voir quelles relations binaires sont des
relations d'ordre partiel, total ou d'équivalence.
Définition: Si R est une relation
d'équivalence
sur A. Pour ,
la "classe d'équivalence"
de x est par définition l'ensemble:
(3.29)
[x]
est donc un sous-ensemble de A ( )
que nous noterons aussi... par la suite R (attention
donc à ne pas confondre dans ce qui suit la relation d'équivalence
et le sous-ensemble...).
Nous disposons ainsi d'un nouvel ensemble qui est "l'ensemble
des classes d'équivalences" ou "ensemble
quotient" noté A/R. Ainsi:
(3.30)
Il faut savoir que dans A/R nous ne regardons
plus [x] comme un sous-ensemble de A mais comme
un élément!
Une relation d'équivalence, de manière vulgarisée
sert donc à
coller une seule étiquette à des éléments
qui vérifient une même
propriété, et à les confondre avec ladite étiquette
(en sachant ce que nous faisons avec cette étiquette).
Exemple:
Dans l'ensemble des entiers relatifs ,
si nous étudions les restes de la division par 2, nous avons que
ceux-ci valent toujours soit 0 soit 1.
La classe d'équivalence de zéro est alors appelée
l'ensemble des nombres entiers pairs, la classe d'équivalence
de 1 est appelée
l'ensemble des entiers impairs. Nous avons donc deux classes d'équivalences
pour deux partitions de (gardez
toujours cet exemple simple en tête pour les éléments
théoriques qui suivront cela aide énormément).
Si nous nommons la première 0 et la deuxième 1, nous retrouvons
les règles d'opérations entre nombres pairs et impairs:
(3.31)
ce qui signifie respectivement que la somme de deux entiers pairs
est paire, que la somme d'un pair et d'un impair est impaire et
que
la somme de deux impairs est paire.
Et pour la multiplication:
(3.32)
ce qui signifie respectivement que le produit de deux pairs est
pair, le produit d'un pair et d'un impair est pair et que le produit
de deux impairs est impair.
Et hop, nous avons déplacé les opérations de
sur cet ensemble quotient noté .
Maintenant, pour vérifier que nous avons bien affaire à une
relation d'équivalence, il faudrait encore vérifier
qu'elle est réflexive
(xRx), symétrique (si xRy alors yRx)
et transitive (si xRy et yRz alors xRz).
Nous verrons comment vérifier cela quelques paragraphes
plus loin car cet exemple constitue un cas très particulier
de relation de congruence.
Définition: L'application
définie par
est appelée "projection canonique".
Tout élément
est alors appelé "représentant
de la classe" [x].
Considérons maintenant un ensemble E. Alors
nous proposons de démontrer qu'il y a bijection entre l'ensemble
des relations d'équivalence sur E et l'ensemble
des partitions de E. En d'autres termes cette proposition
dit qu'une relation d'équivalence sur E n'est
rien d'autre qu'une partition de E.
Démonstration:
Soit R une
relation d'équivalence
sur E. Nous choisissons
comme ensemble d'indexation des partitions et nous posons pour
tout
,
.
Il suffit de vérifier les deux propriétés
suivantes de la définition des partitions pour montrer
que la famille est
une partition de E:
P1. Soient
tels que
alors (trivial) .
P2.
est évident car si
alors .
C.Q.F.D.
Encore une fois, il est aisé de vérifier
avec l'exemple pratique de la division par 2 donné plus
haut que la partition des nombres pairs et impairs satisfait ces
deux propriétés.
Nous avons donc associé à la relation d'équivalence R
une partition de E. Réciproquement si
est une partition de E alors nous vérifions facilement
que la relation R définie par xRy si
et seulement s'il existe
tel que
est une relation d'équivalence! Les deux applications ainsi
définies sont bijectives et réciproques l'une de
l'autre.
Exemple:
Nous allons à présent appliquer sur un exemple
un peu moins trivial que le précédent ce que nous
venons de voir à la construction des anneaux
après quelques rappels (pour le concept d'anneau voir le
chapitre de Théorie Des Ensembles).
Rappels:
R1.
Soit
deux nombres .
Nous disons que "n divise
m"
et nous écrivons
si et seulement si il existe un entier tel que (cf.
chapitre de Théorie Des Nombres).
R2. Soit
un entier. Nous définissons la relation R par nRm si
et seulement si
ou dit autrement nRm si et seulement si il
existe tel
que . Généralement nous écrivons ceci aussi
(modulo d)
au lieu de
et nous disons que "n est
congru à m modulo d".
Rappelons aussi que
(modulo d)
si et seulement si d divise n (cf.
chapitre de Théorie Des Nombres).
Nous allons maintenant introduire
une relation d'équivalence sur . Démontrons
que pour tout entier ,
la congruence modulo d est une relation d'équivalence
sur (nous
avons déjà démontré cela dans le chapitre
de théorie des nombres lors de notre étude de la congruence
mais refaisons le travail pour le plaisir).
Démonstration (contrôle
des trois propriétés de l'équivalence):
P1. Réflexivité:
car .
P2. Symétrie: Si
alors
et donc
c'est-à-dire .
P3. Transitivité: Si
et
alors et
donc
c'est-à-dire .
C.Q.F.D.
Dans la situation ci-dessus, nous notons
l'ensemble des classes d'équivalence et noterons
la classe d'équivalence de la congruence d'un entier n
donnée par:
(3.33)
(chaque différence de deux valeurs se trouvant dans les
accolades est divisible par d
et c'est bien ainsi une classe d'équivalence) et ainsi:
(3.34)
En particulier (trivial car nous obtenons ainsi tout ):
(3.35)
Ainsi, nous voyons que le premier exemple que nous avions donné
avec les nombres pairs et impairs est un cas particulièrement
simple des classes d'équivalence de congruence modulo
2 car elles se réduisent toutes à seulement deux
classes.
Remarque: Les opérations d'addition et de multiplication
définies sur  définissent
des opérations
d'addition et de multiplication sur  .
Nous disons alors que ces opérations
sont compatibles avec la relation d'équivalence et forment alors
un anneau ( cf. chapitre de Théorie Ensembles).
LOIS
FONDAMENTALES DE L'ARITHMÉTIQUE
Comme nous
l'avons déjà dit précédemment, il existe un
opérateur de base
(addition) à partir duquel il possible de définir
la multiplication, la soustraction (à condition que l'ensemble
de nombres soit ad hoc) et la division (même remarque que
pour la soustraction) et autour desquels nous pouvons construire
toute
la mathématique
analytique.
Bien évidemment il y a certaines subtilités à prendre
en compte lorsque le niveau de rigueur augmente. Le lecteur peut
alors se reporter au chapitre de Théorie Des Ensembles
où ses
lois fondamentales sont redéfinies avec plus de justesse.
ADDITION
Définition: L'addition
de nombres entiers est une opération notée "+" qui
a pour seul but de réunir en un seul nombre toutes les unités
contenues dans plusieurs autres. Le résultat de l'opération se
nomme "somme" ou "total".
Les nombres à additionner
sont appelés "termes de l'addition".
Remarque: Les signes d'addition "+"
et de soustraction "-" seraient dus à Widmann
(1489).
Ainsi, A+B+C... sont les termes de
l'addition et le résultat est la somme des
termes de l'addition.
Ou sous forme schématique d'un cas particulier:
Figure: 3.1 - Exemple schématique de l'addition
Voici une liste de quelques propriétés
intuitives que nous admettrons sans démonstrations de
l'opération
de l'addition:
P1. La somme
de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes.
Nous disons alors que l'addition est une "opération
commutative". Ce qui signifie concrétement pour deux
nombres quelconques:
(3.36)
P2. La somme
de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou
plusieurs d'entre
eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que l'addition
est "opération associative".
(3.37)
P3. Le
zéro est l'élément neutre de l'addition
car tout nombre additionné
à zéro donne ce même nombre.
(3.38)
P4.
Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, l'addition
peut comporter un terme de telle façon à ce
que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé"
pour l'addition.
(3.39)
Nous allons définir plus rigoureusement l'addition en
utilisant l'axiomatique de Peano dans le cas particulier de l'ensemble
des nombres entiers naturels comme nous en avons déjà fait
mention dans le chapitre traitant des Nombres. Ainsi, avec ces
axiomes il est possible de
démontrer
qu'il existe (existence) une et une seule application (unicité),
notée "+", de dans vérifiant:
(3.40)
où s signifie: "successeur".
Remarque: Ce site n'ayant pas pour vocation de s'adresser à des
mathématiciens, nous nous passerons de la démonstration
(relativement longue) et admettrons intuitivement que l'application "+"
existe et est unique... et qu'il en découle les propriétés
susmentionnées.
Soient des
nombres quelconques alors nous pouvons noter également
la somme ainsi:
(3.41)
en
définissant des bornes supérieure et inférieure à la
somme indexée (au-dessus et en-dessous de la lettre grecque
majuscule "sigma").
Voici quelques rappels des propriétés relatives à cette
notation condensée:
(3.42)
où
k
est une constante et:
(3.43)
(3.44)
Voyons maintenant quelques cas concrets d'additions
de différents nombres simples afin de mettre en pratique
les bases.
Exemples:
L'addition de deux
nombres relativement petits est assez facile dès que nous
avons appris par coeur à compter jusqu'au nombre résultant
de cette opération.
Ainsi (exemples pris sur la base décimale):
,
,
(3.45)
Pour les plus grands nombres il faut adopter une autre méthode
qu'il s'agit d'apprendre par coeur. Ainsi par exemple:
(3.46)
Démarche: nous additionnons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de
droite à gauche. Pour la première colonne nous avons donc 4+5=9
ce qui nous donne:
(3.47)
et
nous continuons ainsi pour la deuxième 4+7=11 mais à la différence
que comme nous avons un nombre supérieur à la dizaine, nous reportons
le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition.
Ainsi:
(3.48)
La
troisième colonne se calcule dès lors comme 4+2+1=7 ce qui nous
donne:
(3.49)
Pour
la dernière colonne nous avons 9+5=14 et à nouveau nous reportons
le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition.
Ainsi:
(3.50)
et
la dernière colonne donne:
(3.51)
Voilà comment nous procédons donc pour l'addition de nombres
quelconques: nous faisons une addition par colonne de droite à gauche
et si le résultat d'une addition est supérieur à la
dizaine, nous reportons une unité sur la colonne suivante.
Cette
méthodologie d'addition est simple à comprendre et à effectuer.
Nous ne étendrons pas plus sur le sujet pour l'instant.
SOUSTRACTION
Définition: La soustraction du nombre entier A
par le nombre entier B notée
par le symbole "-", c'est trouver le nombre C
qui, ajouté à B,
redonne A.
Remarque: L'opération n'est rigoureusement parlant pas
possible dans les entiers naturels 
que si  .
Nous écrivons la soustraction
sous la forme:
(3.52)
qui
doit vérifier:
(3.53)
Ou sous forme schématique avec un cas particulier:
Figure: 2.2 - Exemple schématique de la soustraction
Voici quelques propriétés
intuitives que nous admettrons sans démonstrations de
l'opération
de soustraction (bon cela découle de l'addition...):
P1. La soustraction
de plusieurs nombres dépend de l'ordre des termes. Nous
disons alors que la soustraction est une "opération
non-commutative". Effectivement:
(3.54)
P2. La soustraction de
plusieurs nombres change si nous remplaçons deux
ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire.
Nous disons alors que la soustraction est une "opération
non-associative". Effectivement:
(3.55)
P3. Le
zéro n'est pas l'élément neutre de la soustraction.
Effectivement, tout nombre à qui
nous soustrayons zéro donne ce même nombre,
donc le zéro
est neutre
à droite... mais pas à gauche car tout nombre que
nous soustrayons à zéro ne donne pas zéro!
Nous disons alors que le zéro est seulement "neutre à droite" dans
le cas de la soustraction.
P4.
Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, la soustraction
peut comporter un terme de telle façon à ce que le total soit
nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé" pour
la soustraction.
Exemples:
La soustraction
de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous
avons appris par coeur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant
de cette opération. Ainsi:
,
,
(3.56)
Pour les
plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il
s'agit d'apprendre par coeur (au même titre que l'addition). Ainsi
par exemple:
(3.57)
nous
soustrayons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite
à gauche. Pour la première colonne nous avons
ce qui fait que nous reportons -1 sur la colonne suivante (deuxième)
et écrivons
en bas de la barre d'égalité de la première colonne:
(3.58)
et
nous continuons ainsi pour la deuxième
ce qui fait que nous reportons -1 sur la colonne suivante (troisième)
et comme
nous reportons
en bas de la barre d'égalité de la deuxième colonne:
(3.59)
La
troisième colonne se calcule dès lors comme
et nous reportons -1 sur la colonne suivante (quatrième)
et comme
nous reportons
en bas de la barre d'égalité de la troisième colonne:
(3.60)
Pour
la dernière colonne nous avons
nous reportons donc rien sur la colonne suivante et comme
nous reportons 0 en bas de la barre d'égalité de
la quatrième colonne:
(3.61)
Voilà comment nous procédons donc pour la soustraction de
nombres quelconques. Nous faisons une soustraction par colonne de
droite à
gauche et si le résultat d'une soustraction est inférieur à zéro
nous faisons reporter -1 sur la colonne suivante et l'addition du
dernier report sur la soustraction obtenue en bas de la barre d'égalité.
Nous avons lorsque nous mélangeons l'addition et la soustraction
les relations suivantes qui en découlent:
(3.62)
La
méthodologie utilisée pour la soustraction se basant
sur exactement le même principe que l'addition nous ne nous étendrons
pas plus sur le sujet. Cette méthode est très simple
et nécessite
bien sûr une certaine
habitude à travailler avec les chiffres pour être totalement
appréhendée.
MULTIPLICATION
Définition: La multiplication
de nombres est une opération qui a pour but,
étant donné deux nombres, l'un appelé "multiplicateur" m,
et l'autre "multiplicande" M,
d'en trouver un troisième
appelé "produit" P qui
soit la somme (donc la multiplication d'écoule de la somme!)
d'autant de nombres égaux au multiplicande
qu'il y a d'unités au multiplicateur:
(3.63)
Le multiplicande et
le multiplicateur sont appelés les "facteurs
du produit".
La
multiplication s'indique à l'aide du signe " " (anciennement)
ou du point de ponctuation surélevé (notation
moderne) ou sans aucun symbole tel que:
(3.64)
Remarque: Le signe de croix "  "
pour la multiplication se trouverait pour la première fois
dans l'ouvrage d'Oughtred (1631) quant au point à mi-hauteur (notation
moderne pour la multiplication), nous le devrions à Leibniz. Dès
1544, Stiefel, dans un de ses ouvrages n'employait aucun signe
et désignait
le produit de deux nombres en les plaçant l'un après
l'autre.
Nous pouvons définir la multiplication en utilisant l'axiomatique
de Peano dans le cas particulier des nombres entiers naturels comme
nous en avons déjà fait
mention dans le chapitre traitant des Nombres. Ainsi, avec ces
axiomes
il est
possible
de
démontrer qu'il existe (existence) une et une seule application
(unicité), notée " " ou
plus souvent ".",
de dans vérifiant:
(3.65)
Remarque: Ce site n'ayant pas pour vocation de s'adresser à des
mathématiciens, nous nous passerons de la démonstration
(relativement longue) et admettrons intuitivement que l'application "  "
existe et est unique...
La
puissance est une notation particulière d'un cas précis
de multiplications. Lorsque le(s) multiplicateur(s) et multiplicande(s)
sont identique(s)
en valeur numérique, nous notons la multiplication (par
exemple): (3.66)
c'est
ce que nous nommons la "notation en
puissance" ou "l'exponentiation".
Le nombre en exposant est ce que nous nommons la "puissance"
ou "l'exposant" du nombre
(n en l'occurrence). La
notation en
exposants se trouve
pour la première fois dans l'ouvrage de Chuquet intitulé "Triparty
en la science des nombres" (1484).
Vous
pouvez vérifier par vous-même que ses propriétés sont les suivantes
(par exemple):
(3.67)
de même:
(3.68)
Voici quelques propriétés
intuitives que nous admettrons sans démonstrations de
l'opération de multiplication:
P1. La multiplication
de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons
alors que la multiplication est une "opération commutative".
P2. La multiplication
de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou
plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire.
Nous disons alors que la multiplication est "opération
associative".
P3.
L'unité est l'élément neutre de la multiplication car tout multiplicande
multiplié par le multiplicateur 1 est égal au multiplicande.
P4.
La multiplication peut comporter un terme de telle façon à ce que
le produit soit égal à l'unité (l'élément
neutre). Nous disons alors qu'il existe un "inverse
pour la multiplication" (mais cela dépend rigoureusement
dans quel ensemble de nombres nous travaillons).
P5.
La multiplication est "distributive", c'est-à-dire
que:
(3.69)
l'opération
inverse s'appelant la "factorisation".
Introduisons encore quelques notations particulières relatives
à la multiplication:
1. Soient des
nombres quelconques (non nécessairement égaux) alors
nous pouvons noter le produit ainsi:
(3.70)
en
définissant des bornes supérieure et inférieure
au produit indexé (au-dessus et en-dessous de la lettre
grecque majuscule "Pi").
Rappel des propriétés relatives à cette
notation:
(3.71)
pour tout nombre k
tel que:
(3.72)
Nous avons aussi par exemple:
(3.73)
2. Nous définissons également la "factorielle" simplement
(car il existe aussi une manière complexe de la définir
en passant par la fonction Gamma d'Euler comme cela est fait dans
le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) par:
(3.74)
Exemples:
Voyons quelques exemples simples de multiplications élémentaires.
La multiplication de deux nombres relativement petits est assez
facile
dès que nous
avons appris par coeur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant
de cette opération. Ainsi:
,
,
(3.75)
Pour les beaucoup
plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il
s'agit d'apprendre par coeur. Ainsi par exemple:
(3.76)
nous
multiplions colonne par colonne et nous additionnons l'ensemble
des résultats décalés d'un chiffre comme ci-dessous (8x4=32, 8x7=56,
8x5=40, 8x4=32) ainsi nous obtenons:
(3.77)
Cette
méthodologie est très logique si vous avez bien compris comment
nous construisons un chiffre en base dix. Ainsi, nous avons (nous
supposerons pour l'instant la distributivité comme connue):
(3.78)
Pour ne pas
surcharger l'écriture dans la multiplication par la méthode "verticale",
nous ne représentons pas les zéros qui surchargeraient
inutilement les calculs (et ce d'autant plus si le multiplicateur
et/ou le multiplicande
sont de très grands nombres).
DIVISION
Définition: La division de
nombres entiers (pour commencer par le cas le plus simple...) est
une opération,
qui a pour but, étant donné deux nombres entiers,
l'un appelé "dividende",
l'autre appelé "diviseur",
d'en trouver un troisième appelé
"quotient" qui soit le plus
grand nombre dont le produit par le diviseur puisse se retrancher
(donc la division découle de
la soustraction!) du dividende (la différence étant
nommée le "reste"
ou la "congruence").
Remarque: Dans les cas des nombre réels il n'y a jamais
de reste
à la fin de l'opération de division (car le quotient multiplié par
le diviseur donne exactement le dividende)!
D'une façon générale dans le cadre des nombres entiers, si nous
notons D le dividende, d le diviseur, Q
le quotient et R le reste nous avons la relation:
(3.79)
en
sachant que la division était initialement notée de la manière
suivante:
(3.80)
Nous indiquons l'opération de division en plaçant
entre les deux nombres, le dividende et le diviseur un ": " ou
une barre de division " / ".
Nous
désignons également souvent par "fraction" (au
lieu de
"quotient"), le rapport de deux nombres ou autrement
dit, la division du premier par le deuxième.
Remarque: Le signe de la division ":" est dû à Leibniz.
La barre de fraction se trouve elle pour la première fois
dans les ouvrages de Fibonacci (1202) et elle est probablement
due aux Hindous.
Si
nous divisons deux nombres entiers et que nous souhaitons un entier
comme quotient et comme reste (s'il y en a un...), alors
nous parlons
de "division euclidienne".
Par exemple, la division d'un gâteau, n'est pas un division
euclidienne car le quotient n'est pas un entier, excepté si l'on
en prend les quatre quarts...:
Figure: 3.3 - Exemple schématique de la division et du fractionnement (fraction)
Si
nous avons:
(3.81)
nous
appelons l'inverse
du dividende. A tout nombre est associé un inverse qui
satisfait cette condition.
De
cette définition il vient la notation (avec x étant
un nombre quelconque différent de zéro):
(3.82)
Dans le cas de deux nombres fractionnaires, nous disons qu'ils
sont "inverses" ou "réciproques",
lorsque leur produit est égal à l'unité (comme la relation précédente)
pour toute valeur de x, positive ou négative.
Remarques:
R1.
Une division par zéro est ce que nous nommons une "singularité".
C'est-à-dire que le résultat de la division est indéterminé.
R2.
Lorsque nous multiplions le dividende et le diviseur d'une division
(fraction) par un même nombre, le quotient ne change pas (il s'agit
d'une fraction équivalente), mais le reste est multiplié par
ce nombre.
R3. Diviser un nombre par un produit effectué de plusieurs facteurs
revient à diviser ce nombre successivement par chacun des facteurs
du produit et réciproquement.
Les
propriétés des divisions avec les notations condensées
de puissances (exponentiation) sont les suivantes (nous laisserons
le soin au lecteur de le vérifier
avec des valeurs numériques):
(3.83)
ou:
(3.84)
Nous en déduisons donc:
(3.85)
Rappelons
qu'un nombre premier (entier relatif) est un nombre qui n'a d'autres
diviseurs que lui-même et l'unité (rappelons que 1 n'est
pas un nombre premier).
Donc tout nombre qui n'est pas premier a au moins un
nombre premier comme diviseur (excepté 1 par définition!).
Le plus petit des diviseurs d'un nombre entier est donc un
nombre premier (nous détaillerons les propriétés
des nombres premiers relativement au sujet de la division dans
le chapitre de Théorie
des Nombres).
Voyons quelques
propriétés de la division (certaines nous sont déjà connues
car elles découlent d'un raisonnement logique des propriétés
de la multiplication):
(3.86)
où la deuxième ligne est ce que nous appelons une "amplification
des termes" et la cinquième ligne une
"mise
au dénominateur commun".
Nous avons aussi les propriétés suivantes:
P1. La division de plusieurs
nombres dépend de l'ordre des termes. Nous disons alors
que la division est une "opération
non-commutative". Ce qui signifie que nous avons quand A est
différent de B:
(3.87)
P2. Le résultat de la division de plusieurs
nombres change si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre
eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons
alors que la division est "opération
non-associative":
(3.88)
P3.
L'unité est l'élément neutre à droite
de la division car tout dividende divisé
par le diviseur 1 est égal au dividende mais l'unité n'est
par contre pas neutre
à gauche.
P4.
La division peut comporter un terme de telle façon à ce que la
division soit égale à l'unité (l'élément neutre). Nous disons
alors qu'il existe un "symétrique
pour la division".
Si a et b sont deux nombres
réels positifs et non nuls nous avons:
,
(3.89)
(3.90)
Nous
pouvons maintenant définir la racine q-ième principale d'un nombre
quelconque a:
(3.91)
la
dernière relation n'étant définie que pour .
Au niveau de la terminologie, nous avons:
(3.92)
qui
est une racine, le nombre a
est le "radicande" et q
est l'indice de la racine. Le symbole est
appelé le "radical".
De ce qui a déjà été dit pour les
puissances, nous pouvons conclure aisément que la racine
q-ème d'un produit de plusieurs facteurs est égale au
produit des racines q-ème de chacun des facteurs:
(3.93)
et:
(3.94)
il en ressort que:
et
(3.95)
Nous avons également si :
(3.96)
si
est impair et:
(3.97)
si
est pair.
Si et est
impair, alors:
(3.98)
est
le nombre réel négatif b tel que:
(3.99)
Si est
pair alors bien sûr, comme nous l'avons déjà vu, la racine
est complexe (cf. chapitre sur les Nombres).
Si le dénominateur d'un quotient contient
un facteur de la forme avec
,
en multipliant le numérateur et le dénominateur
par ,
nous supprimerons la racine au dénominateur, puisque:
(3.100)
Nous
appelons communément ce procédé "rendre
un dénominateur rationnel".
Nous pouvons bien sûr faire de même avec le numérateur.
Exemple:
Voyons un exemple mondialement connu de l'application de la racine
qui concerne l'origine des formats papier A6, A5, A4, A3, A2, A1,
A0 etc...
Ce format a au fait la propriété (c'est un objectif à l'origine)
de conserver ses proportions lorsque nous plions ou coupons la
feuille en deux dans sa grande dimension. Ainsi, si nous appelons L la
longueur et l la largeur de la feuille, nous avons:
(3.101)
Il en ressort que:
(3.102)
Comme le format A0 à par définition une superficie de .
Pour ce format nous avons alors:
(3.103)
Nous en déduisons donc:
(3.104)
et donc:
(3.105)
d'où nous tirons aussi:
(3.106)
Les autres formats de déduisant donc pour rappel en divisant
par deux la feuille dans sa grande dimension.
POLYNÔMES ARITHMÉTIQUES
Définition: Un "polynôme
arithmétique" (à ne pas confondre avec
les polynômes
algébriques qui seront étudiés dans la section d'Algèbre) est
un ensemble de nombres séparés les uns des autres par les opérations
d'addition ou de soustraction (+ ou -).
Les composants enfermés dans le polynôme sont appelés "termes"
du polynôme. Lorsque le polynôme contient un unique terme, nous
parlons alors de "monôme", s'il y a deux termes nous parlons
de "binôme", et ainsi de
suite...
La valeur d'un polynôme arithmétique est égale à l'excès
de la somme des termes précédés du signe
+ sur la somme des termes précédés du signe
-.
Démonstration:

(3.107)
quelles que soit les valeurs des termes.
C.Q.F.D.
Mettre en évidence l'unité négative -1 est
ce que nous appelons une
"factorisation" ou "mise
en facteurs". L'opération
inverse, s'appelant une "distribution" ou
"développement".
Le produit de plusieurs
polynômes peut toujours être remplacé par un polynôme unique
que nous appelons le "produit effectué".
Nous opérons habituellement
comme suit: nous multiplions successivement tous les termes
du premier polynôme, en commençant par la gauche, par le premier,
le second, ..., le dernier terme du second polynôme. Nous obtenons
ainsi un premier produit partiel. Nous faisons, s'il y a lieu,
la
réduction des termes semblables. Nous multiplions ensuite
chacun des termes du produit partiel successivement par le premier,
le
second, ..., le dernier terme du troisième polynôme en commençant
par la gauche et ainsi de suite.
Le produit
des polynômes A,B,C, ...L,
... est la somme de tous les produits de n facteurs
formés avec un terme de A,
un terme de B,
..., et un terme de L.
S'il n'y a aucune réduction, le nombre de termes du
produit est alors
égal au produit des nombres de termes des facteurs.
VALEUR ABSOLUE
Un nombre réel est constitué de deux parties: un
signe + ou - et une valeur absolue.
Exemples:
E1. +7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7
E2. -5 est constitué du signe - et de la valeur absolue
5
La valeur absolue de +7 est donc 7, la valeur absolue de -5 est
donc 5.
Définition: Pour tout nombre réel x,
la "valeur absolue" de x,
notée est
donnée par:
(3.108)
Nous remarquons que:
(3.109)
Ainsi que les expressions équivalentes:
(3.110)
et:
(3.111)
et encore:
(3.112)
ces dernières étant souvent utilisées
dans le cadre de la résolution des inéquations.
Indiquons qu'il est aussi utile d'interpréter l'expression comme
la distance entre les deux nombres x et y sur la
droite réelle. Ainsi, en munissant l'ensemble des nombres
réels de la distance valeur
absolue, il devient un espace métrique.
La résolution d'une inéquation telle que se
résout alors simplement à l'aide de la notion de distance.
La solution est l'ensemble des réels dont la distance au
réel 3 est inférieure
ou égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayon
9 ou autrement écrit:
(3.113)
La valeur absolue a quelques propriétés triviales que nous énoncerons
sans démonstrations:
P1.
La valeur absolue de la somme algébrique de plusieurs nombres réels
est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues
des composantes de la somme:
(3.114)
ce que les mathématiciens appellent parfois la "première
inégalité triangulaire".
P2.
La valeur absolue de la différence est supérieure ou égale à la
valeur absolue de la différence
des valeurs absolues des composantes de la différence:
(3.115)
ce que les mathématiciens appellent parfois la "deuxième
inégalité triangulaire".
P3.
La valeur absolue du produit (multiplication) est égale au produit
des valeurs absolues:
(3.116)
P4. La valeur absolue du rapport est égale au rapport des valeurs
absolues:
(3.117)
RÉGLES
DE CALCUL
Fréquemment en informatique
(dans le développement en particulier), nous parlons de "priorité
des opérateurs". En mathématiques nous parlons de "priorité
des ensembles d'opérations et des règles des signes". De quoi
s'agit-il exactement?
Nous avons déjà
vu quelles étaient les propriétés des opérations
d'addition, soustraction, multiplication, mise en puissance et
division. Nous tenons donc
à ce que le lecteur différencie la notion de "propriété"
de celle de "priorité" (que nous allons tout
de suite voir) qui sont deux notions complètement différentes!
En mathématiques,
en particulier, nous définissons les priorités des
symboles: {[( )]}
Autrement
dit:
1.
Les opérations qui sont entre parenthèses ( ) doivent être effectuées
en premier dans le polynôme.
2.
Les opérations qui sont entre crochets [ ] doivent être effectuées
en second à partir des résultats obtenus des opérations qui se trouvaient
entre les parenthèses ( ).
3.
Finalement, à partir des résultats intermédiaires des opérations
qui se trouvaient entre parenthèses ( ) et crochets [ ], nous calculons
les opérations qui se situent entre les accolades { }.
Faisons
un exemple, ceci sera plus parlant.
Exemple:
Soit à calculer
le polynôme:
(3.118)
Selon
les règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons
d'abord tous les éléments qui sont entre parenthèses ( ), c'est-à-dire:
,
,
(3.119)
ce
qui nous donne:
(3.120)
Toujours
selon le règles que nous avons définies tout à l'heure,
nous calculons maintenant tous les éléments entre
crochets en commençant toujours
à calculer les termes qui sont dans les crochets [ ] au plus bas
niveau des autres crochets [ ]. Ainsi, nous commençons par calculer
l'expression qui
se trouve dans le crochet de niveau supérieur: .
Cela
nous donne et
donc:
(3.121)
Il
nous reste à calculer maintenant et
donc:
(3.122)
Nous
calculons
maintenant l'unique terme entre accolades, ce qui nous donne:
(3.123)
Finalement
il nous reste:
(3.124)
Évidemment
il s'agit d'un cas particulier... Mais le principe est toujours
le même.
La
priorité des opérateurs arithmétiques est une notion spécifique
aux langages informatiques (comme nous en avons déjà fait mention)
du fait qu'on ne peut dans ces derniers écrire des relations mathématiques
que sur une ligne unique.
Ainsi,
en informatique l'expression:
(3.125)
s'écrit
(à peu de choses près):
(3.126)
Un
non-initié pourrait y lire:
ou
ou
(3.127)
ou:
(3.128)
et
encore quelques autres... ce
qui vous en conviendrez, est fort dangereux car nous arriverons à des
résultats différents à chaque fois (cas particuliers
mis à
part...) !
Ainsi,
il a logiquement été défini un ordre de priorité des opérandes tel
que les opérations soient effectuées dans l'ordre suivant:
1.
- Négation
2.
^ Puissance
3.
* / Multiplication et division
4.
\ division entière (spécifique à l'informatique)
5.
Mod Modulo (cf. chapitre de Théorie Des Nombres)
6.
+ - Addition et soustraction
Évidemment les règles des parenthèses ( ), crochets
[ ], et accolades { } qui ont été définies en mathématiques s'appliquent
à l'informatique.
Ainsi, nous obtenons dans l'ordre (nous remplaçons chaque
opération effectuée par un symbole):
D'abord les termes entre parenthèses:
(3.129)
Ensuite les règles de priorité des opérateurs s'appliquent
dans l'ordre défini précédemment:
D'abord la négation
(1):
(3.130)
ensuite la puissance
(2):
(3.131)
nous
appliquons la multiplication (3):
(3.132)
et
finalement la division (3):
(3.133)
Les
règles (4) et (5) ne s'appliquent pas à cet exemple particulier.
Finalement
(6):
(3.134)
Ainsi,
en suivant ces règles, ni l'ordinateur, ni l'être humain
ne peuvent (ne devraient) se tromper lors de l'interprétation
d'une équation écrite sur une ligne unique.
En informatique, il existe cependant plusieurs opérateurs
que nous ne retrouvons pas en mathématiques et qui changent souvent
de propriétés d'un langage informatique à un autre. Nous ne nous
attarderons pas trop là-dessus cependant, nous avons mis ci-dessous
un petit descriptif:
L'opérateur
de concaténation " & " est évalué avant les opérateurs
de comparaisons.
Les
opérateurs de comparaison (=, <, >, ...) possèdent
tous une priorité identique.
Cependant,
les opérateurs les plus à gauche dans une expression, détiennent
une priorité plus élevée.
Les
opérateurs logiques sont évalués dans l'ordre de priorité suivant:
1.
Not - 2. And - 3. Or - 4.
Xor - 5. Eqv
- 6.
Imp
Maintenant que nous
avons vu les priorités des opérateurs, quelles sont les règles des
signes en vigueur en mathématiques?
D'abord, il faut
savoir que ces dernières ne s'appliquent que dans le cas
de la multiplication et de la division. Soient deux nombres positifs .
Nous avons:
(3.135)
Autrement dit, la
multiplication de deux nombres positifs est un nombre positif et
ceci est généralisable à la multiplication de n
nombres positifs.
Nous avons:
(3.136)
Autrement dit, la
multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif
est négative.
Ce qui est généralisable à un résultat positif
de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombres négatifs
et à un résultat négatif
pour un nombre impair de nombres négatifs sur la totalité n
des nombres de la multiplication.
Nous avons:
(3.137)
Autrement dit, la
multiplication de deux nombres négatifs est positive. Ce
qui est généralisable à un résultat positif
de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombre négatifs
et à un résultat négatif pour
un nombre impair de nombres négatifs.
Pour
ce qui est des divisions, le raisonnement est identique:
et
(3.138)
Autrement dit, si
le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat
de la division sera positif.
Nous avons:
et
(3.139)
Autrement dit, si
soit le numérateur ou le dénominateur est négatif, alors le résultat
de la division sera forcément négatif.
Nous avons:
et
(3.140)
Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs,
alors le résultat de la division, sera forcément positif.
Évidemment,
si nous avons une soustraction de termes, il est possible de la
réécrire sous la forme:
(3.141)
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