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ANALYSE FONCTIONNELLE | ANALYSE COMPLEXE | TOPOLOGIE | THÉORIE DE LA MESURE

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

La topologie (du grec : discours du lieu) est un domaine extrêmement vaste des mathématiques dont il est difficile de définir avec exactitude l'objet dont elle fait l'étude tellement les les domaines où elle existe sont variés (topologie de la droite réelle, topologie des graphes, topologie différentielle, topologie complexe, topologie symplectique,...).

Ce que nous pouvons dire dans un premier temps, c'est que dans ces fondements la topologie est très intimement liée à la théorie des ensembles, à l'étude de convergence des suites et séries, à l'analyse fonctionnelle, à l'analyse complexe, au calcul intégral et différentiel, au calcul vectoriel et à la géométrie pour ne citer que les cas les plus importants se trouvant sur le présent site web.

L'origine de la topologie provient des problèmes qu'ont posés les progrès de l'analyse fonctionnelle dans l'étude rigoureuse des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc... dans des espaces de dimensions supérieures (au fait, implicitement la topologie a pour objectif de créer des outils qui permettent facilement d'étudier les propriétés des fonctions dans toutes les dimensions). Tout ces concepts, demandaient pour le mathématicien une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions.

Nous allons essayer de dégager les structures qui permettent de parler de limite et de continuité. L'exemple fondamental que nous prendons est le cas de (la droite de pour être rigoureux...).

ESPACE TOPOLOGIQUE

Les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel les notions de limite, de continuité ou d'équivalance sont définies.

Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes: ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques, ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques.

Si nous pensons à la droite achevée, afin d'étudier les concepts susmentionnés, il va falloir que nous mesurions (imaginons...) des morceaux de celle-ci à la règle. Or, les mesures prises de certains intervalles ou de l'ensemble de la droite doivent pouvoir présenter certaines propriétés minimales que nous allons énoncer maintenant de suite.

Définition: Soit un ensemble non vide X (la longueur d'une règle de plastique par exemple). Une "topologie F" ou "espace topologique (X, F)" sur X est une famille F de parties de X (de notre règle...) appelées "ouverts" V (comme les intervalles ouverts vus dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle) tel que les axiomes suivants soient vérifiés :

A1. L'ensemble vide et X sont considérés comme des ouverts et appartiennent obligatoirement à la famille de la topologie F (ces deux ouverts seuls constituent par ailleurs la "topologie grossière" la plus minimale satisfaisant à tous les axiomes):

et   (18.1)

En d'autres termes, si nous imaginons notre règle en plastique, la mesure nulle doit appartenir à celle-ci ainsi que tout point de la règle elle-même (ou un sous-ensemble de celle-ci) ou les deux.

A2. Toute intersection finie d'ouverts de F est un ouvert de F:

 implique   (18.2)

A3. Toute réunion d'ouverts F est un ouvert de F:

 implique   (18.3)

Le couple (X,F) forme un "espace de Hausdorff" ou "espace séparé" si de plus la propriété suivante dit "axiome d'Hausdorff" est vérifiée :

Définition: Si nous notons (X,F) un espace topologique, F désignant les ouverts de X, une "base", au sens topologique, de (X,F) est une partie B de F telle que tout ouvert de F soit réunion d'ouverts de B (c'est la même idée que les espace vectoriels au fait mais appliqué à des ensembles... rien de bien méchant).

espace mÉtrique et Distance

Définition: Un "espace métrique" noté (X,d) ou encore  est par définition un ensemble X muni d'une application , appelée "distance" ou "métrique", qui satisfait les axiomes suivants:

A1.   (positivité)

A2.  (axiome de séparation)

A3.  (inégalité triangulaire)

La "fonction distance" de est donc notée habituellement dans le plus général qui soit en mathématique :

  (18.4)

Exemples:

E1. Si nous prenons pour X le plan, ou bien l'espace à trois dimensions de la géométrie euclidienne et une unité de longueur, la "distance" au sens usuel du terme est bien une distance au sens des 5 axiomes précédemment cités. Dans ces espaces, les trois points A, B, C satisfont comme nous l'avons démontré en Calcul Vectoriel et comme il l'est intuitivement que :

  (18.10)

avec les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de A, B, C. Ces inégalités sont bien connues par exemple entre les longueurs des côtés d'un triangle.

E2. Si nous prenons ,  et que nous dotons  d'une structure d'espace vectoriel euclidienne (et non pas non-euclidienne) et que nous prenons deux points :

  (18.11)  

La distance est donnée nous le savons par (nous avons déjà démontré cela en Analyse Fonctionnelle et Calcul Vectoriel) :

  (18.12)

qui satisfait aux 5 axiomes de la distance et que nous appelons la "distance euclidienne". Nous pouvons prendre (c'est une propriété intéressante pour la culture générale), que toute relation de la forme :

  (18.13)

est aussi une distance dans (sans démonstration). Les mathématiciens font encore plus fort en généralisant encore plus (la démonstration à peu d'intérêt pour l'instant) cette dernière relation (en prenant en compte la définition même de la distance) sous la forme :

  (18.14)

qui est appelée "distance hölderienne".

Remarque: Suite à l'intervention d'un internaute nous précisons qu'en toute rigueur l'inclusion ci-dessus devrait être notée où  est la droite achevée (précision également valable pour l'inégalité de Minkowski ci-dessous).

Au même titre pour l'inégalité triangulaire, donnée alors par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (18.15)

La généralisation, de par la vérification de l'existence de la distance de hölderienne, nous donne la vraie "inégalité de Minkowski" :

  (18.16)

Dans le cas particulier avec , nous avons bien évidemment :

  (18.17)

qui est la distance usuelle sur .

E3. Si nous prenons , nous considérerons la distance :

  (18.18)

Ainsi, si  et  nous avons le module qui de même manière que la norme dans , forme une distance :

  (18.19)

E4. Considérons aussi  un ensemble arbitraire. Posons :

 si  et  si   (18.20)

Il est très facile de vérifier que cette distance vérifie les 5 axiomes et qu'elle est de plus ultra-métrique. Cette distance est appelée "distance discrète" et le lecteur remarquera que nous avons par analogie opté pour cette distance le symbole de la fonction Dirac  (ce n'est pas innocent !!) plutôt que la traditionnel d.

DISTANCES ÉQUIVALENTES

Parfois, deux distances différentes d et  sur un même ensemble E sont assez ressemblantes pour que les espaces métriques liés  possèdent les mêmes propriétés pour certains objets mathématiques définis par d d'une part, par . Il existe plusieurs notions de ressemblances dont voici une première (avant les autres qui nécessitent des outils mathématiques que nous n'avons pas encore définis) :

Définition: Soient d et deux distances sur un même ensemble E, d et  sont dites "distances équivalentes" s'il existe deux constantes réelles  telles que 

  (18.21)

soit  :

  (18.22)

avec . Nous noterons par ailleurs cette équivalence .

L'intérêt de cette définition est le suivant : si nous avons convergence pour l'une des métriques, alors nous aurons la convergence pour l'autre aussi. Plus clairement :

  (18.23)

in extenso:

  (18.24)

FONCTIONS LIPSCHITZIENNES

Relativement aux définitions précédentes, nous pouvons maintenant définir quelques propriétés supplémentaires aux fonctions telles que nous les avions énoncées dans le chapitre de Théorie Des Ensembles :

Soient (E,d) et des espaces métriques, et soit  une fonction. Nous définissons les propriétés suivantes :

P1. Nous disons que f est une "isométrie" si (c'est plutôt intuitif...!):

  (18.25)

Si nous prenons la distance usuelle, la fonction k-lipschitzienne s'écrit alors:

  (18.26)

ou ce que nous pouvons écrire également:

  (18.27)

Ou ce qui revient au même: toutes les cordes tracées entre 2 points quelconques du graphe ont un coefficient directeur (dérivée) compris entre -k et k.

Par exemple, la fonction sin(x) est 1-lipschitzienne (car la dérivée du cosinus est en valeur absolue compris entre 0 et 1).

P2. Nous disons que deux espaces métriques sont "isométriques" s'il existe une isométrie surjective de l'un sur l'autre (ce qui est assez rassurant en géométrie...).

P3. f est dite "L-lipschitzienne" de constante (ou "de rapport") L s'il existe  tel que :

  (18.28)

Si , nous disons que f est "contractante" (ou une "contraction"), et si , nous disons que f est strictement contractante.

P4. Toute fonction f lipchitzienne est uniformément continue (voir plus loin voir plus loin le concept "d'uniforme continue") si elle vérifie :

  (18.29)

avec  et  (la réciproque n'est pas vraie : toute fonction uniformément continue n'est pas nécessairement continue). En d'autres termes, si nous pouvons rapprocher deux points aussi près que nous voulons dans un espace, nous le pouvons aussi dans l'autre (ce qui assure en quelque sorte la dérivation).

ENSEMBLES OUVERTS ET FERMÉS

Définition: Considérons un ensemble E muni d'une distance d. Un sous-ensemble U de E est dit "sous-ensemble ouvert" si, pour chaque élément de U, il existe une distance r non nulle pour laquelle tous les éléments de E dont la distance à cet élément est inférieure ou égale à r, appartiennent à U, ce qui ce traduit en langage mathématique :

U ouvert de   (18.31)

Cette définition peut sembler complexe mais en fait, sa signification concrète est plus simple qu'il n'y paraît. En fait, selon cette définition, un ensemble ouvert dans un espace topologique n'est rien d'autre qu'un ensemble de points contiguës et sans bords.

L'absence de bord découle de la condition . En effet, en raisonnant par l'absurde, si un ensemble ouvert U avait un bord, alors pour chaque point situé sur celui-ci (le bord) il serait toujours possible de trouver un point n'appartenant pas à U aussi proche que l'on veut de lui. Il s'ensuit que la distance r nécessaire devient donc nulle.

Définitions: 

D1. Un "sous-ensemble fermé" est un "ouvert avec bord".

D2. Un "voisinage" d'un point de E est une partie de E contenant un ouvert contenant ce point.

La définition d'un ensemble ouvert peut être simplifiée en introduisant une notion supplémentaire, celle de "boule ouverte" :

BOULES

Soit x un élément de E:

Définition: Une "boule ouverte de centre x et de rayon r>0"  ou "boule métrique de rayon r centrée en x" est le sous-ensemble de tous les points de E dont la distance à x est inférieure à r, ce que nous écrivons :

  (18.32)

Un ensemble ouvert peut également être défini comme un ensemble pour lequel il est possible de définir une boule ouverte en chaque point.

Définition: Une "boule fermée" est similaire à une boule ouverte mais diffère dans le sens que nous y incluons les éléments situés à la distance r du centre :

  (18.33)

Remarque: Pour  les inclusions  sont des conséquences directes de la définition de boule ouvert et fermée.

Exemple:

La distance usuelle dans  est donnée par . Les boules sont des intervalles. Pour  et , nous avons:

 et   (18.34)

Définition: Une "sphère" est donnée par :

  (18.35)

Remarque: Puisque par définition, , les boules ouvertes et fermées ne sont pas vides car elle contiennent au moins leur centre. Par contre, une sphère peut être vide.

Exemple:

Avec  nous avons vu dans les exemples précédents que nous pouvions définir différentes distances. Pour les distinguer, nous les notons :

  (18.36)

Alors, dans les boules fermées de centre O et de rayon unité équivalentes aux trois formulations précédentes, ont la forme suivante (rappel :  dans cet exemple) :

  (18.37)

PARTIES

Maintenant que nous avons défini les concepts de boules, nous pouvons enfin définir rigoureusement les concepts d'intervalles ouverts et fermées (qui dans un espace à plus d'une dimension sont nommées "parties") dont nous avons fait si souvent usage en Analyse Fonctionnelle et Calcul Intégral Et Différentiel.

Définition: Soit (X,d) un espace métrique. Nous disons qu'une partie A de X est "bornée" s'il existe une boule fermée  telle que :

  (18.38)

Compte tenu de la remarque précédente sur les inclusions des boules, il est clair que nous pouvons remplacer l'adjectif "fermée" par "ouverte". De plus l'inégalité triangulaire entraîne que le caractère borné de A ne dépend pas du choix de  (avec un  il suffit de remplacer r par ).

D1. Soit X un ensemble et (Y,d) un espace métrique. Si X est un ensemble, nous disons qu'une fonction est "bornée" si son image f(X) est bornée (cas de la fonction sinus ou cosinus par exemple).

D2. Soit (E,d) un espace métrique, et soit A une partie non vide de E. Pour tout  nous notons d(u,A) et nous appelons "distance de u à A", le nombre réel positif non nul :

  (18.39)

Nous prolongeons la notion en posant :

  (18.40)

Si A et B sont deux parties de E nous avons respectivement (c'est peut-être plus compréhensible ainsi...):

  (18.41)

Exemple:

Si nous prenons  et  nous avons  quand  tandis que . Ainsi, la distance entre les parties ne définit pas vraiment une distance sur  dans cet exemple. Il s'agit donc d'un abus de notation et il faut bien interpréter  comme l'infinimum de la distance entre A et B

D3. Soit (E,d) un espace métrique, et soit A une partie de E. Nous appelons "adhérence" de A et notons adh(A) le sous-ensemble de E défini par :

  (18.43)

En particulier, puisque  , nous avons , et puisque  , nous avons .

Il s'ensuit que (de par les définitions) :

  (18.45)

A est ouverte   (18.46)

avec quelques propriétés :

P1. (triviale) Si  et  vérifient , nous avons :

P2. (triviale) Pour tout , tout  :

Dernière propriété qui a pour corroloaire (trivial) :

Si pour tout  nous avons , , nous avons :

BOULES GÉNÉRALISÉES

La notion de distance d'un point à un ensemble permet d'étendre les notions de boule et de sphère.

Définitions:

D1. Soit  et soit un . Nous appelons "boule ouverte généralisée"  de centre A et de rayon r, l'ensemble suivant :

  (18.47)

Respectivement "boule fermée généralisée":

  (18.48)

Respectivement "sphère généralisée" :

  (18.49)

D2. Soit (E,d) un espace métrique et soient A, B deux parties non vides de E. Nous notons g(A,B) et appelons "gap" (qui signifie "écartement" ou "espacement" en français) de A à B, le nombre réel supérieur ou égal à zéro :

  (18.50)

Remarque: L'inégalité triangulaire n'est pas valide dans le cadre des gap (ceci étant également valable). Il suffit pour le démontrer, d'un seul et unique exemple qui contredirait l'inégalité.

Exemple:

Dans  prenons  nous avons alors :

  (18.51)

Il y a donc bien contradiction.

DIAMÈTRE

Définition: Soit (E,d) un espace métrique et soit A une partie non vide de E. Nous notons diam(A) et nous appelons "diamètre" de A, le nombre réel positif non nul :

  (18.52)

Tout partie non vide A d'un espace métrique vérifiant sera aussi dite "bornée".

Remarque: Nous considérons la partie vide  comme un borné de diamètre A

Si l'espace métrique (E,d) tout entier est borné, nous disons que la distance d est bornée. Par exemple, la distance discrète est bornée, la distance usuelle sur  ne l'est pas.

Nous avons aussi les propriétés suivantes :

P1. (triviale) ou

P2. (triviale)

P3. De par la définition du diamètre :

Exemple:

Pour il suffit pour se convaincre de prendre la distance discrète. Ainsi, dans un espace métrique où nous prenons avec , nous avons  (c'est un cas intéressant car complètement contre-intuitif).

P4. Nous avons

Exemple:

Dans  prenons , nous avons alors (infériorité stricte triviale):

  (18.53)

P5. A est borné si et seulement si

Définition: Nous appelons "excès de Hausdorff" de A sur B :

  (18.54)

Remarque: Nous avons en général et ces quantités peuvent ne pas être finies.

VARIÉTÉS

Nous introduisons maintenant les "variétés". Ce sont des espaces topologiques qui sont "localement comme " (notre espace par exemple..).

Définitions:

D1. Une "variété topologique de dimension n" est un espace de Hausdorff M tel que pour tout il existe un voisinage ouvert avec , un voisinage ouvert  et un homéomorphisme :

  (18.55)

D2. Un "homéomorphisme" entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est également continu.

D3. Les couples  sont appelés des "cartes", U étant le "domaine de la carte" et  "l'application de coordonnées". Au lieu de "carte nous disons parfois aussi "système de coordonnées".

D4. Soit M une variété topologique de dimension n. Une famille A de cartes de M est appelée un "atlas" si pour tout , il existe une carte  telle que .

Remarque: Notons que si  sont deux cartes de M telles que (ne vérifiant pas l'axiome de Hausdorff) , alors l'application de changement de cartes :

  (18.57)

  (18.58)

est un homéomorphisme.

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Définitions :

D1. Une "variété différentiable" est un espace topologique M où les applications  sont des fonctions de classe .

D2. Un "difféomorphisme" est une application  où sont des domaines ouverts de  et si f est un homéomorphisme et en plus si  sont différentiables.

Remarque: "différentiable" dans ce contexte signifiera toujours différentiable de classe

D3. Soit une variété topologique  (pour simplifier l'écriture), deux cartes  de M sont des "cartes compatibles" (plus précisément, compatibles de classe ), si l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée :

P1.  et l'application de changement de cartes est un difféomorphisme

P2.

Un atlas A de M est différentiable si toutes les cartes de A sont compatibles entre elles.

D4. Une "variété différentiable" est un couple (M , A) où M est une variété topologique et A un atlas différentiable de M.