ANALYSE
FONCTIONNELLE | ANALYSE COMPLEXE | TOPOLOGIE | THÉORIE
DE LA MESURE
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Avant
de commencer ce chapitre portant sur l'étude
du calcul différentiel
et intégral dans le cas généralisé de
l'ensemble des nombres complexes, je tiens à signaler que
je me suis beaucoup inspiré du PDF de E.
Hairer (avec son autorisation) au niveau des illustrations. Le
présent
texte contient également de nombreuses phrases et développements
repris, homogénéisés et simplifiés
(au risque d'en faire grimper certains aux rideaux...) conformément
aux notations et objectifs pédagogiques du reste de ce
site Internet.
Le sujet de l'analyse complexe est donc l'étude des fonctions et
de leur différentiabilité (qui est différente
de celle dans ).
Les "fonctions holomorphes" (c'est-à-dire différentiables
dans un sous-ensemble de )
possèdent nous le verrons des propriétés
surprenantes, élégantes
qui peuvent être réutilisées dans le cas des fonctions
de et
qui ont des applications importantes en physique.
Avant de commencer expliquons l'intérêt de ce domaine de manière
simplifiée!
Nous avons étudié dans la section d'Algèbre
une partie du calcul différentiel et intégral avec
quelques théorèmes utiles et importants
pour la physique et l'ingénierie. Cependant, en restant
dans ou la
liste des théorèmes s'épuise en quelque sorte
et on finit par ne plus trouver grand-chose de pertinent dans la
pratique qui permette
de simplifier le calcul d'intégrales que l'on retrouve souvent
dans l'industrie. Alors, quand on sait que (donc
l'ensemble des complexes généralise celui des réels)
et que l'on peut construire aussi une correspondance comme
nous allons le voir, de nouveaux théorèmes apparaissent
avec des résultats très intéressants que l'on
peut exploiter pour les intégrales
dans ou !!
C'est cette raison qui fait que l'ingénieur a besoin de
connaître
l'analyse complexe!
Après l'étude de ce domaine particulier de la mathématique, il
est fréquent de dire que le plus court chemin entre deux vérités
du domaine réel passe souvent par le domaine complexe.
APPLICATIONS LINÉAIRES
Une bonne introduction à l'analyse complexe et à sa
représentation
consiste à étudier dans un premier temps (à titre
pédagogique principalement)
le cas particulier des applications linéaires complexes.
Voyons cela:
Soient ,
un ensemble et un
autre ensemble. Une fonction qui associe à chaque un :
(17.1)
est une "fonction complexe":
(17.2)
Ce qui est important c'est de comprendre et remarquer que nous
pouvons identifier:
(17.3)
et:
(17.4)
Nous arrivons alors à deux fonctions de deux variables réelles x, y:
(17.5)
qui sont les coordonnées du point w.
Définition: Une application est dite -linéaire
si par exemple une fonction du type:
(17.6)
où c est un nombre complexe fixé et z un
nombre complexe quelconque, satisfait:
(17.7)
Nous avons vu et démontré dans le chapitre Nombres
lors de notre étude
des nombres complexes, que la multiplication de deux nombres
complexes pouvait être équivalente à une rotation
orthogonale suivie d'une homothétie et que cette même multiplication
pouvait être
représentée
sous forme matricielle! Or la transcription sous forme matricielle
implique comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Algèbre
Linéaire
automatiquement la linéarité!
Donc lecteur pourra facilement vérifier qu'une matrice
de rotation/homothétie
est un exemple d'une application -linéaire
(sur demande nous pouvons détailler) que nous écrirons
dorénavant:
(17.8)
Ce qui se représente typiquement de la manière
suivante (on y observe bien une rotation et une homothétie
qui conservent les angles et les proportions):

Figure: 17.1 - Exemple d'application d'une fonction complexe plane
C'est le fait que les proportions et que les angles soient conservés
qui fait d'une fonction complexe qu'elle est -linéaire.
Dans le cas contraire, nous dirions que la fonction est -linéaire.
Donc une matrice représente
une application -linéaire
seulement si elle est de la forme:
(17.9)
Voyons des exemples de fonctions non -linéaires
assez remarquables.
Exemples:
E1.
(17.10)
En coordonnées réelles cela donne:
(17.11)
Ainsi, regardons ce que fait cette fonction avec les points du
plan complexe qui sont confondus avec les lignes verticales de
ce même plan (ce qui vient alors à poser ).
Nous avons alors:
(17.12)
et en éliminant y, nous trouvons l'équation d'une parabole
ou plutôt d'une famille de paraboles (pour plusieurs valeurs de a)
qui sont ouvertes à gauche du plan complexe image:
(17.13)
Si nous faisons la même analyse pour les points du plan complexe
qui sont confondus avec lignes horizontales de ce même plan, nous
trouvons également,
en posant ,
une famille de paraboles (pour plusieurs valeurs de b) qui
sont ouvertes à droite du plan complexe image.
Voici une représentation du plan complexe image sur lequel
nous avons dessiné une tête de chat:

Figure: 17.2 - Représentation complexe de l'image de la fonction exemple
et si nous regardons le plan complexe pré-image correspondant,
nous avons alors deux têtes de chats qui apparaissent:

Figure: 17.3 - Représentation des pré-images de la fonction exemple
L'apparition de ces deux têtes de chats vient du fait que cette
fonction possède 2 pré-images possibles pour chaque point
image (c'est donc une fonction surjective).
E2. Une autre fonction intéressante est la "transformation
de Cayley" utilisée dans certains domaines de la physique
et définie par:
(17.14)
ayant comme domaine de définition: .
On remarquera qu'il s'agit d'une fonction involutive puisque:
(17.15)
et comme nous avons démontré dans le chapitre de
Théorie De La Démonstration que toute
fonction involutive est à la fois
injective et surjective, alors la transformation de Cayley est
une fonction
bijective.
Cette fonction transforme l'axe des imaginaires iy en
cercle unité (et
inversement puisqu'elle est involutive). Voyons cela:
(17.16)
où:
(17.17)
satisfont:
(17.18)
Soit:
(17.19)
Il s'agit donc bien de l'équation d'un cercle.
E3. Comme autre exemple de fonction, prenons la "transformation
de Joukovski" définie par:
(17.20)
Si le domaine de définition donné est construit en coordonnées
polaires regardons comment un cercle ou une ellipse se transforme:
Figure: 17.4 - Transformation en coordonnées polaires d'une ellipse avec la fonction
exemple
Alors le plan image sera:

Figure: 17.5 - Résultat de la transformation en coordonnées polaires
Elle transforme donc respectivement les cercles centrés en 0
et les rayons passant par 0 en une famille d'ellipses et d'hyperboles
cofocales. Pour démontrer ce fait, nous utilisons donc les coordonnées
polaires complexes (formule d'Euler)
vues dans le chapitre sur les Nombres:
(17.21)
et:
(17.22)
Nous avons alors:
(17.23)
d'où:
(17.24)
et nous voyons immédiatement que:
(17.25)
a la forme de l'équation d'une ellipse (cf.
chapitre de Géométrie
Analytique) et nous avons de même:
(17.26)
qui est l'équation d'une hyperbole (cf.
chapitre de Géométrie
Analytique).
Cette fonction trouve son utilité dans le cas où si nous
plaçons
astucieusement un cercle (passant par le point comme
dans le cas de la première figure) le plan représenté en
coordonnées polaires avec un trait discontinu pourrait
ressembler à une aile d'avion. Ce qui permettait à une époque
(mais la technique est obsolète aujourd'hui) en aérodynamique
de transposer l'étude d'un champ de vecteurs du profil d'une
aile d'avion à l'étude du profil d'un cercle et de
faire par la suite la transformation de Joukovski.
Effectivement, voyons une partie de cela avec Maple 4.00b:
> assume(x,real,y,real);
>
z:=x+I*y; > F:=1/2*(z+1/z);
> u:=Re(F);
> u:=evalc(u);
> v:=Im(F); > v:=evalc(v);
> with(plots):with(plottools):
>
p1:=disk([0,0],1,color=black):
>
p2:=implicitplot({seq(v=b/8,b=-10..10)},x=-4..4,y=-2..2,color=black):
>
display([p2,p1],scaling=constrained);
Nous obtenons alors...:

Figure: 17.6 - Exemple d'application importante de la fonction exemple
E4. Faisons un dernier exemple avec la fonction 1/z encore
avec Maple 4.00b. Si vous y saisissez les commandes suivantes (suffisamment
explicites de par leur nom pour comprendre
ce qu'elles
font):
> assume(x,real,y,real);
>
z:=x+I*y; > F:=1/z;
> u:=Re(F); > u:=evalc(u);
> v:=Im(F); > v:=evalc(v);
> with(plots):
>
p1:=implicitplot({seq(u=a,a=-5..5)},x=-1..1,y=-1..1,numpoints=1000):
>
p2:=implicitplot({seq(v=b,b=-5..5)},x=-1..1,y=-1..1,numpoints=1000,color=green):
>
display([p1,p2],scaling=constrained);
Nous obtenons!:

Figure: 17.7 - Autre exemple d'application importante avec une fonction complexe
voilà pour ceux qui souhaiteraient faire eux-mêmes
des figures de fonctions complexes!
FONCTIONS HOLOMORPHES
La définition de la dérivation par rapport à une variable
complexe est naturellement formellement identique à la dérivation
par rapport à une
variable réelle.
Nous
avons alors, si la fonction est dérivable en :
(17.27)
et nous disons (abusivement dans le cadre de ce site) que la
fonction est "holomorphe" (alors
que dans on
dit "dérivable") ou "analytique" dans
son domaine de définition
ou dans un sous-ensemble de celui-ci si elle y est dérivable
en chaque point.
Remarque:
R1. Une fonction complexe se dérive comme une fonction
réelle, il suffit de poser z comme étant x... à condition
que ce que nous allons voir dans ce qui va suivre soit respecté!
R2. Au fait si la fonction est holomorphe dans un sous-ensemble
du plan complexe, nous verrons un peu plus loin lors de notre étude
de la convergence des séries de puissances qu'il s'agit
toujours d'un sous-ensemble ouvert.
D'une manière équivalente, nous disons que la fonction f est -différentiable
en si
la limite suivante existe dans :
(17.28)
Présentons maintenant un théorème central
pour l'analyse complexe appelé "théorème
de Cauchy-Riemann"!
Si la fonction:
(17.29)
est -différentiable,
en ,
alors nous avons:
(17.30)
qui est un peu l'équivalent du théorème
de Schwarz dans vu
dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral.
Ces deux dernières relations sont appelées "conditions
de Cauchy". Donc ce sont les deux conditions que doivent
vérifier une fonction complexe pour être dérivable
en .
Ainsi, il est possible d'utiliser ces deux relations pour étudier
les points où la fonction n'est pas analytique.
Si ces conditions
sont justes (ce que nous allons de suite démontrer), alors nous
en déduisons que u et v doivent être toutes
deux des fonctions harmoniques de x et y.
Démonstration:
Puisque:
(17.31)
En choisissant:
(17.32)
avec ,
nous obtenons:
(17.33)
et quand x tend vers une petite valeur dx, nous
avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(17.34)
et en choisissant:
(17.35)
avec ,
nous obtenons:
(17.36)
et quand y tend vers une petite valeur dy nous
avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(17.37)
Nous avons donc maintenant:
(17.38)
Or nous avons démontré dans le chapitre de Calcul
Différentiel
Et Intégral le théorème de Schwarz suivant:
(17.39)
Dès lors:
(17.40)
Soit:
(17.41)
Ce qui peut s'écrire:
(17.42)
Une solution triviale est d'avoir:
(17.43)
Soit la possibilité d'écrire:
(17.44)
En identifiant parties réelles et imaginaires, nous terminons
la démonstration!
C.Q.F.D.
Donc pour que f soit dérivable au sens complexe
(holomorphe) en un point, il suffit qu'elle y soit différentiable
comme fonction de deux variables réelles ( -différentiable
en )
et que ses dérivées premières partielles en
ce point vérifient
les équations
de Cauchy-Riemann.
Par contre, pour qu'elle soit -différentiable,
il faut que les équations de
Cauchy-Riemann soient valables en tous les points du plan complexe
(on parle alors parfois de "fonctions
entières") et non pas seulement dans un sous-domaine
de celui-ci! Dans le cas contraire, elle contient donc des "singularités" et nous parlons alors de "fonction
méromorphe" (qui est donc une fonction holomorphe
sauf sur les points de singularités).
Remarque: Géométriquement,
nous montrerons plus tard qu'une fonction holomorphe a une interprétation
possible dans le sens qu'elle est une transformation conforme (conserve
les angles).
Signalons donc que si f(z) est -différentiable
alors elle peut être développée en série de Taylor aussi (cf.
chapitre de Suites et Séries):
(17.45)
Remarquons une chose importante aussi. Si nous réécrivons:
(17.46)
sous la forme suivante:
(17.47)
Nous disons alors que la fonction f est irrotationnelle
(cf. chapitre de Calcul Vectoriel) puisque la première relation
peut être vue comme:
(17.48)
ce qui est une analogie non anodine! Enfin, la deuxième relation:
(17.49)
permet également de dire par analogie (mais cela s'arrête à une
simple analogie!) que la fonction f est non divergente (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel) ce qui est bon moyen mnémotechnique
de s'en souvenir.
Mettons également autre chose en évidence. Si nous reprenons
les deux équations de Cauchy-Riemann:
(17.50)
et que nous les dérivons encore une fois ainsi:
(17.51)
et que nous sommons ces deux relations, nous avons alors:
(17.52)
Il en est de même avec v. Nous avons alors:
(17.53)
Et nous connaissons très bien cette forme d'équations
(équation
de Maxwell-Poisson dans le chapitre d'Électrodynamique et
de Newton-Poisson dans celui d'Astronomie...). Il s'agit d'une équation
d'onde appelée
aussi "équation de Laplace" (rien
à voir avec celle vue lors de notre étude de l'hydrostatique!)
et donnée
par le laplacien scalaire (cf. chapitre de
Calcul Vectoriel):
(17.54)
Il est alors de tradition de dire que u est harmonique
et nous pouvons arriver bien évidemment au même résultat
avec v!
Bon évidemment... nous le savions, puisque nous avons déjà étudié dans
le chapitre sur les Nombres que les parties réelles et
imaginaires d'un nombre complexe pouvaient être mises sous forme
trigonométrique.
Grâce à cette découverte, Riemann a ouvert
l'application des fonctions holomorphes à de nombreux problèmes
de la physique, puisque ces dernières équations sont
satisfaites par le potentiel gravitationnel (équation de
Newton-Poisson dans le chapitre d'Astronomie), par les champs électriques
et magnétiques (équation de Maxwell-Poisson
dans le chapitre d'Électrodynamique), par la chaleur en équilibre
(par encore d'exemples sur le site) et par les mouvements sans
rotationnel de certains fluides (pas encore d'exemples non plus
sur le site).
Exemple:
Le potentiel d'un dipôle peut être décrit par la fonction holomorphe:
(17.55)
La figure ci-dessous:

Figure: 17.8 - Représentation plane d'une fonction holomorphe bien connue...
montre les courbes de niveau des fonctions harmoniques u(x, y)
et v(x, y) données comme parties réelle
et complexe de la fonction f(z) de cet exemple.
ORTHOGONALITÉ DES ISO-COURBES RÉELLES ET IMAGINAIRES
Nous allons maintenant démontrer une propriété sympathique que
les fonctions qui satisfont les conditions de Cauchy (donc les
fonctions analytiques!) ont. Effectivement, rappelez-vous que nous
avons vu plus haut la fonction:
(17.56)
qui donnait donc le diagramme suivant:

Figure: 17.9 - Rappel de la représentation plane des images d'une fonction complexe
vue plus haut
Eh bien les fonctions satisfaisant les conditions de Cauchy ont
la propriété géométrique simple suivante:
les lignes dont la partie réelle de la fonction est constante et
les lignes dont la partie imaginaire est constante sont
orthogonales les unes aux autres (pensez à la forme trigonométrique
des nombres complexes cela aide à mieux visualiser!).
En d'autres termes, les fonctions complexes analytiques sont
des fonctions de transformation d'un domaine du plan dans un plan
où
les angles sont conservés. Nous disons alors que la fonction
est une "transformation conforme".
Pour la démonstration rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le gradient d'une fonction f de est
donné par:
(17.57)
et dans le cadre de notre étude des isoclines dans le chapitre
de Géométrie Différentielle que le vecteur tangent aux isoclines
de la fonction f sera toujours parallèle au vecteur
du plan:
(17.58)
et que ces deux derniers vecteurs sont perpendiculaires tels
que:
(17.59)
Assimilons maintenant le vecteur (parallèle)
tangent aux
isoclines réelles:
(17.60)
avec:
(17.61)
et le vecteur normal aux isoclines imaginaires:
(17.62)
avec le gradient de v de composantes:
(17.63)
En utilisant les conditions de Cauchy démontrées
plus haut, nous avons pour cette dernière relation:
(17.64)
En comparant:
et
(17.65)
nous voyons donc que et sont
parallèles (colinéaires). Et puisque est
colinéaire aux isoclines réelles et que est
perpendiculaire aux isoclines imaginaires, nous avons terminé notre
démonstration.
Le lecteur pourra prendre comme exemple la fonction:
(17.66)
détaillée mathématiquement
et schématiquement plus haut! Mais pour changer un peu, prenons
un exemple qui nous accompagnera tout au long du reste de ce chapitre
et qui est la fonction holomorphe suivante:
(17.67)
>assume(x,real,y,real);
>
z:=1/(1+(x+I*y)^2);
>
F:=1/z;
>
u:=Re(F);
>
u:=evalc(u);
>
v:=Im(F);
>
v:=evalc(v);
>
with(plots):
>
p1:=implicitplot({seq(u=a,a=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000):
>
p2:=implicitplot({seq(v=b,b=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000,color=green):
>
display([p1,p2]);
Figure: 17.10 - Représentation plane d'une fonction holomorphe importante
LOGARITHME COMPLEXE
Nous devons trouver pour toutes les fonctions construites dans leur équivalent
dans tout
en sachant que si nous réduisons le cas de à nous
devons retomber sur nos pattes!
Pour cela, commençons par la fonction la plus classique et scolaire
qui est donc le logarithme.
De la même manière que nous avions construit le logarithme
comme étant
par définition (!) la fonction réciproque de l'exponentielle
naturelle dans
le chapitre d'Analyse Fonctionnelle, nous partons
d'abord de:
(17.68)
où z est donc un nombre complexe et nous allons
définir
le logarithme complexe qui doit se réduire
au logarithme naturel si z n'a pas de partie imaginaire!
Donc par définition le logarithme complexe sera:
(17.69)
et sur l'ensemble de ce site, le logarithme complexe sera différencié
du logarithme réel par un L majuscule!
Écrivons z et w sous la forme d'Euler vue
dans le chapitre sur les Nombres:
(17.70)
Nous avons alors:
(17.71)
Par correspondance, nous trouvons immédiatement:
et
(17.72)
avec .
Il vient alors:
(17.73)
Donc:
(17.74)
ou autrement écrit:
(17.75)
Donc si w n'a pas de partie imaginaire, nous retombons
bien sur nos pattes puisque arg(w) devient nul.
Une grosse différence est mise en avant donc entre le logarithme
des nombres complexes et réels: ces premiers peuvent prendre plusieurs
valeurs à cause de l'argument.
Nous vérifions bien par ailleurs maintenant que:
(17.76)
INTÉGRATION DE FONCTIONS COMPLEXES
Nous venons de voir précédemment comment vérifier
si une fonction complexe f(z) était
dérivable (elle doit au moins respecter les équations
de Cauchy-Riemann) en tout point.
Maintenant voyons le cas contraire qui est... l'intégration!
Nous avons bien évidemment en reprenant les notations
vues dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:
(17.77)
soit sous forme explicite:
(17.78)
Bon cette expression établie, donnons une petite explication
quant à sa
lecture:
1. Nous savons que u et v dépendent tous
les deux dans le cas général de x et y.
2. Nous savons que u et v représentent (voir
exemples au début du chapitre) des courbes fermées
ou ouvertes ainsi que des droites lorsque x (ou respectivement y)
est fixé
et que l'autre variable associée, elle varie!
Donc chacun des termes comportant une intégrale dans l'expression écrite
ci-dessus est une intégrale curviligne
sur une famille de courbes ouvertes ou fermées (dont un
cas particulier est des droites...)!
Cette intégrale peut être évaluée en utilisant le théorème de
Green dans le plan (cf. chapitre de Calcul
Vectoriel) si nous considérons
le cas particulier d'un chemin curviligne fermé tel que:
(17.79)
Abordons d'abord la partie réelle:
Nous avions effectivement démontré (il est très
fortement conseillé de
relire ce théorème de Green) dans le chapitre de Calcul
Vectoriel que:
(17.80)
Ce qui s'écrit dans notre situation:
(17.81)
Or, si la fonction est holomorphe et satisfait donc aux équations
de Cauchy-Riemann nous avons immédiatement:
(17.82)
Ainsi notre intégrale se réduit dans le cas particulier
d'un chemin fermé à:
(17.83)
Et... réutilisons le théorème de Green:
(17.84)
Or, si la fonction est holomorphe (donc pour rappel dérivable
en tout point du plan complexe ou d'un sous-ensemble ouvert de
celui-ci)
et satisfait donc aux équations
de Cauchy-Riemann nous avons immédiatement:
(17.85)
et nous obtenons ainsi le "théorème
de Cauchy", ou "théorème
de Cauchy-Goursat" dans sa version généralisée aux
fonctions non continues, qui dit que si une fonction est holomorphe
(satisfaisant donc les équations
de Cauchy-Riemann) et intégrée sur un contour fermé alors:
(17.86)
Comme corollaire (sans démonstration), toute fonction
qui satisfait à la
relation précédente est holomorphe (dans tout le
plan complexe ou un sous-ensemble ouvert de celui-ci).
Ce résultat
permet dans certains domaines comme la physique quantique des champs
(on pense au potentiel de Yukawa qui n'est pas traité pour
l'instant sur ce site) de calculer des intégrales définies
réelles
compliquées
en utilisant la propriété ci-dessus. L'idée étant
lors du choix du contour fermé de l'intégrale
curviligne de s'arranger à faire apparaître
l'intégrale définie réelle recherchée
comme étant
une partie seulement du chemin (en la généralisant
au cas complexe) et de par l'égalité avec
zéro en déduire sa valeur grâce
aux autres parties de l'intégrale du chemin choisi (parties
qui sont évidemment simples à calculer).
En d'autres termes, il s'agit de la calculer par différence. Toute
la difficulté résidant dans la pratique à trouver
la fonction f(z)
et le contour fermé permettant de faire apparaître
la fonction f(x)
de l'intégrale définie recherchée...
À l'aide de ce résultat, faisons un exemple scolaire
important qui nous sera utile par la suite (mais qui n'a aucun
rapport avec
le cas du calcul d'une intégrale définie réelle).
Calculons:
(17.87)
Pour cela, nous allons utiliser la simplification qui consiste à se
rappeler (cf. chapitre Nombres) que:
(17.88)
Donc:
(17.89)
Nous pouvons alors écrire l'intégrale curviligne comme:
(17.90)
Or comme sur un chemin fermé dérivable en tout
point (donc sans sommets) l'angle à parcourir pour faire un tour
complet ira nécessairement
de 0 à .
Il vient alors:
(17.91)
Avant de continuer remarquons un fait intéressant et important:
Une intégrale (on ne parle pas de la primitive mais de l'intégrale!)
d'une fonction du type 1/x dans ne
serait pas calculable. Or si nous généralisons le
concept à ,
nous voyons que nous contournons... (le jeu de mots...) la singularité via
une intégrale curviligne qui entoure la singularité.
Et... et... dans notre calcul précédent z pourrait
tout à fait n'avoir que
la valeur réelle et pas l'imaginaire. Donc l'intégrale
de 1/x devient
alors calculable et a un résultat dans les complexes ce
qui est remarquable!
Certains mathématiciens interprètent cela en figurant que 1/x est
une projection plane d'un espace tridimensionnel dont l'axe
imaginaire est perpendiculaire au plan .
D'où le fait que 1/x soit intégrable dans ....
mais bon c'est une interprétation...
Enfin, indiquons que 1/z est holomorphe sur tout
le plan complexe excepté en 0 (la dérivée étant
la même que pour
1/x). Elle n'est donc pas -différentiable!
Ceci étant fait, faisons un cas important et similaire
avec l'intégrale curviligne suivante:
(17.92)
où est
un nombre complexe constant. Posons:
(17.93)
Nous pouvons alors écrire si nous faisons qu'un seul tour
dans le sens inverse des aiguilles (sens antihorlogique ou trigonométrique)
d'une montre:
(17.94)
qui n'est valable à nouveau que si notre chemin d'intégration évite sinon
quoi il y a une singularité. Cette dernière intégrale est donc
une petite généralisation simpliste de la précédente.
Maintenant montrons le théorème important qui nous intéresse
au fait depuis le début de ce chapitre en utilisant les nombreux
résultats démontrés jusqu'ici!
Nous savons que si une fonction f(z) satisfait
aux équations
de Cauchy-Riemann, alors si nous évitons soigneusement la valeur (comme
dans les calculs précédents), l'expression:
(17.95)
est aussi dérivable en tout point excepté en (donc
l'expression n'y est plus holomorphe) qui est
appelé une "singularité".
Effectivement, prendre une fonction holomorphe f(z)
satisfaisant Cauchy-Riemann et en soustraire une constante ( ) ne
change en rien
le fait que l'expression
(en l'occurrence le numérateur dans dans relation précédente)
restera holomorphe. Enfin, multiplier celle-ci par une fraction
(dénominateur de
la relation précédente) qui est elle aussi holomorphe
donne une fonction holomorphe. Mais des singularités peuvent
alors apparaître,
nous parlons alors de "fonctions méromorphes" (il
s'agit du rapport de deux fonctions holomorphes).
Remarque: Une fonction méromorphe est une fonction holomorphe
dans tout le plan complexe, sauf éventuellement sur un ensemble
de points isolés dont chacun est un pôle pour la fonction.
(Voir plus loin pour la notion de pôle)
Dès lors, si nous en prenons l'intégrale curviligne sur
un chemin fermé évitant de passer par ,
le théorème de Cauchy nous donne immédiatement (voir
la démonstration plus haut):
(17.96)
Or, ceci s'écrit aussi après réarrangement des termes:
(17.97)
Soit:
(17.98)
Or, nous avons démontré plus haut que:
(17.99)
Il vient alors le résultat appelé "théorème
intégral de
Cauchy", ou plus rarement "formule
de Cauchy", (dont il existe une
forme généralisée que nous démonterons plus
bas):
(17.100)
Au fait, dans la pratique toute la subtilité est de pouvoir
ramener une fonction g(z)
holomorphe (qui satisfait donc les équations de Cauchy-Riemann)
en la manipulant à une forme du type:
(17.101)
quand c'est possible... alors le calcul de son intégrale
curviligne (de chemin fermé) devient extrêmement simple
puisqu'elle sera égale à:
(17.102)
de par le théorème intégral de Cauchy!
Remarques:
R1. Nous
savons donc calculer la valeur d'une intégrale
curviligne d'une expression non holomorphe mais dont le numérateur
lui l'est.
R2. Attention! Le signe de la valeur d'une intégrale
curviligne va dépendre du sens dans lequel on parcourt
son chemin d'intégration. Si le sens est direct (c'est-à-dire
"antihorlogique" ou encore
"trigonométrique")
son signe sera positif; si au contraire le sens est horlogique
son signe
sera
négatif.
Vous vous dites sans doute que cette précision est sans intérêt
vu que cette valeur est généralement nulle. Certes,
mais nous verrons plus loin l'importance de cette spécification
lorsqu'il sera question du calcul des résidus.
Il y a une relation équivalente pour la dérivée à
celle donnée par le théorème intégral
de Cauchy. Voyons cela:
(17.103)
Donc:
(17.104)
en continuant ainsi, nous avons:
(17.105)
Bref, nous remarquons donc que:
(17.106)
qui n'est autre que le "théorème
intégral de Cauchy généralisé".
Ce résultat est très puissant car il montre que
les fonctions holomorphes sont infiniment dérivables (à cause
du dénominateur), soit analytiques, et il est beaucoup plus
difficile de trouver un théorème équivalent
avec des conditions aussi simples pour les fonctions réelles.
Si nous revenons maintenant à notre développement de Taylor d'une
fonction complexe:
(17.107)
humm... et que voyons-nous ici? Eh bien ceci!:
(17.108)
Il en découle la relation suivante appelée "série
de Laurent à puissances positives" (il en existe
une version
plus
généralisée que nous allons démontrer
plus loin):
(17.109)
qui donne donc l'expression formelle d'une fonction
complexe sous forme de série infinie de puissances entières à proximité d'un
point du
plan complexe avec donc:
(17.110)
En se rappelant que s'écrit
de manière équivalente
, nous constatons que l'ensemble des deux relations précédentes
nous redonne le développement
en série de Taylor que nous avions obtenu en analyse réelle
(cf.
chapitre de Suites et Séries) et qui était:
(17.111)
Ainsi, les séries
de Taylor ne sont qu'un cas particulier des séries de
Laurent.
Ceci
est assez remarquable comme résultat car cela montre
aussi que nous pouvons utiliser
l'intégrale curviligne sur le plan complexe pour calculer
les coefficients de
la série de Laurent au
lieu de calculer les dérivées d'ordre n de
la fonction f si ces dernières s'avéreraient
trop compliquées à déterminer. Ou inversement...
calculer une simple dérivation au lieu de calculer
une intégrale
curviligne casse-tête
(typiquement le cas en physique) en utilisant le fait que:
(17.112)
Le seul point malheureux étant que cette dernière
relation n'est calculable que si nous arrivons à mettre
la fonction dans l'intégrale
curviligne sous la forme:
(17.113)
où n est un entier positif ou nul. Ceci est
franchement loin d'être
aisé dans
la grande majorité
des cas! L'idée serait
alors de trouver un chemin général
pour l'intégrale curviligne, valable pour toute fonction f(z)
tel que ce dénominateur (qui contient en plus une singularité
en )
disparaisse. Ce serait l'idéal...
mais il nous faut une piste... et celle-ci va venir de l'étude
de la convergence des séries de puissances complexes. Voyons
de quoi il s'agit avec une approche qualitative!
CONVERGENCE D'UNE SÉRIE
Nous avons vu dans le chapitre de Suites et Séries que nombre
de fonctions réelles pouvaient être exprimées en série de Maclaurin
(cas particulier des séries de Taylor en )
sous la forme:
(17.114)
Nous y avions également montré, uniquement par l'exemple, que
ce développement en série de puissances infinie n'était valable
pour certaines fonctions réelles que dans un certain domaine de
définition appelé "rayon de convergence".
Même si ce rayon de convergence peut être déterminé plus
ou moins facilement au cas par cas, il y a certains exemples déroutants
qui ne pouvaient pas au début du 19ème siècle être
compris sans l'analyse complexe.
Voyons un exemple simple pour comprendre de quel type de problème
il s'agit. Considérons pour cela les deux fonctions:
et
(17.115)
et avant de continuer notre exemple, rappelons que nous avons
démontré dans le chapitre de Suites et Séries la relation:
(17.116)
relative à une série géométrique,
c'est-à-dire une série dont les termes sont du type:
(17.117)
Il vient dès lors immédiatement si et :
(17.118)
Si ,
nous avons:
(17.119)
Donc si nous changeons la notation, nous avons:
(17.120)
Il vient alors immédiatement:
et
(17.121)
Donc les deux fonctions g(x) et h(x)
précédentes sont définies pour un développement en série infinie
de puissances uniquement dans un rayon de convergence .
Nous obtiendrions donc le même résultat en faisant un développement
en série de Maclaurin!
Nous voyons trivialement qu'il y a pour g(x) deux
singularités qui sont par
contre, basiquement nous n'en voyons pas trivialement pour h(x)
si nous raisonnons uniquement dans donc
il peut être difficile pour cette dernière fonction
de comprendre l'origine du rayon de convergence.
Effectivement, si nous traçons ces deux fonctions dans avec
Maple 4.00b nous obtenons respectivement:
et
Figure: 17.11 - Représentation dans Maple 4.00b des fonctions g et h
d'où le problème de savoir pourquoi il y a quand même implicitement
un rayon de convergence pour h(x)???
Une manière encore plus flagrante de mettre en évidence
le problème,
c'est de montrer l'approche de ces deux fonctions par un développement
en série de Maclaurin avec dix termes:
Pour g(x) nous avons:
with(plots):
>
xplot:= plot(1/(1-x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red): > tays:=
plots[display](xplot): > for i from 1 by 2 to 10 do
tpl:= convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):
tays:= tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))])
od: >
plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);

Figure: 17.12 - Représentation plane de la fonction g pour visualiser
le problème
où nous voyons bien que la série de Maclaurin (ou l'expression
en série de puissances) ne converge pas en dehors de ce
qui peut être intuitif à cause des deux singularités.
Pour h(x) nous avons par contre:
>with(plots):
>
xplot:= plot(1/(1+x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red): > tays:=
plots[display](xplot):
> for i from 1 by 2 to 10
do
tpl:= convert(taylor(1/(1+x^2), x=0,i),polynom):
tays:= tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))])
od: >
plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);

Figure: 17.13 - Étonnamment, ici la série de Maclaurin ne converge pas
où nous voyons bien que la série de Maclaurin (ou l'expression
en série de puissances) ne converge pas non plus en dehors
de ce
qui était déstabilisant et contre-intuitif au début
de l'histoire de l'analyse réelle.
Aujourd'hui même un élève du secondaire sait qu'il est
possible de raisonner aussi dans et
que .
Donc l'analyse réelle n'est qu'un cas particulier et restreint
de l'analyse complexe.
La singularité pour h(x) dans vient
du fait que celle-ci s'écrit :
(17.122)
et qu'il y a donc deux singularités pour ce
que nous voyons bien si nous représentons:
(17.123)
avec Maple 4.00b (heureusement que nous avons maintenant
l'équivalent
d'un microscope dans la mathématique avec Maple...):
>plot3d(abs(1/(1+(re+I*im)^2)),re=-3..3,im=-3..3,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.14 - Représentation complexe de la fonction h pour mettre
en évidence la raison de la divergence
où nous discernons les deux singularités sur l'axe imaginaire
et la fonction h(x) sur l'axe réel (entre
les deux pics). Donc lorsque nous développons une fonction
en série de puissances, nous
concluons que son rayon de convergence est défini par tout
le plan complexe et non par l'axe traditionnel de l'analyse réelle.
Il est ainsi plus naturel de comprendre pourquoi nous parlions
dans le chapitre de Suites Et Séries de "rayon" car
vu du dessus, nous avons dans le plan complexe:

Figure: 17.15 - Représentation des différents rayons de convergence
d'où le fait que nous parlons tantôt de disque
de convergence (ouvert) et tantôt de rayon de convergence (ouvert).
Par ailleurs, nous remarquons sur le graphique que le domaine de
convergence
est connexe (tout couple de points du domaine de convergence peut
être relié par une droite qui est dans le domaine
de convergence).
Remarque: Rappelons
qu'un sous-ensemble, intervalle ou disque "ouvert" signifie
que nous n'en prenons pas les bords.
Nous comprenons alors mieux pourquoi la série de Taylor
ne convergeait pas trivialement pour h(x): elle
doit converger sur tout le disque de convergence du plan complexe
et
pas seulement
converger sur
l'axe réel!
De tout ceci, nous déduisons que notre série de
Laurent
à puissances positives démontrée plus haut:
(17.124)
ne converge pas forcément, sans surprise..., sur tout
le plan complexe (au même
titre que les séries de Taylor sur la droite réelle
puisqu'il s'agit de l'équivalent!) mais parfois
uniquement dans un sous-domaine (connexe?) ouvert de ce plan autour
de (qui
dans l'exemple particulier pris ici valait donc: 0).
Avec notre fonction h(x) exprimée en
utilisant un développement
de Maclaurin sur 5 termes, nous voyons immédiatement avec
Maple 4.00b que sur les bords du carré inscrit au disque
de convergence, la série ne
converge plus et nous y devinons le début des deux singularités:
>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-0.7..0.7,im=-0.7..0.7,view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000); 
Figure: 17.16 - Zoom sur la représentation complexe afin de comprendre la raison
de la
divergence
un peu en dehors du disque de convergence, nous
avons
évidemment un peu n'importe quoi:
>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-3..3,im=-3..3,view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.17 - Cela diverge... (stalactites???)
Il y a quand même quelque chose d'intéressant
à essayer... puisque nous sommes maintenant sur un plan, et non
plus
sur une
droite, il nous est possible de faire le développement de
Taylor autour d'une singularité en
déformant le disque convexe en une couronne
simplement connexe telle que présentée ci-dessous
(la couronne étant aussi la géométrie simplement
connexe la plus simple découlant de la déformation
d'un disque):

Figure: 17.18 - Représentation de la déformation d'un disque en une couronne
L'intérêt de ceci est de pouvoir déformer
le domaine de convergence sur tout le plan complexe en évitant
(contournant) toutes les singularités. Ainsi, contrairement
aux séries
de Taylor qui ne sont valables que sur un intervalle de l'axe des
abscisses, nous
aurions un nouveau type de série décrivant une fonction
absolument partout, c'est-à-dire avant ET après (donc
autour...) les singularités!
Donc évidemment nous allons imposer que dans
la couronne déformée ci-dessus la fonction soit toujours
holomorphe et analytique (comme
dans le disque convexe initial). Avant de déterminer ce
sur quoi nous allons tomber (série de Laurent généralisée),
il nous faut d'abord faire une étude de la décomposition
d'une intégrale en chemins:
DÉCOMPOSITIONS EN CHEMINS
Les intégrales curvilignes comme celles données précédemment
peuvent aussi être écrites sous une autre forme assez classique
et souvent utilisée dans la pratique.
Voyons cela. D'abord, nous venons de démontrer dans le
cas particulier d'une fonction holomorphe que:
(17.125)
mais un chemin fermé peut être vu comme un chemin ayant un aller
et un retour:

Figure: 17.19 - Représentation d'un chemin fermé avec son aller-retour
Nous avons alors:
(17.126)
Et maintenant vient ce qui nous intéresse... pour cela
concentrons-nous sur une des intégrales curvilignes du type:
(17.127)
Nous savons (1ère forme d'expression) que tout nombre complexe z du
type:
(17.128)
peut être (2ème type d'expression) écrit sous la
forme:
(17.129)
et pour intégrer sur un chemin, rien ne nous empêche d'en
choisir un où r serait fixe (le module) et variable
(nous n'aurions pas pu faire cela avec la première forme
d'expression car en ne faisant varier que la partie imaginaire
ou réelle, nous ne
pouvons pas obtenir de courbe alors que cela est possible avec
la forme d'Euler d'un nombre complexe)!
Nous avons alors:
(17.130)
Nous pouvons dès lors écrire:
(17.131)
et comme:
(17.132)
d'où:
(17.133)
ce que nous retrouvons souvent sous la forme suivante dans la
littérature:
(17.134)
Cette relation va nous être maintenant utile à
démontrer un résultat nécessaire pour notre étude de la couronne.
CHEMIN INVERSE
Si C est une courbe allant d'un point P à un point Q, nous
notons alors la
même courbe mais parcourue de Q à P.
Paramétrisons :
Si C(t) est la courbe définie sur [a, b]
nous définissons la
courbe définie sur [a, b] par:
(17.135)
En effet, nous avons alors bien avec cette paramétrisation:
et
(17.136)
et lorsque t croit de a à b, a + b - t décroît
de b à a. n'est
donc que C mais parcourue dans le sens inverse.
Nous avons alors en utilisant la dernière démonstration:
(17.137)
Posons:
(17.138)
d'où:
(17.139)
Nous avons alors:
(17.140)
Donc si et C sont
les chemins d'une même fonction mais parcourus dans le sens inverse,
nous avons en reprenant notre notation conventionnelle (attention
dans le deuxième terme il est implicite que la paramétrisation
est différente du premier!):
(17.141)
Soit:
(17.142)
Raison pour laquelle nous disons souvent que le
signe de la valeur d'une intégrale curviligne va dépendre
du sens dans lequel on parcourt son chemin d'intégration.
Si le sens est direct (c'est-à-dire "antihorlogique" ou
encore "trigonométrique")
son signe sera positif; si au contraire le sens est horlogique
son signe sera négatif (cf. chapitre
de Calcul Différentiel
Et Intégral).
SÉRIES DE LAURENT
Cette dernière relation obtenue, nous pouvons revenir à notre
déformation du disque de convergence en une couronne. Nous rappelons
que l'idée étant initialement d'avoir l'expression analytique
d'une fonction sous forme d'une série de puissances infinie dans
un domaine restreint autour d'un point singulier et tout ceci...
afin de pouvoir calculer pour les physiciens des intégrales curvilignes
complexes en passant par une méthode
utilisant les propriétés des séries complexes!
Commençons donc par le point (2), qui nous mènera plus
facilement au point (1), en faisant un zoom sur notre couronne:

Figure: 17.20 - Zoom sur la couronne du début
Nous avons donc si la fonction f est analytique et holomorphe
dans la couronne de rayon extérieur R et rayon intérieur r,
l'intégrale curviligne suivante dans toute la couronne:
(17.143)
où nous notons z le point où nous souhaitons connaître
la fonction et z' la variable dont dépend f. Ce changement
de notation se justifiera par la suite pour une raison purement
pratique.
La couronne peut donc être décomposée en 4 chemins:
(17.144)
Si les deux segments et sont
infiniment proches, ils correspondent alors à un même chemin parcouru
une fois dans un sens positif et une fois dans le sens négatif.
Or, nous avons démontré plus haut que:
(17.145)
Il en découle donc que:
(17.146)
Ce qui nous amène à écrire:
(17.147)
où nous avons mis un "+" entre les deux derniers
termes, car comme nous allons le voir de suite, le critère
de convergence associé
à la notation traditionnelle condensée de ce domaine
d'étude, fait
émerger automatiquement le signe "-".
Pour les deux intégrales ,
nous savons que la fraction peut s'écrire sous la forme d'une série
géométrique déjà vue plus haut. Effectivement:
(17.148)
en assimilant:
(17.149)
où comme nous l'avons vu, la convergence impose que:
(17.150)
afin que x soit en valeur absolue inférieur à 1.
Nous voyons alors apparaître la série géométrique infinie:
(17.151)
Soit:
(17.152)
Pour revenir à:
(17.153)
nous avons en tout point z à l'intérieur du cercle de
rayon R dont le bord est décrit par la variable z'
et de centre la
convergence qui est assurée car:
(17.154)
Nous pouvons alors écrire:
(17.155)
Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement
(déjà connu):
(17.156)
avec la définition des coefficients ,
où n est un entier positif ou nul:
(17.157)
Ce développement peut faire penser au développement de Taylor
au sens où seules des puissances positives (ou nulles) de apparaissent,
mais il n'en est pas un dans le cas de la couronne! En effet, ne
peut pas être écrit cette fois-ci comme:
(17.158)
puisque, par hypothèse, f(z) est supposée
analytique dans la couronne seulement, et peut donc fort bien ne
pas l'être à l'intérieur
du petit cercle de rayon r, en particulier en ,
auquel cas peut
tout simplement ne pas exister (répétons que z est strictement
contraint à se trouver dans la couronne, soit ).
Nous verrons plus loin ce qui ce passe quand f(z)
est holomorphe dans ce disque et que, notamment, n'est
pas un point singulier.
Il nous faut encore traiter .
Nous faisons alors le même type de développement que pour ,
avec la différence que maintenant:
(17.159)
lorsque z' parcourt le petit cercle de rayon r.
Pour faire apparaître une série géométrique, il faut écrire cette
fois-ci:
(17.160)
d'où:
(17.161)
Soit:
(17.162)
Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement
(nouveau):
(17.163)
avec:
(17.164)
En changeant n en -n dans la sommation pour ,
nous avons pour la somme :
(17.165)
avec pour l'instant deux distincts:
et
(17.166)
Nous allons voir maintenant que des deux relations peuvent être
réunies en une seule!
Si nous observons bien ces deux dernières relations, nous constatons
qu'elles ne dépendent nullement de z (!) et c'est bien normal
puisque les sont
les coefficients du développement en série de f(z)
et ceux-ci sont les mêmes en n'importe quel point du domaine de
définition de la fonction où celle-ci est analytique!
Donc les deux contours (cercles) peuvent être fusionnés en un
seul cercle tant que celui-ci est situé dans la couronne et a pour
centre :
(17.167)
Par ailleurs, le lecteur attentif aura remarqué que ce
contour n'a même pas besoin d'être un cercle finalement.
Il peut être quelconque tant qu'il est fermé et qu'il se
trouve dans un domaine analytique!
Ainsi, on obtient les deux relations:
(17.168)
Les deux relations précédentes définissent la "série
de Laurent" généralisée. Elle est remarquable et
se distingue d'une série de Taylor au sens où elle contient toutes
les puissances entières
positives et négatives et les coefficients ne
sont pas a priori exprimables avec les dérivées de f.
La série de puissances est
appelée "partie régulière", celle des puissances négatives
porte le nom de "partie principale".
La série des puissances négatives converge uniformément partout à l'extérieur
de ,
celle des puissances positives à l'intérieur de .
Au total le développement de Laurent converge uniformément dans
le domaine commun, qui est la couronne et donc aussi sur le chemin
unique
.
Montrons maintenant un point que nous avions mentionné plus haut.
Si le cercle ne contient pas de singularité, alors tous les coefficients:
(17.169)
sont nuls. Notons d'abord que est
un nombre entier positif ou nul que nous noterons p tel
que:
(17.170)
Nous avons alors l'intégrant suivant dans un chemin fermé:
(17.171)
Or, si nous enlevons la singularité cela impose que est
holomorphe (et de toute façon c'est imposé par tous les développements
initiaux sur les séries de Laurent).
est
un polynôme à puissance positive et non nulle et comme nous le
savons, tout polynôme satisfaisant ces conditions est dérivable
au moins une fois sans faire apparaître de singularité. Ainsi ce
terme est aussi holomorphe.
En admettant que le produit de deux fonctions holomorphes est
une fonction holomorphe et que le contour est
fermé, nous avons alors en utilisant le résultat suivant démontré plus
haut (pour une fonction holomorphe):
(17.172)
la conséquence immédiate suivante:
(17.173)
s'il n'y a pas de singularité dans le petit cercle de la couronne.
Nous retrouvons alors dans ce cas un développement avec les seules
puissances positives, les étant
cette fois équivalents à:
(17.174)
conformément au théorème intégral de Cauchy généralisé démontré plus
haut. A contrario, nous voyons bien que c'est la partie principale
(quand elle existe) qui contient l'information sur le fait que f n'est
pas a priori holomorphe dans le petit disque. L'existence de puissances
négatives montre que f n'est visiblement pas bornée en .
La classification des singularités d'une fonction se fondera
précisément
sur la considération des caractéristiques de la partie principale
du développement de Laurent centré sur un point singulier de cette
fonction.
Exemple:
Voyons donc à quoi ressemble la série de Laurent de notre fonction:
(17.175)
sur un domaine simplement connexe qui serait la couronne
entourant la singularité i par exemple (nous aurions pu
choisir la deuxième singularité -i mais il fallait bien
en prendre une...). Ce qui équivaut donc à chercher le développement
en série de puissances de z - i.
Nous allons procéder de la manière suivante:
(17.176)
Nous allons utiliser pour la suite:
(17.177)
La deuxième fraction peut être exprimée en série géométrique
si comme nous l'avons déjà vu:
(17.178)
Il vient alors:
(17.179)
Multiplions les deux membres de cette égalité par
-i/2
et divisons les ensuite par z - i (le
deuxième terme du dénominateur de la fraction initiale)
pour obtenir pour le terme de gauche:
(17.180)
et pour le terme de droite, nous avons:
(17.181)
Nous avons alors au final pour notre série géométrique:
(17.182)
Nous voyons donc sur cette série de Laurent autour de i de
la fonction holomorphe f(z) dans la couronne, apparaître les
coefficients:
(17.183)
et nous avons avec Maple 4.00b:
>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-I*im)^3),re=-1.5..1.5,im=-1.5..1.5,view=[-2..2,-2..2,-1..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.21 - Représentation de la série de Laurent
où nous voyons que la série de Laurent nous permet d'exprimer f(z)
dans un voisinage proche de la singularité i en prenant
5 termes.
Idem si nous faisons la somme des deux séries de Laurent pour
les deux singularités avec 7 termes:
>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-I*im)^3
-(I/2)^6*(re-I*im)^4-(I/2)^7*(re-I*im)^5+I/2*1/((re+I*im)+I)+(I/2)^2+
(I/2)^3*(re+I*im)+(I/2)^4*(re+I*im)^2+(I/2)^5*(re+I*im)^3+(I/2)^6*(re+I*im)^4
+(I/2)^7*(re+I*im)^5),re=-1.5..1.5,
im=-1.5..1.5,
view=[-2..2,-2..2,-1..2],orientation=[130,70],
contours=50,
style=PATCHCONTOUR,
axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.22 - Somme des deux séries de Laurent pour les deux singularités
et nous voyons que très vite en dehors des deux singularités
tout diverge puisque les séries ne convergent que dans une couronne
où la fonction y est holomorphe. Mais cela donne déjà une
bonne idée visuelle des choses.
SINGULARITÉS
Nous avons donc vu juste précédemment qu'il était possible
de calculer l'intégrale curviligne d'une fonction, sous condition
d'analycité, sur le contour d'une singularité. Notre objectif va
maintenant être d'améliorer cette approche.
Nous avons déjà mentionné et mis en évidence dans nos démonstrations
que l'intégrant dans le "théorème intégral de Cauchy" était
de la forme:
(17.184)
où f(z) est bien définie en .
Le point est
bien évidemment une singularité de g(z) et celle-ci
n'y est donc pas définie.
Comme nous l'avons vu lors de notre démonstration des séries
de Laurent, g(z) peut être exprimée sous forme
d'une série
de Laurent positive dans un disque de convergence (ou ce qui revient
au même: en série de Laurent dans une couronne non centrée
sur une singularité...) sous la forme:
(17.185)
Avant de continuer, il est d'usage en mathématiques de définir
un petit vocabulaire conventionnel en ce qui concerne cette fois-ci
les éventuelles singularités de f(z)!
Rappelons au préalable que nous savons, et nous avons démontré,
que toutes les informations sur les singularités de f(z)
sont contenues dans la partie principale de la série de Laurent
(les puissances négatives) définie sur la couronne entourant :
(17.186)
La classification ci-après porte sur les "singularités
isolées", c'est-à-dire un point singulier
où f(z)
est analytique partout dans le voisinage de excepté en .
Cette classification, qui nous le verrons permettra de distinguer
3 types de points singuliers, nous sera utile lors du développement
de la théorie des résidus plus loin.
Définitions:
D1. Lorsque la limite de la fonction existe
en ,
nous disons que la singularité est un "point
singulier éliminable" ou
une "singularité apparente".
Par exemple:
(17.187)
ne semble pas être définie en mais
nous avons un numérateur ayant une série de Laurent sans puissances
négatives (donc une simple série de Taylor). Il vient alors en
faisant la série de Maclaurin (donc la série de Taylor en en
d'autres termes...):
(17.188)
Nous voyons que f(z) n'a finalement aucun
terme en puissance négative et donc que nous avons éliminé la
singularité (ou
qu'elle n'en contient au fait pas... ce qui est facilement vérifiable
avec Maple 4.00b).
Donc une autre manière équivalente de définir une singularité éliminable,
est de dire que le développement de Laurent de la fonction ne contient
aucun terme en puissance négative.
D2. Lorsqu'en la
limite de n'existe
pas, nous parlons de "singularité essentielle".
Par exemple, est
une singularité essentielle pour la fonction:
(17.189)
En effet, si z tend vers zéro en venant de l'axe réel
positif, la fonction diverge, plus précisément, elle tend vers .
Si z vient du côté ,
la fonction tend vers zéro comme le montre bien le tracé Maple 4.00b suivant:
>plot3d(abs(exp(1/(re+I*im))),re=-5..5,im=-5..5,view=[-3..3,-3..3,-0.5..3],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.23 - Représentation de la divergence de la fonction complexe choisie
Effectivement:
(17.190)
Donc une autre manière équivalente de définir une singularité essentielle,
est de dire qu'il y a un nombre infini de termes à puissances négatives
dans la partie principale de la série de Laurent.
D3. Lorsqu'en la
limite de est ,
nous parlons de "pôle".
Il s'agit de la dernière catégorie dans laquelle nous pouvons
ranger une fonction qui n'est classable ni dans la première, ni
dans la deuxième définition précédente.
Donc une autre manière équivalente de définir un "pôle",
est de dire qu'il y a un nombre fini de termes à puissances négatives
dans la partie principale de la série de Laurent. Si ce nombre
de termes est k, alors nous parlons de "pôle
d'ordre k".
Remarques:
R1. Nous disons parfois qu'une "singularité essentielle" est
un pôle d'ordre infini.
R2. Un pôle d'ordre 1 est appelé un "pôle
simple". Un pôle d'ordre 2 est un "pôle
double"…
Si nous reprenons notre exemple:
(17.191)
Nous avons démontré plus haut que la série de Laurent de
cette fonction en était:
(17.192)
Cette a donc un pôle d'ordre
1 en (et
in extenso, nous devinons qu'elle en a un aussi en ).
THÉORÈME DES RÉSIDUS
Partons d'une fonction f(z) dont le pôle
est d'ordre inférieur ou égal à k.
Rendons-là analytique:
(17.193)
(c'est-à-dire que nous avons pris une fonction f(z)
que nous avons rendue analytique après élimination
de ses pôles
supposés en un nombre fini - ordre - inférieur ou égal à k en ).
Cette fonction a
alors un développement en série de Laurent dans un
disque centré sur .
Comme nous l'avons vu plus haut, nous pouvons alors en utilisant
la relation ci-dessous:
(17.194)
écrire:
(17.195)
En utilisant f(z) sous
l'intégrale, il vient:
(17.196)
Il faut bien analyser cette relation et comprendre qu'elle relie
l'intégrale d'une fonction ayant des singularités avec la valeur
en un point d'une fonction analytique n'ayant plus de singularités!
Cette dernière relation peut se réécrire
en réarrangeant
les termes:
(17.197)
Et en exprimant en
utilisant (autorisé car cette dernière fonction est analytique)
le fait que:
(17.198)
Nous avons:
(17.199)
Soit en explicitant à nouveau :
(17.200)
Cette dernière relation n'est pour rappel valable que pour UNE
singularité isolée (au
cas où vous auriez oublié les concepts introduits lors de notre
présentation des singularités) et où k vaut au minimum 1!
Les mathématiciens définissent alors:
(17.201)
comme étant le résidu de la fonction f(z) au point étant
une singularité isolée et ayant un pôle d'ordre k. Ou respectivement:
(17.202)
où l'intégrale curviligne est donc centrée en .
Remarquons que le terme à droite de l'égalité dans la relation
précédente correspond au coefficient de
la série de Laurent. Effectivement:
(17.203)
D'où:
(17.204)
Remarque: Il vient donc qu'en une singularité isolée éliminable,
le résidu est nul puisque comme nous l'avons vu plus haut, l'intégrale
curviligne entourant un domaine sans singularité est nulle!
Bref, la relation:
(17.205)
est très intéressante pour le physicien... car il
y a donc une manière élégante lui permettant
de calculer l'intégrale curviligne
d'une fonction f(z) non analytique ayant une unique
singularité isolée et ce juste en connaissant l'ordre
de ses pôles!
Par exemple si une fonction f(z) n'a qu'un pôle
d'ordre 1, il vient alors:
(17.206)
et nous remplaçons donc par
la valeur voulue dans la parenthèse et
ensuite nous calculons la limite du terme entre crochets!
Maintenant pour aller plus loin, rappelons que le contour de
l'intégrale curviligne:
(17.207)
et le chemin curviligne de
l'intégrale:
(17.208)
sont au fait confondus (identiques) et les coefficients ne
dépendent pas de z! La seule contrainte du chemin est qu'il
soit fermé et dans un domaine analytique centré sur un point.
Donc si nous avons plusieurs singularités isolées, entourées
par des chemins curvilignes reliés tels que présenté ci-dessous
sur le plan complexe d'une fonction ayant un pôle d'ordre 3 (donc
trois singularités non éliminables):

Figure: 17.24 - Singularités multiples isolées entourées par des
chemins curvilignes
nous n'avons alors toujours qu'un seul chemin curviligne fermé mais
dont les différentes singularités isolées sont reliées par des
traverses où comme nous le savons, les chemins qui s'opposent,
s'annulent! Et rappelons que les coefficients sont
les mêmes partout sur tout le chemin puisque celui-ci est dans
un domaine analytique.
Nous avons alors la version généralisée du théorème des résidus
pour une fonction f ayant n singularités isolées:
(17.209)
avec cette approche rigoureuse digne des ingénieurs... qui
notent cette dernière relation parfois:
(17.210)
où r est donc un résidu. C'est un résultat
important dans le domaine de résolution d'équations
différentielles associées
à certaines transformées de Laplace inverses (cf.
chapitre d'Analyse). Ce résultat intermédiaire
nous permettra d'en obtenir un autre un peu plus loin dont l'importance
est majeure
pour le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.
Exemple:
Reprenons notre fonction:
(17.211)
Nous savons qu'elle a un pôle d'ordre 1 en et
un pôle d'ordre 1 .
Donc si nous prenons cette fois la série de Laurent dans un chemin
qui entoure les deux singularités (et non plus qu'une seule) nous
avons alors une fonction avec un pôle d'ordre 2.
Il vient alors pour ce cas particulier:
(17.212)
avec donc n valant 2.
Nous avons alors:
(17.213)
et:
(17.214)
Nous pouvons vérifier cela avec Maple 4.00b:
>readlib(singular):
>singular(1/(1+z^2),z);
>readlib(residue):
>residue(1/(1+z^2),z=-I); >residue(1/(1+z^2),z=I);
et dès lors:
(17.215)
Au fait dans le cas présent, le théorème des résidus est nul
car la fonction n'a pas de pôles à l'infini ce qui se vérifie puisque
dans notre exemple:
(17.216)
Les physiciens quant à eux diraient que la force ne travaille
pas sur le chemin...!
PÔLE À L'INFINI
Nous avons dit juste précédemment que toute fonction qui n'avait
pas de pôle à l'infini avait donc la somme des résidus de tous
ces pôles qui était nulle. Ce résultat est très important en physique
et mérite d'être approfondi!
Il est assez facile de reconnaître le nombre de pôles... mais
pour reconnaître les pôles à l'infini on risque de se faire prendre
au piège.
Considérons l'expression f(z)dz. Si z est
au voisinage de l'infini alors 1/z se trouve au voisinage
de 0. Posons:
(17.217)
Nous avons alors:
(17.218)
Donc le résidu à l'infini est tel que:
(17.219)
avec:
(17.220)
Avec donc:
(17.221)
Cette dernière relation nous sera indispensable dans le chapitre
de Physique Quantique Corpusculaire pour construire le modèle relativiste
de l'atome d'hydrogène de Sommerfeld car nous aurons à y calculer
une intégrale curviligne ayant un pôle.
Voyons un exemple avec la fonction qui nous accompagne depuis
le début de ce chapitre. C'est-à-dire:
(17.222)
Il vient alors:
(17.223)
Or nous reconnaissons immédiatement la fonction
initiale au signe près et qui n'a donc pas de pôle
en 0. Donc f(z) n'a pas de pôle à l'infini.
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