Sciences.ch (Analyse Complexe)

Avant de commencer ce chapitre portant sur l'étude du calcul différentiel et intégral dans le cas généralisé de l'ensemble des nombres complexes, je tiens à signaler que je me suis beaucoup inspiré du PDF de E. Hairer (avec son autorisation) au niveau des illustrations. Le présent texte contient également de nombreuses phrases et développements repris, homogénéisés et simplifiés (au risque d'en faire grimper certains aux rideaux...) conformément aux notations et objectifs pédagogiques du reste de ce site Internet.

Le sujet de l'analyse complexe est donc l'étude des fonctions

et de leur différentiabilité (qui est différente de celle dans

). Les "fonctions holomorphes" (c'est-à-dire différentiables dans un sous-ensemble de

) possèdent nous le verrons des propriétés surprenantes, élégantes qui peuvent être réutilisées dans le cas des fonctions de

et qui ont des applications importantes en physique.

Avant de commencer expliquons l'intérêt de ce domaine de manière simplifiée!

Nous avons étudié dans la section d'Algèbre une partie du calcul différentiel et intégral avec quelques théorèmes utiles et importants pour la physique et l'ingénierie. Cependant, en restant dans

la liste des théorèmes s'épuise en quelque sorte et on finit par ne plus trouver grand-chose de pertinent dans la pratique qui permette de simplifier le calcul d'intégrales que l'on retrouve souvent dans l'industrie. Alors, quand on sait que

(donc l'ensemble des complexes généralise celui des réels) et que l'on peut construire aussi une correspondance

comme nous allons le voir, de nouveaux théorèmes apparaissent avec des résultats très intéressants que l'on peut exploiter pour les intégrales dans

!! C'est cette raison qui fait que l'ingénieur a besoin de connaître l'analyse complexe!

Après l'étude de ce domaine particulier de la mathématique, il est fréquent de dire que le plus court chemin entre deux vérités du domaine réel passe souvent par le domaine complexe.

APPLICATIONS LINÉAIRES

Une bonne introduction à l'analyse complexe et à sa représentation consiste à étudier dans un premier temps (à titre pédagogique principalement) le cas particulier des applications linéaires complexes. Voyons cela:

Soient

, un ensemble et

un autre ensemble. Une fonction qui associe à chaque

Ce qui est important c'est de comprendre et remarquer que nous pouvons identifier:

Définition: Une application est dite

-linéaire si par exemple une fonction du type:

où c est un nombre complexe fixé et z un nombre complexe quelconque, satisfait:

Nous avons vu et démontré dans le chapitre Nombres lors de notre étude des nombres complexes, que la multiplication de deux nombres complexes pouvait être équivalente à une rotation orthogonale suivie d'une homothétie et que cette même multiplication pouvait être représentée sous forme matricielle! Or la transcription sous forme matricielle implique comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Algèbre Linéaire automatiquement la linéarité!

Donc lecteur pourra facilement vérifier qu'une matrice de rotation/homothétie est un exemple d'une application

-linéaire (sur demande nous pouvons détailler) que nous écrirons dorénavant:

Ce qui se représente typiquement de la manière suivante (on y observe bien une rotation et une homothétie qui conservent les angles et les proportions):

C'est le fait que les proportions et que les angles soient conservés qui fait d'une fonction complexe qu'elle est

-linéaire. Dans le cas contraire, nous dirions que la fonction est

-linéaire.

Donc une matrice

représente une application

-linéaire seulement si elle est de la forme:

Ainsi, regardons ce que fait cette fonction avec les points du plan complexe qui sont confondus avec les lignes verticales de ce même plan (ce qui vient alors à poser

). Nous avons alors:

et en éliminant y, nous trouvons l'équation d'une parabole ou plutôt d'une famille de paraboles (pour plusieurs valeurs de a) qui sont ouvertes à gauche du plan complexe image:

Si nous faisons la même analyse pour les points du plan complexe qui sont confondus avec lignes horizontales de ce même plan, nous trouvons également, en posant

, une famille de paraboles (pour plusieurs valeurs de b) qui sont ouvertes à droite du plan complexe image.

Voici une représentation du plan complexe image sur lequel nous avons dessiné une tête de chat:

et si nous regardons le plan complexe pré-image correspondant, nous avons alors deux têtes de chats qui apparaissent:

L'apparition de ces deux têtes de chats vient du fait que cette fonction possède 2 pré-images possibles pour chaque point image (c'est donc une fonction surjective).

E2. Une autre fonction intéressante est la "transformation de Cayley" utilisée dans certains domaines de la physique et définie par:

et comme nous avons démontré dans le chapitre de Théorie De La Démonstration que toute fonction involutive est à la fois injective et surjective, alors la transformation de Cayley est une fonction bijective.

Cette fonction transforme l'axe des imaginaires iy en cercle unité (et inversement puisqu'elle est involutive). Voyons cela:

E3. Comme autre exemple de fonction, prenons la "transformation de Joukovski" définie par:

Si le domaine de définition donné est construit en coordonnées polaires regardons comment un cercle ou une ellipse se transforme:

Figure: 17.4 - Transformation en coordonnées polaires d'une ellipse avec la fonction exemple

Elle transforme donc respectivement les cercles centrés en 0 et les rayons passant par 0 en une famille d'ellipses et d'hyperboles cofocales. Pour démontrer ce fait, nous utilisons donc les coordonnées polaires complexes (formule d'Euler) vues dans le chapitre sur les Nombres:

a la forme de l'équation d'une ellipse (cf. chapitre de Géométrie Analytique) et nous avons de même:

Cette fonction trouve son utilité dans le cas où si nous plaçons astucieusement un cercle (passant par le point

comme dans le cas de la première figure) le plan représenté en coordonnées polaires avec un trait discontinu pourrait ressembler à une aile d'avion. Ce qui permettait à une époque (mais la technique est obsolète aujourd'hui) en aérodynamique de transposer l'étude d'un champ de vecteurs du profil d'une aile d'avion à l'étude du profil d'un cercle et de faire par la suite la transformation de Joukovski.

> with(plots):with(plottools):
> p1:=disk([0,0],1,color=black):
> p2:=implicitplot({seq(v=b/8,b=-10..10)},x=-4..4,y=-2..2,color=black):
> display([p2,p1],scaling=constrained);

E4. Faisons un dernier exemple avec la fonction 1/z encore avec Maple 4.00b. Si vous y saisissez les commandes suivantes (suffisamment explicites de par leur nom pour comprendre ce qu'elles font):

> with(plots):
> p1:=implicitplot({seq(u=a,a=-5..5)},x=-1..1,y=-1..1,numpoints=1000):
> p2:=implicitplot({seq(v=b,b=-5..5)},x=-1..1,y=-1..1,numpoints=1000,color=green):
> display([p1,p2],scaling=constrained);

Figure: 17.7 - Autre exemple d'application importante avec une fonction complexe

voilà pour ceux qui souhaiteraient faire eux-mêmes des figures de fonctions complexes!

FONCTIONS HOLOMORPHES

La définition de la dérivation par rapport à une variable complexe est naturellement formellement identique à la dérivation par rapport à une variable réelle.

et nous disons (abusivement dans le cadre de ce site) que la fonction est "holomorphe" (alors que dans

on dit "dérivable") ou "analytique" dans son domaine de définition ou dans un sous-ensemble de celui-ci si elle y est dérivable en chaque point.

Remarque:

R1. Une fonction complexe se dérive comme une fonction réelle, il suffit de poser z comme étant x... à condition que ce que nous allons voir dans ce qui va suivre soit respecté!

R2. Au fait si la fonction est holomorphe dans un sous-ensemble du plan complexe, nous verrons un peu plus loin lors de notre étude de la convergence des séries de puissances qu'il s'agit toujours d'un sous-ensemble ouvert.

D'une manière équivalente, nous disons que la fonction f est

-différentiable en

si la limite suivante existe dans

Présentons maintenant un théorème central pour l'analyse complexe appelé "théorème de Cauchy-Riemann"!

qui est un peu l'équivalent du théorème de Schwarz dans

vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral. Ces deux dernières relations sont appelées "conditions de Cauchy". Donc ce sont les deux conditions que doivent vérifier une fonction complexe pour être dérivable en

. Ainsi, il est possible d'utiliser ces deux relations pour étudier les points où la fonction n'est pas analytique.

Si ces conditions sont justes (ce que nous allons de suite démontrer), alors nous en déduisons que u et v doivent être toutes deux des fonctions harmoniques de x et y.

et quand x tend vers une petite valeur dx, nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

et quand y tend vers une petite valeur dy nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

Or nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral le théorème de Schwarz suivant:

En identifiant parties réelles et imaginaires, nous terminons la démonstration!

Donc pour que f soit dérivable au sens complexe (holomorphe) en un point, il suffit qu'elle y soit différentiable comme fonction de deux variables réelles (

-différentiable en

) et que ses dérivées premières partielles en ce point vérifient les équations de Cauchy-Riemann.

Par contre, pour qu'elle soit

-différentiable, il faut que les équations de Cauchy-Riemann soient valables en tous les points du plan complexe (on parle alors parfois de "fonctions entières") et non pas seulement dans un sous-domaine de celui-ci! Dans le cas contraire, elle contient donc des "singularités" et nous parlons alors de "fonction méromorphe" (qui est donc une fonction holomorphe sauf sur les points de singularités).

Remarque: Géométriquement, nous montrerons plus tard qu'une fonction holomorphe a une interprétation possible dans le sens qu'elle est une transformation conforme (conserve les angles).

Signalons donc que si f(z) est

-différentiable alors elle peut être développée en série de Taylor aussi (cf. chapitre de Suites et Séries):

Nous disons alors que la fonction f est irrotationnelle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) puisque la première relation peut être vue comme:

permet également de dire par analogie (mais cela s'arrête à une simple analogie!) que la fonction f est non divergente (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) ce qui est bon moyen mnémotechnique de s'en souvenir.

Mettons également autre chose en évidence. Si nous reprenons les deux équations de Cauchy-Riemann:

Et nous connaissons très bien cette forme d'équations (équation de Maxwell-Poisson dans le chapitre d'Électrodynamique et de Newton-Poisson dans celui d'Astronomie...). Il s'agit d'une équation d'onde appelée aussi "équation de Laplace" (rien à voir avec celle vue lors de notre étude de l'hydrostatique!) et donnée par le laplacien scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

Il est alors de tradition de dire que u est harmonique et nous pouvons arriver bien évidemment au même résultat avec v! Bon évidemment... nous le savions, puisque nous avons déjà étudié dans le chapitre sur les Nombres que les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe pouvaient être mises sous forme trigonométrique.

Grâce à cette découverte, Riemann a ouvert l'application des fonctions holomorphes à de nombreux problèmes de la physique, puisque ces dernières équations sont satisfaites par le potentiel gravitationnel (équation de Newton-Poisson dans le chapitre d'Astronomie), par les champs électriques et magnétiques (équation de Maxwell-Poisson dans le chapitre d'Électrodynamique), par la chaleur en équilibre (par encore d'exemples sur le site) et par les mouvements sans rotationnel de certains fluides (pas encore d'exemples non plus sur le site).

montre les courbes de niveau des fonctions harmoniques u(x, y) et v(x, y) données comme parties réelle et complexe de la fonction f(z) de cet exemple.

ORTHOGONALITÉ DES ISO-COURBES RÉELLES ET IMAGINAIRES

Nous allons maintenant démontrer une propriété sympathique que les fonctions qui satisfont les conditions de Cauchy (donc les fonctions analytiques!) ont. Effectivement, rappelez-vous que nous avons vu plus haut la fonction:

Figure: 17.9 - Rappel de la représentation plane des images d'une fonction complexe vue plus haut

Eh bien les fonctions satisfaisant les conditions de Cauchy ont la propriété géométrique simple suivante: les lignes dont la partie réelle de la fonction est constante

et les lignes dont la partie imaginaire est constante

sont orthogonales les unes aux autres (pensez à la forme trigonométrique des nombres complexes cela aide à mieux visualiser!).

En d'autres termes, les fonctions complexes analytiques sont des fonctions de transformation d'un domaine du plan dans un plan où les angles sont conservés. Nous disons alors que la fonction est une "transformation conforme".

Pour la démonstration rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le gradient d'une fonction f de

est donné par:

et dans le cadre de notre étude des isoclines dans le chapitre de Géométrie Différentielle que le vecteur tangent aux isoclines de la fonction f sera toujours parallèle au vecteur du plan:

En utilisant les conditions de Cauchy démontrées plus haut, nous avons pour cette dernière relation:

nous voyons donc que

sont parallèles (colinéaires). Et puisque

est colinéaire aux isoclines réelles et que

est perpendiculaire aux isoclines imaginaires, nous avons terminé notre démonstration.

détaillée mathématiquement et schématiquement plus haut! Mais pour changer un peu, prenons un exemple qui nous accompagnera tout au long du reste de ce chapitre et qui est la fonction holomorphe suivante:

>assume(x,real,y,real);
> z:=1/(1+(x+I*y)^2);
> F:=1/z;
> u:=Re(F);
> u:=evalc(u);
> v:=Im(F);
> v:=evalc(v);
> with(plots):
> p1:=implicitplot({seq(u=a,a=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000):
> p2:=implicitplot({seq(v=b,b=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000,color=green):
> display([p1,p2]);

LOGARITHME COMPLEXE

Nous devons trouver pour toutes les fonctions construites dans

leur équivalent dans

tout en sachant que si nous réduisons le cas de

nous devons retomber sur nos pattes!

Pour cela, commençons par la fonction la plus classique et scolaire qui est donc le logarithme.

De la même manière que nous avions construit le logarithme comme étant par définition (!) la fonction réciproque de l'exponentielle naturelle

dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle, nous partons d'abord de:

où z est donc un nombre complexe et nous allons définir le logarithme complexe qui doit se réduire au logarithme naturel si z n'a pas de partie imaginaire!

et sur l'ensemble de ce site, le logarithme complexe sera différencié du logarithme réel par un L majuscule!

Donc si w n'a pas de partie imaginaire, nous retombons bien sur nos pattes puisque arg(w) devient nul.

Une grosse différence est mise en avant donc entre le logarithme des nombres complexes et réels: ces premiers peuvent prendre plusieurs valeurs à cause de l'argument.

INTÉGRATION DE FONCTIONS COMPLEXES

Nous venons de voir précédemment comment vérifier si une fonction complexe f(z) était dérivable (elle doit au moins respecter les équations de Cauchy-Riemann) en tout point.

Nous avons bien évidemment en reprenant les notations vues dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

Bon cette expression établie, donnons une petite explication quant à sa lecture:

1. Nous savons que u et v dépendent tous les deux dans le cas général de x et y.

2. Nous savons que u et v représentent (voir exemples au début du chapitre) des courbes fermées ou ouvertes ainsi que des droites lorsque x (ou respectivement y) est fixé et que l'autre variable associée, elle varie!

Donc chacun des termes comportant une intégrale dans l'expression écrite ci-dessus est une intégrale curviligne sur une famille de courbes ouvertes ou fermées (dont un cas particulier est des droites...)!

Cette intégrale peut être évaluée en utilisant le théorème de Green dans le plan (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) si nous considérons le cas particulier d'un chemin curviligne fermé tel que:

Nous avions effectivement démontré (il est très fortement conseillé de relire ce théorème de Green) dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

Or, si la fonction est holomorphe et satisfait donc aux équations de Cauchy-Riemann nous avons immédiatement:

Ainsi notre intégrale se réduit dans le cas particulier d'un chemin fermé à:

Or, si la fonction est holomorphe (donc pour rappel dérivable en tout point du plan complexe ou d'un sous-ensemble ouvert de celui-ci) et satisfait donc aux équations de Cauchy-Riemann nous avons immédiatement:

et nous obtenons ainsi le "théorème de Cauchy", ou "théorème de Cauchy-Goursat" dans sa version généralisée aux fonctions non continues, qui dit que si une fonction est holomorphe (satisfaisant donc les équations de Cauchy-Riemann) et intégrée sur un contour fermé alors:

Comme corollaire (sans démonstration), toute fonction qui satisfait à la relation précédente est holomorphe (dans tout le plan complexe ou un sous-ensemble ouvert de celui-ci).

Ce résultat permet dans certains domaines comme la physique quantique des champs (on pense au potentiel de Yukawa qui n'est pas traité pour l'instant sur ce site) de calculer des intégrales définies réelles compliquées en utilisant la propriété ci-dessus. L'idée étant lors du choix du contour fermé de l'intégrale curviligne de s'arranger à faire apparaître l'intégrale définie réelle recherchée comme étant une partie seulement du chemin (en la généralisant au cas complexe) et de par l'égalité avec zéro en déduire sa valeur grâce aux autres parties de l'intégrale du chemin choisi (parties qui sont évidemment simples à calculer).

En d'autres termes, il s'agit de la calculer par différence. Toute la difficulté résidant dans la pratique à trouver la fonction f(z) et le contour fermé permettant de faire apparaître la fonction f(x) de l'intégrale définie recherchée...

À l'aide de ce résultat, faisons un exemple scolaire important qui nous sera utile par la suite (mais qui n'a aucun rapport avec le cas du calcul d'une intégrale définie réelle).

Pour cela, nous allons utiliser la simplification qui consiste à se rappeler (cf. chapitre Nombres) que:

Or comme sur un chemin fermé dérivable en tout point (donc sans sommets) l'angle à parcourir pour faire un tour complet ira nécessairement de 0 à

. Il vient alors:

Avant de continuer remarquons un fait intéressant et important: Une intégrale (on ne parle pas de la primitive mais de l'intégrale!) d'une fonction du type 1/x dans

ne serait pas calculable. Or si nous généralisons le concept à

, nous voyons que nous contournons... (le jeu de mots...) la singularité via une intégrale curviligne qui entoure la singularité. Et... et... dans notre calcul précédent z pourrait tout à fait n'avoir que la valeur réelle et pas l'imaginaire. Donc l'intégrale de 1/x devient alors calculable et a un résultat dans les complexes ce qui est remarquable!

Certains mathématiciens interprètent cela en figurant que 1/x est une projection plane d'un espace tridimensionnel dont l'axe imaginaire est perpendiculaire au plan

. D'où le fait que 1/x soit intégrable dans

.... mais bon c'est une interprétation...

Enfin, indiquons que 1/z est holomorphe sur tout le plan complexe excepté en 0 (la dérivée étant la même que pour 1/x). Elle n'est donc pas

-différentiable!

Ceci étant fait, faisons un cas important et similaire avec l'intégrale curviligne suivante:

Nous pouvons alors écrire si nous faisons qu'un seul tour dans le sens inverse des aiguilles (sens antihorlogique ou trigonométrique) d'une montre:

qui n'est valable à nouveau que si notre chemin d'intégration évite

sinon quoi il y a une singularité. Cette dernière intégrale est donc une petite généralisation simpliste de la précédente.

Maintenant montrons le théorème important qui nous intéresse au fait depuis le début de ce chapitre en utilisant les nombreux résultats démontrés jusqu'ici!

Nous savons que si une fonction f(z) satisfait aux équations de Cauchy-Riemann, alors si nous évitons soigneusement la valeur

(comme dans les calculs précédents), l'expression:

est aussi dérivable en tout point excepté en

(donc l'expression n'y est plus holomorphe) qui est appelé une "singularité".

Effectivement, prendre une fonction holomorphe f(z) satisfaisant Cauchy-Riemann et en soustraire une constante (

) ne change en rien le fait que l'expression (en l'occurrence le numérateur dans dans relation précédente) restera holomorphe. Enfin, multiplier celle-ci par une fraction (dénominateur de la relation précédente) qui est elle aussi holomorphe donne une fonction holomorphe. Mais des singularités peuvent alors apparaître, nous parlons alors de "fonctions méromorphes" (il s'agit du rapport de deux fonctions holomorphes).

Remarque: Une fonction méromorphe est une fonction holomorphe dans tout le plan complexe, sauf éventuellement sur un ensemble de points isolés dont chacun est un pôle pour la fonction. (Voir plus loin pour la notion de pôle)

Dès lors, si nous en prenons l'intégrale curviligne sur un chemin fermé évitant de passer par

, le théorème de Cauchy nous donne immédiatement (voir la démonstration plus haut):

Il vient alors le résultat appelé "théorème intégral de Cauchy", ou plus rarement "formule de Cauchy", (dont il existe une forme généralisée que nous démonterons plus bas):

Au fait, dans la pratique toute la subtilité est de pouvoir ramener une fonction g(z) holomorphe (qui satisfait donc les équations de Cauchy-Riemann) en la manipulant à une forme du type:

quand c'est possible... alors le calcul de son intégrale curviligne (de chemin fermé) devient extrêmement simple puisqu'elle sera égale à:

Remarques:

R1. Nous savons donc calculer la valeur d'une intégrale curviligne d'une expression non holomorphe mais dont le numérateur lui l'est.

R2. Attention! Le signe de la valeur d'une intégrale curviligne va dépendre du sens dans lequel on parcourt son chemin d'intégration. Si le sens est direct (c'est-à-dire "antihorlogique" ou encore "trigonométrique") son signe sera positif; si au contraire le sens est horlogique son signe sera négatif. Vous vous dites sans doute que cette précision est sans intérêt vu que cette valeur est généralement nulle. Certes, mais nous verrons plus loin l'importance de cette spécification lorsqu'il sera question du calcul des résidus.

Il y a une relation équivalente pour la dérivée

à celle donnée par le théorème intégral de Cauchy. Voyons cela:

Ce résultat est très puissant car il montre que les fonctions holomorphes sont infiniment dérivables (à cause du dénominateur), soit analytiques, et il est beaucoup plus difficile de trouver un théorème équivalent avec des conditions aussi simples pour les fonctions réelles.

Si nous revenons maintenant à notre développement de Taylor d'une fonction complexe:

Il en découle la relation suivante appelée "série de Laurent à puissances positives" (il en existe une version plus généralisée que nous allons démontrer plus loin):

qui donne donc l'expression formelle d'une fonction complexe sous forme de série infinie de puissances entières à proximité d'un point

du plan complexe avec donc:

En se rappelant que

s'écrit de manière équivalente

, nous constatons que l'ensemble des deux relations précédentes nous redonne le développement en série de Taylor que nous avions obtenu en analyse réelle (cf. chapitre de Suites et Séries) et qui était:

Ainsi, les séries de Taylor ne sont qu'un cas particulier des séries de Laurent.

Ceci est assez remarquable comme résultat car cela montre aussi que nous pouvons utiliser l'intégrale curviligne sur le plan complexe pour calculer les coefficients

de la série de Laurent au lieu de calculer les dérivées d'ordre n de la fonction f si ces dernières s'avéreraient trop compliquées à déterminer. Ou inversement... calculer une simple dérivation au lieu de calculer une intégrale curviligne casse-tête (typiquement le cas en physique) en utilisant le fait que:

Le seul point malheureux étant que cette dernière relation n'est calculable que si nous arrivons à mettre la fonction dans l'intégrale curviligne sous la forme:

où n est un entier positif ou nul. Ceci est franchement loin d'être aisé dans la grande majorité des cas! L'idée serait alors de trouver un chemin général pour l'intégrale curviligne, valable pour toute fonction f(z) tel que ce dénominateur (qui contient en plus une singularité en

) disparaisse. Ce serait l'idéal... mais il nous faut une piste... et celle-ci va venir de l'étude de la convergence des séries de puissances complexes. Voyons de quoi il s'agit avec une approche qualitative!

CONVERGENCE D'UNE SÉRIE

Nous avons vu dans le chapitre de Suites et Séries que nombre de fonctions réelles pouvaient être exprimées en série de Maclaurin (cas particulier des séries de Taylor en

) sous la forme:

Nous y avions également montré, uniquement par l'exemple, que ce développement en série de puissances infinie n'était valable pour certaines fonctions réelles que dans un certain domaine de définition appelé "rayon de convergence".

Même si ce rayon de convergence peut être déterminé plus ou moins facilement au cas par cas, il y a certains exemples déroutants qui ne pouvaient pas au début du 19ème siècle être compris sans l'analyse complexe.

Voyons un exemple simple pour comprendre de quel type de problème il s'agit. Considérons pour cela les deux fonctions:

et avant de continuer notre exemple, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Suites et Séries la relation:

relative à une série géométrique, c'est-à-dire une série dont les termes sont du type:

Donc les deux fonctions g(x) et h(x) précédentes sont définies pour un développement en série infinie de puissances uniquement dans un rayon de convergence

Nous obtiendrions donc le même résultat en faisant un développement en série de Maclaurin!

Nous voyons trivialement qu'il y a pour g(x) deux singularités qui sont

par contre, basiquement nous n'en voyons pas trivialement pour h(x) si nous raisonnons uniquement dans

donc il peut être difficile pour cette dernière fonction de comprendre l'origine du rayon de convergence.

Effectivement, si nous traçons ces deux fonctions dans

avec Maple 4.00b nous obtenons respectivement:

d'où le problème de savoir pourquoi il y a quand même implicitement un rayon de convergence

pour h(x)???

Une manière encore plus flagrante de mettre en évidence le problème, c'est de montrer l'approche de ces deux fonctions par un développement en série de Maclaurin avec dix termes:

with(plots):
> xplot:= plot(1/(1-x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red):
> tays:= plots[display](xplot):
> for i from 1 by 2 to 10 do
tpl:= convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):
tays:= tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
> plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);

Figure: 17.12 - Représentation plane de la fonction g pour visualiser le problème

où nous voyons bien que la série de Maclaurin (ou l'expression en série de puissances) ne converge pas en dehors de

ce qui peut être intuitif à cause des deux singularités.

>with(plots):
> xplot:= plot(1/(1+x^2),x=-5..5,thickness=2,color=red):
> tays:= plots[display](xplot):
> for i from 1 by 2 to 10 do
tpl:= convert(taylor(1/(1+x^2), x=0,i),polynom):
tays:= tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-5..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
> plots[display]([tays],view=[-5..5,-2..2]);

où nous voyons bien que la série de Maclaurin (ou l'expression en série de puissances) ne converge pas non plus en dehors de

ce qui était déstabilisant et contre-intuitif au début de l'histoire de l'analyse réelle.

Aujourd'hui même un élève du secondaire sait qu'il est possible de raisonner aussi dans

et que

. Donc l'analyse réelle n'est qu'un cas particulier et restreint de l'analyse complexe.

et qu'il y a donc deux singularités pour

ce que nous voyons bien si nous représentons:

avec Maple 4.00b (heureusement que nous avons maintenant l'équivalent d'un microscope dans la mathématique avec Maple...):

>plot3d(abs(1/(1+(re+I*im)^2)),re=-3..3,im=-3..3,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.14 - Représentation complexe de la fonction h pour mettre en évidence la raison de la divergence

où nous discernons les deux singularités sur l'axe imaginaire et la fonction h(x) sur l'axe réel (entre les deux pics). Donc lorsque nous développons une fonction en série de puissances, nous concluons que son rayon de convergence est défini par tout le plan complexe et non par l'axe traditionnel de l'analyse réelle.

Il est ainsi plus naturel de comprendre pourquoi nous parlions dans le chapitre de Suites Et Séries de "rayon" car vu du dessus, nous avons dans le plan complexe:

d'où le fait que nous parlons tantôt de disque de convergence (ouvert) et tantôt de rayon de convergence (ouvert). Par ailleurs, nous remarquons sur le graphique que le domaine de convergence est connexe (tout couple de points du domaine de convergence peut être relié par une droite qui est dans le domaine de convergence).

Remarque: Rappelons qu'un sous-ensemble, intervalle ou disque "ouvert" signifie que nous n'en prenons pas les bords.

Nous comprenons alors mieux pourquoi la série de Taylor ne convergeait pas trivialement pour h(x): elle doit converger sur tout le disque de convergence du plan complexe et pas seulement converger sur l'axe réel!

De tout ceci, nous déduisons que notre série de Laurent à puissances positives démontrée plus haut:

ne converge pas forcément, sans surprise..., sur tout le plan complexe (au même titre que les séries de Taylor sur la droite réelle puisqu'il s'agit de l'équivalent!) mais parfois uniquement dans un sous-domaine (connexe?) ouvert de ce plan autour de

(qui dans l'exemple particulier pris ici valait donc: 0).

Avec notre fonction h(x) exprimée en utilisant un développement de Maclaurin sur 5 termes, nous voyons immédiatement avec Maple 4.00b que sur les bords du carré inscrit au disque de convergence, la série ne converge plus et nous y devinons le début des deux singularités:

>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-0.7..0.7,im=-0.7..0.7,view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.16 - Zoom sur la représentation complexe afin de comprendre la raison de la divergence

un peu en dehors du disque de convergence, nous avons évidemment un peu n'importe quoi:

>plot3d(abs(1-(re+I*im)^2+(re+I*im)^4-(re+I*im)^6+(re+I*im)^8),re=-3..3,im=-3..3,view=[-1.5..1.5,-1.5..1.5,0..1.5],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Il y a quand même quelque chose d'intéressant à essayer... puisque nous sommes maintenant sur un plan, et non plus sur une droite, il nous est possible de faire le développement de Taylor autour d'une singularité

en déformant le disque convexe en une couronne simplement connexe telle que présentée ci-dessous (la couronne étant aussi la géométrie simplement connexe la plus simple découlant de la déformation d'un disque):

L'intérêt de ceci est de pouvoir déformer le domaine de convergence sur tout le plan complexe en évitant (contournant) toutes les singularités. Ainsi, contrairement aux séries de Taylor qui ne sont valables que sur un intervalle de l'axe des abscisses, nous aurions un nouveau type de série décrivant une fonction absolument partout, c'est-à-dire avant ET après (donc autour...) les singularités!

Donc évidemment nous allons imposer que dans la couronne déformée ci-dessus la fonction soit toujours holomorphe et analytique (comme dans le disque convexe initial). Avant de déterminer ce sur quoi nous allons tomber (série de Laurent généralisée), il nous faut d'abord faire une étude de la décomposition d'une intégrale en chemins:

DÉCOMPOSITIONS EN CHEMINS

Les intégrales curvilignes comme celles données précédemment peuvent aussi être écrites sous une autre forme assez classique et souvent utilisée dans la pratique.

Voyons cela. D'abord, nous venons de démontrer dans le cas particulier d'une fonction holomorphe que:

mais un chemin fermé peut être vu comme un chemin ayant un aller et un retour:

Et maintenant vient ce qui nous intéresse... pour cela concentrons-nous sur une des intégrales curvilignes du type:

et pour intégrer sur un chemin, rien ne nous empêche d'en choisir un où r serait fixe (le module) et

variable (nous n'aurions pas pu faire cela avec la première forme d'expression car en ne faisant varier que la partie imaginaire ou réelle, nous ne pouvons pas obtenir de courbe alors que cela est possible avec la forme d'Euler d'un nombre complexe)!

Cette relation va nous être maintenant utile à démontrer un résultat nécessaire pour notre étude de la couronne.

CHEMIN INVERSE

Si C est une courbe allant d'un point P à un point Q, nous notons alors la même courbe mais parcourue de Q à P.

Si C(t) est la courbe définie sur [a, b] nous définissons la courbe définie sur [a, b] par:

et lorsque t croit de a à b, a + b - t décroît de b à a. n'est donc que C mais parcourue dans le sens inverse.

Donc si et C sont les chemins d'une même fonction mais parcourus dans le sens inverse, nous avons en reprenant notre notation conventionnelle (attention dans le deuxième terme il est implicite que la paramétrisation est différente du premier!):

Raison pour laquelle nous disons souvent que le signe de la valeur d'une intégrale curviligne va dépendre du sens dans lequel on parcourt son chemin d'intégration. Si le sens est direct (c'est-à-dire "antihorlogique" ou encore "trigonométrique") son signe sera positif; si au contraire le sens est horlogique son signe sera négatif (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral).

SÉRIES DE LAURENT

Cette dernière relation obtenue, nous pouvons revenir à notre déformation du disque de convergence en une couronne. Nous rappelons que l'idée étant initialement d'avoir l'expression analytique d'une fonction sous forme d'une série de puissances infinie dans un domaine restreint autour d'un point singulier et tout ceci... afin de pouvoir calculer pour les physiciens des intégrales curvilignes complexes en passant par une méthode utilisant les propriétés des séries complexes!

Commençons donc par le point (2), qui nous mènera plus facilement au point (1), en faisant un zoom sur notre couronne:

Nous avons donc si la fonction f est analytique et holomorphe dans la couronne de rayon extérieur R et rayon intérieur r, l'intégrale curviligne suivante dans toute la couronne:

où nous notons z le point où nous souhaitons connaître la fonction et z' la variable dont dépend f. Ce changement de notation se justifiera par la suite pour une raison purement pratique.

Si les deux segments

sont infiniment proches, ils correspondent alors à un même chemin parcouru une fois dans un sens positif et une fois dans le sens négatif. Or, nous avons démontré plus haut que:

où nous avons mis un "+" entre les deux derniers termes, car comme nous allons le voir de suite, le critère de convergence associé à la notation traditionnelle condensée de ce domaine d'étude, fait émerger automatiquement le signe "-".

Pour les deux intégrales

, nous savons que la fraction peut s'écrire sous la forme d'une série géométrique déjà vue plus haut. Effectivement:

nous avons en tout point z à l'intérieur du cercle de rayon R dont le bord est décrit par la variable z' et de centre

la convergence qui est assurée car:

Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement (déjà connu):

Ce développement peut faire penser au développement de Taylor au sens où seules des puissances positives (ou nulles) de

apparaissent, mais il n'en est pas un dans le cas de la couronne! En effet,

ne peut pas être écrit cette fois-ci comme:

puisque, par hypothèse, f(z) est supposée analytique dans la couronne seulement, et peut donc fort bien ne pas l'être à l'intérieur du petit cercle de rayon r, en particulier en

, auquel cas

peut tout simplement ne pas exister (répétons que z est strictement contraint à se trouver dans la couronne, soit

). Nous verrons plus loin ce qui ce passe quand f(z) est holomorphe dans ce disque et que, notamment,

n'est pas un point singulier.

Il nous faut encore traiter

. Nous faisons alors le même type de développement que pour

, avec la différence que maintenant:

lorsque z' parcourt le petit cercle de rayon r. Pour faire apparaître une série géométrique, il faut écrire cette fois-ci:

Intégrant terme à terme, nous mettons en évidence le développement (nouveau):

Nous allons voir maintenant que des deux relations peuvent être réunies en une seule!

Si nous observons bien ces deux dernières relations, nous constatons qu'elles ne dépendent nullement de z (!) et c'est bien normal puisque les

sont les coefficients du développement en série de f(z) et ceux-ci sont les mêmes en n'importe quel point du domaine de définition de la fonction où celle-ci est analytique!

Donc les deux contours (cercles) peuvent être fusionnés en un seul cercle tant que celui-ci est situé dans la couronne et a pour centre

Par ailleurs, le lecteur attentif aura remarqué que ce contour n'a même pas besoin d'être un cercle finalement. Il peut être quelconque tant qu'il est fermé et qu'il se trouve dans un domaine analytique!

Les deux relations précédentes définissent la "série de Laurent" généralisée. Elle est remarquable et se distingue d'une série de Taylor au sens où elle contient toutes les puissances entières positives et négatives et les coefficients

ne sont pas a priori exprimables avec les dérivées de f.

La série de puissances

est appelée "partie régulière", celle des puissances négatives porte le nom de "partie principale".

La série des puissances négatives converge uniformément partout à l'extérieur de

, celle des puissances positives à l'intérieur de

. Au total le développement de Laurent converge uniformément dans le domaine commun, qui est la couronne et donc aussi sur le chemin unique

Montrons maintenant un point que nous avions mentionné plus haut. Si le cercle ne contient pas de singularité, alors tous les coefficients:

sont nuls. Notons d'abord que

est un nombre entier positif ou nul que nous noterons p tel que:

Or, si nous enlevons la singularité cela impose que

est holomorphe (et de toute façon c'est imposé par tous les développements initiaux sur les séries de Laurent).

est un polynôme à puissance positive et non nulle et comme nous le savons, tout polynôme satisfaisant ces conditions est dérivable au moins une fois sans faire apparaître de singularité. Ainsi ce terme est aussi holomorphe.

En admettant que le produit de deux fonctions holomorphes est une fonction holomorphe et que le contour

est fermé, nous avons alors en utilisant le résultat suivant démontré plus haut (pour une fonction holomorphe):

s'il n'y a pas de singularité dans le petit cercle de la couronne. Nous retrouvons alors dans ce cas un développement avec les seules puissances positives, les

étant cette fois équivalents à:

conformément au théorème intégral de Cauchy généralisé démontré plus haut. A contrario, nous voyons bien que c'est la partie principale (quand elle existe) qui contient l'information sur le fait que f n'est pas a priori holomorphe dans le petit disque. L'existence de puissances négatives montre que f n'est visiblement pas bornée en

La classification des singularités d'une fonction se fondera précisément sur la considération des caractéristiques de la partie principale du développement de Laurent centré sur un point singulier de cette fonction.

sur un domaine simplement connexe qui serait la couronne entourant la singularité i par exemple (nous aurions pu choisir la deuxième singularité -i mais il fallait bien en prendre une...). Ce qui équivaut donc à chercher le développement en série de puissances de z - i.

La deuxième fraction peut être exprimée en série géométrique si comme nous l'avons déjà vu:

Multiplions les deux membres de cette égalité par -i/2 et divisons les ensuite par z - i (le deuxième terme du dénominateur de la fraction initiale) pour obtenir pour le terme de gauche:

Nous voyons donc sur cette série de Laurent autour de i de la fonction holomorphe f(z) dans la couronne, apparaître les coefficients:

>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-I*im)^3),re=-1.5..1.5,im=-1.5..1.5,view=[-2..2,-2..2,-1..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

où nous voyons que la série de Laurent nous permet d'exprimer f(z) dans un voisinage proche de la singularité i en prenant 5 termes.

Idem si nous faisons la somme des deux séries de Laurent pour les deux singularités avec 7 termes:

>plot3d(abs(-I/2*1/((re+I*im)-I)-(I/2)^2-(I/2)^3*(re-I*im)-(I/2)^4*(re-I*im)^2-(I/2)^5*(re-I*im)^3 -(I/2)^6*(re-I*im)^4-(I/2)^7*(re-I*im)^5+I/2*1/((re+I*im)+I)+(I/2)^2+
(I/2)^3*(re+I*im)+(I/2)^4*(re+I*im)^2+(I/2)^5*(re+I*im)^3+(I/2)^6*(re+I*im)^4
+(I/2)^7*(re+I*im)^5),re=-1.5..1.5, im=-1.5..1.5, view=[-2..2,-2..2,-1..2],orientation=[130,70], contours=50, style=PATCHCONTOUR, axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

et nous voyons que très vite en dehors des deux singularités tout diverge puisque les séries ne convergent que dans une couronne où la fonction y est holomorphe. Mais cela donne déjà une bonne idée visuelle des choses.

SINGULARITÉS

Nous avons donc vu juste précédemment qu'il était possible de calculer l'intégrale curviligne d'une fonction, sous condition d'analycité, sur le contour d'une singularité. Notre objectif va maintenant être d'améliorer cette approche.

Nous avons déjà mentionné et mis en évidence dans nos démonstrations que l'intégrant dans le "théorème intégral de Cauchy" était de la forme:

Le point

est bien évidemment une singularité de g(z) et celle-ci n'y est donc pas définie.

Comme nous l'avons vu lors de notre démonstration des séries de Laurent, g(z) peut être exprimée sous forme d'une série de Laurent positive dans un disque de convergence (ou ce qui revient au même: en série de Laurent dans une couronne non centrée sur une singularité...) sous la forme:

Avant de continuer, il est d'usage en mathématiques de définir un petit vocabulaire conventionnel en ce qui concerne cette fois-ci les éventuelles singularités de f(z)!

Rappelons au préalable que nous savons, et nous avons démontré, que toutes les informations sur les singularités de f(z) sont contenues dans la partie principale de la série de Laurent (les puissances négatives) définie sur la couronne entourant

La classification ci-après porte sur les "singularités isolées", c'est-à-dire un point singulier où f(z) est analytique partout dans le voisinage de

excepté en

. Cette classification, qui nous le verrons permettra de distinguer 3 types de points singuliers, nous sera utile lors du développement de la théorie des résidus plus loin.

D1. Lorsque la limite de la fonction existe en

, nous disons que la singularité est un "point singulier éliminable" ou une "singularité apparente".

ne semble pas être définie en

mais nous avons un numérateur ayant une série de Laurent sans puissances négatives (donc une simple série de Taylor). Il vient alors en faisant la série de Maclaurin (donc la série de Taylor en

en d'autres termes...):

Nous voyons que f(z) n'a finalement aucun terme en puissance négative et donc que nous avons éliminé la singularité (ou qu'elle n'en contient au fait pas... ce qui est facilement vérifiable avec Maple 4.00b).

Donc une autre manière équivalente de définir une singularité éliminable, est de dire que le développement de Laurent de la fonction ne contient aucun terme en puissance négative.

D2. Lorsqu'en

la limite de n'existe pas, nous parlons de "singularité essentielle".

En effet, si z tend vers zéro en venant de l'axe réel positif, la fonction diverge, plus précisément, elle tend vers

. Si z vient du côté

, la fonction tend vers zéro comme le montre bien le tracé Maple 4.00b suivant:

>plot3d(abs(exp(1/(re+I*im))),re=-5..5,im=-5..5,view=[-3..3,-3..3,-0.5..3],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 17.23 - Représentation de la divergence de la fonction complexe choisie

Donc une autre manière équivalente de définir une singularité essentielle, est de dire qu'il y a un nombre infini de termes à puissances négatives dans la partie principale de la série de Laurent.

Il s'agit de la dernière catégorie dans laquelle nous pouvons ranger une fonction qui n'est classable ni dans la première, ni dans la deuxième définition précédente.

Donc une autre manière équivalente de définir un "pôle", est de dire qu'il y a un nombre fini de termes à puissances négatives dans la partie principale de la série de Laurent. Si ce nombre de termes est k, alors nous parlons de "pôle d'ordre k".

Remarques:

R1. Nous disons parfois qu'une "singularité essentielle" est un pôle d'ordre infini.

R2. Un pôle d'ordre 1 est appelé un "pôle simple". Un pôle d'ordre 2 est un "pôle double"…

Nous avons démontré plus haut que la série de Laurent de cette fonction en

était:

Cette a donc un pôle d'ordre 1 en

(et in extenso, nous devinons qu'elle en a un aussi en

THÉORÈME DES RÉSIDUS

(c'est-à-dire que nous avons pris une fonction f(z) que nous avons rendue analytique après élimination de ses pôles supposés en un nombre fini - ordre - inférieur ou égal à k en

). Cette fonction

a alors un développement en série de Laurent dans un disque centré sur

Comme nous l'avons vu plus haut, nous pouvons alors en utilisant la relation ci-dessous:

Il faut bien analyser cette relation et comprendre qu'elle relie l'intégrale d'une fonction ayant des singularités avec la valeur en un point d'une fonction analytique n'ayant plus de singularités!

Et en exprimant

en utilisant (autorisé car cette dernière fonction est analytique) le fait que:

Cette dernière relation n'est pour rappel valable que pour UNE singularité isolée

(au cas où vous auriez oublié les concepts introduits lors de notre présentation des singularités) et où k vaut au minimum 1!

comme étant le résidu de la fonction f(z) au point

étant une singularité isolée et ayant un pôle d'ordre k. Ou respectivement:

Remarquons que le terme à droite de l'égalité dans la relation précédente correspond au coefficient

de la série de Laurent. Effectivement:

Remarque: Il vient donc qu'en une singularité isolée éliminable, le résidu est nul puisque comme nous l'avons vu plus haut, l'intégrale curviligne entourant un domaine sans singularité est nulle!

est très intéressante pour le physicien... car il y a donc une manière élégante lui permettant de calculer l'intégrale curviligne d'une fonction f(z) non analytique ayant une unique singularité isolée et ce juste en connaissant l'ordre de ses pôles!

et nous remplaçons donc

par la valeur voulue dans la parenthèse

et ensuite nous calculons la limite du terme entre crochets!

Maintenant pour aller plus loin, rappelons que le contour de l'intégrale curviligne:

sont au fait confondus (identiques) et les coefficients

ne dépendent pas de z! La seule contrainte du chemin est qu'il soit fermé et dans un domaine analytique centré sur un point.

Donc si nous avons plusieurs singularités isolées, entourées par des chemins curvilignes reliés tels que présenté ci-dessous sur le plan complexe d'une fonction ayant un pôle d'ordre 3 (donc trois singularités

non éliminables):

Figure: 17.24 - Singularités multiples isolées entourées par des chemins curvilignes

nous n'avons alors toujours qu'un seul chemin curviligne fermé mais dont les différentes singularités isolées sont reliées par des traverses où comme nous le savons, les chemins qui s'opposent, s'annulent! Et rappelons que les coefficients

sont les mêmes partout sur tout le chemin puisque celui-ci est dans un domaine analytique.

Nous avons alors la version généralisée du théorème des résidus pour une fonction f ayant n singularités isolées:

avec cette approche rigoureuse digne des ingénieurs... qui notent cette dernière relation parfois:

où r est donc un résidu. C'est un résultat important dans le domaine de résolution d'équations différentielles associées à certaines transformées de Laplace inverses (cf. chapitre d'Analyse). Ce résultat intermédiaire nous permettra d'en obtenir un autre un peu plus loin dont l'importance est majeure pour le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Nous savons qu'elle a un pôle d'ordre 1 en

et un pôle d'ordre 1

. Donc si nous prenons cette fois la série de Laurent dans un chemin qui entoure les deux singularités (et non plus qu'une seule) nous avons alors une fonction avec un pôle d'ordre 2.

>readlib(singular):
>singular(1/(1+z^2),z);
>readlib(residue):
>residue(1/(1+z^2),z=-I);
>residue(1/(1+z^2),z=I);

Au fait dans le cas présent, le théorème des résidus est nul car la fonction n'a pas de pôles à l'infini ce qui se vérifie puisque dans notre exemple:

Les physiciens quant à eux diraient que la force ne travaille pas sur le chemin...!

PÔLE À L'INFINI

Nous avons dit juste précédemment que toute fonction qui n'avait pas de pôle à l'infini avait donc la somme des résidus de tous ces pôles qui était nulle. Ce résultat est très important en physique et mérite d'être approfondi!

Il est assez facile de reconnaître le nombre de pôles... mais pour reconnaître les pôles à l'infini on risque de se faire prendre au piège.

Considérons l'expression f(z)dz. Si z est au voisinage de l'infini alors 1/z se trouve au voisinage de 0. Posons:

Cette dernière relation nous sera indispensable dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire pour construire le modèle relativiste de l'atome d'hydrogène de Sommerfeld car nous aurons à y calculer une intégrale curviligne ayant un pôle.

Voyons un exemple avec la fonction qui nous accompagne depuis le début de ce chapitre. C'est-à-dire:

Or nous reconnaissons immédiatement la fonction initiale au signe près et qui n'a donc pas de pôle en 0. Donc f(z) n'a pas de pôle à l'infini.