
ANALYSE
FONCTIONNELLE | ANALYSE COMPLEXE | TOPOLOGIE | THÉORIE
DE LA MESURE
L'analyse est formulation
rigoureuse du calcul différentiel et intégral.
(Wikipédia)
16.
ANALYSE FONCTIONNELLE |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
L'analyse
fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus
particulièrement de l'analyse
qui est en rapport avec l'étude des espaces de fonctions.
Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations
telles que la transformation de Fourier et dans l'étude
des
équations différentielles et des intégrales.
À ce titre elle englobe tellement de domaines qu'il est
difficile
de justifier qu'elle fasse l'objet d'un chapitre car il s'agit
plutôt
d'un domaine d'études. Par ailleurs, c'est à cause
de cette difficulté de cerner exactement le domaine qu'elle
touche que le lecteur trouvera le théorème fondamental
de l'analyse dans le chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral
plutôt qu'ici.
Pourquoi
ceci dit utilisons-nous le terme "analyse" dans
le cas particulier des fonctions. La raison tient historiquement à l'étude
des divers phénomènes de
la nature et la résolution
de divers problèmes techniques et par conséquent
de mathématiques,
qui nous amènent souvent à considérer la variation
d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une
autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces
variations, de nombreux outils sont
à la disposition de tout à chacun:
-
L'ingénieur a par exemple fréquemment recours à la
représentation
graphique (système d'axes cartésien, polaire,
logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendrons plus
en détail) pour
déterminer
la relation (ou "loi") mathématique qui lie
les différentes
grandeurs entre elles. Certes, ce genre de méthode est
(parfois...) esthétique mais les étudiants savent
bien combien il est parfois pénible
en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille
de papier
ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire
(mais dont il faudrait éviter de faire une utilisation
abusive) pour comprendre comment nos prédécesseurs
travaillaient et ont obtenu les résultats
qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en physique
théorique.
- Le mathématicien et le physicien théoricien
ont habituellement horreur d'avoir recours aux méthodes
papier-crayon-gribouillage. Quoi qu'il en soit, le rôle du mathématicien
ou du physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide
d'axiomes ou de principes mathématiques ce qui ne devrait
nécessiter aucunement
le recours
à la représentation graphique et à l'accès aux mesures
expérimentales
qui y sont souvent rattachées.
Remarque:Avant de commencer la lecture de ce qui va
suivre, il peut être utile de rappeler au lecteur que la définition
du concept de "fonction" (et les propriétés élémentaires
y relatives) est donné dans le chapitre de
Théorie
Des Ensembles.
REPRÉSENTATIONS
Nous
allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment
représenter différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique
(eh oui! il faut bien car cela aide à comprendre) et ensuite comment
analyser mathématiquement les propriétés de ces représentations
uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.
Définition: Une
fonction est dite "fonction univalente",
si le nombre de ses arguments (paramètres ou variables)
est égal à un.
Dans le cas d'une fonction à deux arguments, nous parlons
de "fonction
bivalente", etc.
REPRÉSENTATION
TABULAIRE
Parmi les modes de représentation
visuelle des fonctions, la plus intuitive et la plus ancienne
est celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un
tableau de façon ordonnée les valeurs de la variable indépendante et
les valeurs correspondantes, dites "variables
transformées"
de la fonction
dans une autre colonne ou ligne alignée.
Telles sont par exemple, les tables
des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques,
etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains
phénomènes des
tables qui expriment la dépendance fonctionnelle existant
entre des grandeurs physiques mesurées telles que les
relevés
de la température
de l'air enregistrés dans une station météorologique
durant une journée.
Bien évidemment, ce concept est généralisable
à toute fonction multivalente quel que soit son ensemble de définition.
Cependant, cette méthode
est laborieuse et ne permet pas de voir directement le comportement
de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante
de ses propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessiter
d'outils spéciaux ou de connaissances mathématiques poussées.
REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES
Les
nombres naturels, relatifs, réels ou purement complexes
(cf.
chapitre sur les Nombres) peuvent tous être représentés
le plus simplement du monde par des points sur un axe numérique
(ligne droite) infini.
Pour
ce faire, nous choisissons sur cet axe:
1. Un point O
appelé "origine"
2. Un sens positif, que nous indiquons par une flèche horizontale
3. Une unité de mesure (représentée habituellement
par un petit trait vertical: la "graduation")
Tel que:
Figure: 16.1 - Exemple type de représentation d'un axe infini orienté avec origine
Le plus souvent nous disposons (par tradition) l'axe horizontalement
et choisissons la direction de gauche à droite.
Remarque: Le point (lettre) O, représente
très fréquemment
le nombre zéro en mathématiques mais nous pourrions
très bien
choisir de mettre l'origine ailleurs. Par exemple, en physique
le point O est souvent positionné à l'emplacement
du barycentre d'un système.
Il est évident que le fait que les ensembles de nombres
dont nous avons parlé sont ordonnés implique
que tout nombre est représenté
par un seul point de l'axe numérique. Ainsi, à deux
nombres réels
distincts correspondent deux points différents de l'axe
numérique.
Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres
et tous les points de l'axe numérique (dans le cas des nombres réels
ou complexes, il correspond non pas un nombre à chaque graduation
mais un nombre à chaque point de l'axe). Ainsi, à chaque nombre
correspond un point ou une graduation unique et inversement à chaque
point ou graduation correspond un seul nombre dont il est l'image.
REPRÉSENTATIONS PLANES
Il existe outre les représentations unidimensionnelles
d'autres de dimensions supérieures (ouf!) qui nous permettent
de tracer non plus que des simples points sur une droite unidimensionnelle
mais des fonctions d'une variable. Voyons de quoi il s'agit:
Nous pouvons à chaque valeur d'une variable x reportée sur
un axe horizontal, appelé "axe des abscisses"
ou "axe des x", faire
correspondre une valeur y au travers d'une fonction f:
(16.1)
reportée sur un axe vertical, appelé "axe
des ordonnées" ou "axe des
y" qui passe par le croisement défini par l'origine
O tel que (exemple arbitraire):

Figure: 16.2 - Exemple type d'une représentation plane avec axes orthogonaux, origine
et quadrants
L'ensemble des points du plan noté sous les variantes
XOY, XY ou encore xOy, Oxy, xy,
dont les abscisses représentent par tradition les valeurs
de la variable indépendante et les ordonnées les
valeurs correspondantes de la fonction, est appelé "graphique
plan" de cette fonction. S'il n'y a pas de confusion
possible, nous dirons simplement "graphique".
Dans le cas d'une représentation par un système de coordonnées
rectangulaires (cartésien, polaire ou logarithmique) comme la figure
ci-dessus, nous pouvons observer que l'ensemble du plan des coordonnées
est séparé en quatre surfaces que nous avons pour habitude d'appeler
"quadrants".
Remarque: Lorsque nous souhaitons mettre en évidence un
point particulier de la fonction représentée, nous y dessinons
un petit rond tel que présenté ci-dessus.
Un autre cas classique de représentation graphique plane
connu par un grand nombre d'étudiants est le tracé
des polynômes (cf. chapitre de Calcul
Algébrique) à coefficients réels.
Effectivement, pour résoudre les équations polynômiales
du second degré (cf. chapitre de
Calcul Algébrique),
il est fréquent dans les petites classes que le professeur
demande en plus à ses élèves de donner une expression
algébrique
des racines de:
(16.2)
données
par, rappelons-le:
(16.3)
une résolution graphique où les deux racines (dans le cas où il
y en a deux distinctes réelles) sont données par l'intersection
de la parabole avec l'axe des abscisses (bien évidemment,
si l'équation n'a pas de solutions, il n'y a pas d'intersections...):

Figure: 16.3 - Représentation des racines sur un graphe planaire
La représentation graphique étant généralisable
aux équations polynomiales
du 3ème, 4ème et 5ème degré (nous
démontrerons bien plus loin, à
l'aide de la théorie de Galois qu'il n'est pas possible
d'obtenir une expression algébrique générale
des racines d'une
équation polynomiale du 5ème degré et supérieur).
De même, les graphiques sont des outils qualitatifs puissants
dans le domaine des statistiques (cf. chapitre
de Statistiques) comme point de départ de l'analyse
de données (histogrammes, fromages, boîtes à moustaches,
radars, nuages de points,...). Les hypothèses
et idées
qui sont générées par l'analyse
graphique peuvent être investiguées avec des outils
statistiques avancés.
Voici par exemple un graphique (histogramme) pris du chapitre
de Génie
Industriel très courant dans le domaine des statistiques
et de la gestion de projets dans l'industrie mondiale:

Figure: 16.4 - Exemple d'histogramme typique dans les entreprises d'ingénierie
(Six Sigma)
Les histogrammes permettent d'observer les distributions
et de décider de manière qualitative si elle s'ajuste à un modèle
théorique particulier.
Les graphiques peuvent permettre également
d'observer les changements au cours du temps de (séries
temporelles, cartes de contrôle):

Figure: 16.5 - Exemple de série temporelle avec des moyennes mobiles dans la négoce
financière
et encore à bien d'autres choses... que
nous verrons tout au long des pages de ce site Internet.
REPRÉSENTATIONS 3D
Bien évidemment, dans le cas d'une fonction trivalente (tridimensionnelle),
c'est-à-dire dont un paramètre dépend de
deux autres, le principe reste le même à la différence que
le nombre de quadrants double.
Cette méthode de représentation et d'analyse d'une fonction trivalente
était longue à mettre en place il y a une dizaine d'années
mais avec l'aide des ordinateurs en ce 21ème siècle ce problème
(de temps) est assez bien résolu...
Ce type de représentation est suffisamment important
en physique appliquée pour que nous nous y arrêtions
un instant en faisant des exemples typiques sur plusieurs pages,
des commandes les plus
importantes avec Maple 4.00b (même s'il existe de nombreux
ouvrages sur le sujet c'est trop important pour que nous omettions
ces
exemples).
Ce que nous allons représenter, les mathématiciens puristes
le noteraient formellement d'abord de la manière suivante (c'est
bien d'avoir vu au moins une fois cette notation car vous pourriez
la rencontrer dans d'autres ouvrages):
(16.4)
et voyons ce que cela donne donc avec Maple 4.00b:
>restart:
>with(plots):
Nous prenons une fonction 3D quelconque:
>f:=(x,y)->12*x/(1+x^2+y^2);
Nous définissons le domaine d'analyse:
>xrange:=-10..10;yrange:=-5..5;
et nous faisons un plot simple:
>plot3d(f,xrange,yrange);

Figure: 16.6 - Exemple de représentation filiaire d'une fonction
Améliorons un peu l'aspect:
>plot3d(f,xrange,yrange, style=patchnogrid,
grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], labels=[`x`,`y`,`f(x,y)`],
labelfont=[TIMES,BOLD,12], title=`Graphique rempli`, titlefont=[TIMES,BOLD,12],
scaling=unconstrained, orientation=[-107,68]);

Figure: 16.7 - Représentation coloriée (gradients) d'une fonction
Traçons les courbes de niveau (cf.
chapitre de Géométrie différentielle):
>plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour);

Figure: 16.8 - Représentation des courbes de niveau (isoclines) d'une fonction
Ce n'est pas très beau donc améliorons
cela:
>plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour,contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)],grid=[80,50],shading=ZHUE,axes=FRAME,
tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained,orientation=[-107,68]);

Figure: 16.9 - Représentation des gradients et isoclines d'une fonction
Avec une petite rotation pour voir du dessus:
>plot3d(f,xrange,yrange, style=patchcontour,
contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)], grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME,
tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained, orientation=[-90,0]);

Figure: 16.10 - Représentation planaire des isoclines et des gradients
Et en coupe:
>plot(f(x,2),x=xrange);

Figure: 16.11 - Représentation en coupe d'une fonction
Ou avec des coupes multiples:
>display([seq(plot(f(x,y),x=xrange),y=yrange)]);

Figure: 16.12 - Représentation de coupes multiples d'une fonction
Le lecteur pourra aussi animer le précédent graphique
avec la commande suivante:
>display([seq(display([plot(f(x,k/5),x=xrange),
textplot([6,5,cat(`y=`,convert(evalf(k/5,2),string))],font=[TIMES,BOLD,16])]),k=-25..25)],insequence=true,
title=`Animation`,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);
voilà pour un exemple typiquement simple
des manipulations standard d'un ingénieur dans l'entreprise
utilisant des graphiques.
REPRÉSENTATIONS VECTORIELLES
Il est aussi fréquemment fait usage des représentations
graphiques dans le cadre de la géométrie analytique
pour simplifier les analyses ou faire des démonstrations
de théorèmes connus sous forme visuelle (il
faut cependant ne pas en abuser!).
Ainsi, nous pouvons introduire par exemple le concept de norme
(cf. chapitre de Calcul Vectoriel)
de manière simpliste en représentant graphiquement
la distance entre deux points et en appliquant le théorème de
Pythagore (cf. chapitre de Géométrie
Euclidienne)
qui sera supposé connu.
Ainsi, représentons trois points
sur un graphique plan dans lequel a été défini un repère tel que
présenté dans le graphique ci-dessous:

Figure: 16.13 - Mise en situation de 3 points dans un plan
Si
et (comme
sur la figure ci-dessus), les points sont
les sommets d'un triangle rectangle. Par application du théorème
de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie
Euclidienne):
(16.5)
Sur la figure, nous voyons que:
et
(16.6)
Puisque ,
nous pouvons écrire:
(16.7)
Si
,
nous nous retrouvons avec une relation appelée "norme", "module" ou
encore "distance"
que nous avions déjà définie dans le cadre
de notre étude
de l'analyse vectorielle (cf. chapitre de
Calcul Vectoriel).
Bien
évidemment, si nous considérons deux points ,
nous pouvons déterminer si un troisième point
est sur la médiatrice (cf. chapitre de Géométrie
Euclidienne)
des deux premiers et qu'il suffit pour cela que bien évidemment
(par définition
même
de la médiatrice):
(16.8)
Comme sont
connus, nous pouvons facilement exprimer une "expression
analytique" de la médiatrice du type:
(16.9)
où a, b sont des constantes et où tout point qui
satisfait cette relation, qui est en l'occurrence l'équation d'une
droite, se trouve sur la médiatrice.
Par ailleurs, il est aisé de visualiser que le point milieu
du segment de droite est donné par:
(16.10)
Donc nous voyons qu'avec une simple représentation graphique,
nous pouvons obtenir des résultats qui sont parfois (...)
plus évidents pour les étudiants.
Profitons de cet exemple pour définir quelques concepts
sur lesquels nous reviendrons et faire quelques rappels.
Définition: Toute fonction de la forme d'un polynôme
(cf. chapitre de Calcul Algébrique)
de degré 1 à coefficients réels constants:
(16.11)
est l'expression analytique de ce que nous appelons une "droite"
de "pente" a et
"d'ordonnée à l'origine" b
(quand ).
Bien évidemment, si:
(16.12)
la droite est horizontale si nous la représentons graphiquement
puisque y est constant pour tout x et vaut alors
b. Inversement, si:
(16.13)
la droite est une verticale.
PROPRIÉTÉS DES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES
Selon le type de graphique que nous visualisons (en particulier
les graphiques plans) il est possible d'extraire certaines propriétés
de base. Voyons les plus importantes à connaître
pour les graphiques plans d'une fonction à une variable:
(16.14)
P1. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées si le changement de x en -x ne
modifie pas la valeur de l'équation tel que:

Figure: 16.14 - Exemple de symétrie par l'axe des ordonnées d'une fonction
P2. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe
des abscisses si le changement de y en -y ne
modifie pas la valeur de l'équation tel que:

Figure: 16.15 - Exemple de symétrie par l'axe des abscisses d'une fonction
P3. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine
si le changement simultané de y en -y et
de x en -x ne modifie pas la valeur de l'équation tel que:

Figure: 16.16 - Exemple de symétrie par l'origine d'une fonction
P4.
Soit une fonction
,
si nous ajoutons une constante
à cette fonction tel que nous écrivions:
(16.15)
alors
le graphique de f est déplacé (ou "translaté")
verticalement vers le haut d'une distance tel
que présenté sur la figure suivante:
Figure: 16.17 - Exemple d'une translation verticale positive d'une fonction
Et
inversement si mais
que:
(16.16)
alors
le graphique est bien évidemment translaté verticalement
vers le bas:
Figure: 16.18 - Exemple d'une translation verticale négative d'une fonction
Nous
pouvons aussi envisager des translations horizontales de graphiques.
Précisément, si ,
alors
est translaté horizontalement vers la droite si nous écrivons:
(16.17)
ce qui graphiquement est représenté par:
Figure: 16.19 - Exemple de translation horizontale négative d'une fonction
et
inversement, translaté horizontalement vers la gauche, si nous écrivons:
(16.18)
comme le montre le graphique ci-dessous:
Figure: 16.20 - Exemple de translation horizontale positive d'une fonction
Pour étirer ou comprimer verticalement un graphique,
il suffit de multiplier la fonction
par une constante
et respectivement
tel que:
(16.19)
ce que nous pouvons représenter graphique par:
Figure: 16.21 - Exemple d'aplatissement vertical d'une fonction
et:

Figure: 16.22 - Exemple d'étirement vertical d'une fonction
Pour étirer ou comprimer horizontalement un graphique,
il suffit de même, de multiplier la fonction
par une constante
et
respectivement
ou
tel que:
(16.20)
ce que nous pouvons représenter sous forme graphique:
Figure: 16.23 - Exemple d'étirement horizontal d'une fonction
et:
Figure: 16.24 - Exemple d'aplatissement horizontal d'une fonction
Remarque:Translater, étirer, comprimer un graphique
ou lui faire subir une symétrie, c'est le transformer.
Le graphique résultant
de ces transformations est appelé le "transformé"
du graphique de départ.
Définitions: Nous disons qu'une fonction f est:
- Une "fonction croissante"
ou "fonction croissante au sens large"
sur I si pour tout couple ,
d'éléments de I tels que ,
nous avons .
Ce que nous notons de manière condensée:
(16.21)
- Une "fonction décroissante" ou "fonction
décroissante
au sens large" sur I si pour tout couple ,
d'éléments de I tels que ,
nous avons .
Ce que nous notons de manière condensée:
(16.22)
Remarque: Une "fonction
est monotone" ou "fonction
monotone au sens large" sur I si elle
est croissante ou
décroissante.
-Une "fonction strictement croissante" sur I si
pour tout couple ,
d'éléments de I tels que ,
nous avons .
Ce que nous notons de manière condensée:
(16.23)
- Une "fonction strictement décroissante" sur I si
pour tout couple ,
d'éléments de I tels que ,
nous avons .
Ce que nous notons de manière condensée:
(16.24)
Remarque: Nous
disons qu'une "fonction
est strictement monotone" sur I si
elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante
sur I.
REPRÉSENTATIONS ANALYTIQUES
Le mode de représentation analytique
est de loin le plus utilisé et consiste à représenter toute fonction
en une "expression analytique" qui est la notation mathématique
symbolique et abstraite de l'ensemble des opérations mathématiques
connues que l'on doit appliquer dans un certain ordre à des nombres
et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables que
nous cherchons à analyser.
Remarquons que par ensemble des opérations
mathématiques connues, nous envisageons non seulement les opérations
mathématiques vues dans la section arithmétique (addition, soustraction,
extraction de la racine, etc.) mais également toutes les opérations
qui seront définies au fur et à mesure dans le présent site
internet.
Si la dépendance fonctionnelle est
telle que f est une expression analytique, nous disons alors
que la "fonction y de x"
est "donnée analytiquement".
Voici quelques exemples d'expressions analytiques simples:
,
,
(16.25)
Lorsque nous avons déterminé l'équation
de la médiatrice,
nous avons obtenu une expression analytique de la droite visuelle
qui la caractérise sous la forme d'une fonction du type:
(16.26)
qui rappelons-le, est donc l'expression analytique l'équation
d'une droite, appelée également "équation
linéaire" ou "fonction
affine",
sur un plan dont deux points
sont connus, la pente est donnée par le rapport de l'accroissement
vertical sur l'accroissement horizontal tel que:
(16.27)
Une application sympathique et triviale consiste à démontrer analytiquement
que deux droites non verticales sont parallèles si et seulement
si elles ont la même pente. Ainsi, soit deux droites données par
les équations:
(16.28)
Les droites
se coupent en un point (x, y) si
et seulement si les valeurs de y
sont égales pour un certain x,
c'est-à-dire:
(16.29)
La
dernière équation peut être résolue par rapport à x si
et seulement si .
Nous avons donc montré que les droites se
coupent si et seulement si .
Donc, elles ne se coupent pas (elles sont parallèles) si et seulement
si .
De
façon assez simple en appliquant le théorème de
Pythagore, il n'est pas compliqué de déterminer
que l'équation d'un cercle de centre
C(h, k)
a
pour équation (nous avons pour habitude en mathématiques
de ne pas expliciter y pour l'équation du cercle
ainsi, l'équation
de ce dernier est visuellement beaucoup plus esthétique
et parlante)
(16.30)
Dans ces exemples les fonctions sont
exprimées analytiquement par une seule formule (égalité entre
deux expressions analytiques) qui définit dans un
même temps le "domaine naturel de définition" des fonctions.
Définition: Le "domaine
naturel de définition" d'une fonction donnée
par une expression analytique est l'ensemble des valeurs x
pour lesquelles l'expression du membre de droite a une valeur
bien déterminée.
Par exemple, la fonction:
(16.31)
est définie pour toutes les
valeurs de x,
excepté la valeur où
nous avons une singularité (division par zéro).
Remarque: Il existe une infinité de fonctions
et nous ne pouvons toutes les exposer ici, cependant nous en
rencontrerons
plus d'un
millier sur l'ensemble du site et cela devrait amplement suffire
à se faire une idée de leur étude.
FONCTIONS
Définitions:
D1.
Nous disons que y
est une fonction de x
et nous écrirons ,
etc., si à chaque valeur de la variable x
appartenant à un certain domaine de définition (ensemble) D,
correspond une valeur de la variable y
dans un autre domaine de définition (ensemble) E.
Ce que nous notons:
(16.32)
La
variable x
est appelée "variable indépendante" ou "variable
d'entrée" et y
"variable dépendante".
La dépendance entre les variables x
et y
s'appelle une "dépendance fonctionnelle".
La lettre f, qui entre dans la notation symbolique de
la dépendance
fonctionnelle, indique qu'il faut appliquer certaines opérations
à x
pour obtenir la valeur correspondante y.
Nous écrivons parfois:
(16.33)
au
lieu de:
(16.34)
Dans
ce dernier cas la lettre y exprime en même temps
la valeur de la fonction et le symbole des opérations
appliquées à x.
Remarque: Comme nous l'avons vu lors de notre étude
du chapitre de Théorie
Des Ensembles, une application (ou fonction) peut-être injective,
bijective ou surjective. Il convient donc que le lecteur pour
qui ces
notions ne sont pas connues aille en priorité lire ces
définitions.
D2. L'ensemble des valeurs x pour lesquelles la valeur de
la fonction y est donnée par la fonction f(x)
est appelé "domaine d'existence"
de la fonction (ou domaine de définition de la fonction).
D3.
La fonction est
dite "fonction croissante" si à une
plus grande valeur de la variable indépendante correspond
une plus grande valeur de la fonction (de l'image). Nous
définissons de manière
analogue mais inverse la "fonction
décroissante".
D4. Une "fonction constante" est
une fonction pour laquelle à toute valeur de la variable indépendante
correspond toujours une même image constante.
D5. La fonction est
dite "fonction périodique" s'il
existe un nombre constant tel
que la valeur de la fonction ne change pas quand nous ajoutons
(ou que nous retranchons) le nombre
à la variable indépendante tel que:
(16.35)
Ce qui correspond à une translation selon x.
La plus petite constante satisfaisant à cette
condition est appelée "période" de
la fonction. Elle est fréquemment notée T en
physique.
D6. En calcul différentiel et intégral,
l'expression:
(16.36)
avec
est d'un intérêt particulier. Nous l'appelons un "quotient
d'accroissement" (nous reviendrons beaucoup plus
en détail
sur ce sujet lors de notre étude du calcul différentiel et intégral).
D7. Nous utilisons certaines propriétés
des fonctions pour faciliter leur représentation graphique
et leur analyse. En particulier, une fonction
f(x) est dite "fonction
paire" si:
(16.37)
pour
tout x dans
son domaine de définition. Une fonction est dite "fonction
impaire"
si:
(16.38)
pour tout x dans son domaine de définition.
Ainsi, pour résumer une fonction paire est une fonction
qui ne dépend pas du signe de la variable et
une fonction impaire change de signe quand nous changeons le
signe de la
variable (la spirale de Cornus dans le chapitre de Génie
Civil est un bon exemple pratique de fonction impaire). Ce concept
nous
sera très
utile pour simplifier certaines expressions très utiles
en physique (comme les transformées de
Fourier des fonctions paires ou impaires par exemple ou encore
le calcul de certaines intégrales!).
Montrons maintenant que toute fonction f(x)
est la somme d'une fonction paire g(x) et
d'une fonction impaire
h(x).
Remarque:Ce type de théorème qui consiste à
relier un concept général par un cas particulier
et son opposé se retrouve souvent en mathématiques.
Nous retrouverons de tels exemples en calcul tensoriel avec
les tenseurs
symétriques et antisymétriques (cf.
chapitre de Calcul Tensoriel) ou encore en physique quantique
avec les opérateurs hermitiques et antihermitiques
(cf.
chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).
Démonstration:
Posons:
(16.39)
alors:
(16.40)
Si
nous sommons, nous avons dès lors:
(16.41)
et
en soustrayant:
(16.42)
Il existe donc bien une décomposition paire et impaire de toute
fonction.
C.Q.F.D.
Enfin, il est important de remarquer que:
- Le produit de deux fonctions paires est une fonction
paire
- Le produit deux fonctions impaires est une fonction
paire
- Le produit d'une fonction paire et impaire est
une fonction impaire
Voyons la brève démonstration pour la dernère propriété
car nous en aurons besoin dans la section de Géométrie.
Soient g une fonction paire et h une fonction impaire
telles que:
(16.43)
Dès lors:
(16.44)
D8. De façon générale, si f(x) et g(x) sont
des fonctions quelconques, nous utilisons la terminologie et
les
notations données dans le tableau suivant:
Terminologie |
Valeur
de la fonction |
Somme  |
 |
Différence  |
 |
Produit  |
 |
Quotient  |
 |
Tableau: 16.1
- Terminologie concernant les fonctions
Les domaines de définition de ,
,
sont
l'intersection I des domaines de définition de f(x)
et de g(x), c'est-à-dire les nombres qui sont
communs aux deux domaines de définition. Le domaine de définition
de est
quant à lui le sous-ensemble de I comprenant tous les x de
I tels que .
D9. Soit y une fonction
f de u
et u une fonction g
de la variable x,
alors y dépend de x
et nous avons ce que nous appelle une "fonction
composée"
et que nous notons:
ou
(16.45)
Pour
la dernière notation, il faut lire "f rond
g"
et ne pas confondre le "rond" avec la notation du produit
scalaire que nous verrons lors de notre étude du calcul
vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
Le domaine de définition de la fonction composée est soit
identique au domaine tout entier de définition de la fonction ,
soit à la partie de ce domaine dans laquelle les valeurs de u
sont telles que les valeurs correspondantes f(u) appartiennent
au domaine de définition de cette fonction.
Le principe de fonction composée peut
être appliqué non seulement une fois, mais un nombre arbitraire
de fois.
Si x
ne dépend pas d'une autre variable (ou qu'elle n'est pas
elle-même
une fonction composée), nous disons alors que est
une "fonction élémentaire".
Les
principales fonctions élémentaires sont des fonctions
dont l'expression est l'une des suivantes:
1. La "fonction
puissance":
(16.46)
où m est
un nombre positif différent de 1 (sinon il s'agit d'une fonction
linéaire).

Figure: 16.25 - Différents tracés d'une fonction puissance simple
2. La "fonction
exponentielle":
(16.47)
où a est
un nombre positif différent de 1.
3. La "fonction
logarithmique":
(16.48)
où la base du logarithme est un nombre positif a différent
de l'unité (cette fonction sera définie rigoureusement un peu plus
loin).
Remarque: Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont appelées
parfois des "fonctions transcendantes".
4. Les "fonctions trigonométriques"
(cf. chapitre de Trigonométrie):
...
(16.49)
5. Les "fonctions
polynomiales":
(16.50)
où sont
des nombres constants appelés coefficients et n
est un entier positif que nous appelons "degré du
polynôme" (cf. chapitre de
Calcul Algébrique).
Il est évident que cette fonction est définie pour toutes les
valeurs de x,
c'est-à-dire qu'elle est définie dans un intervalle infini.
6. Les "fractions rationnelles"
qui sont des divisions de polynômes (cf.
chapitre de Calcul Algébrique):
(16.51)
Remarque: Deux fractions rationnelles sont égales, si
l'une
s'obtient de l'autre en multipliant le numérateur
et le dénominateur par un même polynôme.
7. Les "fonctions
algébriques"
sont définies par le fait que la fonction est
le résultat d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication,
de division, de variables élevées à une puissance rationnelle non
entière.
Remarque: Il existe cependant un très grand nombre
de fonctions que nous rencontrerons dans les différents
chapitres du site. Citons par exemple les "fonctions de
Bessel" (cf.
chapitre des Suites Et Séries), les "fonctions
lipschitziennes" (cf. chapitre de
Topologie),
les "fonctions de Dirac" (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral),
les "fonctions
de répartition et de distribution" (cf.
chapitre de Statistiques), la "fonction gamma
d'Euler"
(cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral), etc.
8. Une application est
dite "fonction en escalier" si
et seulement si, il existe une subdivision de
[a, b] tel que et et tels
que:


Figure: 16.26 - Exemple d'une fonction en escalier courante
LIMITE
ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Nous allons considérer maintenant des
variables ordonnées d'un type spécial, que nous définissons par
la relation "la variable tend vers une limite". Dans la
suite de ce cours, la notion de limite d'une variable va jouer un
rôle fondamental, étant intimement liée aux notions de base de l'analyse
mathématique, la dérivée, l'intégrale, etc.
Définition: Le nombre a est
appelé la "limite" de la
grandeur variable x,
si, pour tout nombre arbitrairement petit
avons:
(16.52)
Si le nombre a est
la limite de la variable x,
nous disons que "x
tend vers la limite a".
Nous pouvons définir également la notion
de limite en partant de considérations géométriques (cela peut aider
à mieux comprendre... quoique pas toujours...):
Le nombre constant a est
la limite de la variable x,
si pour tout voisinage donné, aussi petit qu'il soit, de centre
a et
de rayon ,
nous pouvons trouver une valeur x
telle que tous les points correspondant aux valeurs suivantes
de la variable appartiennent à ce voisinage (notions que nous
avons défini précédemment). Géométriquement nous représentons
cela ainsi:

Figure: 16.27 - Notion géométrique de limite
Remarque:Il devrait être trivial que la limite
d'une grandeur constante est égale à cette constante, puisque l'inégalité  est
toujours satisfaite pour  arbitraire.
Il ne faut également pas s'imaginer
que chaque variable doit nécessairement avoir une limite.
Définition: La variable x tend
vers l'infini, si pour chaque nombre positif donné M, nous
indiquons une valeur de x
à partir de laquelle toutes les valeurs conséquentes de
la variable (valeurs de la variable appartenant dans le voisinage
défini
à partir de valeur indiquée précédemment)
x vérifient l'inégalité .
Nous pouvons vérifier ce
genre de cas dans les suites arithmétiques, géométriques, ou harmoniques
où chaque terme de la progression est une valeur que prend la variable
x.
La variable x
"tend vers plus l'infini",
ou si
pour arbitraire,
à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs conséquentes
de la variable vérifient l'inégalité .
C'est typiquement le genre de considération que nous
avons pour des progressions divergentes vers l'infini où à partir
d'un certain terme de valeur égale à M
tous les termes suivants sont supérieurs à M.
La variable x "tend vers moins
l'infini" ou si
pour arbitraire,
à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs suivantes de la
variable vérifient l'inégalité .
Définition: Soit une
fonction définie dans un voisinage du point a ou
en certains points de ce voisinage. La fonction tend
vers la limite b lorsque
x
tendant vers a ,
si pour chaque nombre positif ,
aussi petit qu'il soit, nous pouvons indiquer un nombre positif
tel
que tous les x
différents de a
et vérifiant l'inégalité satisfont
également:
(16.53)
L'inégalité permet
d'exprimer le côté (ou le sens) depuis
lequel nous venons avec notre x.
Car sur le système d'axe représentant des valeurs
ordonnées,
nous pouvons, pour une valeur donnée, venir de sa
gauche ou de sa droite pour se rapprocher d'elle (imaginez-vous
au besoin,
un bus qui peut
venir depuis un côté ou un autre de la route tant que
la distance qui le sépare à l'arrêt qui nous intéresse
est inférieure à ).
Si b est la limite de la fonction f(x) quand
,
nous écrivons alors sur ce site en tous les cas:
(16.54)
Pour définir le côté depuis lequel
nous venons en appliquant la limite, nous utilisons une notation
particulière (rappelons que cela permet de connaître de quel côté
de la route vient notre bus).
Ainsi, si f(x) tend vers la limite quand
x tend vers un nombre a en ne prenant que des
valeurs plus petites que a, nous écrirons alors:
(16.55)
(remarquez le petit – en indice) et nous appellerons la
"limite à gauche" de
la fonction
f(x) au point a (car rappelez-vous
que l'axe des abscisses va de à
,
donc les petites valeurs par rapport à une valeur donnée,
se trouvent
à gauche). Si x prend des valeurs plus grandes que a,
nous écrirons alors:
(16.56)
(remarquez le petit + en
indice) et nous appellerons la
"limite à droite" de la fonction au point a.
Exemple:
Montrons que (nous supposons le résultat
connu pour l'instant):
(16.57)
Il faut démontrer que, quel
que soit ,
l'inégalité sera
satisfaite dès que ,
où N
est défini par le choix de .
L'inégalité précédente est évidemment équivalente à ,
qui est satisfaite si nous avons x:
(16.58)
Nous admettons que l'exemple et la
méthode sont discutables, mais nous verrons plus tard
les outils mathématiques adéquats pour arriver
rigoureusement, sans magouilles et hypothèses de départ,
au résultat obtenu précédemment.
La signification des symboles et
,
rend évidente celle des expressions:
f(x) tend vers b quand

et:
f(x) tend vers b quand

que nous notons symboliquement par:
et
(16.59)
Nous avons défini les cas où la fonction f(x)
tend vers une certaine limite b quand ou
.
Considérons maintenant le cas où la fonction tend
vers l'infini quand la variable x varie d'une certaine
manière.
Définition: La fonction f(x) tend
vers l'infini quand ,
autrement dit f(x) est infiniment grande quand
,
si pour chaque nombre positif M, aussi grand qu'il soit,
nous pouvons trouver un nombre tel
que pour toutes les valeurs de x différentes de a et
vérifiant la condition ,
l'inégalité est
satisfaite.
Si f(x) tend vers l'infini quand ,
nous écrivons:
(16.60)
Si f(x) tend vers l'infini quand ,
en ne prenant que des valeurs positives ou que des valeurs négatives,
nous écrivons respectivement:
et
(16.61)
Si la fonction f(x) tend vers l'infini quand
on
écrit:
(16.62)
et en particulier, nous pouvons avoir:
,
,
,
(16.63)
Il peut arriver que la fonction f(x) ne
tende ni vers une limite finie, ni vers l'infini quand (par
exemple ),
la fonction est alors bornée (cf.
chapitre de Théorie des Ensembles).

Maintenant que nous avons grosso modo eu un aperçu du concept
de limite, nous allons donner une définition extrêmement importante
qui est un des piliers de beaucoup de domaines de la mathématique
et de la physique. Définition: Soit f une fonction définie sur .
Soit ,
nous disons que nous avons une "fonction
continue" en si
et seulement si:
(16.64)
c'est-à-dire si (il faut pouvoir arriver à y lire le
fait qu'on s'approche de manière infiniment petite d'une
limite ce qui permet d'assurer la continuité) que tel
que alors:
(16.65)
Remarque: f est " continue à droite" (resp. à gauche)
si nous rajoutons la condition  (resp.  ).
Nous avons les corollaires triviaux suivants:
C1. f est continue en si
et seulement si f est continue à droite et à gauche en 
C2. f est continue sur I si et seulement si f est
continue en tout point de I.
ASYMPTOTES
Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques
pour préciser des propriétés éventuelles
d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers
l'infinitésimal.
L'étude du comportement asymptotique est particulièrement
développée dans les études de fonctions.
Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment
d'étudier
des fonctions dépendant du temps (évolution de
populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique
de température,
oscillation d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur
est alors de connaître l'état à la fin de
l'expérience,
c'est-à-dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé.
L'objectif n'est alors pas de connaître les variations
intermédiaires,
mais de déterminer le comportement stable, à l'infini
du phénomène mesuré. Le chercheur étudie
donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les
outils
que la mathématique lui offre.
Définitions:
D1. Lorsque la limite d'une fonction f(x)
tend vers une constante
quand ,
alors la représentation graphique de cette fonction nous
amène à
dessiner une droite horizontale que nous appelons "asymptote
horizontale" et dont l'équation est:
(16.66)
D2. Lorsque la limite d'une fonction f(x)
tend vers
quand
, alors la représentation graphique de cette fonction
nous amène
à dessiner une droite verticale que nous appelons "asymptote
verticale" et dont l'équation est:
(16.67)
Exemple:
La
courbe représentative de la fonction f(x)=1/(x-1)
admet la droite d'équation comme
asymptote verticale et comme
asymptote horizontale:

Figure: 16.28 - Représentation graphique plane d'une asymptote verticale et horizontale
D3. La droite d'équation est
une "asymptote oblique" à
la courbe de la fonction f(x) si:
(16.68)
les valeurs de a et de b peuvent se retrouver facilement
à l'aide des relations suivantes:
(16.69)
Remarque: Attention une courbe peut admettre deux asymptotes
obliques distinctes en + 
et en - 
Pour rechercher une asymptote oblique éventuelle, il
faut déjà
être sûr que la fonction f admet une limite infinie
en +
ou en -
ensuite nous cherchons la limite en +
ou en - de f(x)/x .
Trois cas sont à considérer:
C1. La courbe représentative de f a pour direction asymptotique
la droite d'équation :
(16.70)
Exemple:
La fonction possède
entre autres une asymptote d'équation :

Figure: 16.29 - Représentation graphique plane d'une asymptote oblique
C2. La courbe représentative de f admet une branche
infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe
des abscisses
en est la direction asymptotique (fonction racine carrée
par exemple)
(16.71)
Exemple:
Les
fonctions (en
rouge) ou ln(x) (en vert) ont
une limite f(x)/x nulle et possèdent
donc toutes deux une "branche parabolique" de direction Ox.
Figure: 16.30 - Exemples de branches paraboliques pour deux fonctions
C3. La courbe représentative de f admet une branche
infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe
des ordonnées
en est la direction asymptotique. (nous parlons aussi de "branche
parabolique" voire de "fonction carrée")
(16.72)
Exemple:
La
fonction a une
limite f(x)/x infinie et possède
donc une
"branche parabolique" de direction Oy.

Figure: 16.31 - Exemple de parabole
LOGARITHMES
Nous avons longuement hésité à mettre la définition des logarithmes
dans le chapitre traitant du calcul algébrique. Après un moment
de réflexion, nous avons décidé qu'il valait mieux la mettre ici
car pour bien la comprendre, il faut avoir connaissance des concepts
de limite, domaine de définition et fonction exponentielle. Nous
espérons que notre choix vous conviendra au mieux.
Soit la fonction exponentielle
(bijective) de base quelconque a,
où
notée:
(16.73)
pour
laquelle il correspond à chaque nombre réel x,
exactement un nombre positif (l'ensemble
image de la fonction est dans )
tel que les règles de calcul des puissances soient applicables
(cf. chapitre de Calcul Algébrique).
Nous savons que pour une telle fonction, que si ,
alors f(x) est croissante et positive dans ,
et si ,
alors f(x) est décroissante et positive dans .
Remarques:
R1. Si ,
lorsque x décroît vers des valeurs négatives,
le graphique de f(x) tend vers l'axe des x.
Ainsi, l'axe des x est une asymptote horizontale. Lorsque x croît
par valeurs positives, le graphique monte rapidement. Ce type
de
variation est caractéristique de la "loi
de croissance exponentielle" et f(x)
est quelques fois appelée "fonction
de croissance". Si ,
lorsque x croît, le graphique tend asymptotiquement
vers l'axe des x. Ce type de variation est connu sous
le nom de "décroissance
exponentielle".
R2. En étudiant ,
nous excluons le cas et
.
Notons que si ,
alors n'est
pas un nombre réel pour de nombreuses valeurs de x (nous
rappelons que l'ensemble image est contraint à ).
Si
, n'est
pas défini. Enfin, si ,
alors pour
tout x et le graphique de f(x) est
une droite horizontale.
Puisque la fonction exponentielle f(x) est bijective
alors il existe une fonction réciproque
et appelée "fonction logarithme"
de base a notée:
(16.74)
Et
donc:
(16.75)
si et seulement si .
En considérant comme
un exposant, nous avons les propriétés suivantes:
Tableau: 16.2
- Propriétés du logarithme en base a
Remarques:
R1. Le mot "logarithme" signifie
"nombre du logos", "logos" signifiant "raison"
ou "rapport".
R2. Les fonctions logarithme
et exponentielle sont définies par leur base (le nombre a).
Lorsqu'on utilise une base de puissance de 10 (10, 100, 1000,…)
nous parlons alors de "système
vulgaire" car
ils ont pour logarithme des nombres entiers successifs.
R3. La partie entière du logarithme s'appelle la "caractéristique".
Il existe deux types de logarithmes que nous retrouvons presque
exclusivement en mathématiques et en physique:
le logarithme en base dix et le logarithme en base e (ce
dernier étant
fréquemment appelé "logarithme
naturel"
ou plus exactement pour des raisons historiques justifiées "logarithme
népérien").
D'abord celui en base 10 (le plus utilisé dans les représentations
graphiques):
(16.76)
abusivement
noté:
(16.77)
et celui
en base
(eulérienne) e:
(16.78)
historiquement noté:
(16.79)
le "n" signifiant "népérien".
Remarque: Historiquement, c'est à John Napier
(1550-1617) dont le nom latinisé est "Neper" que
l'on doit l'étude
des logarithmes et le nom aux "logarithmes népériens" qui
avait pour objectif à l'époque de faciliter grandement les calculs
manuels.
En français pour la fonction
logarithmique en base 10 il faut pour calculer:
(16.80)
se
poser la question suivante: à quelle puissance devons-nous élever
10 pour obtenir x?
Formellement, cela consiste à résoudre
l'équation:
(16.81)
ou autrement écrit:
(16.82)
avec x étant
connu et donc en base 10:
(16.83)
Le logarithme en base 10 est très utilisé dans
les représentations
graphiques du point de vue scientifique lorsque l'on s'intéresse
à des amplitudes de variations. Par exemple avec le logiciel
Maple 4.02 nous avons sans échelle logarithmique
pour
deux
sinus
ayant
pourtant
par
rapport
à leur moyenne respective la même variation d'amplitude
de 50% le résultat visible ci-dessous qui ne met pas nécessairement
en évidence cet état de fait de façon triviale:
>plot({10+0.5*10*sin(x),100+100*0.5*sin(x)},x=1..10);
Figure: 16.32 - Plot avec Maple 4.02 de 2 fonctions sinus avec même amplitude
de variation
par rapport à leur moyenne
Alors qu'en échelle logarithmique, cela donne:
>with(plots):
>logplot({10+0.5*10*sin(x),100+100*0.5*sin(x)},x=1..10);
Figure: 16.33 - Même plot avec R 3.0.2 mais avec l'axe des ordonnées en échelle log
Pour la fonction logarithmique
en base eulérienne e (ou dite "base népérienne")
il faut pour calculer:
(16.84)
se
poser aussi la question suivante: à quelle puissance devons
nous élever le nombre e pour obtenir x?
Formellement, cela consiste
à résoudre l'équation:
(16.85)
ou
autrement écrit:
(16.86)
avec x étant
connu et donc:
(16.87)
Techniquement,
nous disons alors que la fonction exponentielle (voir plus
bas les détails):
(16.88)
est la bijection réciproque de la fonction
ln(x).
Figure: 16.34 - Représentation graphique plane de la bijection entre
le logarithme népérien
et
l'exponentielle
Mais quel est donc ce nombre "eulérien" appelé
également "nombre d'Euler" ?
Pourquoi le retrouve-t-on si souvent en physique et en mathématiques?
D'abord déterminons l'origine de sa valeur:
Pour cela, il nous faut déterminer
la limite (dont l'origine historique semblerait être l'étude
de problèmes
financiers par Euler) de:
(16.89)
avec et
quand .
Remarque: Le
deuxième terme de l'égalité est donc typiquement
le type d'expression que nous retrouvons dans les intérêts
composés en finance (cf. chapitre
d'Économie) ou dans
tout autre type d'accroissement à facteur égal.
Et ce qui nous intéresse dans le cas présent c'est
quand ce type d'accroissement tend vers l'infini.
L'intérêt que nous avons à poser le problème ainsi c'est que si
nous faisons tendre
la fonction écrite précédemment tend vers e et cette fonction
a pour propriété particulière de pouvoir se calculer plus ou moins
facilement pour des raisons historiques à l'aide du binôme de Newton.
Donc d'après le développement du binôme de Newton (cf.
chapitre de Calcul Algébrique) nous pouvons écrire:

(16.90)
Ce développement, est similaire au développement
de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries) de certaines fonctions
pour des cas particuliers de valeurs de développement
(d'où la raison pour laquelle nous retrouvons ce nombre eulérien
dans beaucoup d'endroits que nous découvrirons au fur
et à mesure).
En effectuant certaines transformations
algébriques évidentes, nous trouvons:

(16.91)
Nous voyons de cette dernière égalité
que la fonction est
croissante quand croît.
En effet, quand nous passons de la valeur à
la valeur chaque
terme de cette somme augmente:
,
etc.
(16.92)
Montrons que la grandeur
variable est
bornée. En remarquant que:
,
,
etc.
(16.93)
Nous obtenons donc par analogie avec l'expression étendue
en binôme de Newton déterminée plus haut,
la relation d'ordre suivante:
(16.94)
D'autre part:
(16.95)
Nous pouvons donc écrire
l'inégalité:
(16.96)
Les termes soulignés constituent une
progression géométrique de raison (cf.
chapitre de Suites et Séries) et
dont le premier terme est 1. Par suite en utilisant les résultant
obtenus dans le chapitre de Suites et Séries, nous pouvons écrire:
(16.97)
Par conséquent, nous avons:
(16.98)
Nous avons donc prouvé que la fonction
est
bornée.
La limite:
(16.99)
tend donc vers cette valeur bornée qui est le nombre
e dont la valeur
est:
(16.100)
Remarque: Comme nous l'avons démontré dans
le chapitre traitant des Nombres,
ce nombre est irrationnel.
Nous
pouvons alors définir la "fonction
exponentielle naturelle"
(réciproque de la fonction logarithme népérien) par:
(16.101)
ou
également parfois notée:
(16.102)
Le nombre e et la fonction qui permet de le déterminer
sont très utiles. Nous les retrouvons dans tous les domaines
de la mathématique et de la physique et donc dans la
quasi-totalité des chapitres de ce site.
Les logarithmes ont plusieurs propriétés.
Les voici (nous nous référons à une base X
donnée):
(16.103)
Si nous posons et
nous
avons donc:
(16.104)
Si nous avons le cas particulier alors:
(16.105)
Cherchons à exprimer:
(16.106)
sous
une forme différente. Posons:
(16.107)
ce
qui nous amène au développement:
(16.108)
Cherchons à exprimer maintenant:
(16.109)
avec sous
une forme différente. Posons:
(16.110)
ce
qui nous amène à:
(16.111)
Il y a une relation assez utilisée
en physique relativement aux changements de bases logarithmiques.
La première relation est triviale et découle des propriétés algébriques
des logarithmes:
(16.112)
La seconde relation:
(16.113)
est un peu moins triviale et nécessite
peut-être une démonstration (nous en aurons besoin lors de notre
étude des fractions continues dans le chapitre de Théorie des
nombres).
Démonstration:
Nous avons d'abord les équations équivalentes
(de la première relation ci-dessus):
et
(16.114)
et nous procédons comme suit:
(16.115)
Ce qui nous amène finalement à:
(16.116)
C.Q.F.D.
PRODUIT
SCALAIRE FONCTIONNEL
Le produit scalaire fonctionnel (analogie très forte
avec le produit scalaire vectoriel vu dans le chapitre de calcul
vectoriel)
peut
paraître
inutile lorsqu'il est étudié pour la première
fois hors d'un contexte appliqué mais il connaît
au fait de nombreuses applications pratiques. Nous en ferons
par exemple
directement usage
dans le
chapitre de physique quantique ondulatoire et de chimie quantique
ou encore dans le cadre plus important encore des polynômes
trigonométriques
via les séries et transformées de Fourier (cf.
chapitre sur les Suites Et Séries) que nous retrouvons
partout dans la physique contemporaine.
Cependant,
si le lecteur n'a pas encore parcouru le chapitre de calcul
vectoriel et
la partie y traitant
du produit scalaire vectoriel, nous ne saurions que trop recommander
sa lecture sans quoi ce qui va suivre risque d'être
un peu incompréhensible.
Nous nous plaçons dans
l'espace des fonctions continues de l'intervalle [a,b]
dans
muni du produit scalaire défini par (nous retrouvons la
notation spécifique du produit scalaire dans sa version
fonctionnelle comme nous en avions fait mention lors de notre
définition
du produit scalaire vectoriel):
(16.117)
Une famille de polynômes
orthogonale, comme nous pouvons en faire l'analogie
avec le produit scalaire vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel,
est donc une famille
de polynômes tels que:
si
(16.118)
Nous rappelons
qu'une famille orthogonale est libre (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel).
Le développement
suivant va nous rappeler le procédé de Gram-Schmidt
(cf. chapitre de Calcul Tensoriel)
pour construire une famille orthogonale:
Soit
une famille de polynômes linéairement indépendants
définis sur [a,b]
et V l'espace vectoriel engendré par cette famille.
La famille
définie par récurrence de la manière suivante:
(16.119)
et est
orthogonale et engendre V.
Démonstration:
Montrons par récurrence sur n que est
une famille orthogonale qui engendre le même espace que .
L'assertion est vérifiée pour .
Supposons l'assertion vérifiée pour ,
pour
nous avons:
(16.120)
est donc orthogonale. Pour finir, l'égalité:
(16.121)
montre que
et
engendrent le même espace.
est donc bien une famille orthogonale qui engendre V.
C.Q.F.D.
Exemple:
Considérons l'exemple très important en physique moderne
qui est l'ensemble
des
fonctions continues -périodiques
qui forme un espace vectoriel (cf. chapitre
de Calcul Vectoriel).
Nous définissons donc le produit scalaire
de deux fonctions de cet ensemble par:
(16.122)
Le but de cette étude est de construire une base de sur
laquelle nous pouvons décomposer toute fonction -périodique.
L'idée la plus simple est alors de se servir des fonctions trigonométriques
sinus et cosinus:
(16.123)
Les relations ci-dessous montrent que les bases choisies ci-dessus
sont orthogonales et forment donc une famille libre, de plus
c'est une
famille génératrice de l'espace vectoriel car
comme nous le démontrerons lors de
notre
étude des séries de Fourier (cf.
chapitre sur les Suites Et Séries),
nous avons les valeurs suivantes:
(16.124)
où est
le symbole de Kronecker (cf. chapitre de
Calcul Tensoriel).
Remarque: Si le lecteur se rappelle que pour une
variable aléatoire
X définie sur tout ,
son espérance se calculait
comme étant (cf. chapitre de Statistiques):
(16.125)
Donc nous pouvons assimiler:
(16.126)
où:
(16.127)
à l'espérance de la fonction g(x)!
Analogie parfois forte intéressante dans la pratique!

- Promenades mathématiques,
histoire fondements, applications, F. Laroche, Éditions
Ellipses
ISBN10: 2729814175 (448
pages) - Imprimé en 2003
- L'analyse au fil de l'histoire,
E. Hairer, G. Wanner, Éditions Scopos, ISBN10: 3540674632
(371 pages) - Imprimé en 2001
- Analyse, Concepts et Contextes Volume
1. Fonctions d'une variable, J. Stewart, Éditions DeBoeck - 3ème édition,
ISBN10: 2804150305
(750 pages) - Imprimé en 2006
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