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ANALYSE FONCTIONNELLE | ANALYSE COMPLEXE | TOPOLOGIE | THÉORIE DE LA MESURE

L'analyse est formulation rigoureuse du calcul différentiel et intégral. (Wikipédia)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 28.11.2013 19:44 | {oUUID 1.696}
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L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui est en rapport avec l'étude des espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles et des intégrales. À ce titre elle englobe tellement de domaines qu'il est difficile de justifier qu'elle fasse l'objet d'un chapitre car il s'agit plutôt d'un domaine d'études. Par ailleurs, c'est à cause de cette difficulté de cerner exactement le domaine qu'elle touche que le lecteur trouvera le théorème fondamental de l'analyse dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral plutôt qu'ici.

Pourquoi ceci dit utilisons-nous le terme "analyse" dans le cas particulier des fonctions. La raison tient historiquement à l'étude des divers phénomènes de la nature et la résolution de divers problèmes techniques et par conséquent de mathématiques, qui nous amènent souvent à considérer la variation d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces variations, de nombreux outils sont à la disposition de tout à chacun:

- L'ingénieur a par exemple fréquemment recours à la représentation graphique (système d'axes cartésien, polaire, logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendrons plus en détail) pour déterminer la relation (ou "loi") mathématique qui lie les différentes grandeurs entre elles. Certes, ce genre de méthode est (parfois...) esthétique mais les étudiants savent bien combien il est parfois pénible en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille de papier ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire (mais dont il faudrait éviter de faire une utilisation abusive) pour comprendre comment nos prédécesseurs travaillaient et ont obtenu les résultats qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en physique théorique.

- Le mathématicien et le physicien théoricien ont habituellement horreur d'avoir recours aux méthodes papier-crayon-gribouillage. Quoi qu'il en soit, le rôle du mathématicien ou du physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide d'axiomes ou de principes mathématiques ce qui ne devrait nécessiter aucunement le recours à la représentation graphique et à l'accès aux mesures expérimentales qui y sont souvent rattachées.

REPRÉSENTATIONS

Nous allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment représenter différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique (eh oui! il faut bien car cela aide à comprendre) et ensuite comment analyser mathématiquement les propriétés de ces représentations uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.

Définition: Une fonction est dite "fonction univalente", si le nombre de ses arguments (paramètres ou variables) est égal à un. Dans le cas d'une fonction à deux arguments, nous parlons de "fonction bivalente", etc.

REPRÉSENTATION TABULAIRE

Parmi les modes de représentation visuelle des fonctions, la plus intuitive et la plus ancienne est celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un tableau de façon ordonnée les valeurs de la variable indépendante  et les valeurs correspondantes, dites "variables transformées" de la fonction dans une autre colonne ou ligne alignée. 

Telles sont par exemple, les tables des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques, etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains phénomènes des tables qui expriment la dépendance fonctionnelle existant entre des grandeurs physiques mesurées telles que les relevés de la température de l'air enregistrés dans une station météorologique durant une journée.

Bien évidemment, ce concept est généralisable à toute fonction multivalente quel que soit son ensemble de définition.

Cependant, cette méthode est laborieuse et ne permet pas de voir directement le comportement de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante de ses propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessiter d'outils spéciaux ou de connaissances mathématiques poussées.

REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Les nombres naturels, relatifs, réels ou purement complexes (cf. chapitre sur les Nombres) peuvent tous être représentés le plus simplement du monde par des points sur un axe numérique (ligne droite) infini. 

Pour ce faire, nous choisissons sur cet axe: 

1. Un point O appelé "origine"

2. Un sens positif, que nous indiquons par une flèche horizontale

3. Une unité de mesure (représentée habituellement par un petit trait vertical: la "graduation")

Tel que:

Figure: 16.1 - Exemple type de représentation d'un axe infini orienté avec origine

Le plus souvent nous disposons (par tradition) l'axe horizontalement et choisissons la direction de gauche à droite.

Il est évident que le fait que les ensembles de nombres dont nous avons parlé sont ordonnés implique que tout nombre est représenté par un seul point de l'axe numérique. Ainsi, à deux nombres réels distincts correspondent deux points différents de l'axe numérique.

Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres et tous les points de l'axe numérique (dans le cas des nombres réels ou complexes, il correspond non pas un nombre à chaque graduation mais un nombre à chaque point de l'axe). Ainsi, à chaque nombre correspond un point ou une graduation unique et inversement à chaque point ou graduation correspond un seul nombre dont il est l'image.

REPRÉSENTATIONS PLANES

Il existe outre les représentations unidimensionnelles d'autres de dimensions supérieures (ouf!) qui nous permettent de tracer non plus que des simples points sur une droite unidimensionnelle mais des fonctions d'une variable. Voyons de quoi il s'agit:

Nous pouvons à chaque valeur d'une variable x reportée sur un axe horizontal, appelé "axe des abscisses" ou "axe des x", faire correspondre une valeur y au travers d'une fonction f:

    (16.1)

reportée sur un axe vertical, appelé "axe des ordonnées" ou "axe des y" qui passe par le croisement défini par l'origine O tel que (exemple arbitraire):

Figure: 16.2 - Exemple type d'une représentation plane avec axes orthogonaux, origine et quadrants

L'ensemble des points du plan noté sous les variantes XOY, XY ou encore xOy, Oxy, xy, dont les abscisses représentent par tradition les valeurs de la variable indépendante et les ordonnées les valeurs correspondantes de la fonction, est appelé "graphique plan" de cette fonction. S'il n'y a pas de confusion possible, nous dirons simplement "graphique".

Dans le cas d'une représentation par un système de coordonnées rectangulaires (cartésien, polaire ou logarithmique) comme la figure ci-dessus, nous pouvons observer que l'ensemble du plan des coordonnées est séparé en quatre surfaces que nous avons pour habitude d'appeler "quadrants".

Un autre cas classique de représentation graphique plane connu par un grand nombre d'étudiants est le tracé des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients réels.

Effectivement, pour résoudre les équations polynômiales du second degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique), il est fréquent dans les petites classes que le professeur demande en plus à ses élèves de donner une expression algébrique des racines de:

  (16.2)

données par, rappelons-le:

  (16.3)

une résolution graphique où les deux racines (dans le cas où il y en a deux distinctes réelles) sont données par l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (bien évidemment, si l'équation n'a pas de solutions, il n'y a pas d'intersections...):

Figure: 16.3 - Représentation des racines sur un graphe planaire

La représentation graphique étant généralisable aux équations polynomiales du 3ème, 4ème et 5ème degré (nous démontrerons bien plus loin, à l'aide de la théorie de Galois qu'il n'est pas possible d'obtenir une expression algébrique générale des racines d'une équation polynomiale du 5ème degré et supérieur).

De même, les graphiques sont un outil qualitatif puissant dans le domaine des statistiques (cf. chapitre de Statistiques) comme point de départ de l'analyse de données (histogrammes, fromages, boîtes à moustaches, radars, nuages de points,...). Les hypothèses et idées qui sont générées par l'analyse graphique peuvent être investiguées avec des outils statistiques avancés.

Voici par exemple un graphique (histogramme) pris du chapitre de Génie Industriel très courant dans le domaine des statistiques et de la gestion de projets dans l'industrie mondiale:

Figure: 16.4 - Exemple d'histogramme typique dans les entreprises d'ingénierie (Six Sigma)

Les histogrammes permettent d'observer les distributions et de décider de manière qualitative si elle s'ajuste à un modèle théorique particulier.

Les graphiques peuvent permettre également d'observer les changements au cours du temps de (séries temporelles, cartes de contrôle):

Figure: 16.5 - Exemple de série temporelle avec des moyennes mobiles dans la négoce financière

et encore à bien d'autres choses... que nous verrons tout au long des pages de ce site Internet.

REPRÉSENTATIONS 3D

Bien évidemment, dans le cas d'une fonction trivalente (tridimensionnelle), c'est-à-dire dont un paramètre dépend de deux autres, le principe reste le même à la différence que le nombre de quadrants double.

Cette méthode de représentation et d'analyse d'une fonction trivalente était longue à mettre en place il y a une dizaine d'années mais avec l'aide des ordinateurs en ce 21ème siècle ce problème (de temps) est assez bien résolu...

Ce type de représentation est suffisamment important en physique appliquée pour que nous nous y arrêtions un instant en faisant des exemples typiques sur plusieurs pages, des commandes les plus importantes avec Maple 4.00b (même s'il existe de nombreux ouvrages sur le sujet c'est trop important pour que nous omettions ces exemples).

Ce que nous allons représenter, les mathématiciens puristes le noteraient formellement d'abord de la manière suivante (c'est bien d'avoir vu au moins une fois cette notation car vous pourriez la rencontrer dans d'autres ouvrages):

  (16.4)

et voyons ce que cela donne donc avec Maple 4.00b:

> restart;
> with(plots):

Nous prenons une fonction 3D quelconque:

> f:=(x,y)->12*x/(1+x^2+y^2);

Nous définissons le domaine d'analyse:

> xrange:=-10..10;yrange:=-5..5;

et nous faisons un plot simple:

> plot3d(f,xrange,yrange);

Figure: 16.6 - Exemple de représentation filiaire d'une fonction

Améliorons un peu l'aspect:

> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchnogrid, grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], labels=[`x`,`y`,`f(x,y)`], labelfont=[TIMES,BOLD,12], title=`Graphique rempli`, titlefont=[TIMES,BOLD,12], scaling=unconstrained, orientation=[-107,68]);

Figure: 16.7 - Représentation coloriée (gradients) d'une fonction

Traçons les courbes de niveau (cf. chapitre de Géométrie différentielle):

> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour);

Figure: 16.8 - Représentation des courbes de niveau (isoclines) d'une fonction

Ce n'est pas très beau donc améliorons cela:

> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour,contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)],grid=[80,50],shading=ZHUE,axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained,orientation=[-107,68]);

Figure: 16.9 - Représentation des gradients et isoclines d'une fonction

Avec une petite rotation pour voir du dessus:

> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchcontour, contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)], grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained, orientation=[-90,0]);

Figure: 16.10 - Représentation planaire des isoclines et des gradients

Et en coupe:

> plot(f(x,2),x=xrange);

Figure: 16.11 - Représentation en coupe d'une fonction

Ou avec des coupes multiples:

>display([seq(plot(f(x,y),x=xrange),y=yrange) ]);

Figure: 16.12 - Représentation de coupes multiples d'une fonction

Le lecteur pourra aussi animer le précédent graphique avec la commande suivante:

> display([seq(display([plot(f(x,k/5),x=xrange), textplot([6,5,cat(`y=`,convert(evalf(k/5,2),string))],font=[TIMES,BOLD,16])]),k=-25..25)],insequence=true, title=`Animation`,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);

voilà pour un exemple typiquement simple des manipulations standard d'un ingénieur dans l'entreprise utilisant des graphiques.

REPRÉSENTATIONS VECTORIELLES

Il est aussi fréquemment fait usage des représentations graphiques dans le cadre de la géométrie analytique pour simplifier les analyses ou faire des démonstrations de théorèmes connus sous forme visuelle (il faut cependant ne pas en abuser!).

Ainsi, nous pouvons introduire par exemple le concept de norme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de manière simpliste en représentant graphiquement la distance entre deux points et en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) qui sera supposé connu.

Ainsi, représentons trois points sur un graphique plan dans lequel a été défini un repère tel que présenté dans le graphique ci-dessous:

Figure: 16.13 - Mise en situation de 3 points dans un plan

Si et  (comme sur la figure ci-dessus), les points  sont les sommets d'un triangle rectangle. Par application du théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

  (16.5)

Sur la figure, nous voyons que:

 et     (16.6)

Puisque , nous pouvons écrire:

  (16.7)

Si , nous nous retrouvons avec une relation appelée "norme", "module" ou encore "distance" que nous avions déjà définie dans le cadre de notre étude de l'analyse vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Bien évidemment, si nous considérons deux points , nous pouvons déterminer si un troisième point est sur la médiatrice (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) des deux premiers et qu'il suffit pour cela que bien évidemment (par définition même de la médiatrice):

  (16.8)

Comme  sont connus, nous pouvons facilement exprimer une "expression analytique" de la médiatrice du type:

  (16.9)

où a, b sont des constantes et où tout point qui satisfait cette relation, qui est en l'occurrence l'équation d'une droite, se trouve sur la médiatrice.

Par ailleurs, il est aisé de visualiser que le point milieu du segment de droite est donné par:

  (16.10)

Donc nous voyons qu'avec une simple représentation graphique, nous pouvons obtenir des résultats qui sont parfois (...) plus évidents pour les étudiants.

Profitons de cet exemple pour définir quelques concepts sur lesquels nous reviendrons et faire quelques rappels.

Définition: Toute fonction de la forme d'un polynôme (cf. chapitre de Calcul Algébrique) de degré 1 à coefficients réels constants:

  (16.11)

Bien évidemment, si:

  (16.12)

la droite est horizontale si nous la représentons graphiquement puisque y est constant pour tout x et vaut alors b. Inversement, si:

  (16.13)

la droite est une verticale.

PROPRIÉTÉS DES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Selon le type de graphique que nous visualisons (en particulier les graphiques plans) il est possible d'extraire certaines propriétés de base. Voyons les plus importantes à connaître pour les graphiques plans d'une fonction à une variable:

  (16.14)

P1. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées si le changement de x en -x ne modifie pas la valeur de l'équation tel que:

Figure: 16.14 - Exemple de symétrie par l'axe des ordonnées d'une fonction

P2. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des abscisses si le changement de y en -y ne modifie pas la valeur de l'équation tel que:

Figure: 16.15 - Exemple de symétrie par l'axe des abscisses d'une fonction

P3. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine si le changement simultané de y en -y et de x en -x ne modifie pas la valeur de l'équation tel que:

Figure: 16.16 - Exemple de symétrie par l'origine d'une fonction

P4. Soit une fonction , si nous ajoutons une constante à cette fonction tel que nous écrivions: 

  (16.15)

alors le graphique de f est déplacé (ou "translaté") verticalement vers le haut d'une distance tel que présenté sur la figure suivante:

Figure: 16.17 - Exemple d'une translation verticale positive d'une fonction

Et inversement si mais que:

  (16.16)

alors le graphique est bien évidemment translaté verticalement vers le bas:

Figure: 16.18 - Exemple d'une translation verticale négative d'une fonction

Nous pouvons aussi envisager des translations horizontales de graphiques. Précisément, si , alors est translaté horizontalement vers la droite si nous écrivons:

  (16.17)

ce qui graphiquement est représenté par:

Figure: 16.19 - Exemple de translation horizontale négative d'une fonction

et inversement, translaté horizontalement vers la gauche, si nous écrivons:

  (16.18)

comme le montre le graphique ci-dessous:

Figure: 16.20 - Exemple de translation horizontale positive d'une fonction

Pour étirer ou comprimer verticalement un graphique, il suffit de multiplier la fonction par une constante et respectivement tel que:

  (16.19)

ce que nous pouvons représenter graphique par:

Figure: 16.21 - Exemple d'aplatissement vertical d'une fonction

et:

Figure: 16.22 - Exemple d'étirement vertical d'une fonction

Pour étirer ou comprimer horizontalement un graphique, il suffit de même, de multiplier la fonction par une constante et respectivement ou tel que:

  (16.20)

ce que nous pouvons représenter sous forme graphique:

Figure: 16.23 - Exemple d'étirement horizontal d'une fonction

et:

Figure: 16.24 - Exemple d'aplatissement horizontal d'une fonction

Définitions: Nous disons qu'une fonction f est:

- Une "fonction croissante" ou "fonction croissante au sens large" sur I si pour tout  couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.21)

- Une "fonction décroissante" ou "fonction décroissante au sens large" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.22)

-Une "fonction strictement croissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.23)

- Une "fonction strictement décroissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (16.24)

REPRÉSENTATIONS ANALYTIQUES

Le mode de représentation analytique est de loin le plus utilisé et consiste à représenter toute fonction en une "expression analytique" qui est la notation mathématique symbolique et abstraite de l'ensemble des opérations mathématiques connues que l'on doit appliquer dans un certain ordre à des nombres et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables que nous cherchons à analyser.

Remarquons que par ensemble des opérations mathématiques connues, nous envisageons non seulement les opérations mathématiques vues dans la section arithmétique (addition, soustraction, extraction de la racine, etc.) mais également toutes les opérations qui seront définies au fur et à mesure dans le présent site internet.

Si la dépendance fonctionnelle  est telle que f est une expression analytique, nous disons alors que la "fonction y de x" est "donnée analytiquement". Voici quelques exemples d'expressions analytiques simples:

, ,   (16.25)

Lorsque nous avons déterminé l'équation de la médiatrice, nous avons obtenu une expression analytique de la droite visuelle qui la caractérise sous la forme d'une fonction du type:

  (16.26)

qui rappelons-le, est donc l'expression analytique l'équation d'une droite, appelée également "équation linéaire" ou "fonction affine", sur un plan dont deux points sont connus, la pente est donnée par le rapport de l'accroissement vertical sur l'accroissement horizontal tel que:

  (16.27)

Une application sympathique et triviale consiste à démontrer analytiquement que deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Ainsi, soit deux droites données par les équations:

  (16.28)

Les droites se coupent en un point (x, y) si et seulement si les valeurs de y sont égales pour un certain x, c'est-à-dire:

  (16.29)

De façon assez simple en appliquant le théorème de Pythagore, il n'est pas compliqué de déterminer que l'équation d'un cercle de centre C(h, k) a pour équation (nous avons pour habitude en mathématiques de ne pas expliciter y pour l'équation du cercle ainsi, l'équation de ce dernier est visuellement beaucoup plus esthétique et parlante) 

  (16.30)

Dans ces exemples les fonctions sont exprimées analytiquement par une seule formule (égalité entre deux expressions analytiques) qui définit dans un même temps le "domaine naturel de définition" des fonctions.

Définition: Le "domaine naturel de définition" d'une fonction donnée par une expression analytique est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles l'expression du membre de droite a une valeur bien déterminée.

Par exemple, la fonction:

  (16.31)

est définie pour toutes les valeurs de x, excepté la valeur  où nous avons une singularité (division par zéro).

FONCTIONS

Définitions:

D1. Nous disons que y est une fonction de x et nous écrirons , etc., si à chaque valeur de la variable x appartenant à un certain domaine de définition (ensemble) D, correspond une valeur de la variable y dans un autre domaine de définition (ensemble) E. Ce que nous notons:

  (16.32)

La variable x est appelée "variable indépendante" ou "variable d'entrée" et y "variable dépendante". 

La dépendance entre les variables x et y s'appelle une "dépendance fonctionnelle". La lettre f, qui entre dans la notation symbolique de la dépendance fonctionnelle, indique qu'il faut appliquer certaines opérations à x pour obtenir la valeur correspondante y.

Nous écrivons parfois:

  (16.33)

au lieu de:

  (16.34)

Dans ce dernier cas la lettre y exprime en même temps la valeur de la fonction et le symbole des opérations appliquées à x.

D2. L'ensemble des valeurs x pour lesquelles la valeur de la fonction y est donnée par la fonction f(x) est appelé "domaine d'existence" de la fonction (ou domaine de définition de la fonction).

D3. La fonction  est dite "fonction croissante" si à une plus grande valeur de la variable indépendante correspond une plus grande valeur de la fonction (de l'image). Nous définissons de manière analogue mais inverse la "fonction décroissante".

D4. Une "fonction constante" est une fonction pour laquelle à toute valeur de la variable indépendante correspond toujours une même image constante.

D5. La fonction  est dite "fonction périodique" s'il existe un nombre constant  tel que la valeur de la fonction ne change pas quand nous ajoutons (ou que nous retranchons) le nombre à la variable indépendante tel que:

  (16.35)

Ce qui correspond à une translation selon x. La plus petite constante satisfaisant à cette condition est appelée "période" de la fonction. Elle est fréquemment notée T en physique.

D6. En calcul différentiel et intégral, l'expression:

  (16.36)

avec est d'un intérêt particulier. Nous l'appelons un "quotient d'accroissement" (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur ce sujet lors de notre étude du calcul différentiel et intégral).

D7.  Nous utilisons certaines propriétés des fonctions pour faciliter leur représentation graphique et leur analyse. En particulier, une fonction f(x) est dite "fonction paire" si:

  (16.37)

pour tout x dans son domaine de définition. Une fonction est dite "fonction impaire" si:

  (16.38)

pour tout x dans son domaine de définition.

Ainsi, pour résumer une fonction paire est une fonction qui ne dépend pas du signe de la variable et une fonction impaire change de signe quand nous changeons le signe de la variable (la spirale de Cornus dans le chapitre de Génie Civil est un bon exemple pratique de fonction impaire). Ce concept nous sera très utile pour simplifier certaines expressions très utiles en physique (comme les transformées de Fourier des fonctions paires ou impaires par exemple ou encore le calcul de certaines intégrales!).

Montrons maintenant que toute fonction f(x) est la somme d'une fonction paire g(x) et d'une fonction impaire h(x).

Démonstration:

Posons:

  (16.39)

alors:

  (16.40)

Si nous sommons, nous avons dès lors:

  (16.41)

et en soustrayant:

  (16.42)

Il existe donc bien une décomposition paire et impaire de toute fonction.

C.Q.F.D.

Enfin, il est important de remarquer que:

- Le produit de deux fonctions paires est une fonction paire

- Le produit deux fonctions impaires est une fonction paire

- Le produit d'une fonction paire et impaire est une fonction impaire

Voyons la brève démonstration pour la dernère propriété car nous en aurons besoin dans la section de Géométrie.

Soient g une fonction paire et h une fonction impaire telles que:

  (16.43)

Dès lors:

  (16.44)

D8. De façon générale, si f(x) et g(x) sont des fonctions quelconques, nous utilisons la terminologie et les notations données dans le tableau suivant:

Terminologie	Valeur de la fonction
Somme
Différence
Produit
Quotient

Tableau: 16.1  - Terminologie concernant les fonctions

Les domaines de définition de , , sont l'intersection I des domaines de définition de f(x) et de g(x), c'est-à-dire les nombres qui sont communs aux deux domaines de définition. Le domaine de définition de est quant à lui le sous-ensemble de I comprenant tous les x de I tels que .

D9. Soit y une fonction f de u et u une fonction g de la variable x, alors y dépend de x et nous avons ce que nous appelle une "fonction composée" et que nous notons:

ou   (16.45)

Pour la dernière notation, il faut lire "f rond g" et ne pas confondre le "rond" avec la notation du produit scalaire que nous verrons lors de notre étude du calcul vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le domaine de définition de la fonction composée est soit identique au domaine tout entier de définition de la fonction , soit à la partie de ce domaine dans laquelle les valeurs de u sont telles que les valeurs correspondantes f(u) appartiennent au domaine de définition de cette fonction.

Le principe de fonction composée peut être appliqué non seulement une fois, mais un nombre arbitraire de fois.

Si x ne dépend pas d'une autre variable (ou qu'elle n'est pas elle-même une fonction composée), nous disons alors que est une "fonction élémentaire".

Les principales fonctions élémentaires sont des fonctions dont l'expression est l'une des suivantes:

1. La "fonction puissance": 

  (16.46)

où m est un nombre positif différent de 1 (sinon il s'agit d'une fonction linéaire).

Figure: 16.25 - Différents tracés d'une fonction puissance simple

2. La "fonction exponentielle": 

    (16.47)

où a est un nombre positif différent de 1.

3. La "fonction logarithmique": 

  (16.48)

où la base du logarithme est un nombre positif a différent de l'unité (cette fonction sera définie rigoureusement un peu plus loin).

4. Les "fonctions trigonométriques" (cf. chapitre de Trigonométrie):

...   (16.49)

5. Les "fonctions polynomiales": 

  (16.50)

où sont des nombres constants appelés coefficients et n est un entier positif que nous appelons "degré du polynôme" (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Il est évident que cette fonction est définie pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire qu'elle est définie dans un intervalle infini.

6. Les "fractions rationnelles" qui sont des divisions de polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique): 

  (16.51)

7. Les "fonctions algébriques" sont définies par le fait que la fonction est le résultat d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, de variables élevées à une puissance rationnelle non entière.

8. Une application  est dite "fonction en escalier" si et seulement si, il existe une subdivision  de [a, b]  tel que  et  et  tels que:

Figure: 16.26 - Exemple d'une fonction en escalier courante

LIMITE ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS

Nous allons considérer maintenant des variables ordonnées d'un type spécial, que nous définissons par la relation "la variable tend vers une limite". Dans la suite de ce cours, la notion de limite d'une variable va jouer un rôle fondamental, étant intimement liée aux notions de base de l'analyse mathématique, la dérivée, l'intégrale, etc.

Définition: Le nombre a est appelé la "limite" de la grandeur variable x, si, pour tout nombre arbitrairement petit avons:

  (16.52)

Si le nombre a est la limite de la variable x, nous disons que "x tend vers la limite a".

Nous pouvons définir également la notion de limite en partant de considérations géométriques (cela peut aider à mieux comprendre... quoique pas toujours...):

Le nombre constant a est la limite de la variable x, si pour tout voisinage donné, aussi petit qu'il soit, de centre a et de rayon , nous pouvons trouver une valeur x telle que tous les points correspondant aux valeurs suivantes de la variable appartiennent à ce voisinage (notions que nous avons défini précédemment). Géométriquement nous représentons cela ainsi:

Figure: 16.27 - Notion géométrique de limite

Remarque:Il devrait être trivial que la limite d'une grandeur constante est égale à cette constante, puisque l'inégalité  est toujours satisfaite pour  arbitraire.

Il découle également de la définition de la limite qu'une grandeur variable ne peut pas avoir n'importe comment deux limites. En effet, si:

 et   (16.53)  

avec , x doit satisfaire simultanément aux deux inégalités suivantes:

 et   (16.54)

pour  arbitrairement choisi. Mais si nous faisons une représentation géométrique identique à la précédente, nous voyons assez aisément que cela est impossible si:

  (16.55)

Il ne faut également pas s'imaginer que chaque variable doit nécessairement avoir une limite.

Définition: La variable x tend vers l'infini, si pour chaque nombre positif donné M, nous indiquons une valeur de x à partir de laquelle toutes les valeurs conséquentes de la variable (valeurs de la variable appartenant dans le voisinage défini à partir de valeur indiquée précédemment) x vérifient l'inégalité .

Nous pouvons vérifier ce genre de cas dans les suites arithmétiques, géométriques, ou harmoniques où chaque terme de la progression est une valeur que prend la variable x.

La variable x "tend vers plus l'infini", ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs conséquentes de la variable vérifient l'inégalité . C'est typiquement le genre de considération que nous avons pour des progressions divergentes vers l'infini où à partir d'un certain terme de valeur égale à M tous les termes suivants sont supérieurs à M.

La variable x "tend vers moins l'infini" ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs suivantes de la variable vérifient l'inégalité .

Définition: Soit  une fonction définie dans un voisinage du point a ou en certains points de ce voisinage. La fonction  tend vers la limite b  lorsque x tendant vers a , si pour chaque nombre positif  , aussi petit qu'il soit, nous pouvons indiquer un nombre positif  tel que tous les x différents de a et vérifiant l'inégalité  satisfont également:

  (16.56)

L'inégalité  permet d'exprimer le côté (ou le sens) depuis lequel nous venons avec notre x. Car sur le système d'axe représentant des valeurs ordonnées, nous pouvons, pour une valeur donnée, venir de sa gauche ou de sa droite pour se rapprocher d'elle (imaginez-vous au besoin, un bus qui peut venir depuis un côté ou un autre de la route tant que la distance qui le sépare à l'arrêt qui nous intéresse est inférieure à ).

Si b est la limite de la fonction f(x) quand , nous écrivons alors sur ce site en tous les cas:

  (16.57)

Pour définir le côté depuis lequel nous venons en appliquant la limite, nous utilisons une notation particulière (rappelons que cela permet de connaître de quel côté de la route vient notre bus).

Ainsi, si f(x) tend vers la limite  quand x tend vers un nombre a en ne prenant que des valeurs plus petites que a, nous écrirons alors:

  (16.58)

(remarquez le petit – en indice) et nous appellerons  la "limite à gauche" de la fonction f(x) au point a (car rappelez-vous que l'axe des ordonnées va de  à , donc les petites valeurs par rapport à une valeur donnée, se trouvent à gauche). Si x prend des valeurs plus grandes que a, nous écrirons alors:

  (16.59)

(remarquez le petit + en indice) et nous appellerons  la "limite à droite" de la fonction au point a.

Définition: La fonction f(x) tend vers la limite b quand  si pour chaque nombre positif   aussi petit qu'il soit nous pouvons indiquer un nombre positif N tel que pour toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité , l'inégalité est satisfaite.

Exemple:

Montrons que (nous supposons le résultat connu pour l'instant): 

  (16.60)

Il faut démontrer que, quel que soit , l'inégalité  sera satisfaite dès que , où N est défini par le choix de . L'inégalité précédente est évidemment équivalente à , qui est satisfaite si nous avons x:

  (16.61)

Nous admettons que l'exemple et la méthode sont discutables, mais nous verrons plus tard les outils mathématiques adéquats pour arriver rigoureusement, sans magouilles et hypothèses de départ, au résultat obtenu précédemment.

La signification des symboles  et , rend évidente celle des expressions:

f(x) tend vers b quand

et:

f(x) tend vers b quand

que nous notons symboliquement par:

et   (16.62)

Nous avons étudié les cas où la fonction f(x) tend vers une certaine limite b quand  ou . Considérons maintenant le cas où la fonction  tend vers l'infini quand la variable x varie d'une certaine manière.

Définition: La fonction f(x) tend vers l'infini quand , autrement dit f(x) est infiniment grande quand , si pour chaque nombre positif M, aussi grand qu'il soit, nous pouvons trouver un nombre  tel que pour toutes les valeurs de x différentes de a et vérifiant la condition , l'inégalité  est satisfaite.

Si f(x) tend vers l'infini quand , nous écrivons:

  (16.63)

Si f(x) tend vers l'infini quand , en ne prenant que des valeurs positives ou que des valeurs négatives, nous écrivons respectivement:

et    (16.64)

Si la fonction f(x) tend vers l'infini quand  on écrit:

  (16.65)

et en particulier, nous pouvons avoir:

, , ,   (16.66)

Il peut arriver que la fonction f(x) ne tende ni vers une limite finie, ni vers l'infini quand  (par exemple ), la fonction est alors bornée (cf. chapitre de Théorie des Ensembles).

Maintenant que nous avons grosso modo eu un aperçu du concept de limite, nous allons donner une définition extrêmement importante qui est un des piliers de beaucoup de domaines de la mathématique et de la physique.

Définition: Soit f une fonction définie sur . Soit , nous disons que nous avons une "fonction continue" en  si et seulement si:

  (16.67)

c'est-à-dire si (il faut pouvoir arriver à y lire le fait qu'on s'approche de manière infiniment petite d'une limite ce qui permet d'assurer la continuité) que  tel que  alors:

  (16.68)

Remarque: f est "continue à droite" (resp. à gauche) si nous rajoutons la condition  (resp. ).

Nous avons les corollaires triviaux suivants:

C1. f est continue en  si et seulement si f est continue à droite et à gauche en

C2. f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

ASYMPTOTES

Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développée dans les études de fonctions. Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique de température, oscillation d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur est alors de connaître l'état à la fin de l'expérience, c'est-à-dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaître les variations intermédiaires, mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que la mathématique lui offre.

Définitions:

D1. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tend vers une constante quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite horizontale que nous appelons "asymptote horizontale" et dont l'équation est:

  (16.69)

D2. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tend vers quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite verticale que nous appelons "asymptote verticale" et dont l'équation est:

  (16.70)

Exemple:

La courbe représentative de la fonction f(x)=1/(x-1) admet la droite d'équation  comme asymptote verticale et  comme asymptote horizontale:

Figure: 16.28 - Représentation graphique plane d'une asymptote verticale et horizontale

D3. La droite d'équation  est une "asymptote oblique" à la courbe de la fonction f(x) si:

  (16.71)

les valeurs de a et de b peuvent se retrouver facilement à l'aide des relations suivantes:

  (16.72)

Remarque: Attention une courbe peut admettre deux asymptotes obliques distinctes en + et en -

Pour rechercher une asymptote oblique éventuelle, il faut déjà être sûr que la fonction f admet une limite infinie en + ou en - ensuite nous cherchons la limite en + ou en - de f(x)/x .

Trois cas sont à considérer:

C1. La courbe représentative de f a pour direction asymptotique la droite d'équation :

  (16.73)

Exemple:

La fonction  possède entre autres une asymptote d'équation :

Figure: 16.29 - Représentation graphique plane d'une asymptote oblique

C2. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des abscisses en est la direction asymptotique (fonction racine carrée par exemple)

  (16.74)

Exemple:

Les fonctions  (en rouge) ou ln(x) (en vert) ont une limite f(x)/x nulle et possèdent donc toutes deux une "branche parabolique" de direction Ox.

Figure: 16.30 - Exemples de branches paraboliques pour deux fonctions

C3. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des ordonnées en est la direction asymptotique. (nous parlons aussi de "branche parabolique" voire de "fonction carrée")

  (16.75)

Exemple:

La fonction  a une limite f(x)/x infinie et possède donc une "branche parabolique" de direction Oy.

Figure: 16.31 - Exemple de parabole

LOGARITHMES

Nous avons longuement hésité à mettre la définition des logarithmes dans le chapitre traitant du calcul algébrique. Après un moment de réflexion, nous avons décidé qu'il valait mieux la mettre ici car pour bien la comprendre, il faut avoir connaissance des concepts de limite, domaine de définition et fonction exponentielle. Nous espérons que notre choix vous conviendra au mieux.

Soit la fonction exponentielle (bijective) de base quelconque a, où notée:

  (16.76)

pour laquelle il correspond à  chaque nombre réel x, exactement un nombre positif (l'ensemble image de la fonction est dans ) tel que les règles de calcul des puissances soient applicables (cf. chapitre de Calcul Algébrique).

Nous savons que pour une telle fonction, que si , alors f(x) est croissante et positive dans , et si , alors f(x) est décroissante et positive dans . 

Puisque la fonction exponentielle f(x) est bijective alors il existe une fonction réciproque et appelée "fonction logarithme" de base a notée:

  (16.77)

Et donc:

  (16.78)

si et seulement si .

En considérant  comme un exposant, nous avons les propriétés suivantes:

Il existe deux types de logarithmes que nous retrouvons presque exclusivement en mathématiques et en physique: le logarithme en base dix et le logarithme en base e (ce dernier étant fréquemment appelé "logarithme naturel" ou plus exactement pour des raisons historiques justifiées "logarithme népérien").

D'abord celui en base 10: 

  (16.79)

abusivement noté:

  (16.80)

et celui en base (eulérienne) e: 

  (16.81)

historiquement noté:

    (16.82)

le "n" signifiant "népérien".

En français pour la fonction logarithmique en base 10 il faut pour calculer:

  (16.83)

se poser la question suivante: à quelle puissance  devons-nous élever 10 pour obtenir x ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation:

  (16.84)

 ou autrement écrit:

  (16.85)

avec x étant connu et donc en base 10:

  (16.86)

Pour la fonction logarithmique en base eulérienne e (ou dite "base népérienne") il faut pour calculer:

  (16.87)

se poser aussi la question suivante: à quelle puissance  devons nous élever le nombre e pour obtenir x ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation:

    (16.88)

ou autrement écrit:

  (16.89)

avec x étant connu et donc:

  (16.90)

Techniquement, nous disons alors que la fonction exponentielle (voir plus bas les détails):

  (16.91)

est la bijection réciproque de la fonction ln(x).

Figure: 16.32 - Représentation graphique plane de la bijection entre le logarithme népérien et l'exponentielle

Mais quel est donc ce nombre "eulérien" appelé également "nombre d'Euler" ? Pourquoi le retrouve-t-on si souvent en physique et en mathématiques? D'abord déterminons l'origine de sa valeur:

Pour cela, il nous faut déterminer la limite (dont l'origine historique semblerait être l'étude de problèmes financiers par Euler) de:

  (16.92)

avec et quand .

L'intérêt que nous avons à poser le problème ainsi c'est que si nous faisons tendre la fonction écrite précédemment tend vers e et cette fonction a pour propriété particulière de pouvoir se calculer plus ou moins facilement pour des raisons historiques à l'aide du binôme de Newton.

Donc d'après le développement du binôme de Newton (cf. chapitre de Calcul Algébrique) nous pouvons écrire:

  (16.93)

Ce développement, est similaire au développement de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries) de certaines fonctions pour des cas particuliers de valeurs de développement (d'où la raison pour laquelle nous retrouvons ce nombre eulérien dans beaucoup d'endroits que nous découvrirons au fur et à mesure).

En effectuant certaines transformations algébriques évidentes, nous trouvons:

  (16.94)

Nous voyons de cette dernière égalité que la fonction est croissante quand  croît. En effet, quand nous passons de la valeur  à la valeur  chaque terme de cette somme augmente:

, etc.   (16.95)

Montrons que la grandeur variable  est bornée. En remarquant que:

, , etc.   (16.96)

Nous obtenons donc par analogie avec l'expression étendue en binôme de Newton déterminée plus haut, la relation d'ordre suivante:

  (16.97)

D'autre part:

  (16.98)

Nous pouvons donc écrire l'inégalité:

  (16.99)

Les termes soulignés constituent une progression géométrique de raison (cf. chapitre de Suites et Séries) et dont le premier terme est 1. Par suite en utilisant les résultant obtenus dans le chapitre de Suites et Séries, nous pouvons écrire:

  (16.100)

Par conséquent, nous avons:

    (16.101)

Nous avons donc prouvé que la fonction est bornée.

La limite:

  (16.102)

tend donc vers cette valeur bornée qui est le nombre e dont la valeur est:

  (16.103)

Nous pouvons alors définir la "fonction exponentielle naturelle" (réciproque de la fonction logarithme népérien) par:

  (16.104)

ou également parfois notée:

  (16.105)

Le nombre e et la fonction qui permet de le déterminer sont très utiles. Nous les retrouvons dans tous les domaines de la mathématique et de la physique et donc dans la quasi-totalité des chapitres de ce site.

Les logarithmes ont plusieurs propriétés. Les voici (nous nous référons à une base X donnée):

  (16.106)

Si nous posons  et  nous avons donc:

  (16.107)

Si nous avons le cas particulier alors:

  (16.108)

Cherchons à exprimer:

    (16.109)

sous une forme différente. Posons:

  (16.110)

ce qui nous amène au développement:

  (16.111)

Cherchons à exprimer maintenant:

    (16.112)

avec sous une forme différente. Posons:

  (16.113)

ce qui nous amène à:

  (16.114)

Il y a une relation assez utilisée en physique relativement aux changements de bases logarithmiques. La première relation est triviale et découle des propriétés algébriques des logarithmes:

  (16.115)

La seconde relation:

  (16.116)

est un peu moins triviale et nécessite peut-être une démonstration (nous en aurons besoin lors de notre étude des fractions continues dans le chapitre de Théorie des nombres).

Démonstration:

Nous avons d'abord les équations équivalentes (de la première relation ci-dessus):

et   (16.117)

et nous procédons comme suit:

  (16.118)

Ce qui nous amène finalement à:

  (16.119)

C.Q.F.D.

PRODUIT SCALAIRE FONCTIONNEL

Le produit scalaire fonctionnel (analogie très forte avec le produit scalaire vectoriel vu dans le chapitre de calcul vectoriel) peut paraître inutile lorsqu'il est étudié pour la première fois hors d'un contexte appliqué mais il connaît au fait de nombreuses applications pratiques. Nous en ferons par exemple directement usage dans le chapitre de physique quantique ondulatoire et de chimie quantique ou encore dans le cadre plus important encore des polynômes trigonométriques via les séries et transformées de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) que nous retrouvons partout dans la physique contemporaine.

Cependant, si le lecteur n'a pas encore parcouru le chapitre de calcul vectoriel et la partie y traitant du produit scalaire vectoriel, nous ne saurions que trop recommander sa lecture sans quoi ce qui va suivre risque d'être un peu incompréhensible.

Nous nous plaçons dans l'espace des fonctions continues de l'intervalle [a,b] dans muni du produit scalaire défini par (nous retrouvons la notation spécifique du produit scalaire dans sa version fonctionnelle comme nous en avions fait mention lors de notre définition du produit scalaire vectoriel):

  (16.120)

Une famille de polynômes orthogonale, comme nous pouvons en faire l'analogie avec le produit scalaire vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, est donc une famille de polynômes tels que:

si   (16.121)

Nous rappelons qu'une famille orthogonale est libre (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le développement suivant va nous rappeler le procédé de Gram-Schmidt (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) pour construire une famille orthogonale:

Soit une famille de polynômes linéairement indépendants définis sur [a,b] et V l'espace vectoriel engendré par cette famille. La famille définie par récurrence de la manière suivante:

  (16.122)

et est orthogonale et engendre V.

Démonstration:

Montrons par récurrence sur n que est une famille orthogonale qui engendre le même espace que . L'assertion est vérifiée pour . Supposons l'assertion vérifiée pour , pour nous avons:

  (16.123)

est donc orthogonale. Pour finir, l'égalité:

  (16.124)

montre que et engendrent le même espace. est donc bien une famille orthogonale qui engendre V.

C.Q.F.D.

Exemple:

Considérons l'exemple très important en physique moderne qui est  l'ensemble des fonctions continues -périodiques qui forme un espace vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Nous définissons donc le produit scalaire de deux fonctions de cet ensemble par:

  (16.125)

Le but de cette étude est de construire une base de  sur laquelle nous pouvons décomposer toute fonction -périodique.

L'idée la plus simple est alors de se servir des fonctions trigonométriques sinus et cosinus:

  (16.126)

Les relations ci-dessous montrent que les bases choisies ci-dessus sont orthogonales et forment donc une famille libre, de plus c'est une famille génératrice de l'espace vectoriel  car comme nous le démontrerons lors de notre étude des séries de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries), nous avons les valeurs suivantes:

  (16.127)

où  est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

- Promenades mathématiques, histoire fondements, applications, F. Laroche, Éditions Ellipses
ISBN10: 2729814175 (448 pages) - Imprimé en 2003 (disponible ici sur Amazon EU Sàrl)

- L'analyse au fil de l'histoire, E. Hairer, G. Wanner, Éditions Scopos, ISBN10: 3540674632 (371 pages) - Imprimé en 2001 (disponible ici sur Amazon EU Sàrl)

- Analyse, Concepts et Contextes Volume 1. Fonctions d'une variable, J. Stewart, Éditions DeBoeck - 3ème édition, ISBN10: 2804150305 (750 pages) - Imprimé en 2006 (disponible ici sur Amazon EU Sàrl)

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