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??.
THÉORIE DES NOEUDS (chapitre
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
René Descartes avait imaginé un système du monde, où l'Univers était
animé par des tourbillons. À la fin du siècle dernier, Tait et
Kelvin ont ressuscité cette théorie, et interprété les liaisons
chimiques en imaginant des molécules nouées qui s'enlaceraient.
Les développements ultérieurs de la physique et de la chimie ont
amené une autre théorie de la liaison chimique, fondée sur le partage
d'électrons entre les atomes (cf. chapitre
de Chimie Quantique). Mais le sujet des noeuds était lancé!
Dans certains domaines, les noeuds seront... le noeud du sujet.
Remarques:
R1. La dénomination "théorie des noeuds" qui c'est imposée
dans la communauté scientifique est assez malheureuse.
Certains mathématiciens
(francophones) ont choisi à juste raison d'utiliser plutôt
la dénomination "théorie
des tresses et entrelacs" qui est plus correcte et générale
(puisqu'un entrelac est un noeud à plusieurs composantes).
R2. Une grande partie des textes et figures ci-dessous est une
reproduction, avec accord, des supports du Professeur
Michael Eisermann de l'Université de Stuttgart ( http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm)
La théorie mathématique des noeuds a été lancée par les travaux
de Little et Kirkman, qui cherchaient donc à donner un fondement
aux idées physiques de Tait et Kelvin. Les premières classifications
des noeuds utilisaient une image filiforme des noeuds, sans épaisseur,
et une projection plane, comme l'ombre portée sur un écran. Un
des caractères immédiatement perceptibles concerne les croisements
où nous distinguons le brin au-dessus et le brin au-dessous. Les
cannages, ou les tressages de bandes, reposent ainsi sur la considération
des croisements, et le nombre de tels croisements sera le premier élément
de classification.
REPRÉSENTATION DES TRESSES
Voici un exemple de tresse (ensemble de brins) et la chaîne
correspondante (une chaîne est une tresse que l'on a refermée):
 
Figure: ??.1 - Tresse et chaîne (diagramme de noeud) correspondante
Concentrons-nous sur la tresse à gauche de la figure ci-dessus
pour commencer et demandons-nous quelle serait la meilleure manière
de présenter les choses afin de pouvoir comparer des tresses?
Faisons une première
tentative avec la représentation suivante d'une tresse particulière:

Figure: ??.2 - Présentation particulière d'une tresse
Comme les brins d'une tresse sont flexibles et peuvent
bouger, nous remarquons de suite que cette représentation
a un problème:
toutes les tresses sont égales. Effectivement:

Figure: ??.3 - Exemple de problème de la représentation choisie
Le bon modèle, consiste alors peut-être à fixer les
extrémités des deux côtés:

Figure: ??.4 - Autre choix de représentation
Bien évidemment, avec ce modèle les
brins du milieu peuvent encore bouger comme ci-dessous et la tresse
reste invariante:

Figure: ??.5 - Premier exemple de tresse invariante
ou encore comme ici:

Figure: ??.6 - Deuxième exemple de tresse invariante
Nous pouvons également translater les croisements
et la tresse reste toujours invariante:
Figure: ??.7 - Translation de croisement et préservation triviale de l'invariance
La longueur n'est par ailleurs pas une variables
dans ce modèle:
Figure: ??.8 - Invariance par la longueur
GROUPE DE TRESSES
Si nous définissons la multiplication de deux tresses
comme étant l'opération qui consiste schématiquement à faire:

Figure: ??.9 - Exemple de multiplication de deux tresses
Nous pouvons nous poser la question si cette opération
constitue un groupe du type commutatif?
Rappelons avant cela que
nous avons défini la structure de groupe dans le chapitre de Théorie
des ensembles de la manière suivante: Nous désignons
un ensemble par le terme "groupe",
si les composants le constituant satisfont aux trois conditions
de ce que nous nommons la "loi interne
de groupe", définie ci-dessous:
est
un groupe si 
Si de plus, la loi interne est également
commutative, nous disons alors que le groupe est un "groupe
abélien" ou simplement "groupe
commutatif".
Commençons par le premier contrôle.
Est-ce que cette représentation est associative?:

Figure: ??.10 - Contrôle de l'associativité des tresses (par la multiplication)
La réponse est donc OUI quel que soit le nombre
de brins!
Est-ce que cette représentation est commutative?:

Figure: ??.11 - Contrôle de la commutativité des tresses (par la multiplication)
La réponse est donc NON au-delà de 2 brins
(car avec 2 brins elle est commutative)!
Admet-elle un élément neutre?:

Figure: ??.12 - Contrôle de l'existence d'un élément neutre des tresses
(par
la multiplication)
La réponse est donc OUI quel que soit le nombre
de brins!
Existe-il des éléments inverses (symétriques)?:

Figure: ??.13 - Contrôle de l'existence d'éléments symétriques pour les tresses (par
la
multiplication)
La réponse est donc OUI quel que soit le nombre
de brins!
Donc les tresses à n brins forme
un groupe non commutatif noté où le B stylisé représente
le mot "braids" (tresses:
en anglais) !
Observons quelque chose d'intéressant en ce
qui concerne les tresses à deux brins. Si nous indexons
leurs vrilles par des nombres entiers relatifs comme ci-dessous
(imaginez la tresse du milieu dont vous faites tourner les extrémités,
cela donne toutes les autres vrilles de gauche et de droite):

Figure: ??.14 - Indexation des vrilles de tresses
avec la convention de vrille v positive
et vrille v négative:

Figure: ??.15 - Convention d'indexation
Attention au piège! (essayez de le trouver... ce
n'est pas toujours facile au premier coup d'oeil):

Figure: ??.16 - Exemple de piège d'indexation
Effectivement, le croisement de droite la deuxième
tresse ci-dessus n'est justement pas.... un croisement! Nous disons
alors que le nombre de croisement n'est pas un invariant. C'est
pour cette raison que ce qui compte est la "vrille" car
elle ne change pas sous les mouvements de la tresse et non pas
simplement un croisement!!!

Figure: ??.17 - Différence entre vrille et croisement
Nous remarquons que nous avons alors en ce qui concerne
la multiplication des tresses (cf.
chapitre de Théorie des Ensembles) et leur indexation
sous forme du nombre de vrilles les propriétés suivantes:
(??.1)
Donc le groupe multiplicatifs des tresses à 2
brins est une homorphisme de groupe avec la loi d'addition du groupe
des entiers relatifs. De plus, nous voyons trivialement que l'application
f est bijective. Nous avons dès lors un isomorphisme
de groupes! Au delà de 3 brins, nous avons vu que le groupe n'était
plus commutatif!
REPRÉSENTATION DES NOEUDS
Revenons à la première figure présentée plus haut:  
Figure: ??.18 - Tresse et chaîne (diagramme de noeud) correspondante
Une première difficulté apparaît alors pour l'image de droite
(qui est un "diagramme de noeud"): un noeud (chaîne
avec un seul brin) est un objet géométrique à trois dimensions,
et nous utilisons une représentation plane obtenue en projetant
le noeud sur un plan. Ceci pourrait donc compliquer les choses...
nous verrons!
Remarque: Tout noeud ou toute chaîne
peut donc être obtenue à partir d'une tresse.
Il existe alors de nombreux points de vue possibles, et diverses
apparences d'un même noeud. Deux noeuds de projections différentes
sont-ils distincts (non isotopes) ? Dans la première table publiée
(celle de Tait et Little) le nombre minimal de croisements est
utilisé comme principe de classification (jusqu'à dix croisements)
et il fallut presque un siècle pour détecter une duplication:
deux noeuds identiques avaient été pris pour différents.
En pratique un noeud ressemble plutôt à ceci:
Figure: ??.19 - Exemple d'un noeud dans la vie réelle
Mais les mathématiciens ont pris l'habitude de connecter les deux
extrémités de la corde pour obtenir ceci:

Figure: ??.20 - Représentation par un matheux
donc un noeud est toujours une boucle qui se referme sur elle-même.
En d'autres termes, un noeud ouvert est toujours équivalent à un
noeud fermé:

Figure: ??.21 - Équivalence entre un noeud ouvert et un noeud fermé
Un noeud fermé peut paraître différent suivant
l'angle sous lequel on le regarde. Ainsi, les deux noeuds ci-dessous
sont deux représentations
du même
type de noeud appelé le "noeud de trèfle".
 
Figure: ??.22 - 2 perspectives différentes du noeud de trèfle
Nous pouvons également nous poser la question si le noeud de trèfle
à gauche et son miroir à droite son égaux?:

Figure: ??.23 - Recherche d'égalité entre symétrie miroir du noeud
de trèfle
ou la même question mais lorsque les deux noeuds sont fermés:

Figure: ??.24 - Même situation mais en fermant le noeud
Plus difficile, Perko a montré que ces deux noeuds de la paire
dite "paire de Perko", sont en fait
le même noeud:

Figure: ??.25 - Exemple d'une paire de Perko
Il n'est donc pas évident de savoir lorsque deux objets physiques
représentent fondamentalement le même noeud. Mais, c'est cela qui
intéresse les mathématiciens. Plus précisément, ils aimeraient
classifier les noeuds, c'est-à-dire déterminer tous les types de
noeuds qui sont fondamentalement différents et pas simplement en
apparence (c'est la même idée qu'en topologie ou les mathématiciens
ont réussie à démontrer que tout volume se réduisait à trois volumes
primaires).
GROUPE DE NOEUDS
Au même titre que nous l'avons fait pour les tresses,
regardons si les noeuds forment un groupe?
Donc nous définissons la multiplication de
deux noeuds comme étant l'opération qui consiste
schématiquement à faire:

Figure: ??.26 - Rappel de la définition de la multiplication de deux noeuds
Nous pouvons nous poser la question si cette opération
constitue un groupe du type commutatif?
Commençons
par le premier contrôle. Est-ce que cette représentation
est associative?:

Figure: ??.27 - Vérification de la commutativité de noeuds (par la multiplication)
La réponse est donc OUI quel que soit le nombre de noeuds!
Admet-elle un élément neutre?:

Figure: ??.28 - Vérification de l'existence d'un élément neutre pour les noeuds (par
la multiplication)
La réponse est donc OUI quel que soit le nombre de brins!
Est-elle commutative?:

Figure: ??.29 - Vérification de la commutativité de noeuds (par la multiplication)
Donc contrairement aux tresses OUI!
Existe-il des éléments inverses (symétriques)?:

Figure: ??.30 - Vérification de l'existence d'un élément neutre pour les noeuds (par
la multiplication)
et ça c'est une des grandes questions!
Avec le temps et les efforts des mathématiciens, trois points
de vue mathématiques essentiels pour l'étude des noeuds se sont
dégagés afin de résoudre différents problèmes:
1. Topologique, où le noeud est conçu comme la réunion d'un nombre
fini de courbes fermées, à déformations près.
2. Algébrique, où l'on dénombre des croisements par exemple, et
où l'on associe les groupes aux noeuds.
3. Géométrique, où l'on tient compte de la forme du noeud, en
mesurant longueurs ou angles. En particulier, l'idée du nombre
de rotations apparaît sous la forme de vrillage et de nombre d'entrelacements,
et ces notions sont fondamentales pour l'étude des ADN en biologie
moléculaire.
L'articulation entre ces points de vue est délicate. Il y a des évidences
difficiles à prouver rigoureusement – qu'on songe au théorème de
Jordan qui affirme qu'une courbe fermée plane, sans croisement,
délimite un intérieur et un extérieur ! Il a fallu presque deux
siècles pour définir correctement la notion de courbe, et il y
a des noeuds sauvages à écarter avant toute classification. Il
faut du soin pour définir correctement les déformations des noeuds,
que le mathématicien appelle "isotopies".
L'idée mathématique la plus efficace pour l'étude des noeuds est
celle de "noeud invariant". Un invariant
d'un noeud est une caractéristique (nombre entier, nombre réel,
polynôme, groupe...) qui reste inchangée lors d'une déformation.
Si nous disposons d'un invariant, nous pouvons affirmer que deux
noeuds sont vraiment différents quand l'invariant ne prend pas
la même valeur pour les deux noeuds. Mais si deux noeuds ont le
même invariant, nous ne pouvons affirmer qu'ils sont du même type
(déformable l'un en l'autre). Un exemple typique de deux noeuds
ayant le même invariant et pour lesquels il n'est pas trivial
de dire s'ils sont isotopes est le trèfle de droite et celui
de gauche lorsque l'invariant choisi est le nombre de croisements c(D).
Il faudrait pour cela disposer d'un système
complet d'invariants.
Le mathématicien russe V. Vassiliev
a introduit en 1990 une classe nouvelle d'invariants. Il reste à les
rendre explicitement calculables et à prouver qu'ils forment un
système complet, comme on le pense généralement.
Henri Poincaré a introduit vers 1900 la notion de groupe
fondamental d'un espace, qui décrit les possibilités
de parcours avec retour au point de départ. Appliqué à l'espace
extérieur à un noeud, cela
fournit le "groupe du noeud" et le "polynôme
d'Alexander" qui lui est lié (voir plus loin dans
la partie formalisation mathématique).
La même construction appliquée à ce qu'on appelle l'espace de
configuration donne une définition efficace des groupes de tresses.
Ces groupes ont été introduits, sous une forme intuitive, vers
1920, par le mathématicien viennois Emil Artin, un des pères de
l'algèbre moderne. Dès 1937, le mathématicien russe Markov relie
les noeuds et les tresses, et donne une méthode théorique pour
définir, au moyen des tresses, des invariants des noeuds.
Il y a 15 ans, les groupes de tresses étaient une curiosité et
leur complexité était rebutante. Puis, brusquement, ils sont devenus
un thème central de la recherche scientifique. Donnons une idée
de la diversité des points de vue qui mènent aux groupes de tresses:
1. En géométrie, le mathématicien russe Vladimir Arnold a classifié sous
le nom de "catastrophes" des singularités de configurations géométriques,
qui amènent aux espaces de configuration.
2. En algèbre, plus précisément dans la théorie des groupes, deux
avatars des groupes de tresses (les groupes de Coxeter et les algèbres
de Hecke) jouent un rôle central.
3. En mécanique statistique, l'étude des modèles exactement résolubles
se fait grâce à l'emploi des relations de Yang-Baxter et des groupes
quantiques ; le lien avec les groupes de tresses est profond.
4. La physique à deux dimensions a pris récemment beaucoup d'importance,
et on en attend un modèle de la supraconductivité à haute température.
La classification usuelle des particules en fermions et bosons
se complique à deux dimensions. La notion nouvelle est celle d'anyon,
dont le modèle mathématique est lié aux groupes de tresses.
5. La théorie quantique des champs est le modèle mathématique
des particules élémentaires. Edward Witten a fait le pont entre
cette théorie et les groupes de tresses, via le polynôme de Jones.
La théorie des noeuds constitue ainsi une interface très active
entre physique et mathématiques. Les noeuds et les tresses fournissent
aujourd'hui un outil de modélisation efficace de la physique des
polymères aux cristaux liquides, en passant par la biologie moléculaire.
Dans la direction opposée, les idées importées de la physique ont
déclenché une révolution en mathématiques: d'un sujet un peu marginal
il y a encore 15 ans, la théorie des noeuds est devenue aujourd'hui
l'un des grands chantiers mathématiques.
NOEUDS DE TAIT
L'objectif principal de la théorie des noeuds est de classifier
tous les noeuds et trouve son origine dans la physique au début
du 19ème siècle comme nous en avons déjà fait mention.
Pourquoi ?
Rappelons qu'à cette époque, les atomes étaient un mystère: pourquoi
ceux-ci semblaient-ils indestructibles et pourtant existant en
tellement de variétés et capables de se combiner pour donner d'innombrables
autres composants ?
A cette époque, les plus belles équations de la physique (qui
sont souvent de bons candidats pour expliquer des choses que nous
ne comprenons pas...) étaient les équations de Maxwell, il était
alors naturel (ou tentant) pour les physiciens d'essayer d'expliquer
la mécanique atomique en terme d'électromagnétisme, même si nous
savons aujourd'hui que cette voie était destinée à l'échec. Plus
tard au milieu du 19ème, les ondes électromagnétiques étaient largement
conceptualisées comme des vibrations d'un milieu appelé à l'époque "éther
luminophore". Le référentiel de cet éther était alors défini (ou
du moins supposé) comme étant un référentiel absolu. Mais seulement...
plus tard, les expérimentateurs Michelson et Morley, montrèrent
que le mouvement relatif de notre planète dans cet éther était
indétectable (et même pire... ils mesurèrent la constance absolue
de la vitesse de lumière!). Leurs expériences amenèrent par ailleurs
Einstein et Poincaré a développer leur fameuse théorie de la relativité restreinte
(cf. chapitre de Relativité Restreinte).
Il était alors à l'époque très gênant de travailler avec le concept
suivant: il y a avait des ondes sans rien qui ondulaient ! Ceci
du au fait, qu'à l'époque, les physiciens avaient fortement tendance à comprendre
l'électrodynamique avec des analogies mécaniques. Maxwell, par
exemple, a passé pas mal de temps à conceptualiser les champs électriques
et magnétiques en terme de "tubes fins, de section variable, transportant
un fluide incompressible". Une raison pour cela était la forme
des équations de Maxwell dans le vide (voir le chapitre d'électrodynamique):
(??.2)
ce qui est, il est vrai, similaire à la mécanique des fluides
(voir chapitre du même nom) où nous avons pour un fluide incompressible
sans viscosité et sans tourbillons:
(??.3)
Plus généralement, dans le cas où la rotationnel est non nul, Helmoltz montra en 1858 que les lignes
de champ du vortex – définies par les lignes de - se déplacent dans la direction de comme si elles avaient une existence propre (alors
là c'est la brèche ouverte bien évidemment...!). Ces lignes ne
pouvaient avoir de fin mais pouvaient former des boucles.
En 1867 le mathématicien P. G. Tait (assistant de Hamilton
et un champion des quaternions) trouva une méthode ingénieuse
pour démontrer cet effet en coupant un trou circulaire dans
une boîte,
en remplissant celle-ci avec de la fumée, et en expulsant
ensuite la fumée par compression de l'air dans la boîte
formant ainsi des cercles de fumée. Il montra par ailleurs
ceci à son ami Kelvin qui nota l'analogie avec l'électromagnétisme
et proposa une théorie
dans laquelle les atomes étaient des vortex (noeuds) dans
l'éther
! Il émit l'hypothèse que les différentes
types d'atomes correspondaient a différents types de vortex
noués (oui c'est un peu tiré par les
cheveux mais bon...) !
Tait essaya par la suite de classifier (voir tableau plus bas)
les lignes nouées en accord avec:
1. Le nombre d'entrelacements quand celles-ci sont projetées sur
un plan
2. En ne représentant que les "noeuds premiers"
Définition: Un noeud peut être compliqué parce
qu'il est la succession de noeuds simples:

Figure: ??.31 - Exemple d'une succession de noeuds sur un noeud ouvert
Ces noeuds simples (à un brin) peuvent être séparés en coupant
la corde:

Figure: ??.32 - Séparation du noeud
Un noeud premier est donc un noeud qui ne peut être séparé en
noeuds plus simples: couper la corde dénoue le noeud.
Classifier les noeuds c'est donc chercher à déterminer
les briques élémentaires: tous les noeuds premiers.
La liste que Tait obtint dans un premier temps fut les noeuds suivants
(dans l'espoir d'obtenir le tableau
périodique des éléments version "éther"...)
et si nous vous conseillons au besoin de vous munir d'une ficelle
pour vous assurer qu'ils
sont bien premiers (des fois cela est difficile mentalement):

Figure: ??.33 - Classification des noeuds de Tait
Remarque:
R1. Ce tableau est très important
nous y ferons très souvent référence lors d'exemples applicatifs
en utilisant la nomenclature qui y est proposée.
R2. Les valeurs correspondantes dans le tableau ci-dessus, appelées
"mesures
de complexité du noeud", sont notées
en toute généralité où c(D)
est le nombre de croisements, c(B) le nombre
de brins, et Id le numéro d'identifiant du noeud
dans la classe c(D).
La beauté de cette théorie des "atomes vortex" résidait
dans le fait qu'il était en accord avec l'aspect continu
du monde merveilleux des fluides, ou aux équations de Maxwell
par extension, pour discrétiser
les différentes types d'atomes. Une difficulté cependant
avec cette théorie était la remarquable stabilité des
atomes. En 1905 Kelvin admit qu'après de nombreuses années
d'échecs à tenter de prouver
que le mouvement des cercles de Helmholtz était stable,
que la conclusion était
que ces cercles étaient essentiellement instables et devaient
donc se dissiper. Curieusement c'est cette stabilité extrême
des atomes qui fut une des pièces du puzzle pour construire
la physique quantique corpusculaire.
De plus, avec la théorie de la relativité, le concept d'éther
cher à Maxwell et ses contemporains, en particulier en ce qui concerne
la théorie des noeuds, devint synonyme d'un concept inutile et
avec en plus la théorique quantique la théorie des atomes vortex
fut complètement oubliée. La théorie des noeuds ressurgit à cause
de quelques conjectures que Tait ne fut pas capable de démontrer
(nous y reviendrons) qui le furent seulement dans les années 1980
dans un tournant hasardeux de la physique théorique.
Ce que les physiciens abandonnèrent intrigua et continue
d'intriguer les mathématiciens. La question de base restant
la même: comment
pouvons nous dire que deux noeuds sont "isotopes" (nous définirons
plus loin de quoi il s'agit). Cette question est intimement reliées
aux fameuses conjectures de Tait. Pour attaquer ces conjectures
et les questions basiques de ressemblance des noeuds, les topologistes
ont développé les noeuds invariants. Un exemple d'un
noeud invariant connu et ayant eu beaucoup de succès sont
les polynômes d'Alexander
découverts par J. W. Alexander en 1927 (voir plus loin).
Ainsi, si les polynômes
de deux noeuds sont différents, ceux-ci ne sont alors pas
isotopes. Malheureusement, il existe quelques noeuds ayant des
polynômes
d'Alexander équivalents et qui sont pourtant non isotopes...
La théorie mathématique des noeuds se développe alors pendant
une cinquantaine d'années et était un peu tombée en désuétude lors
du coup de tonnerre de la découverte par Jones en 1984 d'un nouvel
invariant des noeuds (le polynôme de Jones). La découverte de Jones
est assez exemplaire du point de vue scientifique et peut donner
lieu à méditation sur l'organisation actuelle de la science. Jones
n'était pas du tout un spécialiste des noeuds. Il s'intéressait à la
classification des facteurs dans les algèbres de Von Neumann (analyse
fonctionnelle). Il a obtenu des algèbres de matrices dont les relations
de commutation (équations de Yang-Baxter) étaient proches des relations
du groupe de tresses. Des tresses aux noeuds, il n'y a qu'un pas
qu'il a franchi avec l'aide de Joan Birman qui est une spécialiste
des noeuds.
Nous assistons ensuite à une explosion de découvertes: version
purement combinatoire, nouveaux polynôme, etc. En 1989, Witten
montre que le polynôme de Jones peut être obtenu à partir de la
théorie quantique des champs au moyen d'une intégrale de Feynman,
donnant ainsi la première définition n'utilisant pas les projections
planes du noeud. D'une certaine façon la théorie de Jones-Witten
est une extension non commutative du travail de Gauss. Le groupe
de Lie (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste)
qui intervient en magnétisme est U(1), alors que l'invariant
de Witten est une intégrale de Feynman sur un espace de SU(2)-connections.
FORMALISATION MATHÉMATIQUE
Un noeud est modélisé mathématiquement par une application injective,
différentiable et dont la dérivée ne s'annule pas, du cercle dans
l'espace orienté de dimension 3 (noeud trivial).
Les deux problèmes centraux de la théorie des noeuds est de pouvoir
décider de façon calculable si le noeud est trivial (peut se défaire
sans couper la ficelle...) ou non (ce problème n'est pas résolu)
et si deux noeuds sont vraiment équivalents.
Le premier type de problème peut être bien représenté quant au
fait de déterminer si le noeud suivant
est noué ou
non...?:

Figure: ??.34 - Noeud noué?
La réponse est non comme le montre la figure ci-dessous (lire
de gauche à droite et de haut en bas):



Figure: ??.35 - Eh ben non....
Le but pour le deuxième problème est d'associer aux noeuds des
objets mathématiques calculables (polynômes, nombres) appelés "invariants du noeud" et qui sont insensibles à une
déformation du noeud. Si l'invariant n'est pas égal à celui du
noeud trivial qui est:

Figure: ??.36 - Noeud trivial
nous sommes sûr que le noeud n'est pas trivial. Et par exemple,
le noeud non trivial le plus simple est le noeud de trèfle:

Figure: ??.37 - Noeud de trèfle
Le problème est donc de trouver des invariants assez fins. Nous
en décrirons deux:
1. Le nombre d'entrelacement (de 2 noeuds) du à Gauss et qui intervient
en électromagnétisme
2. Le polynôme de Jones (introduit dans les années 1985 par Vaughan
Jones médaille Fields 1990), qui est assez subtil pour distinguer
par exemple le noeud de trèfle droite du gauche.
Nous décrirons aussi une classe générale d'invariants: les invariants
de type fini ou de Vassiliev. Ces invariants définis de façon assez
peu constructive sont peut-être des invariants complets, mais nous
ne le savons pas à ce jour. Nous décrirons le nombre d'entrelacement
de 2 noeuds comme un invariant combinatoire calculable à partir
d'un diagramme des noeuds. Nous écrirons ensuite la formule intégrale
classique liée au magnétisme (Gauss) pour le calculer. Nous ferons
alors un petit détour par la géométrie différentielle globale des
courbes de l'espace tridimensionnel pour montrer la formule de
White qui relie 3 invariants géométriques associés à un ruban.
Nous décrirons ensuite les nouveaux invariants polynomiaux d'un
point de vue combinatoire. Le point de vue intégrales de Feynman
sera évoqué.
Vassiliev a introduit une famille générale d'invariants qui contient
la plupart des invariants connus et dont nous pouvons dire qu'ils
sont de type fini. Nous en décrirons le principe.
Remarque: Nous avons délibérément
choisi de ne pas énumérer un certain nombre de définitions
(aussi nombreuses qu'en théorie des graphes) que le lecteur
pourra trouver facilement dans littérature ou sur Internet.
Nous nous permettons de le omettre dans le sens qu'elles ne nous
seront
pas
utiles dans l'application de la théorie des noeuds en physique
quantique des champs (et que mis à part pour ceux qui aiment
faire de petits dessins elles sont inutiles).
Définitions:
D1. Un noeud peut-être défini (car il existe plusieurs définitions
possibles et certaines ont de petits aléas assez embêtants...)
par l'image du cercle noté par une application continue (la
ficelle étant supposée telle quelle), injective (ceci évitant que
la ficelle rentre dans elle-même):
(??.4)
autrement dit, c'est une courbe sans point double, tracée dans
l'espace euclidien de dimension trois.
Un noeud est donc représenté par une application injective (imposer des noeuds de classe permet d'éviter d'avoir des courbes trop... sauvages)
vérifiant que (noeud fermé). L'image de f est
parfois appelée "support du noeud f":
c'est la réalisation "physique" du noeud dans l'espace.
Remarque: L'ensemble des noeuds sera
par la suite noté par la lettre N
D2. Nous disons qu'un noeud est un "noeud
trivial" si l'application f qui le définit se prolonge
en une application du disque continue et toujours injective:
un noeud trivial est donc un noeud qui bord un disque plongé de .
D3. Deux noeuds sont équivalents s'il existe une
application continue:
(??.5)
telle que et . Reste donc à trouver F qui
est une courbe dans l'espace des courbes.
Pour résumer grossièrement..., un noeud est une ficelle dont nous
avons soudé les deux extrémités.
D3. Le c(K) d'un noeud K est le nombre
entier naturel représentant le nombre minimum de croisements pour
tout diagramme d'un type de noeud (c'est une mesure naturelle de
complexité).
Exemple:
Le noeud à un nul. Il n'existerait pas de noeuds
avec un c(K) est à un ou à l'unité. Une preuve
consiste à énumérer tous les diagrammes possibles avec un ou deux
croisement et de voir que ceux sont au fait sont des noeuds équivalents
de type ou des entrelacs. Le trèfle (noeud ) a un .
D4. L'image miroir d'un noeud K est obtenue
par réflexion sur un plan dans R3. Le noeud K peut-être
construit par inversion des croisements du diagramme du noeud:

Figure: ??.38 - Image miroir par inversion de croisements
Nous pouvons facilement nous en convaincre en prenant une réflexion
en pliant la page de lecture ou encore mieux... en s'équipant
du matériel adéquat et d'un miroir (...).
Exemple:
Avec le noeud ("trèfle gauche" et "trèfle
droite"):

Figure: ??.39 - Miroir du noeud de trèfle
Nous remarquons par ailleurs que dans la table de Tait, les noeuds
miroirs distincts ne sont pas représentés!
D5. Deux noeuds sont dits "noeuds isotopes" si
nous pouvons passer de l'un à l'autre par des manipulations continues
(le trèfle gauche et le trèfle droit ne sont par exemple pas isotopes!)
et il s'agit du problème numéro 1 de la théorie des noeuds: détecter
les noeuds isotopes.
D6 Deux noeuds sont dits "noeuds équivalents" s'ils
sont isotopes ou si l'un est isotope à l'image de l'autre
dans un miroir. D'après ce qui précède, chaque
noeud est donc forcément équivalent à sa
propre image-miroir mais seuls les noeuds réflexifs sont
isotopes à leur
image dans un miroir. Le noeud en huit est un bon exemple de ce genre de
noeuds, qui sont par ailleurs assez rares:

Figure: ??.40 - Isotopie de noeuds
D7. Un "entrelac" est une sous-variété (cf.
chapitre de Géométrie Différentielle)
compacte (cf. chapitre de Topologie), de classe et de dimension 1.
D8. Le "nombre de composantes connexes" est noté . Si nous disons que E est un
noeud. La plupart du temps les entrelacs seront orientés (cf.
chapitre de Théorie
Des Graphes), et nous identifierons les entrelacs isotopes. Nous
représentons donc les entrelacs dans le plan en les projetant et
en spécifiant le type de points de croisement.
Exemple:
Entrelacs à trois composantes connexes (à gauche) et noeud de
trèfle (à droite).

Figure: ??.41 - Entrelacs à trois composantes connexes
Les isotopies permettent de démêler les entrelacs.
Définition: Une "isotopie" est une opération qui laisse
un noeud invariant. En d'autres termes, c'est un mouvement du noeud
qui
ne le déforme/change pas.
Elles donnent dans le plan trois types de mouvements particuliers
appelés "mouvements de Reidemeister":

Figure: ??.42 - Représentation des mouvements de Reidemeister
Il s'agit donc bien de trois opérations simples permettant
de changer une partie d'un noeud sans changer la nature du noeud
lui-même.
Donc deux diagrammes représentent les mêmes noeuds,
si nous pouvons passez de l'un à l'autre par une suite finie
de mouvements de Reidemeister. Ainsi, avec l'exemple ci-dessous,
nous montrons que le noeud initial, est équivalent au noeud
trivial:

Figure: ??.43 - Exemple simpliste d'application des mouvements de Reidemeister
En biologie les brins d'ARN et ADN ainsi que les filaments d'acides
aminés s'enroulent selon des formes tridimensionnelles complexes
(ce sont des tresses fermées: un cas plus général des noeuds).
Or, souvent, au travers des microscopes, nous ne voyons qu'une
projection bidimensionnelle. Les invariants permettent de remonter à des
informations tridimensionnelles à partir des vues 2D que nous avons:

Figure: ??.44 - Exemple de brin d'ARN ou d'ADN
D'autre part, les biologistes ont observé des molécules
d'ADN nouées et ont constaté que la nature topologique
de la molécule
d'ADN, c'est-à-dire le type de noeud formé par la
molécule, influe
sur son fonctionnement dans les cellules en conditionnant certaines
de ses propriétés chimiques. Les virus attaquent
les cellules pour en changer les longues molécules d'ADN
en les nouant de différentes
façons. En effet, par le biais d'enzymes appelées
les topoisamérases,
les virus coupent et recollent différemment les brins de
la molécule
d'ADN de telle sorte qu'elles prennent la forme d'un noeud qui
peut être très complexe. Il s'avère que le type de
noeud obtenu est en quelque sorte la carte de visite du virus.
Pour lutter efficacement
contre les virus, il est impératif de reconnaître
leur signature par leur action sur l'ADN. Par conséquent
pour identifier les différents
virus il faut pouvoir reconnaître les différents types
de noeuds et c'est en cela que la théorie des noeuds peut
aider le biologiste.
Remarque: L'identification du type
de noeud en biologie moléculaire a été transformée par
des centres de recherche en des jeux en ligne dont
le but est
de
mettre
la population à contribution de manière ludique pour
trouver une solution au problème. Cela semble bien marcher
puisqu'en fin 2011, des joueurs auraient fait une découverte
pertinente concernant l'analyse de protéines.
Il existe également un théorème comme quoi deux entrelacs sont
isotopes si et seulement si nous pouvons passer de l'un à l'autre
par une suite finie de mouvements de Reidemeister.
Démonstration: À faire avec un
lacet....
C.Q.F.D.
D8. Trois entrelacs sont dits "entrelacs
associés" (ou "entrelacs en association")
s'ils ne diffèrent qu'en un point de croisement et qu'en ce point
ils sont dans une des configurations suivantes:

Figure: ??.45 - Exemples d'entrelacs associés
Nous notons l'ensemble des classes d'entrelacs
et nous nous intéressons désormais à des fonctions où A sera un anneau commutatif
(le lecteur n'oubliera pas que nous avons vu que les coefficients
de polynômes sont des éléments d'un anneau).
Remarque: Il faut aussi se rappeler
qu'un noeud est une courbe et que toute courbe peut être représentée
par un polynôme d'où l'idée!
D9. P est dit "invariant par association" (par
association des entrelacs...) si:
(??.6)
et s'il existe inversibles (!) tel que pour tout
triplet d'entrelacs associées nous ayons:
(??.7)
Nous pouvons déjà démontrer de façon assez élémentaire que si
un tel polynôme existe, alors il est uniquement déterminé par les
coefficients de la relation précédente. Nous résumons cela dans
le théorème suivant: Si P est invariant par association,
alors il est uniquement déterminé par les coefficients .
Démonstration:
Remarquons d'abord que:
(??.8)
où désigne le noeud composé de r cercle
démêlés. En effet, la relation et la propriété d'invariance de P appliquée
aux entrelacs suivants:

Figure: ??.46 - Exemple de notation des démêlés
donne:
(??.9)
Nous obtenons alors:
(??.10)
Ainsi, par récurrence sur r nous obtenons:
(??.11)
C.Q.F.D.
En d'autres termes, la fonction P peut s'exprimer uniquement
par ses coefficients !!! Donc nous pourrions maintenant essayer
de voir si un noeud plein d'entrelacs peut être toujours se ramener à des de manière récursive.
Remarque: Il fallait y penser cependant....
REPRÉSENTATION PLANAIRE
Nous supposons que le noeud est dans l'espace euclidien de dimension
trois orienté. Nous nous intéressons aux projections de ce noeud
sur le plan . Il est claire intuitivement que
nous pouvons supposer que noeud n'a aucune tangente verticale et
que les points de croisement sont seulement doubles et transversaux.
Une telle projection sera appelée "bonne projection".
Nous indiquons ensuite à chaque point de croisement quel est le
brin qui passe au-dessus de l'autre. Un tel dessin représente un
noeud de façon non ambiguë: nous disons que nous avons un "diagramme de noeud". Bien sûr, deux noeuds équivalents
ont des bonnes projections qui donnes des diagrammes de noeuds
différents en général (c'est là que réside une des difficultés
aussi) Il est donc important de pouvoir lire l'équivalence de deux
noeuds directement sur leurs diagrammes. Un diagramme du noeud
du trèfle droit :

Figure: ??.47 - Représentation d'un diagramme de noeud
Remarque: Le noeud de trèfle est
le noeud ayant le nombre minimal de croisements, à savoir 3 ; il
en existe en fait deux, énantiomorphes (images l'un de l'autre
par réflexion). Il s'agit au fait d'un simple noeud dont on a soudé les
extrémités. Le noeud de trèfle est enfin le bord d'un ruban de
Möbius à 3 demi-torsions ainsi que le noeud torique d'ordre (3,2)
(3 enroulements autour du tore, sur deux tours), ainsi que celui
d'ordre (2,3).
Comme un dessin n'est pas forcément facile à transmettre, ni à mettre
dans un ordinateur, nous pouvons aussi donner un codage du diagramme
du noeud par une matrice à coefficients entiers à trois lignes
et dont les nombre de colonnes est égal au nombre de points doubles.
Nous numérotons les 2n points de croisement sur la courbe
fermée (cercle) dans l'ordre où ils arrivent. Nous remarquons que
les paries sont toutes formées d'un nombre pair et d'un nombre
impair. Nous fabriquons alors les deux premières lignes de la matrice
en mettant dans chaque colonne les deux numéros donnant la même
projection: les impaires sur la première ligne, les pairs sur
la seconde. Nous ajoutons alors à chaque colonne, un qui indique l'orientation des 2 brins (orienté) (+1
si celui de dessous traverse de droite à gauche quand nous parcourons
celui de dessus, -1 sinon). Par exemple, la matrice associée au
noeud de trèfle de la figure précédente est:
(??.12)
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