
CALCUL ALGÉBRIQUE | ALGÈBRE
ENSEMBLISTE | CALCUL
DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
SUITES
ET SÉRIES | CALCUL VECTORIEL | ALGÈBRE
LINÉAIRE | CALCUL
TENSORIEL
CALCUL
SPINORIEL
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Les
suites et séries ont une très grande
importance dans la mathématique appliquée et c'est
la raison pour laquelle nous y consacrons un chapitre entier. Nous
les retrouverons
par
ailleurs
souvent dans les différents chapitres de la section de Mécanique
lorsque nous aurons besoin de faire quelques approximations mineures
(...)
ainsi
qu'en dans les chapitres d'Économie et de Techniques de Gestion.
Il conviendra cependant de la part du
lecteur de ne pas confondre dans ce qui va suivre le concept de
"suite" de celui de "série" qui tout
en étant
similaires sur le fond ne s'analysent mathématiquement
pas toujours de la même manière.
Nous avons souhaité
dans ce chapitre rester dans des choses simples sans trop partir
dans les concepts topologiques des suites et séries.
Cependant, la personne intéressée par des définitions
plus rigoureuses pourra se reporter dans le chapitre traitant
des Fractales (section d'Informatique Théorique) et de Topologie
où de nombreux concepts sur les suites sont définis
(supremum, infimum, sous-suite, théorème de Bolzano-Weierstrass,
etc.).
SUITES
Définition: Une "suite" d'un ensemble est une famille d'éléments
indexée par l'ensemble des entiers naturels (cf.
chapitre sur les Nombres) ou par une partie de celui-ci. De manière vulgarisée,
nous disons qu'une suite est une liste d'objets mis en ordre, chacun
ayant un numéro d'ordre. Nous notons classiquement une suite par:
ou
(11.1)
où l'indexation se fait parfois (par tradition...) sans le 0.
Pour quelques suites, nous indiquons le premier terme (si
l'indexation commence par 1 au lieu de 0), ainsi qu'une formule
pour obtenir n'importe quel terme à
partir du terme précédent quel
que soit .
Nous appelons une telle formulation une "définition
récurrente",
et la suite est dite définie "par récurrence" (et
de même si elle est indexée à partir de 0 au lieu de 1).
Avant de voir quelques exemples de familles de suites
qui seront utilisées dans les différents chapitres
du site (Dynamiques des populations, Économie,
Physique nucléaire,
etc.) voyons un petit paquet de définitions comme il est
de tradition en mathématique...
Définitions:
D1. Des nombres (en suite)
sont en "progression arithmétique" si
la différence de
deux termes consécutifs est une constante r appelée
la "raison".
D2. Des nombres (en suite)
sont en "progression géométrique" si
le rapport de deux termes consécutifs est une constante r appelée
aussi la "raison".
D3. Des nombres (en suite)
sont en "progression harmonique" si les inverses de deux
termes consécutifs sont en progression arithmétique.
Dès lors, une "suite"
est arithmétique, géométrique, harmonique
si ses termes sont respectivement en progression arithmétique,
géométrique, harmonique et b
est la moyenne arithmétique, géométrique,
harmonique de a
et c
si les nombres a, b, c
sont en progression arithmétique, géométrique,
harmonique.
Remarque: Pour les définitions des moyennes citées
ci-dessus voir le chapitre de Statistiques
D4. Une "suite majorée",
est une suite telle qu'il existe un réel M tel que 
D5. Une "suite minorée",
est une suite telle qu'il existe un réel m tel que 
D6. Une "suite bornée",
est une suite telle qu'elle est à la
fois majorée et minorée.
D7. Une suite est
appelée "suite croissante" si 
D8. Une suite est
appelée "suite décroissante" si 
D9. Si une suite est croissante ou décroissante, nous disons qu'elle
est "monotone".
D10. Une suite est
appelée "suite constante" si 
SUITES ARITHMÉTIQUES
Définition: Nous disons que des nombres
ou que des "termes"
en progression forment une "suite arithmétique"
lorsque leurs valeurs numériques différent d'une
valeur r appelée
la "raison" de la suite
telle que:
(11.2)
où r est donc la "raison" de
la progression. Nous avons alors bien évidemment si l'indexation
commence à partir de 0:
(11.3)
Ainsi, la suite:
(11.4)
où n est une constante est une suite arithmétique
de raison .
La suite:
(11.5)
est une suite arithmétique
de raison ,
etc.
Ainsi, si nous notons par
un terme quelconque de la suite ( )
de raison r, nous avons:
(11.6)
Nous avons les
propriétés suivantes pour un tel type de suite:
P1. Un terme
dont le rang est la moyenne arithmétique des rangs de deux
autres termes est la moyenne arithmétique de ces deux termes.
Démonstration:
Considérons maintenant ( )
une suite arithmétique de raison r donnée
selon le développement précédent:
(11.7)
et soient
tels que ,
nous avons alors:
(11.8)
et donc:
avec
(11.9)
C.Q.F.D.
P2. Pour trois termes
consécutifs en progression arithmétique, le deuxième
terme est la moyenne arithmétique des deux autres.
Démonstration:
avec
(11.10)
C.Q.F.D.
Si est
une progression arithmétique de raison r, alors la n-ème
somme partielle (c'est-à-dire,
la somme des n premiers termes à la puissance 1) est donnée
par:
ou
(11.11)
lorsque l'indexation se fait à partir de 1. Démonstration:
Nous pouvons écrire la série:
(11.12)
En jouant avec la deuxième ligne, nous obtenons:
(11.13)
Ce qui se simplifie encore:
(11.14)
Nous démontrerons quelques lignes plus bas que la série de Gauss
simple:
(11.15)
est égale à:
(11.16)
Nous avons alors in extenso pour:
(11.17)
la relation suivante:
(11.18)
Il vient alors:
(11.19)
Nous voyons avec cette dernière relation que si nous
retombons sur la série de Gauss simple.
Comme:
(11.20)
lorsque l'indexation se fait à partir de 1. Il vient alors:
(11.21)
C.Q.F.D.
Nous verrons d'autres types de sommations un peu plus bas lors
de notre étude des séries!
SUITES HARMONIQUES
Définition: Nous disons que des nombres
(1/a,
1/b, 1/c,...) forment une "suite
harmonique" lorsque leurs inverses sont en progression
arithmétique. Nous représentons cette progression par:
(11.22)
où a, b, c, ..., h, k,
l désignent des termes au dénominateur
en progression arithmétique de raison r. D'ailleurs,
nous supposerons, dans ce qui suit, qu'il n'y a aucun dénominateur
nul.
En partageant cette série
en groupes renfermant successivement
termes, nous observons que chacun de ceux-ci est plus grand que
le dernier de son groupe:
(11.23)
et que la somme des termes
de chaque groupe est plus grande que 1/2 . La somme des termes
de
la série augmente donc indéfiniment; nous disons alors que la série
est une "série divergente" (nous reviendrons
plus en détail
sur ces concepts de convergence et divergence plus bas).
SUITES GÉOMETRIQUES
Définition: Une "suite
géométrique"
est une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent
n multiplié par un nombre constant q que nous
appelons la "raison" de
la progression. Nous désignerons par:
(11.24)
Ainsi, si nous notons par
un terme quelconque de la suite ( ),
nous avons (trivial):
(11.25)
Voici quelques propriétés pour un tel type de suite (sans démonstration
pour l'instant... sauf demande car triviales pour la plupart):
P1. (triviale) Le quotient
de deux termes d'une même suite est une puissance de la raison dont
l'exposant égale la différence des rangs des deux termes (simple
rapport de termes de puissance).
P2. (triviale) Si nous multiplions ou divisons terme à terme deux
suites géométriques, nous obtenons une troisième suite géométrique
dont la raison égale le produit (respectivement le quotient) des
raisons des progressions données (simple opération avec les raisons
des deux séries d'origine).
P3. Dans une suite géométrique, un terme dont le
rang est la moyenne arithmétique des rangs de deux autres
termes est la moyenne géométrique (cf.
chapitre de Statistiques) de ces deux termes (relisez
plusieurs fois au besoin).
Démonstration:
Soit une suite géométrique réelle positive
de raison q, nous avons:
(11.26)
Soient a,b deux termes
de la suite géométrique, nous avons alors:
(11.27)
et ainsi:
(11.28)
C.Q.F.D.
Nous avons comme corolaire que pour trois termes consécutifs
en progression géométrique, le deuxième terme
est la moyenne géométrique des deux autres.
Démonstration:
(11.29)
avec:
(11.30)
C.Q.F.D.
Il
existe cependant quelques suites particulières qui ont des propriétés
particulières que nous retrouvons très fréquemment en mathématique
ou physique théorique. Sans trop entrer dans les détails, voici
une petite liste (non exhaustive de ces dernières):
SUITE
DE CAUCHY
Il est souvent
intéressant pour le mathématicien, autant que pour le physicien,
de connaître les propriétés d'une suite ayant un type de progression
donnée. La propriété la plus importante étant la limite vers
laquelle elle tend.
Remarque: Le lecteur qui n'est pas à l'aise avec
la topologie peut sauter le texte qui va suivre en attendant...
et celui qui
souhaite en savoir plus sur les suites de Cauchy peut se reporter
au chapitre de Topologie et particulièrement au chapitre
consacré aux Fractales (section d'Informatique Théorique).
Définition: Soit (X, d) un
espace métrique
(cf. chapitre de Topologie), nous
disons que la suite:
(11.31)
converge vers
si
par définition:
(11.32)
En d'autres
termes plus nous avançons dans la suite, plus les points sont proches
(au sens de la métrique d ) les uns des autres.
Cependant la définition précédente de la
convergence pose problème
car la limite x doit
être connue. Dans la plupart des cas intéressants, x est
malheureusement inconnue. Pour sortir de cette impasse, Cauchy
a l'idée de proposer la définition suivante:
Nous
disons par définition que la suite d'éléments
de X est une
"suite de Cauchy" si:
(11.33)
Il est clair
alors que toute suite convergente est une suite de Cauchy (bon
il y a quelques subtilités auxquelles nous ne ferons pas
référence
pour l'instant).
Remarque: Ce critère facilite certaines démonstrations car il permet
de montrer l'existence d'une limite sans faire intervenir sa valeur,
en général inconnue.
Maintenant, montrons qu'une suite convergente est de Cauchy.
Démonstration:
Soit une suite
convergeant vers l (qui nous est inconnu donc!) et (choisi
au hasard). Il existe alors selon la définition d'une
suite convergente,
tel que:
(11.34)
le choix d'écrire
est complètement arbitraire mais au fait nous anticipons
juste le résultat de la démonstration afin que celui-ci
soit plus esthétique.
Alors pour
(au fait connaître le N en question importe peu puisque
cela doit marcher pour n'importe lequel... bon n'oublions pas
quand
même que N dépend de )
nous avons selon l'inégalité triangulaire (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(11.35)
et puisque :
(11.36)
ce qui revient à écrire:
(11.37)
C'est peut-être un
peu abstrait alors voyons un exemple avec la suite harmonique (divergente
comme nous le savons déjà) .
D'abord, rien ne nous interdit de prendre
(sinon cela va être dur de faire une différence entre
deux termes...).
Dès lors nous prenons
la distance euclidienne:
(11.38)
D'abord le lecteur remarquera
que dans tous les cas
puisque compris entre
et 2n.
Ce qui nous amène à pouvoir écrire:
(11.39)
Donc à partir de cette
égalité il vient automatiquement que chaque terme
de la somme de gauche ci-dessous sera plus grand que chaque terme
de la
somme de droite suivant:
avec
(11.40)
maintenant l'idée
est de voir que la somme de gauche est donc plus grande ou égale
à
et cela quel que soit n. Ainsi, l'idée c'est que
nous ayons trouvé un epsilon pour lequel le critère
de Cauchy est mis en défaut. Car dans le cas contraire
nous aurions dû avoir:
(11.41)
donc la suite n'est pas convergente.
C.Q.F.D.
Donc, ce n'est pas parce que des points se rapprochent les uns
des autres qu'ils convergent vers un point, car ce point n'existe
peut-être pas.
Exemple:
Le meilleur exemple est certainement
le suivant:
Prenons et:
(11.42)
Soit z un
nombre irrationnel et ,
avec .
Les
forment une suite de Cauchy. En effet:
(11.43)
et donc
si .
Nous avons donc trouvé un N qui satisfait à
notre définition d'une suite de Cauchy. Or cette suite ne
converge pas dans
sinon z serait rationnel.
Remarque: Les mathématiciens utilisent ce fait pour définir
l'ensemble des irrationnels en utilisant quelques concepts topologique
supplémentaires.
Nous venons de voir qu'une suite de Cauchy n'est pas forcément
une suite convergente dans X. La réciproque toutefois
est vraie: toute suite convergente est une suite de Cauchy.
SUITE
DE FIBONACCI
Si nous
calculons une suite de nombres commençant par 0 et 1, de telle
sorte que chaque terme soit égal à la somme des deux précédents,
nous pouvons former la suite:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
(11.44)
par conséquent,
si nous désignons les différents termes par:
(11.45)
nous avons
la loi de formation:
(11.46)
La suite de Fibonacci possède des propriétés
nombreuses fortes intéressantes,
qui seront développées ultérieurement. Il
s'agit cependant de la première "suite
récurrente" connue (d'où le fait que nous en
parlions sur ce site).
L'origine de cette suite viendrait d'un problème de lapins
posé
à Fibonacci en 1202. Partant d'un couple, combien de couples
de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de
mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple,
lequel ne devient productif qu'après deux mois. Nous avons
alors:
- Début: Un couple de bébés lapins qui vont
grandir
- Premier mois: Un couple de lapins adultes (qui feront des bébés
le mois prochain...)
- Deuxième mois: Un couple de lapins adultes et un couple
de bébés donc 2 couples
- Troisième mois: Deux couples de lapins adultes et un couple
de bébés donc 3 couples
- Quatrième mois: Trois couples de lapins adultes et deux couples
de bébés donc 5 couples.
etc.
Prenons un exemple réel, cette fois-ci: le coeur de certaines
fleurs, les écailles d'un ananas ou d'une pomme de pin forment
deux familles de spirales enroulées en sens inverse.
Sur une pomme de pin, vous compterez 5 spirales dans un sens et
8 dans l'autre, sur l'ananas, 8 et 13, sur la fleur de tournesol
21 et 34.
Chaque fois, nous obtenons des nombres de Fibonacci !
Une illustration de ceci consiste à faire le simple schéma
suivant (appelé "spirale de Fibonacci")
qui reproduit les nombres de Fibonacci sur un plan quadrillé:

Figure: 11.1 - Spirale de Fibonacci
Nous
utilisons également ce genre de suite pour montrer l'utilité du
principe d'induction présenté dans le chapitre de
Théorie Des
Nombres se trouvant dans la section d'Arithmétique ainsi
qu'un cas d'application d'échauffement pour la transformée en Z
(cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle).
SÉRIES
Le physicien a souvent
besoin pour résoudre simplement et formellement des problèmes,
d'approximer certains "termes" (cf.
chapitre de Théorie De La Démonstration)
de ses équations. Pour cela, il utilisera les propriétés
de certaines séries.
Il existe, une quantité phénoménale de séries et de
théories gravitant
autour de ces dernières, mais nous citerons en particulier les
séries
de Taylor (utilisées un peu partout), les séries de Fourier (théorie
du signal et en mécanique ondulatoire) et les séries ou fonctions
de Bessel (physique nucléaire) dont nous ferons une étude sommaire
ici.
Définition: Soit donnée
une suite numérique infinie:
(11.47)
L'expression:
(11.48)
est appelée
"série numérique".
Définition: La somme partielle des n premiers
termes de la série est appelée "somme
partielle" et notée :
(11.49)
Si la
limite notée S suivante existe et est finie:
(11.50)
nous l'appelons
la "somme de la série" et
nous disons que la "série
converge" (elle est donc de
Cauchy). Cependant, si la limite n'existe pas, nous disons que
la "série
diverge" et n'a
pas de somme (pour plus de détails voir le sous-chapitre
plus loin traitant des critères de convergence).
Montrons par ailleurs
que si est
une série numérique convergente alors:
(11.51)
Démonstration:
Nous supposons d'abord que est
bien une série convergente et notons par S sa limite.
Posons:
(11.52)
Alors:
(11.53)
Or, si la série est convergente:
(11.54)
Donc:
(11.55)
C.Q.F.D.
Voyons
comment calculer la somme partielle des quelques séries
classiques:
SÉRIES
DE GAUSS
Les
séries arithmétiques de Gauss sont l'expression
de la somme de n premiers entiers non nuls élevés à une
puissance donnée
sous une forme condensée. L'application de cette forme
condensée
de série a une utilité pratique en physique (voir
les chapitres y relatifs) lorsque l'on souhaite simplifier l'expression
de certains résultats
ainsi que dans les chapitre de Statistiques lors de notre étude
des statistiques non paramétriques.
Gauss avait trouvé une méthode
séduisante en 1786 pour déterminer cette expression lorsqu'il avait
9 ans (...):
(11.56)
En simplifiant, nous trouvons
facilement:
(11.57)
pour .
Indiquons que chaque somme intermédiaire de la série (1, 3, 6,
10, 15, etc.) est appelée "nombre
triangulaire" puisqu'il est possible de le représenter sous
la forme suivante:

Figure: 11.2 - Nombres triangulaires 1, 3, 6, 10 et 15
Nous
pouvons continuer ainsi pour des ordres supérieurs (nous les présentons
non en tant qu'exercices mais parce que ces relations sont utiles!):
Calculons maintenant le cas très important que nous retrouverons
dans un certain nombre d'autres chapitres (Économie, Physique Quantique
Ondulatoire, etc.) et qui est la somme des n premiers
carrés (toujours non nuls).
Posons pour cela:
(11.58)
nous savons que (binôme de
Newton):
(11.59)
nous pouvons donc écrire
et ajouter membre à membre les n égalités
suivantes:
(11.60)
Avec quelques manipulations
algébriques élémentaires:
(11.61)
d'où:
(11.62)
Finalement:
(11.63)
Terminons
avec la somme des n premiers
cubes (non nuls). Le principe étant le même que précédemment,
nous posons:
(11.64)
Nous savons par ailleurs que (binôme de
Newton):
(11.65)
Nous obtenons en faisant
varier k de 1
à n, n relations
que nous pouvons ajouter membre à membre:
(11.66)
Nous avons donc:
(11.67)
Ce qui donne après développement:
(11.68)
Et après une première simplification:
(11.69)
et une deuxième:
(11.70)
Le résultat final est donc:
(11.71)
ou écrit autrement:
(11.72)
Évidemment,
nous pouvons continuer ainsi longtemps mais à partir
d'une certaine valeur de l'élévation de la puissance
les choses se compliquent un petit peu (de plus, la méthode
est un peu longue). Ainsi, un des membres de la famille des
Bernoulli
(c'était une
famille de mathématiciens
assez doués...) a montré une relation générale
fonctionnant pour n'importe quelle puissance en définissant
ce que nous appelons le
"polynôme de Bernoulli".
Terminons avec un dernier cas particulier dont nous aurons besoin
lors de notre étude des séries de Fourier. Nous posons:
(11.73)
Nous voulons exprimer cette expression sous forme de fraction
rationnelle. Pour ce faire, nous multiplions tout par .
Nous avons donc les deux expressions:
(11.74)
Nous soustrayons la première de la deuxième:
(11.75)
Finalement:
(11.76)
De même, pour les besoin du chapitre d'Économie,
nous avons:
(11.77)
Soit:
(11.78)
Finalement:
(11.79)
NOMBRES ET POLYNÔMES DE BERNOULLI
Comme nous venons de le voir plus haut il est possible d'exprimer
la somme des n premiers entiers non nuls élevés à une puissance
donnée selon (les quatre premiers ont été démontrés précédemment)
les relations suivantes où nous avons posé avec n'
le nombre de termes dont nous voulons la somme 0 non compris (d'où le
signe négatif que nous n'avions pas plus haut):
(11.80)
Jacob Bernoulli remarqua ensuite que les polynômes avaient
la forme:
(11.81)
Dans cette expression, les nombres semblent
ne pas dépendre de p. Plus généralement, après tâtonnement
on remarque que le polynôme peut être écrit sous la forme:
(11.82)
Ce qui donne par identification les "nombres
de Bernoulli":
(11.83)
Par la suite, les mathématiciens dans leurs recherches sont tombés
au hasard sur le fait que les nombres de Bernoulli pouvaient être
exprimés par la série:
avec
(11.84)
En d'autres termes, la fonction génératrice des
nombres de Bernoulli serait G(z). Si nous développons
les premiers termes de cette série:
(11.85)
Démonstration:
Nous avons vu dans notre étude des nombres complexes
(cf. chapitre sur les Nombres) que:
(11.86)
Dès lors:
(11.87)
Posons maintenant:
(11.88)
Nous avons alors:
(11.89)
Nous voyons (en distribuant) que:
(11.90)
par suite pour que tout cela soit égal à l'unité il faut que:
(11.91)
De la deuxième équation nous tirons:
(11.92)
De la troisième équation nous tirons:
(11.93)
etc.
En continuant ainsi nous montrons que:
...
(11.94)
Il est évident que cette méthode ne nous permet
de calculer à la
main que les premiers termes de cette série.
Ainsi, en se basant sur:
(11.95)
nous trouvons que les premiers nombres de Bernoulli sont les
suivants:
k |

|
0 |
1 |
1 |
−1/2 |
2 |
1/6 |
3 |
0 |
4 |
−1/30 |
5 |
0 |
6 |
1/42 |
7 |
0 |
8 |
−1/30 |
9 |
0 |
10 |
5/66 |
11 |
0 |
12 |
−691/2730 |
13 |
0 |
14 |
7/6 |
Tableau: 11.1
- Nombres de Bernoulli
Le lecteur aura remarqué
que lorsque n est
impair et différent de 1.
C.Q.F.D.
Nous voyons bien par ailleurs, que les valeurs des nombres de
Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement. En fait,
ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann
(voir plus bas) pour des valeurs entières négatives
de la variable, et ces nombres sont associés à des
propriétés théoriques profondes qui dépassent
le cadre d'étude de ce site. Par ailleurs, les nombres de Bernoulli
apparaissent également
dans le développement en série de Taylor des fonctions
tangentes circulaire et hyperbolique, dans la formule d'Euler-Maclaurin
(voir
plus bas).
Avec une petite modification, il est possible de définir les
"polynômes de Bernoulli" par:
(11.96)
avec donc:
(11.97)
Par ailleurs, il est aisé de remarquer que:
(11.98)
et donc il est facile d'en déduire:
(11.99)
Démonstration:
D'un côté nous avons:
(11.100)
et d'un autre nous avons:
(11.101)
Donc:
(11.102)
C.Q.F.D.
Et par identification des coefficients nous en déduisons:
(11.103)
et pour :
(11.104)
Il est alors aisé de déduire que les sont
des polynômes de degré k:
(11.105)
Voici un tracé de ces polynômes:

Figure: 11.3 - Quelques polynômes de Bernoulli
Ce qui est remarquable c'est qu'à l'aide des polynômes de Bernoulli,
nous voyons qu'il est possible d'écrire les sous
la forme suivante:
(11.106)
Certains écrivent cette relation encore autrement. Effectivement,
de la relation précédente, nous pouvons écrire:
(11.107)
Et en utilisant:
(11.108)
Il vient:
(11.109)
Donc nous venons de démontrer:
(11.110)
Cependant, nous
pouvons maintenant nous demander ce qu'il advient de la somme partielle
de suites arithmétiques et géométriques telles
que présentées au début de ce chapitre.
SÉRIES
ARITHMÉTIQUES
Nous avons démontré
plus haut que la somme partielle de la série de Gauss (analogue
à la somme des termes d'une suite arithmétique de
raison r = 1) s'écrivait donc:
(11.111)
si nous notons non pas n
la valeur du n-ème terme mais ,
le développement que nous avions fait pour la série
de Gauss nous amène alors à:
(11.112)
et si nous notons le premier
terme 1 de la série de Gauss par ,
nous avons alors:
(11.113)
ce qui nous donne la somme
partielle des n-termes d'une suite arithmétique de
raison r quelconque (ou plus simplement: la somme partielle
de la série arithmétique de raison r).
Remarque: Le lecteur aura observé que la raison r
n'apparaît pas dans la relation. Effectivement, en reprenant
(toujours) le même développement fait que pour la
série
de Gauss, le terme r se simplifie.
SÉRIES
GÉOMÉTRIQUES
De même, avec un somme
géométrique où nous avons pour rappel:
(11.114)
nous avons
donc:
(11.115)
La dernière relation
s'écrit (après simplification):
(11.116)
et si ,
nous avons:
(11.117)
ce qui peut s'écrire
en factorisant :
(11.118)
Si q est positif et inférieur à 1, lorsque n tend
vers l'infini nous avons le résultat qui sera très utilisé dans
le chapitre d'Économie:
(11.119)
Exemple:
Soit la suite de raison q=2 suivante:
(11.120)
pour calculer la somme des quatre premiers termes ,
nous prenons la puissance de 2 équivalent de
(le zéro n'étant pas pris en compte). Nous obtenons
alors bien .
FONCTION ZÊTA ET IDENTITÉ D'EULER
L'allemand Riemann a baptisé "zêta" une
fonction déjà étudiée avant lui, mais
qu'il examine lorsque la valeur est un nombre complexe (cf.
chapitre sur les Nombres). Cette fonction se présente
comme une série de puissances inverses de nombres entiers.
C'est la série:
(11.121)
Remarque: Il est traditionnel de noter s la variable dont
dépend cette série.
Cette série a une propriété intéressante
mais si l'on reste dans le cadre des puissances entières
positives et non nulles:
(11.122)
quand
nous avons alors:
(11.123)
Si nous faisons ,
nous obtenons la somme des puissances inverses de 2 et de même
avec
tel que:
(11.124)
Si nous faisons le produit
de ces deux expressions, nous obtenons la somme des puissances
de toutes les fractions dont le dénominateur est un nombre
produit de 2 et de 3:
(11.125)
Si nous prenons tous les nombres premiers à gauche, nous
obtiendrons à droite tous les nombres entiers, puisque
tout entier est produit de nombres premiers selon le théorème
fondamental de l'arithmétique (cf.
chapitre de Théorie
Des Nombres), et c'est l'identité fondamentale d'Euler:
ce que nous appelons maintenant la "fonction
zêta de Riemann" est à la fois un produit
fini et la somme des puissances inverses de tous les entiers:
(11.126)
En notation condensée,
"l'identité d'Euler" est:
(11.127)
où p sont les
nombres premiers.
Nous proposons maintenant au lecteur de sauter ce qui va suivre
concernant la fonction zêta de Riemann et d'y revenir une fois
les séries de Fourier présentées plus bas
dans ce chapitre maîtrisées
et
comprises.
Nous supposons pour ce qui va suivre que les séries de
Fourier sont maintenant connues et que l'égalité de
Parseval a été étudiée
(puisqu'elle est aussi démontrée plus bas). Nous
allons chercher
à déterminer la fonction zêta de Riemann pour
deux valeurs (s valant respectivement 2 et 4) qui nous
seront utiles lors de la valorisation d'intégrales
dans certains chapitres de la section de Mécanique.
Pour déterminer la valeur de ,
nous allons exprimer la fonction:
(11.128)
sous forme de série de Fourier (voir un peu plus loin dans
ce même chapitre ). Lors de notre étude des séries de Fourier nous
verrons qu'il y a deux manières
traditionnelles de définir
une série
de Fourier et que nous avons fait ici le choix de la définition
d'usage le plus courant chez les physiciens et ingénieurs:
(11.129)
Comme nous le démontrerons lors de notre étude
des séries de Fourier, les coefficients de Fourier s'obtiennent
en résolvant:
(11.130)
et en utilisant l'intégration par parties (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Nous avons
alors:
(11.131)
Il vient alors:
(11.132)
Mais le théorème de Parseval que nous démontrerons
lors de notre étude
des séries de Fourier nous donne aussi (suivant le choix
de la définition de la série de
Fourier et des coefficients associés, le théorème
de Parseval s'exprime un peu différemment!):
(11.133)
Il vient alors immédiatement:
(11.134)
Mais nous verrons aussi lors de notre démonstration
du théorème
de Parseval que:
(11.135)
Il vient alors dans notre cas:
(11.136)
Donc:
(11.137)
et:
(11.138)
Pour déterminer la valeur de ,
nous allons procéder de même, mais avec la fonction:
(11.139)
sous forme de série de Fourier:
(11.140)
Pour cela, nous allons calculer les coefficients de Fourier en
utilisant l'intégration
par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(11.141)
Il vient alors:
(11.142)
Mais le théorème de Parseval que nous verrons donc
plus loin nous donne aussi:
(11.143)
Il vient alors immédiatement:
(11.144)
Mais nous verrons aussi vu lors de notre démonstration
du théorème
de Parseval que:
(11.145)
Il vient alors dans notre cas:
(11.146)
Donc:
(11.147)
et au final:
(11.148)
SÉRIES
DE TAYLOR ET DE MACLAURIN
Les séries de Taylor et de Maclaurin constituent un outil
pratique très puissant pour simplifier des modèles
théoriques ou des calculs
informatiques (modélisation de fluides ou champs dans l'espace).
Elles sont utilisées énormément
dans tous les domaines de la physique mais on les retrouve aussi
dans l'industrie notamment
en ingénierie (plans d'expérience, méthodes
numériques,
gestion de la qualité), statistiques (approximations d'intégrales),
finance (processus stochastiques), analyse complexe... Nous conseillons
donc vivement
au lecteur de bien lire les développements qui vont suivre.
Soit
un polynôme (à une variable):
(11.149)
Nous
avons trivialement pour ce dernier:
(11.150)
Soit maintenant la dérivée
du polynôme P(x):
(11.151)
donc:
(11.152)
et
ainsi de suite avec P''(x),P'''(x),... tel
que:
(11.153)
Il
s'ensuit que:
(11.154)
Donc
finalement notre polynôme peut s'écrire:
(11.155)
relation
que nous appelons "série de Maclaurin
limitée" ou tout
simplement "série de Maclaurin" d'ordre k + 1.
Remarque: Dans la pratique, comme nous le verrons dans de nombreux
autres chapitres de ce site, nous utiliserons fréquemment
des développements
limités d'ordre 1 (encore appelés "approximations
affines", ou "approximations affines tangentes"),
qui permettent de faciliter les calculs, lorsque nous n'exigons
pas une trop grande précision.
En
appliquant maintenant le même raisonnement mais en centrant le
polynôme
sur la valeur ,
nous avons:
(11.156)
et
ainsi le développement précédent devient:
(11.157)
qui
n'est d'autre que l'expression générale d'un polynôme
exprimé sous
une forme dite de "série de
Taylor limitée" d'ordre k + 1.
Cette fonction peut être assimilée à un
polynôme tant que n est fini. Mais si n est
infini, comme nous le verrons plus loin, cette série converge
vers la fonction dont nous cherchons la représentation
sous forme de somme de termes.
Ainsi, certaines fonctions f(x) pouvant
être approchées par un polynôme P(x)
(une somme de puissances autrement dit...) centré sur
la valeur peuvent
être exprimées sous la forme:
(11.158)
Relation souvent designée sous le nom de "théorème
de Taylor".
Par contre cette dernière relation n'est pas juste pour toutes
les fonctions ne pouvant pas s'exprimer sous forme de polynômes.
Dès lors nous disons que la série n'est pas convergente pour ces
dernières. Nous en verrons un exemple plus bas.
La dernière relation s'écrit aussi de manière
plus conventionnelle...:
(11.159)
Dans la finance (et pas que!), nous utiliserons souvent le réarrangement
suivant:
(11.160)
Revenons brièvement à l'approximation de f(x)
proche et centrée en :
(11.161)
Certaines personnes n'aiment pas utiliser cette formulation car
on risque d'oublier que l'approximation pour quelques termes n'est
bonne que tant que l'on ne s'éloigne pas trop de avec x.
Raison pour laquelle il arrive souvent que nous posions:
(11.162)
avec fixé et h variable
mais petit (!) et ainsi il vient alors une forme d'écriture
courante des séries de Taylor:
(11.163)
Voyons un exemple d'application avec une série
de Maclaurin (avec étant
nul) de
la fonction sin(x) et Maple 4.00b:
>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);
>p11:= taylor(sin(x),x=0,12);
>p11:= convert(p11,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](sinplot):
for i from 1 by 2 to 11 do
tpl:= convert(taylor(sin(x), x=0,i),polynom):
tays:= tays,plots[display]([sinplot,plot(tpl,x=-Pi..2*Pi,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-Pi..2*Pi,-2..2]);
Figure: 11.4 - Approximation de la fonction sinus par un développement de Maclaurin
sur Maple 4.00b
Nous voyons donc bien dans cet exemple que la série
de Maclaurin ne permet que d'approcher une fonction en un point
avec un nombre limités de points. Mais plus nous prenons
de termes (mettre
100 termes dans l'exemple précédent) plus la validité est
grande sur tout le domaine de définition de la fonction.
Au fait il est possible de démontrer que la fonction sin(x)
est exactement exprimable en série de Maclaurin lorsque
le nombre de termes est infini. Nous disons alors que son "reste" est
nul.
Par contre ceci n'est pas vrai pour toutes les
fonctions. Par exemple avec la fonction:
(11.164)
>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);
>p10:= taylor(1/(1-x^2),x=0,10);
>p10:= convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl:= convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom):
tays:= tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-2..2,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-2..2,-2..2]);
Figure: 11.5 - Contre-exemple d'approche par Maclaurin sur Maple 4.00b
Nous voyons bien ci-dessus que peu importe le nombre
de termes que nous prenons, la série de Maclaurin converge seulement
dans un domaine de définition compris entre ]-1,1[. Cette intervalle
est appelé le "rayon de convergence"
et sa détermination (celle des singularités) est un point crucial
dans de nombreux domaines de l'ingénierie, de la physique et de
l'analyse. Nous y reviendrons plus en détails dans le chapitre
d'Analyse Complexe.
Par contre nous pouvons décaler la série de Maclaurin
de la fonction précédente afin d'approcher la fonction avec une
série de Taylor en un autre point non singulier comme par exemple
en valant
2:
>p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n);
>p10:= taylor(1/(1-x^2),x=2,10);
>p10:= convert(p10,polynom);
>with(plots):
>tays:= plots[display](xplot):
for i from 1 by 2 to 10 do
tpl:= convert(taylor(1/(1-x^2), x=2,i),polynom):
tays:= tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=0..5,y=-2..2,
color=black,title=convert(tpl,string))]) od:
>plots[display]([tays],view=[-0..5,-2..2]);
Figure: 11.6 - Décalage possible de l'approche par Maclaurin avec Maple 4.00b
Nous étudierons une généralisation au plan
complexe des séries
de Taylor précédentes dans le chapitre d'Analyse
Complexe pour obtenir un résultat très puissant permettant
aux physiciens de calculer des intégrales curvilignes compliquées.
DÉVELOPPEMENTS DE MACLAURIN USUELS
Nous allons démontrer ici les développements de Maclaurin les
plus fréquents (une petite dizaine) jusqu'au deuxième ordre que
nous puissions rencontrer en physique théorique et mathématique
(en fait, nous avons développés uniquement ceux qui sont utilisés
dans l'ensemble du site). La liste est pour l'instant non exhaustive
mais les démonstrations étant généralisées, elles peuvent s'appliquer à un
grand nombre d'autres cas (que nous appliquerons/rencontrerons
tout au long de ce site).
Remarque: Les développements de Taylor (donc ailleurs
qu'en zéro) étant très rare (il y en a un ou deux sur l'ensemble
du site mais ils sont détaillés dans le chapitre respectif), nous
les omettrons.
1. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral que:
(11.165)
Il vient alors que:

(11.166)
2. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral que:
(11.167)
Il vient alors que:

(11.168)
3. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral que:
(11.169)
Il vient alors que:

(11.170)
4. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral que:
(11.171)
Il vient alors que:

(11.172)
5. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral que:
(11.173)
Il vient alors que:

(11.174)
6. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral l'expression générale de la dérivée
d'un quotient de deux fonctions. Il vient alors:
(11.175)
Il vient alors que:

(11.176)
Il s'ensuite immédiatement une autre série de Taylor que nous
retrouverons aussi un certain nombre de fois:
(11.177)
7. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral l'expression générale de la dérivée
d'un quotient de deux fonctions. Il vient alors:
(11.178)
Il vient alors que:

(11.179)
Il s'ensuite immédiatement une autre série de Taylor que nous
retrouverons aussi un certain nombre de fois:
(11.180)
8. Développement de Taylor-Maclaurin de :
D'abord rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral que la dérivée de la fonction logarithme.
Il vient alors (nous retrouvons très vite les termes d'une des
séries développée un peu plus haut):
(11.181)
Il vient alors que:

(11.182)
9. Considérons maintenant le cas important
pour le modèle de Langevin du paramagnétisme qu'est
le développement de Taylor approximé de la fonction
cotangente hyperbolique (cf. chapitre de
Trigonométrie),
définie pour rappel par la relation:
(11.183)
Pour cela, nous allons utiliser la notation de Landau
avec des expressions du type en
se rappelant que nous venons de démonter un peu plus haut
que:
(11.184)
lorsque .
Pour la cotangente hyperbolique nous avons alors:
(11.185)
À présent il faut se rappeler comme
nous venons de le démontrer un peu plus haut que:
(11.186)
pour .
Donc:
(11.187)
et pour finir en remplaçant ceci dans l'expression
précédente nous trouvons:
(11.188)
SÉRIES DE TAYLOR D'UNE FONCTION A 2 VARIABLES
Nous allons voir ici comment approcher une fonction f(x, y)
de deux variables réelles par une somme de puissances (série
de Taylor). Ce type d'approximation est très utilisé dans
de nombreux domaines de l'ingénierie (voir
chapitre de Génie Industriel et de Méthodes Numériques).
Nous cherchons donc une approximation de f(x, y)
au point .
Pour cela, posons (rien ne nous interdit a priori de le faire)
que:
et
(11.189)
Nous avons alors:
(11.190)
La valeur de (l'astuce est là!):
(11.191)
peut être approchée en utilisant son expression en série
de Taylor autour de la valeur 0 telle que:
(11.192)
Or, nous avons:
(11.193)
et:
(11.194)
Selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre
de Calcul Intégral
Et Différentiel):
(11.195)
Nous avons alors:
(11.196)
et nous démontrons par récurrence que:
(11.197)
Nous avons alors finalement:
(11.198)
ou sous une autre forme équivalente simplifiée:
(11.199)
Ou encore si nous définissons une matrice
H appelée "matrice Hessienne" donnée par:
(11.200)
nous pouvons aussi écrire:
(11.201)
Dans Maple 4.00b nous utilisons la commande suivante
pour faire un développement d'ordre n autour de
0 d'ordre 3.
>readlib(mtaylor):
>mtaylor(f(x,y), [x,y], 3);
FORME QUADRATIQUE
Maintenant nous allons avoir besoin pour le chapitre
de Méthodes Numériques d'énoncer une propriété importante (qui
aurait tout à fait sa place uniquement dans le chapitre de Calcul
Différentiel Et Intégral):
Soit f une fonction définie et
dérivée
sur un intervalle I et soit a un élément
de I. Si
f est telle que alors
nous disons qu'elle a un extremum local en a.
Remarque: La réciproque est fausse, la fonction
x3 en est un exemple. Sa dérivée est nulle en 0 mais il n'y a pas
d'extremum local en ce point. Donc il faut être prudent!
Cependant, soit f une fonction définie
et dérivée sur un intervalle I et soit a un élément
de I. Si f est telle que et
si f ' change de signe en a alors f admet
un extremum local en a.
Pour maintenant revenir à notre développement de Taylor à deux
variables, nous savons que si est
un extremum local de f alors dans un premier temps
(cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(11.202)
Cependant nous venons de voir que cette condition n'est pas suffisante à garantir
que soit
un extremum local.
Reconsidérons le développement de Taylor de f ci-dessus
en tenant compte de la condition précédente. Le développement se
simplifie alors en:
(11.203)
Nous savons alors par définition que pour que soit
un minimum local (respectivement un maximum local) il suffit que
l'expression entre crochets soit positive (respectivement négative). Étant
donné que les dérivées secondes de f sont continues,
il suffit donc que l'expression:
(11.204)
soit positive (resp. négative) quels que soient h ou k et
qu'elle soit nulle que si .
Nous disons alors que q est une "forme
quadratique définie
positive (resp. définie négative)".
Pour simplifier l'écriture et être conforme aux traditions posons
maintenant:
(11.205)
Nous pouvons alors réécrire q comme suit:
(11.206)
Où H est toujours matrice hessienne de f évaluée
en .
Nous voyons donc que q est définie positive (minimum local)
si et ,
définie négative (maximum local) si et .
En revenant aux dérivées partielles ces conditions se réécrivent
comme suit:
- Définie positive (minimum local) si:
et
(11.207)
- Définie négative (maximum local) si:
et
(11.208)
En conclusion nous voyons que le signe du déterminant de la matrice
hessienne ainsi que celui de nous
permettent d'obtenir une condition suffisante pour déterminer si
nous sommes en présence d'un extremum local.
RESTE
DE LAGRANGE
Il peut y avoir un intérêt dans certaines applications numériques
(cf. chapitre de Méthodes Numériques)
à connaître l'erreur d'approximation du polynôme par
rapport à la fonction .
Définissons pour cela un "reste"
,
tel que:
(11.209)
La fonction est
appelée "reste de Lagrange".
Considérons maintenant une fonction f(x) qui
est fois
dérivable sur un intervalle qui contient .
Pour une valeur x de l'intervalle, différente de ,
nous nous proposons de démontrer qu'il existe un nombre z situé entre et
x tel que:
(11.210)
Démonstration:
Soit une fonction g(t) une
fonction définie par la différence d'une fonction f(x)
supposée connue et une approximation de Taylor de cette
même
fonction:

(11.211)
avec bien sûr:
(11.212)
Nous voyons que g(t) s'annule bien pour
la valeur .
Dérivons maintenant g(t) par rapport à
t, nous trouvons:
(11.213)
Après simplification:
(11.214)
Selon le théorème de Rolle (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral),
il existe une valeur
pour
laquelle la dérivée s'annule.
Donc:
(11.215)
Nous pouvons simplifier l'équation par :
(11.216)
ce qui s'écrit aussi:
(11.217)
et nous trouvons donc pour maximum de :
(11.218)
C.Q.F.D.
Nous voyons que plus le polynôme est
de degré élevé, plus il approxime la fonction f(x) avec
exactitude. Que se passe-t-il lorsque ?
(11.219)
Supposons que f(x) admette des
dérivées de tout ordre (ce que nous notons )
pour toutes les valeurs d'un intervalle quelconque contenant et
soit le
reste de Lagrange de f(x) en .
Si, quel que soit x dans l'intervalle:
(11.220)
alors f(x) est exactement représentée par
P(x) sur l'intervalle.
Démonstration:
Elle découle simplement de l'expression
de lorsque .
Effectivement, si nous prenons une infinité de termes pour ,
la correspondance avec la fonction approchée est parfaite
et donc le reste est nul.
C.Q.F.D.
Le polynôme:
(11.221)
est appelé "polynôme
de Taylor" ou "série de Taylor". Si ,
il est appelé "polynôme de Maclaurin" ou "série de
Maclaurin".
FORMULE DE TAYLOR AVEC RESTE INTÉGRAL
Nous allons voir ici un théorème qui nous sera utile
dans le chapitre de Statistique pour relier la loi de Poisson et
la loi du Khi-2 qui est utilisée dans les logiciels statistique
pour le test de Poisson des événements rares (c'est
la seule application pratique utilisée dans les entreprises
qui nous est connue à ce jour).
Remarque: Si quelqu'un possède une démonstration
plus pédagogique dont le début fait un peu moins "formule
tombée du ciel", nous sommes preneurs!
Soit f une application n+1 fois dérivable
dans l'intervalle [a, b]. Nous avons alors :
(11.222)
où il est important (pour la bonne compréhension
de ce que nous ferons dans le chapitre de Statistiques) que le
lecteur remarque dans le développement que quand la dérivée
s'arrête
au n-ième terme dans la série, l'intégrale
(le reste) a un facteur 1/n!, une puissance en n et
une dérivée en n+1.
Donc in extenso, comme nous allons le démontrer ci-après,
si nous arrêtons
le développement
des termes à n-1, l'intégrale (le reste)
aura un facteur 1/(n-1)!, une puissance en n-1
et une dérivée n-ième.
Démonstration:
La démonstration se fait par récurrence.
Nous considérons d'abord la formule tombée du ciel:
(11.223)
Nous montrons qu'elle est correcte pour k =
0 et ensuite nous faisons une récurrence sur k pour .
Pour k = 0, nous avons la relation bien connue (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(11.224)
Supposons la propriété vraie pour :
(11.225)
Nous intégrons par parties (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) le terme:
(11.226)
Nous avons alors:
(11.227)
d'où:
(11.228)
C.Q.F.D.
SÉRIES
DE FOURIER
Nous appelons par définition "série
trigonométrique" une série de la forme:
(11.229)
ou sous une
forme plus compacte:
(11.230)
Les constantes
sont les coefficients de la série trigonométrique plus souvent
nommés
"coefficients de Fourier".
Remarque: Nous avions déjà fait mention
de ce type de série
lors de notre
étude des types de polynômes existants puisque les
séries de Fourier
ne sont au fait que des polynômes trigonométriques.
(cf.
chapitre de Calcul Algébrique). Par ailleurs, nous
avons vu comme exemple dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle
lors de notre étude du produit scalaire fonctionnel que
les fonctions sinus et cosinus constituaient les bases d'un espace
vectoriel.
Si la série converge, sa somme est une fonction périodique f(x)
de période
, étant donné que sin(nx) et cos(nx) sont des
fonctions périodiques de période
. De sorte que:
(11.231)
Posons maintenant le problème suivant: Nous nous donnons
une fonction connue, périodique quelconque f(x)
continue par morceaux de période .
Nous nous demandons s'il existe une série trigonométrique
convergeant vers f(x) moyennant des conditions
sur cette série.
Supposons maintenant que la fonction f(x),
périodique
et de période ,
puisse être effectivement représentée par une série
trigonométrique
convergeant vers f(x) dans l'intervalle [0, T],
c'est-à-dire qu'elle soit la somme de cette série:
(11.232)
Supposons
que l'intégrale de la fonction du premier membre de cette égalité
soit égale à la somme des intégrales des termes de la série ci-dessus.
Ceci aura lieu, par exemple, si nous supposons que la série trigonométrique
proposée converge absolument, c'est-à-dire que la série
numérique suivante converge (de par la propriété bornée des fonctions
trigonométriques):
(11.233)
La
série:
(11.234)
est alors majorable et peut être intégrée terme à terme
de 0 à
T (où )
ce qui nous permet de déterminer les différents
coefficients de Fourier. Mais avant de commencer exposons les
intégrales suivantes
qui nous très seront utiles par la suite:
(11.235)
Avec
et
Avec
et
Avant de continuer, démontrons la valeur que prennent ces
six intégrales (suite à la demande des internautes).
Mais d'abord, rappelons que comme
alors:
et
(11.236)
1. Nous procédons en utilisant les relations trigonométriques
remarquables (cf. chapitre de Trigonométrie)
et les primitives des fonctions trigonométriques élémentaires
(cf. chapitre de calcul Différentiel
Et Intégral):
(11.237)
car comme nous l'avons vu dans le chapitre de Trigonométrie
et comme ,
les deux différences précédentes ont tous
les termes qui sont nuls tel qu'au final:
(11.238)
2. Pour la deuxième intégrale, nous procédons
selon les mêmes techniques et mêmes propriétés
des fonctions trigonométriques:
(11.239)
3. Et nous continuons ainsi pour la troisième, toujours
selon les mêmes propriétés:
(11.240)
4. Encore une fois selon les mêmes méthodes (cela
devient routinier...) pour
d'abord:
(11.241)
et pour
il vient immédiatement:
(11.242)
5. Encore une fois... (bientôt au bout...) pour
d'abord:
(11.243)
et pour
il vient immédiatement:
(11.244)
6. Et enfin la dernière (...):
(11.245)
Ce petit travail fait, revenons maintenant à nos moutons...
Pour déterminer les coefficients
multiplions les deux membres de l'égalité:
(11.246)
par :
(11.247)
La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné
que ses termes ne sont pas supérieurs en valeur absolue aux termes
de la série positive convergente. Nous pouvons donc l'intégrer
terme
à terme sur tout segment borné de 0 à T:
(11.248)
Nous avons démontré plus haut que quelles que soient
les valeurs entières
que prennent k ou n le deuxième terme
de la parenthèse
est toujours nul. Il ne reste alors plus que:
(11.249)
Or, nous avons démontré plus haut que l'intégrale à droite est
toujours nulle si n et k sont différents. Il
ne reste alors que le cas où n et k sont
égaux. C'est-à-dire:
(11.250)
Dans cette situation, nous avons d'abord le cas particulier où k est
nul. Dans ce cas:
(11.251)
Soit:
(11.252)
Il est évident que le coefficient représente
donc la moyenne du signal ou de sa composante continue si elle existe.
Dans le cas où k n'est pas nul,
nous avons:
(11.253)
D'où nous tirons:
(11.254)
Pour déterminer les coefficients nous
procédons de la même manière mais en multipliant
cette fois-ci les deux membres de l'égalité par :
(11.255)
La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné
que ses termes ne sont pas supérieurs en valeurs absolues aux termes
de la série positive convergente. Nous pouvons donc l'intégrer
terme à terme sur tout segment borné de 0 à T:
(11.256)
Nous avons démontré plus haut que quelles que soient
les valeurs entières que prennent k ou n le
premier terme de la parenthèse est toujours nul.
Il ne reste plus alors que:
(11.257)
Or, nous avons démontré plus haut que
l'intégrale à droite est toujours nulle si n et k sont
différents. Il ne reste alors que le cas où n et k sont égaux.
C'est-à-dire:
(11.258)
Dans cette situation, nous avons d'abord le cas
particulier où k est nul. Mais nous voyons de suite
que nous avons une indétermination par zéro. Il vaut
mieux alors considérer
le cas général d'où nous tirons:
(11.259)
D'où nous tirons aisément que:
(11.260)
Dès lors, pour la situation où k est
nul le coefficient est alors nul!
Donc finalement les coefficients de Fourier sont donc déterminés
par les intégrales:
(11.261)
Mais comme c'est embêtant d'avoir trois résultats pour les coefficients
nous allons jouer un peu avec la définition de la série de Fourier.
Effectivement en sommant de 1 à l'infini plutôt que de 0 à l'infini
nous avons:
(11.262)
Ce qui permet alors de n'avoir qu'à se rappeler de ( inclus
donc!):
(11.263)
Les physiciens ont quant à eux pour habitude de noter ces
deux dernières relations sous la forme suivante:
(11.264)
Cette décomposition possible de toute fonction périodique
continue par morceaux approchée par une somme infinie de
fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) consistant
en une fonction fondamentale et ses harmoniques est appelée "théorème
de Fourier" ou encore "théorème
de Fourier-Dirichlet".

Figure: 11.7 - Exemples d'approches de fonctions par série de Fourier (source: Mathwolrd)
La série de Fourier permet donc implicitement
de représenter toutes les fréquences contenues dans
un signal périodique dont la fonction est connue mathématiquement.
On se demande bien pourquoi parler des séries de Fourier
quand, dans la pratique, nous ne connaissons pas vraiment la représentation
mathématique de ce signal? Cela nous amènera à mieux
comprendre le concept de la transformée de Fourier à temps
discret, que nous verrons un peu plus loin, qui n'a nul
besoin d'une représentation mathématique d'un signal
continu échantillonné dans le temps.
Nous constatons par ailleurs que si f(x),
soit la fonction périodique dont nous cherchons l'expression en
série trigonométrique de Fourier, est paire alors la série devra être
paire aussi et donc ne comporter que des termes en cosinus (le
cosinus étant pour rappel une fonction paire) ce qui implique que et
dans le cas contraire d'une fonction impaire (le
sinus étant pour rappel une fonction impaire)!
Il convient de noter, et c'est important pour la suite, que comme
nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Algébrique lors
de notre étude
des polynômes
trigonométriques, les séries de Fourier pouvaient
donc s'écrire sous la forme
complexe suivante (en changeant un peu les notations et en passant
la somme à l'infini):
(11.265)
et nous avions vus que:
(8.266)
Soit:
(11.267)
Ce qui nous donne:
(11.268)
Donc:
(11.269)
Exemples:
E1. Lors de la décomposition d'un signal continu, nous disons
abusivement que les coefficients représentent
chacun (implicitement) une fréquence distincte associée à une amplitude
que nous visualisons sur un graphique par des lignes verticales.
Ce graphique représente le spectre en fréquence du signal décomposé.
Nous pouvons également adjoindre une autre représentation qui se
nomme "spectre de phase".
Ce spectre nous donne la phase du signal harmonique (en avance
ou en retard de phase).

Figure: 11.8 - Exemple d'amplitudes et de fréquences associées aux différents
coefficients
Voyons maintenant comment décomposer un signal périodique connu
en plusieurs signaux d'amplitudes et de fréquences distinctes.
Prenons comme exemple, un signal à onde carrée périodique défini
sur une période T=2 et d'amplitude A tel que:
(11.270)
A la période T=2 correspond comme nous le savons une pulsation:
(11.271)
Calculons en premier lieu les coefficients à l'aide
de l'intégrale permettant de déterminer ces coefficients
(le choix des bornes de l'intégrale suppose donc que le
signal est périodique
par construction!):
(11.272)
En prenant k = 2, nous avons:
(11.273)
De même pour k = 4,6,8 ainsi que pour tout nombre pair.
Pour ce qui est des nombres impairs, nous aurons:
(11.274)
Les coefficients seront alors:
(11.275)
Il y a un seul hic dans cette relation, le coefficient ne
peut être calculé selon cette relation car on peut voir que si k =
0 dans le résultat ci-haut, nous aurons une valeur infinie et c'est
du moins impossible. Le coefficient est
soit nul ou non nul mais jamais infini.
Pour trouver le coefficient ,
nous devons calculer l'intégrale pour k=0. Le coefficient est
alors déterminé par:
(11.276)
Le spectre en "fréquence" (attention à l'abus
de langage!) et en amplitude sera alors de la forme suivante pour et les
fréquences nulles n'étant pas représentées:

Figure: 11.9 - Spectre de fréquence des coefficients de la série de Fourier
L'abus de parler de fréquences pour les coefficients de
Fourier amène donc à avoir des fréquences négatives
en abscisse... mais ce n'est qu'une question de vocabulaire (il
n'y a aucun rapport
direct avec les vraies fréquences) auquel il faut s'habituer.
Le spectre d'amplitude et de phase se calcule selon les relations:
(11.277)
Il est alors relativement aisé de remarquer que si T tend
vers un nombre de plus en plus grand, les pics du spectre se rapprochent
de plus en plus. Ainsi, lorsque T tend vers l'infini le
spectre devient continu.
Le spectre de phase donnera ce qui suit pour les valeurs impaires:

Figure: 11.10 - Spectre de phase des coefficients de la série de Fourier
Il est même possible pour l'exemple d'obtenir relativement facilement
le spectre des fréquences dans Microsoft Excel 11.8346 (le lecteur
pourra trouver un exemple beaucoup plus détaillé et
intéressant
dans le serveur d'exercices sur les Suites et Séries)!!!
Effectivement, il suffit pour cela d'échantillonner par
exemple notre signal 128 fois (Microsoft Excel 11.8346 a besoin
de échantillons
et ne fonctionne que sous cette condition!). Nous divisons alors
l'intervalle en
64 échantillons et idem pour l'intervalle :



Tableau: 11.2
- Echantillonnage signal
Ce qui donne sous forme graphique (attention! pour que la transformée
de Fourier discrète fonctionne bien dans Microsoft Excel 11.8346,
il faut que la fréquence d'échantillonnage - correspondant
au nombre de mesures dans une seconde
- soit au moins 100 fois supérieure à la fréquence
du signal d'origine sinon quoi le résultat peut être
aberrant!):

Figure: 11.11 - Représentation graphique de la série de données
sous Microsoft Excel 11.8346
Ensuite, il suffit d'aller dans le menu Outils/Utilitaire d'Analyse
et choisir l'option Analyse de Fourier:

Figure: 11.12 - Caputre de la boîte de dialogue de l'utilitaire d'analyse de Microsoft
Excel 11.8346
Vient ensuite la boîte de dialogue suivante qu'il faut remplir
comme indiqué (on voit que l'abscisse n'a aucune importance!):

Figure: 11.13 - Paramètres de l'outil Analyse de Fourier de Microsoft Excel 11.8346
Vient alors le tableau suivant pour les coefficients:



Tableau: 11.3
- Coefficients de Fourier
Il reste à calculer le module des nombres complexes avec
la fonction MODULE.COMPLEXE( ) de Microsoft Excel 11.8346 et de diviser
le résultat par 128
pour chacun des coefficients mais
nous voyons déjà que chaque coefficient pair est
nul ce qui correspond bien au résultat théorique
obtenu plus haut.
Nous avons alors en mettant l'indice n en face de chaque
module:



Tableau: 11.4
- Module coefficients complexes
En en traçant un graphique à points (toujours dans
Microsoft Excel 11.8346) un peu personnalisé des
colonnes D et E, nous obtenons finalement (nous avons
restreint l'axe des abscisses à [-5,+5] pour en faciliter
la lecture):

Figure: 11.14 - Spectre de fréquences de la transformée
A comparer avec les calculs théoriques (graphique déjà
présenté plus haut)...:

Figure: 11.15 - Spectre de fréquence calculé plus haut à la main
Nous verrons un exemple pratique et plus détaillé dans
le chapitre d'Économie lors de notre étude
des séries temporelles.
E2. Prenons un autre exemple identique au précédent mais sous
une autre approche. Nous définissons une fonction périodique de
période comme
suit:
(11.278)
Calculons les coefficients de Fourier (nous translatons les bornes
des intégrales puisque la fonction est périodique
rien ne nous en empêche!):
(11.279)
et:
(11.280)
Nous remarquons que vaut
0 pour n pair et vaut pour n impair.
La série de Fourier de la fonction considérée s'écrit donc:
(11.281)
Ce quie dans Maple 4.00b s'écrit:
>S:=(4/Pi)*Sum(sin((2*n+1)*x)/(2*n+1),n=0..N);
et que nous pouvons tracer à l'aide de la fonction:
>plot({subs(N=4,S),subs(N=8,S),subs(N=16,S)},
x=-Pi..Pi,color=[red,green,blue],numpoints=200);
Ce qui donne trois traces pour 4, 8 et 16 termes de la série
en rouge, vert et bleu:
![[Maple Plot]](../../images/equations/algebre/algebr6169.gif)
Figure: 11.16 - Exemple de série de Fourier dans Maple 4.00b avec 4, 8 et
16 termes
Pour 50 termes nous obtenons:
> plot(subs(N=50,S),x=-Pi..Pi,numpoints=800);
![[Maple Plot]](../../images/equations/algebre/algebr6170.gif)
Figure: 11.17 - Exemple de série de Fourier dans Maple 4.00b avec 50 termes
Nous voyons les effets de bord appelés "phénomène
de Gibbs".
Il est possible de montrer ceux-ci se produisent à la valeur
de l'abscisse correspondant à et
que et que le pic culmine à ±1.179 pour toute valeur
de n. Voyons cela!
Nous venons donc de montrer que:
(11.282)
Ce qui peut s'écrire:

en utilisant la démonstration faite plus haut comme quoi:

Nous avons alors:

Rappelons que lors de notre étude des nombres complexes (cf.
chapitre Nombres) nous avions démontré que:

Ce qui nous amène donc à:

Nous allons nous intéresser aux petites valeurs de x.
Donc nous pouvons alors faire un développement au première ordre
en Maclaurin du dénominateur (mais pas du numérateur à cause de
la présence du n):

Nous faisons un changement de variable:

où nous avons utilisé la notation traditionnelle du "sinus
cardinal" dans la dernière relation (car cette fraction est
fréquente en physique raison pour laquelle elle a une notation
spécifique).
Comme ce qui nous intéresse est de déterminer le maximum du phénomène
(la perturbation) de Gibbs, nous voyons que celle-ci a lieu dans
le cas particulier que nous avons présenté (voir figure ci-dessus) à chaque
multiple de et
comme le dénominateur de l'expression de l'intégrale va diminuer
en fonction que le multiple est plus grand, il vient que le plus
grand maximum est au point où (le
point 0 à l'opposé va annuler l'intégrale donc il faut l'éliminer
de notre choix). Nous avons alors:

et la valuation de cette intégrale ne peut être faire que numériquement à notre
connaissance, il vient:

Soit environ 18% au-dessus de la valeur limite attendue.
PUISSANCE D'UN SIGNAL
Un signal périodique possède une énergie
infinie et une puissance moyenne nulle (cf.
chapitre d'Électrocinétique).
Sa puissance moyenne sur une période est alors définie
par:
(11.283)
Si nous développons cette équation, nous avons:
(11.284)
Cela signifie que la puissance d'un signal à temps continu périodique
est égale à la somme des coefficients de Fourier au carré. C'est
ce que l'on nomme le "théorème de Parseval". Cela signifie
que si nous avons un signal quelconque que nous pouvons décomposer
en série de Fourier, nous pouvons connaître la puissance de ce
signal uniquement à l'aide des coefficients spectraux.
Dans la réalité, comme nous ne pouvons déterminer mathématiquement
l'expression de ce signal, nous utilisons la discrétisation ou
l'échantillonnage et ensuite à l'aide d'une transformée de Fourier
discrète, nous pouvons calculer la puissance de ce signal en utilisant
uniquement les coefficients spectraux. Cela nous donne une caractéristique
du signal.
Indiquons aussi le résultat suivant qui nous sera utile dans le
chapitre de Thermodynamique pour l'étude du corps noir et qui est
aussi intimement liée à des propriétés très importantes la fonction
zêta de Riemmann:
(11.285)
La relation suivante:
(11.286)
est appelée "égalité de Parseval".
Suivant la définition de la série de Fourier et de
la définition du coefficient qui
en découle immédiatement, nous avons aussi fréquemment dans la
littérature:
(11.287)
TRANSFORMÉE DE FOURIER
Les séries de Fourier sont un outil très puissant
pour l'analyse de signaux périodiques par exemple, mais
l'ensemble des fonctions périodiques est petit comparé à l'ensemble
des fonctions que nous rencontrons dans les problèmes physiques.
Ainsi, allons-nous introduire un nouvel outil d'analyse extrêmement
puissant qui s'étend à une
classe de fonctions plus générale et qui ont des
applications très importantes en traitement du signal, traitement
d'image, traitement du son, finance des marchés et statistiques
avancées..
La transformée de Fourier (TF) est ainsi utilisée
tant pour les signaux périodiques que pour les signaux apériodiques.
Pour cela, nous repartons de notre étude sur les séries
de Fourier en notation complexe d'une fonction périodique
de période T en considérant que celle-ci devient
de plus en plus grande jusqu'à la faire tendre vers .
Dès lors les raies spectrales se rapprochent peu à peu pour se
transformer en un specte continu.
Ainsi, reprenons les expressions démontrées ci-avant:
(11.288)
que nous pouvons écrire de manière équivalente
sous la forme traditionnelle suivante (dans laquelle il est d'usage
de mettre le facteur 1/T plutôt dans f(t)):
(11.289)
et écrivons encore cela pour des besoins ultérieurs sous la forme
suivante:
(11.290)
et posons:
(11.291)
Ainsi, quand ,
la pulsation tend vers zéro et nous avons car
nous passons de valeurs discrètes à valeurs continues
qui parcourent l'ensemble des réels (pour tous les k).
Donc de:
(11.292)
nous passons à la limite soit:
(11.293)
et cela implique aussi que:
(11.294)
Nous obtenons ainsi pour les coefficients (nous changeons de notation
car l'ancienne est inadaptée):
(11.295)
et pour la série infinie (dont la somme devient une intégrale):
(11.296)
Attention!!! Pour faire la différence entre la fonction donnée
et son équivalent dont nous cherchons l'expression en somme infinie,
nous les noterons dorénavant différemment. Ainsi, il vient:
(11.297)
Donc la série de Fourier discrète devient une fonction
continue.
Définitions:
D1. Nous appelons "transformée
de Fourier (TF)" de f la
relation:
(11.298)
notée parfois aussi sous la forme suivante:
(11.299)
appelée aussi parfois "densité
spectrale d'amplitude".
D2. Nous appelons "transformée
de Fourier inverse (TFI)" de F la
relation:
(11.300)
Toute technique de transformation de ce type (car
il y en a plusieurs!) s'appelle une "transformation
intégrale".
Remarque: Il
existe de nombreuses manière d'écrire la transformée
de Fourier en fonction du choix de la valeur initiale de T .
Certains physiciens préfèrent symétriser ces deux expressions
en mettant le même coefficient dans les deux sens, qui sera par
exemple .
Cela donnera:
(11.301)
Donnons également la forme tridimensionnelle qui nous servira
de nombreuses fois en mécanique ondulatoire, électrodynamique,
optique ondulatoire ou encore dans les divers chapitres de physique
quantique:
(11.302)
Pour que les choses soient peut-être plus claires, montrons de
manière générale que la transformée de Fourier précédemment écrite
est une isométrie (conserve la norme).
Remarquons tout d'abord que pour tout f, g nous
avons le produit scalaire fonctionnel:
(11.303)
Mais puisque les fonctions sont dans l'espace des complexes,
comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, nous
devons alors utiliser la notation du produit hermitien:
(11.304)
Rappelons quand même que:
(11.305)
Démonstration:
Nous voulons donc démontrer l'égalité:
(11.306)
Soit explicitement:
(11.307)
Mais les variables à intégrer doivent être les mêmes et
pour que soit
implicitement dépendante de il
faut donc prendre la transformée de Fourier en .
Tel que:
(11.308)
Ainsi:
(11.309)
Soit en utilisant le théorème de Fubini (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(11.310)
A l'aide de ce résultat, nous avons donc aussi démontré (c'est
immédiat):
(11.311)
Nous n'avons pas précisé les bornes: elles sont
infinies dans chaque définition (nous intégrons sur
tous les ou possibles).
C.Q.F.D.
Voyons maintenant deux propriétés intéressantes de la transformée
de Fourier:
P1. Si f est paire, il vient une simplification de la
transformée telle que:
(11.312)
P2. Si f est impaire, nous procédons de la même manière
que ci-dessus et nous obtenons:
(11.313)
P3. Propriété très importante
des transformées de Fourier qui nous
sera utile en finance (cf. chapitre d'Économie)
et également dans le cadre de l'étude de l'équation
de la chaleur (cf. chapitre de Thermodynamique).
Rappelons d'abord que la transformée de Fourier est donnée par:
(11.314)
Nous souhaitons voir ce qu'il se passe si:
(11.315)
En faisant une intégration par parties (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(11.316)
il vient:
(11.317)
où nous nous sommes mis dans la situation avec:
(11.318)
Donc:
(11.319)
De manière générale:
(11.320)
Remarque: La
branche de "l'analyse harmonique",
ou "analyse
de Fourier 2D", est la
branche des mathématiques
qui étudie la représentation des fonctions ou des
signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et
généralise
les notions de série de Fourier et de transformée
de Fourier. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le
nom de la discipline. Durant ces deux derniers siècles,
elle a eu de nombreuses applications en physique et en économie
sous le nom "d'analyse spectrale", et connaît des
applications récentes
notamment en traitement des signaux, mécanique quantique,
neurosciences, stratigraphie, statistiques...
Exemples:
E1. Voyons donc un exemple (parmi les deux fondamentaux)
d'une transformée
de Fourier que nous retrouvons en physique quantique aussi bien
qu'en optique ondulatoire.
Nous allons calculer la transformée de Fourier (spectre)
de la fonction suivante (impulsion rectangulaire):

Figure: 11.18 - Fonction dont nous souhaitons calculer la TF
Nous avons donc:
(11.321)
où sinc est le sinus cardinal. Nous retombons donc sur le sinus
cardinal (si nous prenons le module au carré) de la décomposition
d'une onde monochromatique diffractée par une fente rectangulaire.
Ainsi, il semble possible d'étudier les phénomènes
de diffraction en utilisant la transformée de Fourier et
ce domaine se nomme "l'optique
de Fourier". Nous reviendrons là-dessus dans le chapitre
d'Analyse Fonctionnelle quand nous approfondirons les transformées
de Fourier.
On remarquera que le spectre (décrit par la fonction sinus cardinal)
passe par zéro
chaque fois que le sinus cardinal s'annule, c'est-à-dire,
chaque fois que la fréquence est un multiple de 1/a.
Le spectre de cette impulsion illustre deux points importants
concernant les signaux de durée limitée:
P1.
Un signal de courte durée possède
un spectre large bande
P2. À un spectre étroit correspond
un signal de longue durée.
E2. La
transformée de Fourier d'une fonction intégrable f est donnée par:
(11.322)
Considérons la fonction intégrable de type Gaussienne:
(11.323)
avec défini
sur .
Nous voulons calculer sa transformée de Fourier car il
s'agit d'un cas très important et en particulier utile
pour la résolution de l'équation
de la chaleur que nous traiterons dans le chapitre de Thermodynamique
et pour résoudre l'équation
différentielle de Black-Scholes dans le chapitre d'Économie.
L'astuce géniale, si nous voulons éviter de faire de l'analyse
complexe sur 3 pages A4, consiste à remarquer que est
solution de l'équation différentielle linéaire suivante:
(11.324)
où y est une fonction de .
En effet en dérivant nous
obtenons:
(11.325)
Une intégration par parties nous donne:
(11.326)
On reconnaît l'expression de la transformée de Fourier
de f. Par
conséquent:
(11.327)
Ceci montre que est
bien solution de l'équation différentielle ci-dessus.
Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel et
Intégral que la solution générale de cette équation différentielle
est donnée par:
(11.328)
où .
Et comme dans le cas présent:
(11.329)
La primitive G(x) est donc facile à calculer et
il vient:
(11.330)
Par conséquent:
(11.331)
Pour déterminer la constante A il suffit de remarquer
que:
(11.332)
et donc:
(11.333)
Il est alors d'usage de dire que la transformation de Fourier
d'une Gaussienne est une autre Gaussienne.
SÉRIES
DE BESSEL
Les fonctions
de Bessel sont très utiles dans de nombreux domaines de
pointe de la physique faisant intervenir des équations
différentielles délicates
à résoudre. Les domaines dans lesquels nous les trouvons
le plus souvent sont la calorimétrie (conduction de la
chaleur), la physique nucléaire (physique de réacteurs),
et la mécanique des fluides.
Ces séries sont
cependant très peu détaillées dans les écoles universitaires et
il est souvent du rôle de l'élève de chercher les compléments d'informations
dont il a besoin sur le sujet dans la bibliothèque de son école.
Nous avons voulu présenter ici les développements permettant
d'éviter cette démarche tout en restant chez soi devant son ordinateur
(de plus les livres sur le sujet sont assez rares...).
Remarque: Nous parlons habituellement par abus de langage
des "fonctions
de Bessel" au lieu des "séries
de Bessel".
Il existe une
quantité non négligeable de fonctions de Bessel mais nous allons
nous restreindre à l'étude de celles qui sont les plus utilisées
en physique.
FONCTION
DE BESSEL D'ORDRE ZÉRO
La fonction connue sous le nom de "fonction
de Bessel d'ordre zéro", est définie par la série de
puissances:
(11.334)
C'est lors de l'étude des
propriétés de dérivation et d'intégration que Bessel a trouvé que
cette série de puissance est une solution à une équation différentielle
que l'on retrouve assez fréquemment en physique. C'est pourquoi
elle porte son nom.
Si représente
le r-ème
terme de la série, nous voyons aisément que:
(11.335)
qui tend vers zéro quand ,
quelle que soit la valeur de x. Cela a pour conséquence
que la série converge pour toutes les valeurs de x.
Comme il s'agit d'une série de puissance positive, la
fonction et
toutes ses dérivées sont continues pour toutes
valeurs de x,
réelles ou complexes.
FONCTION
DE BESSEL D'ORDRE N
La fonction ,
connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre n", est définie, lorsque n est un entier positif, par la série de puissance:
(11.336)
qui converge pour toutes
valeurs de x, réelles ou complexes.

Figure: 11.19 - Tracé de quelques fonctions de Bessel
et dans Microsoft Excel 11.8346 ou Maple 4.00b la fonction
précédente
se trouve sous le nom BESSELJ. Par exemple pour obtenir le graphique
précédent dans Maple, il suffit d'écrire:
> plot([BesselJ(0,x),BesselJ(1,x),BesselJ(2,x),BesselJ(3,x)],x=0..20);
Voyons qu'en particulier, pour nous
avons:
(11.337)
et quand :
(11.338)
Nous pouvons noter que est
une fonction paire de x
quand n est pair, et impaire quand n est impair
(cf. chapitre d'Analyse
Fonctionnelle).
En dérivant la fonction et
en comparant le résultat avec la série ,
nous voyons sans trop de peine que:
(11.339)
Nous trouvons également sans
trop de difficulté, la relation suivante:
(11.340)
En utilisant le fait que:
(11.341)
et en l'incluant dans la
précédente relation, nous trouvons:
(11.342)
ou écrit autrement:
(11.343)
est
donc une solution de l'équation différentielle du second ordre:
(11.344)
ou écrit autrement:
(11.345)
ou encore:
(11.346)
Une solution à une équation de Bessel de paramètre n qui
n'est pas un multiple de est
appelée "fonction de Bessel
du second type". Supposons que u soit une
telle fonction et posons ;
alors d'après la relation:
(11.347)
nous avons:
et
(11.348)
En multipliant la première
relation par v et
la seconde par u
et après soustraction, nous obtenons:
(11.349)
nous avons donc également:
(11.350)
nous pouvons donc écrire:
(11.351)
effectivement car si nous
développons, nous trouvons:
(11.352)
Pour que l'égalité:
(11.353)
soit satisfaite,
nous avons:
(11.354)
En divisant par ,
nous avons:
(11.355)
ce qui est équivalent à:
(11.356)
de suite, par intégration
il vient:
(11.357)
où A
est une constante. Consécutivement nous avons, puisque :
(11.358)
où rappelons-le, A
et B
sont des constantes, et
si u n'est
pas un multiple de par
définition.
Si dans la dernière relation,
est
remplacé par son expression en termes de série nous avons:
(11.359)
Pour ceux qui veulent vérifier cette dernière relation
(je n'aime pas ce genre de calculs algébriques) avec Maple 4.00b il suffit d'écrire:
>1/x*taylor(1/(series(BesselJ(0,x),x))^2,x=0,5);
Dès lors:
(11.360)
consécutivement si nous posons:
(11.361)
où est
une fonction de Bessel particulière du second type appelée "fonction
de Bessel-Neumann du second type d'ordre nul".
Identiquement au fait que quand
,
l'expression à
cause du terme quand
x est petit tend vers quand
.
Finalement, il vient de ce
que nous avons vu précédemment que et
sont
des solutions indépendantes de l'équation différentielle:
(11.362)
La solution générale étant
donc:
(11.363)
où A,B
sont des constantes arbitraires et afin
que soit
réel.
Si nous remplaçons x
par kx,
où k
est une constante, l'équation différentielle devient:
(11.364)
en multipliant le tout par
,
nous trouvons la forme générale de l'équation différentielle:
(11.365)
dont la solution générale
est:
(11.366)
où afin
que soit
réel quand .
Au fait, les fonctions de Bessel viennent des solutions de l'équation
différentielle étudiée précédemment et solutionnées par la méthode
de Frobenius. Posons:
(11.367)
et faisons la substitution:
(11.368)
en substituant dans Ly, nous obtenons:
(11.369)
Choisissons maintenant les
afin de satisfaire l'équation différentielle tels
que:
(11.370)
Dès lors, à moins que soit
un entier négatif, nous avons:
(11.371)
En substituant ces valeurs
dans la relation:
(11.372)
nous
obtenons:
(11.373)
dès lors:
(11.374)
si nous posons dans
l'avant-dernière relation, nous obtenons:
(11.375)
ÉQUATION
DIFFÉRENTIELLE DE BESSEL D'ORDRE N
Nous avons défini
les séries de Bessel comme étant:
(11.376)
Posons:
(11.377)
et dérivons ainsi:
(11.378)
Mais nous avons aussi:
(11.379)
Par soustraction:
(11.380)
Ce qui donne finalement:
(11.381)
Ce qui s'écrit également:
(11.382)
qui est appelée "l'équation
différentielle de Bessel d'ordre n" ou
plus simplement
"équation de Bessel".
Au fait, la plupart des écoles
ou sites Internet donnent cette équation différentielle
comme une définition et pourtant il est clair qu'il y a
un raisonnement rigoureux derrière cette équation.
La solution est donc du type:
(11.383)
ce qui s'écrit encore
parfois en utilisant la fonction gamma d'Euler:
(11.384)
Il s'ensuit que:
(11.385)
et donc que est
solution de cette équation différentielle.
CRITÈRES
DE CONVERGENCE
Lorsque nous étudions une
série, l'une des questions fondamentales est celle de la convergence
ou de la divergence de cette série.
Si une série converge, son
terme général tend vers zéro lorsque n tend
vers l'infini:
(11.386)
Ce critère est nécessaire mais non suffisant pour établir la convergence
d'une série. Par contre, si ce critère n'est pas rempli, on est
absolument sûr que la série ne converge pas (donc elle diverge!).
Trois méthodes sont proposées
pour approfondir le critère de convergence:
1. Le test de l'intégrale
2. La règle d'Alembert
3. La règle de Cauchy
Dans les paragraphes suivants,
nous admettrons des séries à termes positifs. Le cas de
la série
alternée sera vu ultérieurement.
TEST
DE L'INTÉGRALE
Soit la série à termes positifs décroissants:
(11.387)
c'est-à-dire:
(11.388)
et soit une fonction continue décroissante telle que:
(11.389)
nous pouvons alors affirmer
que:
1. Si l'intégrale:
(11.390)
converge, la série converge
également.
2. Si l'intégrale:
(11.391)
diverge, la série diverge
également.
Remarque: En aucun cas l'intégrale ne donne la valeur
de la somme de la série ! Le test de l'intégrale donne simplement
une indication sur la convergence de la série. Avant de faire
le test de l'intégrale,
il est important de vérifier que les termes de la série soient
strictement décroissants afin de remplir la condition  .
RÈGLE
D'ALEMBERT
Si dans une série à termes
positifs:
(11.392)
le rapport (assimilable
à une fonction prise en son entier) a une limite finie L lorsque :
(11.393)
1. Si ,
la série converge
2. Si ,
la série diverge
3. Si on
ne peut rien dire
et nous définissons le "rayon
de convergence" comme:
(11.394)
RÈGLE
DE CAUCHY
Si dans une série à termes
positifs:
(11.395)
la quantité a
une limite finie L lorsque
telle
que:
(11.396)
avec à nouveau les mêmes
considérations que pour la règle d'Alembert:
1. Si ,
la série converge
2. Si ,
la série diverge
3. Si on
ne peut rien dire
THÉOREME
DE LEIBNIZ
Nous avons considéré jusqu'à
présent des séries à termes positifs. Nous allons considérer dans
cette partie des séries dont les termes sont alternés, c'est-à-dire
des séries de la forme:
(11.397)
Définition: Une série est
dite "série alternée" si
deux termes consécutifs de cette série
sont de signe contraire.
Si dans une série alternée
les termes en valeur absolue vont en décroissant:
(11.398)
et si:
(11.399)
alors la série converge,
sa somme est positive et n'est pas supérieure au premier terme.
Si S est
la somme de la série et une
somme partielle, alors:
(11.400)
Remarque: Il est important de vérifier que les valeurs
absolues des termes de la série soient strictement décroissantes
afin de remplir la condition précédente.
CONVERGENCE
ABSOLUE
Définition: Une série à
termes variables est dite absolument convergente si la série formée
avec la valeur absolue de ses termes converge:
(11.401)
Si une série alternée de
termes est absolument convergente, la série absolue qui en découle
converge aussi.
Nous pouvons généraliser
la règle d'Alembert au cas des séries à termes quelconques:
(11.402)
Ainsi, le rapport a
une limite finie L lorsque
pour nous
avons:
(11.403)
toujours
avec les mêmes conclusions que pour la règle d'Alembert normale.
THÉOREME
DU POINT FIXE
Le théorème du point fixe n'est pas vraiment utile
en physique (implicitement il est indispensable mais les physiciens
utilisent
souvent des outils mathématiques dont les propriétés
ont déjà été
validées au préalable par des mathématiciens),
cependant nous le retrouvons en théorie du chaos (les vortex,
tourbillons, etc...) ainsi qu'en informatique théorique
(voir chapitre traitant des fractales en particulier le triangle
de
Sierpinski).
Nous ne saurions donc que recommander au lecteur de prendre le
temps de lire et de comprendre les explications et développements
qui vont suivre.
Soit
(X,d),
un espace métrique complet (cf. chapitre
de Topologie ou des Fractales) et
soit une
application strictement contractante de constante L
(voir les fonctions lipschitziennes chapitre de Topologie),
alors il existe un unique point tel
que :
(11.404)
est
alors dit le "point fixe" de T (penser
par exemple à cos(x)=x ).
De plus si nous notons par:
(11.405)
l'image
de x par le n-ème
itéré de T, nous
avons alors:
(11.406)
et
la vitesse de convergence peut
d'ailleurs être estimée par:
(11.407)
Remarque: Vous pouvez vous amuser avec votre calculatrice
de poche ou celle de votre système d'exploitation en choississant
un nombre au hasard et en en prenant le cosinus de manière itérative.
Vous verrez que vous tendrez 0.74 et donc que in extenso il s'agit
de la solution de cos(x)=x.
Démonstration:
Soit .
Nous
considérons la suite définie
comme ci-dessus. Nous allons d'abord montrer que cette suite
est
une suite de Cauchy (voir plus haut dans le présent chapitre
ce qu'est une suite de Cauchy).
En
appliquant l'inégalité triangulaire (cf.
chapitre d'Analyse Vectorielle) plusieurs fois nous
avons:

(11.408)
Or:
(11.409)
donc:
(11.410)
pour
finir:
(11.411)
c'est-à-dire
que dans un premier temps est
bien une suite de Cauchy.
(X,d) étant
un espace complet nous avons que converge,
et nous posons:
(11.412)
A
présent, nous vérifions que est
bien un point fixe de T.
En effet T est
uniformément continue (car lipschitzienne - voir le chapitre
de Topologie) donc à fortiori continue ainsi:
(11.413)
Il
reste à vérifier que est
l'unique point fixe (du coup nous aurons démontré que ne
dépend pas du choix de x).
Supposons que nous ayons aussi alors:

(11.414)
Une
estimation de la vitesse de convergence est donnée par:
(11.415)
est continue par rapport à chacune des variables donc:
(11.416)
et
les limites préservent les inégalités (non strictes) donc:
(11.417)
C.Q.F.D.
- Introduction to Bessel function,
F. Bowman, Éditions Dover publications, ISBN10:
486604624 (134 pages) - Imprimé en 1958
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