CALCUL ALGÉBRIQUE | ALGÈBRE
ENSEMBLISTE | CALCUL
DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
SUITES
ET SÉRIES | CALCUL
VECTORIEL | ALGÈBRE
LINÉAIRE | CALCUL
TENSORIEL
CALCUL
SPINORIEL
9.
ALGÉBRE
(ET GÉOMÉTRIE) ENSEMBLISTE |
Dernière mise à jour de ce chapitre:
2017-12-31 17:53:23 | {oUUID 1.690}
Version: 3.1 Révision 7 | Avancement: ~95%
vues
depuis le 2012-01-01:
12'338
LISTE
DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Nous allons aborder sur ce site l'étude
des structures ensemblistes de manière très pragmatique
(puisque rappelons que ce site est dédié aux ingénieurs).
Ainsi, il sera fait usage du minimum de formalisme et seulement
les démonstrations des éléments
que nous considérons comme absolument essentiels à l'ingénieur
seront présentées.
Par ailleurs, de nombreuses démonstrations seront faites
par l'exemple et nous nous focaliserons en grande partie sur la
théorie algébrique
des groupes car elle a une place presque prédominante en
physique plus que pour les autres structures ensemblistes.
ALGÉBRE ET GÉOMéTRIE CORPORELLE
Les symétries des figures géométriques,
des cristaux et de tous les autres objets de la physique macroscopique
font l'objet depuis
des siècles d'observations et d'études. En termes modernes,
les symétries d'un objet donné forment un groupe.
Depuis le milieu du 19ème siècle, la théorie des groupes a pris
une extension énorme, et ses applications à la mécanique quantique
et à la théorie des particules élémentaires se sont développées
tout au long du 20ème siècle.
Dans une lettre de 1877 au mathématicien Adolph Mayer,
Sophus Lie écrit qu'il a créé la théorie
des groupes en janvier 1873. Il s'agit bien sûr des groupes qu'il
appelait "groupes
continus" et
qui sont appelés aujourd'hui "groupes de Lie".
Lie cherchait à étendre
l'usage des groupes du domaine des équations algébriques,
où Galois
les avait introduites, à celui des équations différentielles.
Dès 1871, la notion de générateur infinitésimal
d'un groupe à un
paramètre de transformations était apparue dans son oeuvre.
C'est l'ensemble des générateurs infinitésimaux
des sous-groupes à un
paramètre d'un groupe continu qui forme ce que nous appelons aujourd'hui
une algèbre de Lie.
Ce furent Wigner et Weyl qui montrèrent le rôle prééminent
de la théorie des groupes, et de leurs représentations
en particulier, dans la nouvelle mécanique quantique que
développaient Heisenberg
et Dirac. L'idée générale de la théorie
des représentations est
d'essayer d'étudier un groupe en le faisant agir sur un
espace vectoriel de manière linéaire: nous
essayons ainsi de voir le groupe comme un groupe de matrices (d'où le
terme "représentation").
Nous pouvons ainsi, à partir des propriétés relativement
bien connues du groupe des automorphismes de l'espace vectoriel
(cf.
chapitre de Théorie des Ensembles), arriver à déduire
quelques propriétés
du groupe qui nous intéresse.
Nous pouvons considérer la théorie des représentations
de groupes comme une vaste généralisation de l'analyse
de Fourier. Son développement
est continu et elle a, depuis le milieu du 20ème siècle,
des applications innombrables en géométrie différentielle,
en théorie
ergodique, en théorie des probabilités, en théorie
des nombres, dans la théorie des formes automorphes, dans
celle des systèmes
dynamiques ainsi qu'en physique, chimie, biologie moléculaire
et traitement du signal. À l'heure actuelle, des branches entières
des mathématiques et de la physique en dépendent.
Avant de commencer, nous renvoyons le lecteur au chapitre traitant
de la Théorie Des Ensembles pour qu'il se rappelle de la
structure et des propriétés fondamentales qui constituent
le groupe et également
au chapitre d'Algèbre Linéaire (car nous en utiliserons
quelques résultats).
GROUPES CYCLIQUES
Le groupe cyclique (dont la définition a déjà été vue dans le
chapitre de Théorie des Ensembles) va nous servir de base dans
le cadre de l'étude des groupes finis. Par ailleurs, plutôt que
de faire des développements généralisés nous avons préféré prendre
des exemples particuliers afin de présenter l'idée de groupe cyclique
(approche plus adaptée à l'ingénieur).
Nous allons donc prendre l'exemple fort sympathique des heures
de la montre... avec trois approches différentes qui successivement
(!) permettront d'aborder un groupe cyclique simple.
- Première approche:
Imaginons donc une horloge avec une aiguille qui peut prendre
12 positions possibles (mais pas de positions intermédiaires). Nous
noterons de manière spéciale les 12 positions possibles: (le
trait au-dessus des nombres n'est pas innocent!).
Rien ne nous empêche sur l'ensemble de ces positions de définir
une addition, par exemple:
(9.1)
ce qui est similaire aux résultats que nous obtenons lorsque
dans notre quotidien nous faisons des calculs avec notre montre.
- Deuxième approche (première extension)
Si nous observons bien notre montre, nous remarquons qu'à chaque
fois que nous rajoutons 12 (ou retirons...) à une valeur des heures
de notre montre alors nous tombons sur un ensemble de nombres bien
déterminé qui sont aussi dans .
Ainsi (évidemment dans le cadre d'une montre seules les
premières
valeurs positives nous intéressent la plupart du temps mais
ici nous faisons des maths alors nous généralisons
un peu...):
(9.2)
Nous retrouvons ici un concept que nous avions déjà vu
dans le chapitre de Théorie Des Nombres. Il s'agit de classes
de congruences et l'ensemble de ces classes forme l'ensemble
quotient .
Si nous munissons cet ensemble quotient d'une loi d'addition, il
est normalement facile d'observer que celle-ci est une loi interne à l'ensemble
quotient, qu'elle est associative, qu'il existe un élément
neutre et
que chaque élément possède un symétrique
(inverse).
Ainsi, cet ensemble quotient muni uniquement de la loi d'addition
(sinon en ajoutant la multiplication nous pouvons former un anneau)
est un groupe commutatif.
- Troisième approche (deuxième et dernière extension):
Voyons une troisième et dernière approche qui explique pourquoi
le groupe quotient est cyclique.
Si nous projetons la rotation des aiguilles de notre montre (toutes
les rotations dans l'algèbre ensembliste se font traditionnellement
dans le sens des aiguilles d'une montre!) dans et
que nous définissons:
(9.3)
Nous avons alors et:
(9.4)
ce qui explique pourquoi le groupe quotient est
appelé "groupe cyclique" (par
isomorphisme de groupe selon ce qui a été vu en théorie des ensembles).
Son isomorphe est noté .
Si nous représentons dans l'ensemble
isomorphe nous
obtenons alors sur le cercle unité un polygone ayant n sommets
comme le montre la figure ci-dessous:

Figure: 9.1 - Groupe cyclique d'ordre 12
Par ailleurs, le nombre d'éléments composants étant
fini, est
fini. Contrairement au groupe qui
est lui un groupe discret infini.
Ce concept de finitude sera peut-être
plus évident avec l'exemple que nous ferons de suite après avec où le
lecteur observera que cet ensemble a le même nombre d'éléments
que .
Remarque: Les mathématiciens
appellent  le " groupe
des racines n-èmes de l'unité".
Une racine n-ème
de l'unité (parfois appelée " nombre
de De Moivre") est
donc un nombre complexe dont la puissance n-ème vaut
1. Par ailleurs, pour un entier n donné, toutes les
racines n-èmes
de l'unité sont situées sur le cercle unité et
sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés
ayant un sommet d'affixe 1.
Ce qui intéresse les physiciens particulièrement dans un premier
temps ce sont les représentations des groupes finis (aussi les
groupes continus que nous verrons plus loin). Ainsi, la représentative
de nous
est connue puisque la rotation dans le plan complexe est donnée
comme nous l'a montrée notre étude des complexes dans le chapitre
sur les Nombres:
(9.5)
avec .
Cette représentative est un sous-groupe du groupe des rotations O(2)
sur lesquelles nous reviendrons plus loin. Le groupe des rotations
du plan étant lui-même un sous-groupe du groupe linéaire GL(2)
(nous en donnerons une définition précise et un exemple
plus loin).
Au fait, les mathématiciens sont capables de démontrer
que tous les groupes quotients sont
cycliques à isomorphisme près avec et
ils disent alors que est
un quotient fini du groupe monogène ...
Cette approche est par contre peut-être un peu abstraite. Alors,
si le lecteur se rappelle du chapitre de Théorie Des Ensembles
nous avons vu une définition bien précise de ce qu'était
la cyclicité d'un
groupe: Un groupe G est dit cyclique si G est engendré par
la puissance d'au moins un de ses éléments appelé générateur
tel que:
(9.6)
Vérifions que ce soit bien le cas pour le groupe:
(9.7)
qui
constitue un cas scolaire.
Nous noterons les éléments qui constituent ce groupe:
(9.8)
Ceci étant
fait, il convient de faire attention que dans la définition
ensembliste du groupe cyclique nous parlons de "puissance" si
la loi interne du groupe est la multiplication mais si la loi interne
est l'addition, nous avons alors:
(9.9)
Le premier élément générateur du groupe:
(9.10)
est
l'élément 1. Effectivement:
(9.11)
Le deuxième élément générateur du même groupe est 3:
(9.12)
Par contre, le lecteur pourra vérifier que 2 n'est pas générateur
de ce groupe!
Au fait, en ce qui concerne les groupes les
mathématiciens arrivent à démontrer que seuls les éléments
du groupe qui sont premiers avec n sont générateurs
(c'est-à-dire
les éléments dont le plus grand commun diviseur est
1).
Voilà pour notre introduction aux groupes cycliques. Passons
maintenant à une autre catégorie de groupes.
GROUPES DE TRANSFORMATIONS
Le groupe des rotations est celui qui intéresse le plus
les physiciens surtout dans les domaines des matériaux,
de la chimie, de la physique quantique et de l'art... Les mathématiciens
apprécient eux l'étude
des groupes de rotations dans le cadre de la géométrie
bien évidemment
(mais pas seulement) et les informaticiens tout autant les groupes
linéaires. Nous avons d'ailleurs vu un exemple de groupe
de rotations juste précédemment.
Définition: Nous
appelons "groupe
linéaire d'ordre n" et
nous notons GL(n) les matrices inversibles ou dites
aussi "régulières" (donc le déterminant
est non nul selon ce que nous avons vu dans le chapitre d'Algèbre
Linéaire)
dont les coefficients sont dans un corps quelconque:
(9.13)
Nous considérerons comme évident que GL(n)
est un groupe: la multiplication des matrices est associative et
chaque matrice de GL(n) possède un inverse par définition.
D'autre part, le produit de deux matrices régulières est encore
une matrice régulière.
Un exemple simple et important
de groupe linéaire est celui du
sous-"groupe des transformations affines" du
plan qui est traditionnellement noté (c'est intuitif):
(9.14)
avec (nous
verrons le pourquoi du comment de l'inégalité un peu plus loin).
Prenons un exemple pratique:
(9.15)
ce qui appliqué à un cercle donnerait:

Figure: 6.2 - Transformations affines sur un cercle
Cette transformation est une manière de définir les ellipses
comme images d'un cercle par une transformation affine.
Les coefficients sont
sans importance pour la forme de l'image. En fait, ils induisent
bien évidemment des translations sur les figures. Nous pouvons
donc nous en passer si nous cherchons seulement à la déformer.
Ainsi, il nous reste:
(9.16)
ce qui peut s'écrire sous forme matricielle:
(9.17)
La transformation se réduit donc à la matrice:
(9.18)
et comme nous l'avons vu en algèbre linéaire, la
multiplication matricielle est associative mais n'est pas commutative,
donc la transformation
linéaire ne l'est pas non plus.
L'élément neutre est la matrice:
(9.19)
et l'inverse de F est:
(9.20)
et comme nous avons imposé tout élément
y possède donc un inverse. Ainsi, le groupe linéaire affine
est non commutatif et... forme bien un groupe...
Comme noous allons le voir, tous les groupes de Lie "classiques"
sont des sous-groupes de GL(n).
Définition: Nous appelons "groupe
spécial linéaire d'ordre n" et
nous notons SL(n) les matrices inversibles dont les
coefficients sont dans un corps quelconque et dont le déterminant
est égal à l'unité:
(9.21)
Il s'agit évidemment d'un sous-groupe de GL(n).
En reprenant l'exemple précédant et en se rappelant
que le déterminant
d'une matrice carrée bidimensionnelle est (cf.
chapitre d'Algèbre
Linéaire):
(9.22)
nous remarquons bien géométriquement ce que signifie
d'avoir un déterminant
unitaire dans ce cas! Effectivement nous avons vu dans le chapitre
d'Algèbre Linéaire lors de notre interprétation
géométrique qu'avoir
un déterminant équivaut à une surface. Ainsi, le
fait d'avoir ad-bc unitaire
permet donc que quel que soit l'ordre de la transformation,
nous avons l'aire qui vaut toujours 1. Ainsi, le groupe spécial
linéaire conserve les surfaces.
Définition: Nous appelons "groupe
orthogonal réel d'ordre n" et
notons O(n) les matrices orthogonales (cf.
chapitre d'Algèbre Linéaire) données
par:
(9.23)
Il s'agit donc des matrices réelles orthogonales d'ordre n.
Par ailleurs, nous avons démontré dans le chapitre
d'Algèbre
Linéaire lors de notre étude des matrices de rotations
que implique .
C'est le cas par exemple de la matrice de O(2) vue précédemment
(elle appartient au groupe orthogonal mais aussi au groupe des
rotations que nous verrons plus loin):
(9.24)
qui est orthogonale comme il est facile de le vérifier.
Remarque: O(1) est constitué aussi de
l'ensemble des matrices triviales.... [1],[-1]
Définition: Si et
que nous avons alors
nous obtenons un sous-groupe de O(n) appelé "groupe
spécial orthogonal réel d'ordre n" et noté SO(n):
(9.25)
La matrice de rotations donnée précédemment
fait partie de ce groupe puisque son déterminant est égal à l'unité!
Par ailleurs, ce groupe occupe une place très spéciale
en physique et nous le retrouverons maintes fois.
Le sous-groupe SO(2),
appelé aussi parfois "groupe
cercle" et
noté ,
que nous avions aussi étudié dans le chapitre de Géométrie Euclidienne
a une représentative donnée par la matrice:
(9.26)
et occupe une place à part dans la famille des groupes SO(n)
avec n supérieur à l'unité. Effectivement
il est le seul à être
commutatif. Par ailleurs, il est isomorphe à soit
à U(1) le groupe multiplicatif des nombres complexes
de module 1. C'est aussi le groupe de symétrie propre d'un
cercle et l'équivalent continu .
Le sous-groupe SO(3) donné par la matrice (cf.
chapitre de Géométrie Euclidienne):
(9.27)
pour la rotation autour de l'axe X dans l'espace tridimensionnel
n'est pas commutatif (les matrices de rotation dans le plan étant
elles pour rappel commutatives!). Par ailleurs les quaternions,
dont
la représentative
est donc SO(3),
forment un groupe non commutatif aussi (par rapport à la
loi de multiplication) comme nous l'avons vu dans le chapitre sur
les
Nombres.
Par rapport à un vecteur unitaire on se rend facilement compte
visuellement parlant que SO(3) est un sous-groupe fermé de GL(3),
c'est-à-dire de l'ensemble des groupes linéaires de dimension 3.
Remarque: SO(1) est constitué de la matrice [1].
Définition: Nous appelons "groupe
unitaire d'ordre n" et
nous notons U(n) les matrices dont les composantes
sont complexes (dans le cadre de ce site le plus souvent) ou réelles
et qui sont orthogonales:
(9.28)
Remarquons par ailleurs que toute matrice unitaire à coefficients
complexes et à une
dimension... (de U(n) donc...) est un nombre
complexe de module unitaire, qui peut toujours s'écrire
sous la forme .
Nous en avons déjà vu un exemple aussi sur le site lors de notre étude
des spineurs dans le chapitre de Calcul Spinoriel. Il s'agit des
matrices de Pauli (utilisées
dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste) données par:
(9.29)
Définition: Nous appelons "groupe
spécial unitaire d'ordre n" et
nous notons SU(n) les matrices dont les coefficients
sont complexes et qui sont orthogonales et dont le déterminant
est unitaire:
(9.30)
Remarque: U(1)
est égal à SU(1) et il s'agit donc du cercle unité complexe égal à  .
Par ailleurs, SO(2) est commutatif et isomorphe à U(1)
car c'est l'ensemble des rotations du plan.
Un exemple connu est toujours celui des matrices de Pauli mais
simplement écrites sous la forme utilisée en Physique Quantique
Relativiste (voir chapitre du même nom):
(9.31)
qui font partie de SU(2) et qui comme nous l'avons montré (implicitement)
au début du chapitre de Calcul Spinoriel est isomorphe au
groupe des quaternions SO(3) de module 1 sur la sphère
de dimension 3 (notée ).
Relation que les mathématiciens appellent dans le cas présent
un "homomorphisme de revêtement"....
Remarque:Le groupe spécial
unitaire possède une importance
particulière en physique des particules. Si le groupe unitaire U(1)
est le groupe de jauge de l'électromagnétisme (pensez
au nombre complexe apparaissant dans les solutions de l'équation
d'onde!), SU(2)
est le groupe associé à l'interaction faible, et SU(3)
celui de l'interaction forte. C'est par exemple grâce à la structure
des représentations de SU(3) que Gell-Mann a conjecturé l'existence
des quarks.
Avec une approche différente de celle vue dans le chapitre
de Calcul Spinoriel comment montrer que les matrices de Pauli sont
les bases de SU(2)?
D'abord, rappelons que nous avons montré dans de Calcul Spinoriel
que toute rotation dans l'espace de trois dimensions pouvait s'exprimer à l'aide
de la relation:
(9.32)
Et nous avons vu dans le chapitre d'Informatique Quantique qu'une
formulation explicitée et décomposée de la
relation précédente était:
(9.33)
et donc que tout élément de SU(2) est produit de ces trois
matrices qui font chacune décrire à l'extrémité d'un vecteur dans
l'espace une courbe!
Maintenant, nous remarquons que ces trois matrices sont égales à:
(9.34)
lorsque .
Nous obtenons alors la matrice identité. Donc si nous cherchons
la tangente en ce point conjoint, nous pouvons dès lors construire
une base (3 vecteurs orthogonaux).
Regardons ceci:
(9.35)
Ainsi, SU(2) admet pour base:
(9.36)
et ce sont en d'autres termes les générateurs infinitésimaux
du groupe SU(2). SU(2) a donc une base qui est une
Algèbre de Lie selon le vocabulaire des mathématiciens.
Ce résultat est assez remarquable... Puisque SU(2)
et SO(3)
sont isomorphes, nous pouvons alors obtenir la base de l'Algèbre
de Lie de SO(3) alors avec la même méthode!!!
Voyons ceci! Nous avons vu dans le chapitre de Géométrie
Euclidienne que les matrices de rotations étaient données
par (nous changeons le R par un U afin de ne pas
confondre avec les matrices précédentes):
(9.37)
Nous remarquons à nouveau qu'en la
courbe que fait décrire à un vecteur les trois matrices
de rotations passe par:
(9.38)
Alors de la même manière que pour SU(2), nous calculons
les dérivées en ces angles pour déterminer
les matrices de base génératrices de SO(3):
(9.39)
L'algèbre de Lie de SO(3) admet donc pour base:
(9.40)
En physique, on préfère travailler avec des matrices complexes.
Nous introduisons alors les matrices:
(9.41)
Il faut alors remarquer que si nous définissons:
(9.42)
nous avons trivialement pour la complexe conjuguée
de la matrice transposée:
(9.43)
et au fait... nous avons aussi les relations de non-commutation
(ce que nous pouvons développer
sur demande):
(9.44)
(cycl.)
et aussi la relation de commutation:
(9.45)
(cycl.)
ce que satisfont aussi les matrices de Pauli et... pour rappel
(ou information pour ceux qui n'ont pas encore lu le chapitre de
Physique Quantique Ondulatoire) les sont
les opérateurs du moment cinétique total du système
de couplage spin-orbite!!!
GROUPES DE SYMÉTRIES
Le groupe de symétries d'un objet noté X (image,
signal etc. en 1D, 2D, 3D ou autre) est le groupe de toutes les
isométries
(une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs) sous
lesquelles il est invariant avec la composition en tant qu'opération.
Tout groupe de symétries dont les éléments
ont un point fixe commun, ce qui est vrai pour tous les groupes
de symétries de figures limitées,
peut être représenté comme un sous-groupe du groupe
orthogonal
O(n) en choisissant l'origine pour point fixe.
Le groupe de symétries
propre est alors un sous-groupe du groupe orthogonal spécial SO(n),
et par conséquent, il est aussi appelé le groupe
de rotations de la figure.
Dans ce qui suit, nous allons interpréter la composée
de deux opérations de symétries ou de rotations comme
une multiplication au même titre que
pour les permutations.
Définitions:
D1. Le "groupe
des symétries", appelé aussi "groupe
des invariants",
de X est
l'ensemble des symétries de X, muni de la structure
de multiplication donnée par composition qui laisse X invariant. D2. "L'ordre" d'un groupe
est le nombre total de toutes ses symétries uniquement (y
compris l'identité!).
Exemples:
E1. Le coeur:

Figure: 6.3 - Analyse du groupe de symétrie du coeur
a
un groupe de symétries total à 2 éléments, à savoir
l'application identité id
et l'application qui
est la réflexion
dans l'axe vertical (sous-groupe de symétries à 1 élément).
Cette forme possède donc un groupe de symétries d'ordre
2. Nous observons que le symétrique
est donné aussi via la relation 
E2. La lettre:

Figure: 6.4 - Analyse du groupe de symétrie de phi
a
un groupe de symétrie total à 4 éléments, à savoir
l'application identité id,
les deux réflexions et et
la rotation par l'angle que
nous noterons (sous-groupe
de rotations à 1 élément). Cette forme possède
donc un groupe de symétries
d'ordre 3.
Dans ce groupe nous avons (et
c'est commutatif!), est
la rotation par un angle ,
ce qui est la même application que l'application identité,
donc .
Ainsi, le groupe de symétries de cette lettre est commutatif
et la loi de composition est bien interne. C'est donc bien un groupe.
E3. Le pentagone régulier:

Figure: 6.5 - Analyse du groupe de symétrie du pentagone régulier
a
un groupe de symétries total à 10 éléments à savoir
les 5 rotations ainsi
que les 5 réflexions
dans les 5 axes de symétries. C'est donc un groupe de
symétries d'ordre 5 correspondant au groupe cyclique .
Remarque: Plus
généralement,
le groupe de symétries d'un n-gone
régulier (si n est impair) a exactement 2 n éléments.
Ce groupe s'appelle le " groupe diédral
d'ordre n" et est
noté le plus souvent  (il
faut faire attention car certains auteurs ne multiplient pas n par
le facteur 2 ce qui fait que l'indice représente alors directement
l'ordre et non le nombre d'éléments).
Le pentagone a donc pour
groupe diédral et en
est un "sous-groupe distingué" (nous reviendrons plus tard sur
cette notion de sous-groupe distingué).
E4. Le groupe diédral d'ordre
3 des isométries d'un triangle équilatéral
(polygone régulier) a 6 éléments
que nous noterons (afin que l'écriture soit moins lourde):
(9.46)
où sont
les symétries par rapport aux trois bissectrices (respectivement
médiatrices). La table de compositions de ce groupe diédral
montre aussi que ce groupe est non-commutatif:

Tableau: 9.1
- Symétries du groupe diédral d'ordre 3
Nous reviendrons sur cet exemple lorsque nous introduirons un
peu plus loin le concept de groupe distingué lors de notre étude
des groupes de permutations et la définition des groupes
distingués.
E5. Regardons un dernier exemple appliqué à la chimie
en énumérant
les opérations de symétries qui laissent la molécule (tétraèdre)
invariante.
Le groupe de transformations contient 6 éléments: l'identité id, qui
est la rotation de , la
rotation de (que
nous noterons par la suite )
toutes deux selon l'axe Z (perpendiculaire au plan XY donc...)
et 3 axes de
symétrie/réflexion passant chacun par le milieu d'une
des arêtes
de base au milieu de l'arête opposée comme le montre la
figure ci-dessous (pyramide vue du dessus):

Figure: 6.6 - Opérations laissant invariant un tétraèdre
La combinaison des différents éléments de
symétries montre que
la table de compositions est (ce qui prouve que la loi est interne
et que nous travaillons donc bien dans un groupe):
Tableau: 9.2
- Compositions de transformations du tétraèdre
Attention à l'ordre des opérations dans le tableau ci-dessus,
nous appliquons d'abord l'élément
de ligne puis l'élément de colonne!
Nous constatons
que le groupe n'est donc pas commutatif.
ORBITE ET STABILISATEUR
Nous allons voir maintenant deux définitions que nous retrouverons
en cristallographie (leur nom n'est pas innocent!).
Définition: L'orbite d'un élément x de E est donnée
par:
(9.47)
L'orbite de x est l'ensemble des positions (dans E)
susceptibles d'être occupées par l'image de x sous l'action
de G. Les orbites forment évidemment une partition de E.
Exemple:
Considérons un ensemble E sur lequel agit un groupe G,
par:
(9.48)
l'ensemble des 6 sommets d'un hexagone sur lequel nous faisons
agir le groupe .
Nous observons déjà trivialement que G est bien un
groupe!
Maintenant, prenons un élément de E, par exemple .
Son orbite va donc être par définition:
(9.49)
Définition: Le stabilisateur x d'un élément de E est
l'ensemble:
(9.50)
des éléments qui laissent x invariant sous leur action.
C'est un sous-groupe de G.
Pour reprendre notre exemple précédent. Son stabilisateur va être
réduit à:
(9.51)
GROUPES DES PERMUTATIONS
Les groupes symétriques ont une importance non négligeable dans
certains domaines de la physique quantique mais aussi en mathématiques
dans le cadre de la théorie de Galois. Il convient donc d'y porter
aussi une attention toute particulière.
Rappelons d'abord (cf. chapitre de Probabilités) que dans un
ensemble il
y a n! permutations possibles. Les mathématiciens disent, à juste
titre, qu'il y a n! bijections et appellent ce nombre "ordre
du groupe de permutations".
Prenons par exemple l'ensemble {1,2,3}. Cet ensemble à 3! permutations
possibles qui sont notées dans le cadre des groupes de permutation
de la manière suivante:
{(1), (1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} (9.52)
Ce qui se lit dans l'ordre: application identité id,
1 amène sur 2 ou 2 sur un 1 (en termes de position!), 1
amène
sur 3 ou 3 sur 1, 2 amène
sur 3 ou 3 sur 2, 1 amène sur 2 qui amène sur 3 qui
amène sur 1,
1 amène sur 3 qui amène sur 2 qui amène sur
1.
Soit de manière plus explicite:
(9.53)
Nous pouvons observer facilement que la composition de deux permutations
n'est pas commutative:
(9.54)
et que la composition de deux permutations est une loi interne:
(9.55)
avec un élément neutre qui est bien l'identité id. Nous
avons donc bien un groupe non commutatif. Rappelons également au
lecteur que certains éléments du groupe, s'ils sont bien choisis,
peuvent former un sous-groupe. C'est l'exemple de:
{(1), (1 2)} (9.56)
qui est un sous-groupe de (il
est facile de vérifier qu'il possède toutes les propriétés d'un
groupe).
Définition: Un sous-groupe H d'un
groupe G est
appelé "groupe distingué" si,
pour tout g de G et
tout h de H, nous avons que est élément
de H. Les mathématiciens
appellent cela un "automorphisme
intérieur"...
Voyons d'abord un exemple géométrique parlant après quoi nous
reviendrons à cette définition avec .
Exemple:
Nous avons vu plus haut les éléments du groupe
de symétrie diédral
d'ordre 3 du triangle équilatéral. Géométriquement
ils correspondent tous à des déplacements dans le plan dans
lequel se trouve le triangle. Nous avions obtenu pour rappel le
tableau
de compositions suivant:

Tableau: 9.3
- Symétries du groupe diédral d'ordre 3
D'abord, nous constatons facilement à l'aide de ce tableau que
nous avons:
- Le sous-groupe formé de {id} d'ordre 1
- Le sous-groupe formé de d'ordre
3
- Le sous-groupe formé de d'ordre
2
- Le sous-groupe formé de d'ordre
2
- Le sous-groupe formé de d'ordre
2
Parmi ces 5 sous-groupes, voyons lesquels sont distingués
(cela est relativement facile à visualiser à l'aide du tableau
de compositions):
- Le sous-groupe formé de {id}
- Le sous-groupe formé de 
Nous allons voir maintenant une chose remarquable! En numérotant
par 1, 2 et 3 les sommets du triangle équilatéral
et en prenant les rotations dans le sens des aiguilles d'une montre,
nous pouvons identifier les éléments
de aux éléments
suivants de :
(9.57)
et reconstruire la même table de compositions (copie
de la précédente mais juste avec le changement d'écriture...
hé hé!):

|
(1) |
(1 2 3) |
(1 3 2) |
(2 3) |
(1 3) |
(1 2) |
(1) |
(1) |
(1 2 3) |
(1 3 2) |
(2 3) |
(1 3) |
(1 2) |
(1
2 3) |
(1 2 3) |
(1 3 2) |
(1) |
(1 3) |
(1 2) |
(2 3) |
(1
3 2) |
(1 3 2) |
(1) |
(1 2 3) |
(1 2) |
(2 3) |
(1 3) |
(2 3) |
(2 3) |
(1 2) |
(1 3) |
(1) |
(1 3 2) |
(1 2 3) |
(1 3) |
(1 3) |
(2 3) |
(1 2) |
(1 2 3) |
(1) |
(1 3 2) |
(1
2) |
(1 2) |
(1 3) |
(2 3) |
(1 3 2) |
(1 2 3) |
(1) |
Tableau: 9.4 - Composition du groupe distingué Bon...
ce petit interlude fermé, revenons au groupe distingué de (car
il va être important pour notre introduction aux groupes de Galois)
et rappelons d'abord que:
(9.58)
et nous voyons que le sous-groupe distingué est formé de:
(9.59)
Définition: Pour tout sous-groupe H stable par les automorphismes
intérieurs d'un groupe G, nous appelons "indice
de H dans G" le
quotient de l'ordre du groupe G par l'ordre du sous-groupe H et
nous l'écrivons [G/H].
Par exemple, l'indice du sous-groupe {(1), (1 2)}dans le
groupe est
6/2 c'est-à-dire 3. Ce concept nous sera très utile lors de notre
introduction aux corps de Galois plus loin.
Considérons maintenant, la permutation particulière pour
aborder le sujet sous un angle différent mais équivalent:
(9.60)
Les mathématiciens ont pour habitude de noter cela, dans un premier
temps, sous la forme:
(9.61)
avec:
(9.62)
Etant donné et ,
deux permutations, il est naturel de regarder leur composition (rappelons
que cela signifie d'abord ,
puis comme
pour la composition de fonctions).
Ainsi, si:
et
(9.63)
Alors:
(9.64)
et:
(9.65)
Maintenant, l'idée est d'interpréter la composition comme une
multiplication de permutations. Cette multiplication est alors
non-commutative comme nous venons de le constater dans l'exemple
précédent. Nous avons en général .
Chaque bijection a un inverse (une fonction réciproque). Dans
notre exemple il s'agit de évidemment de:
(9.66)
Géométriquement, pour calculer l'inverse d'un élément ,
il suffit de prendre la réflexion du dessin de dans
un axe horizontal comme le montre la partie gauche de la figure
ci-dessous:

Figure: 6.7 - Exemples de composées et d'inverses de permutations
Définitions:
D1. L'ensemble des permutations d'un ensemble avec n éléments,
muni de cette structure de multiplication, s'appelle le "groupe
des permutations d'ordre n" ou "groupe des substitutions
d'ordre n", et se note ou
encore S(n).
D2. Nous disons qu'un élément de est
un "cycle d'ordre k", ou un "k-cycle",
s'il existe tel
que:
- envoie sur , sur ,..., sur ,
et sur 
- fixe
tous les autres éléments de 
et nous notons le cycle ainsi:
(9.67)
Pour mieux comprendre reprenons notre exemple de :
(9.68)
Ce groupe symétrique est un 3-cycle noté car
dans l'ordre: 1 envoie sur 3, 3 envoie sur 4 et 4 envoie sur 1
(et le 2 n'étant pas mentionné il reste fixe). Nous
pouvons noter cela aussi des façons suivantes équivalentes: ou
encore .
Définition: L'ordre d'un k-cycle est k (d'où le
nom!).
Effectivement si nous reprenons ,
nous avons alors:
et
(9.69)
Définition: Nous disons qu'une permutation est
un "cycle" s'il existe tel
que est
un k-cycle.
Attention! Toute permutation doit s'écrire comme un produit de
cycles disjoints (c'est-à-dire qu'un nombre qui apparaît dans un
cycle ne doit pas apparaître dans un autre cycle). Par exemple,
dans ,
nous avons:
(9.70)
Donc cette permutation est un produit d'un 4-cycle et d'un 3-cycle
disjoint.
Nous laisserons d'ailleurs le lecteur vérifier par lui-même
que le groupe cyclique engendré par (qui
dans le cas présent est sous-groupe de )
est d'ordre
12 (12-cycle)...
Remarque:Les mathématiciens
peuvent démontrer que si  est
un élément qui a une décomposition en c cycles
disjoints de longueur  alors
l'ordre de  est
le plus petit commun multiple des ordres de tous les cycles
disjoints qui le composent.
Nous supposerons également intuitif que dans le vocabulaire commun,
un 2-cycle dans s'appelle
aussi une "transposition".
Allons un petit peu plus loin. Nous nous proposons de montrer
par l'exemple que l'ensemble des transpositions engendre .
Autrement, dit, toute permutation s'écrit comme un produit de transpositions.
Reprenons notre exemple (il s'agit d'une permutation paire):
(9.71)
En général, un k-cycle s'écrit donc comme produit de k-1
transpositions.
Comme les permutations d'un ensemble fini constituent un groupe.
Cela signifie (entre autres choses) qu'il existe donc toujours
un entier k, tel que p opéré k fois est la
transformation identité (c'est-à-dire l'opération qui ne change
rien).
Démonstration:
Si G est un groupe fini et que ,
nous considérons la suite d'éléments (se ra,ppeler que dans un
groupe il ,n'y a, qu'une opération et donc le carré, le cube, etc.
signifie que nous composons cette opération!):
(9.72)
Par exemple, dans les groupes de permutations, l'opération est
la composition des permutations.
Étant donné que G est fini et que cette suite est infinie,
il existe forcément deux éléments égaux dans la suite...
Il existe donc deux indices différents n et m tels
que:
(9.73)
En supposant que ,
l'égalité précédente se simplifie et nous obtenons:
(9.74)
où e est l'élément neutre du groupe.
C.Q.F.D.
Nous allons voir que les permutations étant bijectives, nous pouvons
créer sur des groupes finies des compositions d'opération de permutation
qui finissent toujours par ramener à l'état initial (application
identité).
Exemples:
E1. Dans une liste de 5 objets, nous échangeons le premier et
le troisième, et, en même temps, nous faisons passer le deuxième
en position 4, celui qui est en position 4 est mis en position
5 et celui qui est en position 5 est mis en position 2. En nous
réitérons. Cela donne:
(9.75)
Nous sommes revenus au point de départ après 6 étapes.
E2. Considérons la "transformation du Photomaton" d'une
image de Mona Lisa de dimension de 256 par 256 pixels:

Figure: 6.8 - Transformation du Photomaton
Nous pouvons avoir l'impression que chaque image a été obtenue à partir
de la précédente en réduisant la taille de l'image de moitié, ce
qui a donné quatre morceaux analogues que nous avons placés en
carré pour obtenir une image ayant la même taille que l'image d'origine.
Mais en fait il n'est est rien! Le nombre de pixels a été conservé (aucun
pixel n'est dupliqué!!!) et en fait nous avons seulement déplacé les
pixels par permutation pour avoir quatre images qui ne contiennent
pas réellement toute l'information de l'image d'origine mais seulement
une partie.
En réitérant la procédure 8 fois, nous retombons toujours sur
l'image d'origine quelle que soit l'image de départ. La question
est de comprendre alors pourquoi?
Considérons que l'image d'origine est un carré d'une taille de
16 pixels de large par 16 pixels de haut (mais vous pouvez appliquer
ce qui va suivre avec une image rectangulaire de n'importe quelle
taille et vous verrez que cela marche aussi!). Chaque pixel d'une
ligne (la démarche est exactement la même pour les colonnes!) est
identifié par une coordonnée selon l'axe X allant de 0 à 15.
Nous avons ainsi une suite de nombres au début où les coordonnées
de pixels correspondant à la leur coordonnée x:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(9.76)
Nous faisons alors la permutation qui consiste à noter k la
position d'un pixel et de faire:
(9.77)
Cela donne alors à la première permutation:
(9.78)
Ainsi, pour une image de 16 par 16 pixels, il faut quatre permutations,
ce qui correspond à .
Donc, pour une image de 256 pixels, nous avons ,
dhuitoù le fait qsu'il faille 8 permutation pour retrouver la Mona
Lisa d'origine avec:
(9.79)
Ainsi, dans le cas général d'une image de largeur L en
nombre de pixels en comptant à partir de 1, la transformation est:
(9.80)
où est
la valeur entière supérieur la plus proche au cas où L serait
impair.
Le lecteur aura remarqué aussi peut-être remarqué quelque chose
d'intéressant si nous reprenons notre exemple avec l'image de 16
pixels... Effectivement, prenons le troisième pixel depuis la gauche
de coordonnée x égale à 2. En binaire, sa position initiale
est alors 0010. Après la première permutation, sa coordonnée x est égale à 1,
soit en binaire: 0001. Après la deuxième permutation, sa coordonnée x est égale
8, soit en binaire: 1000, etc. Au fait nous voyons que chaque permutation
se résume en binaire à décaler les bits vers la droite.
Définition: Soit une
permutation. Nous disons que est "permutation
paire" si, dans une écriture de comme
produit de transpositions, il y a un nombre pair de transpositions.
Nous disons que est "permutation
impaire" si, dans une écriture de comme
produit de transpositions, il y a un nombre impair de transpositions.
Finissons par un petit complément... Nous avons que est
un groupe des permutations d'ordre 3 avec donc 3!=6 permutations
possibles.
Si nous énumérons les 6 permutations nous avons vu que nous obtenons:
{(1), (1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)}
(9.81)
Parmi celles-ci certaines seulement peuvent être écrites
comme un produit pair de transpositions:
(1 2 3)=(1 2)(3 1) et
(1 3 2)=(1 3)(2 1)
(9.82)
Les permutations paires forment avec la permutation identité id,
un sous-groupe (non commutatif) que nous appelons le "groupe
alterné d'ordre n" et que nous notons .
C'est facile de le vérifier avec l'exemple précédent.
|