Sciences.ch (calcul vectoriel)

Le calcul vectoriel ou "analyse vectorielle" est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens (voir définition plus loin).

L'importance du calcul vectoriel provient de son utilisation intensive en physique et dans les sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue que nous le présenterons, et c'est pourquoi nous nous limiterons le plus souvent au cas de l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un champ de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel.

Remarque:Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs (voir définition plus loin).

Des notions physiques telles que la force ou la vitesse sont caractérisées par une direction, un sens et une intensité. Ce triple caractère est mis en évidence par les flèches. Celles-ci sont à l'origine de la notion de vecteur et en constituent l'exemple le plus suggestif. Bien que leur nature soit essentiellement géométrique, c'est leur aptitude à se lier les unes aux autres, donc leur comportement algébrique, qui retiendra principalement notre attention. Partagé en classes d'équivalence l'ensemble qu'elles forment représente le modèle classique d'un "espace vectoriel". Un de nos premiers objectifs est la description détaillée de ce modèle.

Remarques:

R1. Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillons au lecteur d'avoir au moins parcouru en diagonale le chapitre traitant de la théorie des ensembles dans la section d'arithmétique. Nous y définissons ce qu'est un "espace vectoriel" en utilisant les outils de la théorie des ensembles. Ce concept bien que non absolument indispensable vaut la peine quand même de s'y attarder pour voir comment deux domaines des mathématiques s'imbriquent et aussi histoire... d'aborder les choses au moins un peu rigoureusement.

R2. L'analyse vectorielle contient beaucoup de termes et de définitions qu'il faut apprendre par coeur. Ce travail est pénible mais malheureusement nécessaire.

NOTION DE FLÈCHE

Nous désignerons par U l'espace ordinaire de la géométrie élémentaire et par P, Q, ... ses points. Nous appellerons "flèche" tout segment de droite orienté (dans l'espace).

La flèche d'origine P et d'extrémité Q sera notée

ou abrégée par une lettre unique (latine ou grecque) choisie arbitrairement telle que par exemple:

Remarque: Dans la norme ISO 80000-2:2009 il est autorisé de représenter les vecteurs par une lettre en gras.

Nous considérerons comme évident que toute flèche est caractérisée par sa direction, son sens (car pour une direction donnée elle peut pointer dans deux sens), son intensité ou grandeur (longueur) et ainsi que son origine.

ENSEMBLE DES VECTEURS

D1. Nous disons que deux flèches sont "équivalentes" si elles ont la même direction, le même sens et la même intensité.

D2. Nous disons que deux flèches sont "colinéaires" si elles ont seulement la même direction.

Partageons l'ensemble des flèches en classes d'équivalence: deux flèches appartiennent à une même classe si et seulement si elles sont équivalentes.

D3. Chaque classe d'équivalence de flèches constitue un "vecteur" ou plus exactement un "vecteur libre" car son origine n'est pas prise en compte (dans le cas où son origine est bien définie, nous avons alors un "vecteur lié").

Rangeons, en outre, les flèches dégénérées (c'est-à-dire de la forme

) en une classe distinguée que nous appellerons "vecteur nul" et noterons

qui ont une direction et un sens non définis... et d'intensité nulle.

L'ensemble des vecteurs sera lui désigné par V. Il faut souligner que les éléments de V sont des classes de flèches et non pas des flèches individuelles. Il est cependant clair qu'une flèche quelconque suffit à déterminer la classe à laquelle elle appartient et il est donc naturel de l'appeler "représentant de la classe" du vecteur.

Traçons le représentant d'un vecteur

à partir de l'extrémité d'un représentant d'un vecteur

. La flèche dont l'origine est celle du représentant de

et l'extrémité celle du représentant de

détermine un vecteur que nous noterons

. L'opération qui associe à tout couple de vecteurs leur somme s'appelle "addition vectorielle".

A l'aide d'une figure, il est facile de montrer que l'opération d'addition vectorielle est associative et commutative, autrement dit, que:

Il est en outre évident que le vecteur nul

est l'élément neutre de l'addition vectorielle, autrement dit, que:

où

désigne le vecteur opposé de

, c'est-à-dire le vecteur dont les représentants ont la même direction et la même intensité que ceux de

, mais le sens opposé. Deux vecteurs dont la somme est nulle sont alors appelés "vecteurs opposés" puisque la seule chose qui les différencie est leur sens...

Il s'ensuit aussi que si deux ou plusieurs vecteurs ont la même direction, la même intensité et le même sens alors ce sont des "vecteur égaux".

L'opération inverse de l'addition vectorielle est la soustraction vectorielle. Soustraire un vecteur revient à additionner le vecteur opposé.

Remarques:

R1. L'addition s'étend, par récurrence, au cas d'une famille finie quelconque de vecteurs. En vertu de l'associativité, ces additions successives peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre, ce qui justifie l'écriture sans parenthèses.

R2. La multiplication entre deux vecteurs est un concept qui n'existe pas. Par contre, comme nous le verrons un peu plus loin, nous pouvons multiplier les vecteurs par certaines propriétés d'autres vecteurs que nous appelons la "norme" et encore d'autres petites choses...

PSEUDO-VECTEURS

En physique, lors de l'énoncé de ce que nous appelons le "principe de Curie", les physiciens font mention de ce qu'ils appellent des "pseudo-vecteurs". Il s'agit du vocabulaire simple pour parler de quelque chose de tout aussi trivial mais fondamentalement peu de gens en font vraiment usage. Mais il peut quand même être utile de présenter de quoi il s'agit.

Au fait, vecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière dans une rotation ou une translation (nous verrons plus tard dans ce chapitre comment effectuer mathématiquement ces transformations). Il n'en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point. Dans ces transformations nous avons par définition les propriétés suivantes:

Voici une figure avec des exemples types (le choix des lettres représentant les vecteurs n'est pas dû au hasard; elles sont un clin d'oeil aux propriétés des champs électriques et magnétiques étudiés dans la section d'Électromagnétisme du site):

Figure: 12.2 - Différences de transformations entre un vecteur et un pseudo-vecteur

Multiplication par un scalaire

Le vecteur

appelé "produit du nombre

par

", est défini de la manière suivante:

Prenons une flèche représentative de

et construisons un flèche de même direction, de même sens ou de sens opposé, suivant que

est positif ou négatif, et d'intensité

fois l'intensité de la flèche initiale; la flèche ainsi obtenue est un représentant du vecteur

; si

, nous posons

L'opération qui consiste à effectuer le produit d'un nombre par un vecteur est appelé "multiplication par un scalaire".

Nous vérifions aisément que la multiplication par un scalaire est associative et distributive par rapport à l'addition numérique vectorielle, autrement dit que:

RÈGLE DE TROIS

Revenons un peu sur la "règle de trois" (appelée parfois "règles des rapports et proportions" ou encore "méthode de réduction à l'unité") souvent définie dans les petites classes de manière intuitive mais sans démonstration digne de ce nom. Cette règle est certainement l'algorithme le plus usité de par le monde qui sert à identifier un quatrième nombre quand trois sont donnés et que les quatre nombres sont linéairement dépendants.

Supposons maintenant que X puisse prendre les valeurs

. Y prendra les valeurs linéairement dépendantes

alors le rapport proportionnel suivant:

Soient deux vecteurs

colinéaires et donc proportionnels à un facteur près tels que:

Remarque: Si ce rapport n'est pas égal, alors il faut passer à l'utilisation d'autres outils tels que la régression et in extenso l'extrapolation.

À Lausanne (Suisse) les sacs poubelles sont taxés et les tarifs suivant sont appliqués : un sac de 17 [L] et 1.- et celui de 110 [L] est 3.80.-. Rapporté à 17 [L] le prix du litre de déchet du sac de 110 [L] est alors:

Soit environ 60% du prix du sac de 17 [L] (ensuite allez chercher une explication… ???).

Soient deux vecteurs

colinéaires et donc proportionnels à un facteur près tel que:

Remarque: Si ce rapport n'est pas égal, alors il faut passer à la régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques).

En gros, il suffit que nous connaissions trois variables sur les quatre pour résoudre cette simple équation du premier degré.

Les conversions de monnaies ou d'unités de mesure se font à l'aide de la règle de trois simple directe ou indirecte. Les calculs de parités (calcul prévisionnel fait par un importateur d'un certain pays ayant ses propres unités de mesures et de monnaie, qui recherche parmi plusieurs offres étrangères (dans des systèmes d'unités de mesures et de monnaies qui diffèrent de l'importateur), laquelle est la plus avantageuse ou inversement) se font également avec la règle de trois.

Remarque: Nous appelons également "règle conjointe simple ou inverse", une série de règles de trois directes ou indirectes.

Dans de tels calculs, les agents du marché d'échange ont remarqué que la plupart du temps, les rapports étaient des valeurs proches de l'unité. Ils ont été ainsi naturellement amenés à définir "le pourcentage" comme étant la proportion d'une quantité ou d'une grandeur par rapport à une autre, évaluée à la centaine (en général du moins ... ):

ESPACES VECTORIELS

Définition: Nous appelons "espace vectoriel" un ensemble E d'éléments désignés par

et appelés "vecteurs", muni d'une "structure algébrique vectorielle" définie par la donnée de l'addition (soustraction) vectorielle et la multiplication par un scalaire. Ces deux opérations satisfaisant les lois d'associativité, de commutativité, de distributivité, d'élément neutre et d'opposé comme nous l'avons déjà vu dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

Pour plus d'informations sur ce qu'est un espace vectoriel dans le sens "ensembliste" le lecteur devra se reporter au chapitre de Théorie Des Ensembles où ce concept est défini avec plus de rigueur.

Remarque: Muni de ces deux opérations, un espace vectoriel est dit "vectorialisé".

Pour tout entier positif n,

désignera l'ensemble des n-uplets de nombres disposés en colonne:

est à l'évidence munie d'une structure d'espace vectoriel. Les vecteurs de cet espace seront appelés "vecteurs-colonne". Ils seront souvent désignés plus brièvement par:

combinaisons linéaires

Dorénavant, sauf mention explicite du contraire, les vecteurs seront les éléments d'un espace vectoriel E.

Définition: Nous appelons "combinaison linéaire" des vecteurs

tout vecteur de la forme:

Le vecteur nul est combinaison linéaire de

avec tous les coefficients égaux à zéro. Nous parlons dès lors de "combinaison linéaire triviale".

Définition: Nous appelons "combinaison convexe", toute combinaison linéaire dont les coefficients sont non négatifs et de somme égale à 1. L'ensemble des combinaisons convexes de deux points P et Q d'un espace ponctuel

(ayant une origine) est le segment de droite P et Q. Pour s'en rendre compte, il suffit d'écrire:

de faire varier

de 0 à 1 et de constater que tous les points du segment sont ainsi obtenus.

Si le vecteur

est combinaison linéaire des vecteurs

et chacun de ces vecteurs est combinaison linéaire des vecteurs

, alors

est combinaison linéaire de

SOUS-ESPACES VECTORIELS

Définition: Nous appelons "sous-espace vectoriel de E" tout sous-ensemble de E qui est lui-même un espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire définies dans E.

Un sous-espace vectoriel, en tant qu'espace vectoriel, ne peut être vide puisqu'il comprend au moins un vecteur, à savoir son vecteur nul, celui-ci étant d'ailleurs forcément le vecteur nul de E. En outre, en même temps que les vecteurs

(s'il en contient d'autres que le vecteur nul), il comprend également toutes leurs combinaisons linéaires

Inversement, nous voyons aussitôt que tout sous-ensemble jouissant de ces propriétés est un sous-espace vectoriel. Nous avons ainsi établi la proposition suivante:

Un sous ensemble S de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si S est non vide et

appartient à S pour tout couple

de vecteurs de S et tout couple

FAMILLES GÉNÉRATRICES

Il en découle que si nous avons une famille de vecteurs

l'ensemble des combinaisons linéaires de

peut être un sous-espace vectoriel S de E, plus précisément le plus petit sous-espace vectoriel de E comprenant

Les vecteurs

qui satisfont à la condition ci-dessus sont appelés "générateurs" de S et la famille

, famille génératrice de S. Nous disons aussi que ces vecteurs ou cette famille engendrent S.

Remarque: Le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul est formé de tous les multiples de ce vecteur. Nous appelons un tel sous-espace "droite vectorielle". Un sous-espace vectoriel engendré par deux vecteurs non multiples l'un de l'autre est appelé "plan vectoriel".

DÉPENDANCES ET INDÉPENDANCES LINÉAIRES

Ce qui va suivre est très important en physique: nous conseillons donc au futur physicien de prendre vraiment le temps de bien lire les développements.

sont trois vecteurs de

dont les représentants ne sont pas parallèles à un même plan (par convention une flèche d'intensité nulle est parallèle à tout plan), alors tout vecteur

peut s'écrire de manière unique sous la forme:

Figure: 12.3 - Exemple d'un construction d'un vecteur dans un espace à trois dimensions

En particulier, la seule possibilité d'obtenir le vecteur nul comme combinaison linéaire de

est d'attribuer la valeur triviale 0 à

implique

, aucun des vecteurs ne peut être combinaison linéaire des deux autres, autrement dit, leurs représentants ne sont pas parallèles à un même plan.

Sur la base de ces observations, nous allons étendre la notion d'absence de parallélisme à un même plan au cas d'un nombre quelconque de vecteurs d'un espace vectoriel E.

implique nécessairement

, autrement dit, si la combinaison linéaire triviale est la seule combinaison linéaire de

qui soit nulle. Dans le cas contraire, nous disons que les vecteurs

sont "linéairement dépendants".

Si l'attention est fixée sur la famille

plutôt que sur les termes dont elle est constituée, nous disons que celle-ci est une "famille libre" ou "famille liée" suivant que les vecteurs

sont linéairement indépendants ou dépendants.

BASES D'UN ESPACE VECTORIEL

Définition: Nous disons qu'une famille finie de vecteurs est une base de E si et seulement si:

D'après cette définition, toute famille libre

est une base du sous-espace vectoriel qu'elle engendre.

Si nous considérons

comme

-espace vectoriel (cf. chapitre de Théorie des Ensembles), alors puisque tous les éléments de

s'écrivent

, les éléments qui engendrent

sont 1 et i (les deux sont libres).

Une base de

(qui est de dimension 2) comme

-espace vectoriel est donc la famille finie libre {1,i}.

Pour qu'une famille de vecteurs

soit une base de E, il faut et il suffit donc que tout vecteur

de E s'exprime de manière unique sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs

La relation ci-dessus est une décomposition de

suivant la base

où les coefficients

sont les composantes de

dans cette base. En présence d'une base, tout vecteur est donc entièrement déterminé par ses composantes.

En d'autres termes, additionner deux vecteurs revient à additionner leurs composantes et multiplier un vecteur par un scalaire revient évidemment à multiplier ses composantes par ce même scalaire. La base est donc un outil important car elle permet d'effectuer les opérations sur les vecteurs au moyen d'opérations sur les nombres.

forment un base que nous appelons "base canonique" de

(nous travaillerons dans les espaces complexes dans un autre chapitre).

Remarque: Dans le cadre de l'espace à trois dimensions, les bases sont très souvent assimilées à un trièdre (effectivement si vous reliez les extrémités des trois vecteurs par des traits vous obtiendrez un trièdre imaginaire).

ANGLES DIRECTEURS

Il est clair qu'un seul angle ne peut décrire la direction d'un vecteur dans l'espace. Nous utilisons alors la notion "d'angles directeurs". Il s'agit de mesurer l'angle du vecteur

par rapport à chacun des axes positifs de la base:

Les 3 angles mentionnés ne sont pas complètement indépendants. En effet, 2 suffisent pour déterminer complètement la direction d'un vecteur dans l'espace, le troisième pouvant se déduire de la relation suivante (obtenue à partir du calcul de la norme du vecteur, concept que nous verrons un peu plus loin):

De plus, les cosinus directeurs sont les composantes scalaires d'un vecteur de norme unitaire

ayant la même direction que

DIMENSIONS D'UN ESPACE VECTORIEL

Nous disons que E est de "dimension finie" s'il est engendré par une famille finie de vecteurs. Dans le cas contraire, nous disons que E est de "dimension infinie" (nous aborderons ce type d'espaces dans un autre chapitre). Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul admet une base. En fait, de toute famille génératrice d'un tel espace nous pouvons extraire une base.

Tout espace vectoriel E de dimension finie non nulle n peut être mis en correspondance biunivoque (c'est-à-dire en bijection) avec

. Il suffit de choisir une base de E et de faire correspondre à tout vecteur

de E le vecteur-colonne dont les termes sont les composantes de

dans la base choisie (c'est du blabla de mathématicien mais ce sera utile quand nous aborderons des espaces plus complexes):

Cette correspondance conserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire que nous avons déjà vues; en d'autres termes, elle permet d'effectuer les opérations sur les vecteurs par des opérations sur les nombres.

Remarque: Nous disons alors que E et

sont "isomorphes" ou que la correspondance est un isomorphisme (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

PROLONGEMENT D'UNE FAMILLE LIBRE

Soit

une famille libre et

une famille génératrice de E. Si

n'est pas une base de E, nous pouvons extraire une sous-famille

de telle manière que la famille

soit une base de E.

Remarque: Une telle étude a son utilité lors de passage d'espace mathématique ayant des propriétés données à un autre espace ayant des propriétés mathématiques différentes.

H1. Nous supposons qu'au moins un des vecteurs

n'est pas combinaison linéaire des vecteurs

, sinon

engendrerait E et serait donc une base possible de E. Notons ce vecteur

. La famille

est alors une famille libre. En effet, la relation:

implique alors tout d'abord que

, autrement

serait combinaison linéaire des vecteurs

, et ensuite

, puisque les vecteurs

sont linéairement indépendants.

Si la famille

engendre E, elle est une base possible de E et le théorème est démontré. Dans le cas contraire, le même raisonnement nous assure l'existence d'un autre vecteur

.... Si la nouvelle famille en découlant n'est pas une base de E, alors le procédé d'extraction de vecteurs

se poursuit. Lorsqu'il s'arrête, nous aurons obtenu un "prolongement" de

en une famille libre engendrant E, c'est-à-dire une base de E.

Il en retourne un corollaire: Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul admet une base. En fait, de toute famille génératrice d'un tel espace, nous pouvons donc extraire une base.

RANG D'UNE FAMILLE FINIE

Définition: Nous appelons "rang d'une famille" de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel de E qu'elle engendre.

Montrons que le rang d'une famille de vecteurs

est inférieur ou égal à k et qu'il est égal à k si et seulement si cette famille est libre.

Ecartons d'abord le cas trivial où le rang de la famille

est nul. D'après le corollaire vu précédemment, nous pouvons alors extraire de cette famille une base du sous-espace vectoriel qu'elle engendre. Le rang est donc inférieur ou égal à k suivant que

est une famille liée ou non.

SOMMES DIRECTES

Définition: Nous disons que la somme S+T de deux sous-espaces vectoriels S et T de E (cas particulier appliqué à un espace de dimensions 2 !) est une "somme directe" si:

En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels S et T de E est directe si la décomposition de tout élément de S+T en somme d'un élément de S et d'un élément de T est unique.

Ce concept de décomposition trivial va nous être très utile dans certains théorèmes dont le plus important sur ce site est certainement le théorème spectral (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

De la somme directe nous pouvons introduire la notion de "sous-espace complémentaire" appelé encore "sous-espace supplémentaire" (selon les pays...):

Supposons que E soit de dimension finie. Pour tout sous-espace vectoriel S de E, il existe un sous-espace vectoriel T (non unique) de E tel que E soit somme directe de S et T. Nous disons alors que T est un "sous-espace complémentaire" de S dans E.

Ecartons d'abord les cas triviaux où

et S=E. Le sous-espace vectoriel S admet une base

, où

est inférieur à la dimension n de E. Par le théorème du prolongement d'une famille libre, cette base peut se prolonger en une base

de E. Soit T le sous-espace vectoriel engendré par la famille

. Si

est un vecteur quelconque de E, alors

, où

est un vecteur de S et

un vecteur de T. En outre,

car aucun vecteur, excepté le vecteur nul, ne peut être combinaison linéaire des vecteurs

et des vecteurs

. Nous en concluons donc que:

ESPACE AFFINE

L'espace G de la géométrie élémentaire est à la fois usuel et la source de la notion "d'espace affine" que nous allons introduire.

Cet espace G est associé à "l'espace vectoriel" géométrique V par la correspondance entre flèches et vecteurs étudiés jusqu'ici! La définition suivante ne fait que mettre en évidence les traits dominants de cette correspondance:

Définition: Soit U un ensemble non vide d'éléments que nous appellerons "points" et désignerons par les lettres P, Q, ... ; soit en outre E un espace vectoriel. Supposons qu'à tout couple de points (P,Q) corresponde un vecteur noté

. Nous disons alors que U est un "espace affine" d'espace directeur (ou dit simplement abusivement de "direction") E si les conditions suivantes sont satisfaites:

C1. Pour tout point P fixé, la correspondance entre couples (P,Q) et vecteurs

est biunivoque, autrement dit, pour tout vecteur

il existe un point Q et un seul tel que

C'est la fameuse "relation de Chasles" (dont on retrouvera un pseudo-équivalant dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral).

C3. Si P est un point et

un vecteur, pour exprimer que Q est l'unique point tel que

, nous écrivons:

Bien qu'un peu abusive, cette écriture est conforme à l'usage et suggère bien le sens de l'opération qu'elle désigne.

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine:

P2. Pour tout point P,

. Cela résulte de la condition

dans le cas où nous avons

Soit le polygone de sommets (dans le sens des aiguilles d'une montre)

et arêtes

Précédemment, nous avons vu ce qui faisait qu'un espace G pouvait être muni d'une structure d'espace vectoriel (nous avons vu que nous disons que ce dernier était dès lors "vectorialisé"). Dans le cas général d'un espace affine U, le procédé est le même:

Nous choisissons un point quelconque O de U. La correspondance entre couples

et vecteurs de l'espace directeur étant alors biunivoque nous définissons l'addition de points et la multiplication d'un point par un scalaire par les opérations correspondantes sur les vecteurs de E. Muni de ces deux opérations, U devient un espace vectoriel, appelé "vectorialisé de U relativement à O". Nous désignerons cet espace par

et appellerons O "l'origine".

Vu la manière dont les opérations ont été définies, il résulte que

est isomorphe à l'espace directeur E:

Toutefois, cet isomorphisme dépend du choix de l'origine O et en pratique cette origine est choisie sur base de données inhérentes aux problèmes posés. Par exemple, si une transformation affine admet un point invariant (qui ne bouge pas), il y a avantage à choisir ce point comme origine.

Remarques:

R1. Lorsque nous parlons de dimension d'un espace affine, nous parlons de la dimension de son espace directeur.

R2. L'espace G de la géométrie élémentaire est un espace affine. En effet, sa direction est l'espace géométrique V et les conditions de définition d'un espace affine sont satisfaites. Il faut bien noter qu'au couple de points est associé le vecteur et non pas la flèche PQ. En fait, la flèche pouvant être identifiée au couple de points, nous voyons que ce que postule la définition d'un espace affine n'est rien d'autre qu'une forme abstraite de correspondance entre flèches et vecteurs.

R3. Tout espace vectoriel E peut être considéré comme un espace affine de direction E lui-même si au couple de vecteurs est associé le vecteur . En effet, les conditions de définition d'un espace affine sont dès lors satisfaites.

ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS

Avant de définir ce qu'est un espace vectoriel euclidien, nous allons au préalable définir quelques outils mathématiques et quelques concepts.

Nous pouvons, en choisissant une unité de longueur, mesurer l'intensité de chaque flèche, autrement dit, déterminer sa longueur. Nous pouvons aussi mesurer l'écart angulaire de deux flèches (ou vecteurs) quelconques d'origine commune (non nécessairement distinctes) en prenant comme unité de mesure d'angle par exemple le radian. La mesure de cet écart est alors un nombre compris entre 0 et

, appelé "angle" des deux flèches. Si les deux flèches ont même direction et même sens, leur angle est nul et si elles ont même direction et sens opposé, ce même angle est

Les flèches représentatives d'un même vecteur

ont toutes la même longueur. Nous désignerons cette longueur par la notation:

et l'appellerons "norme" de

(anciennement appelée "module"). Il est clair que la longueur d'un vecteur est nulle si et seulement si sa norme est nulle. Nous dirons qu'un vecteur est unitaire si sa norme est 1.

est un vecteur unitaire colinéaire (nécessairement...) à

dont la norme est égale à l'unité et que nous notons

Nous appellerons "angle des vecteurs non nuls"

l'angle de deux flèches d'origine commune représentant l'une

et l'autre

Plus rigoureusement cependant une "norme" sur un espace vectoriel réel (ou complexe) E, ce qui fait que nous parlons alors "d'espace vectoriel normé", est une application

vérifiant les propriétés:

où nous prenons le module de la constante si celle-ci n'est plus dans l'ensemble des réels mais dans les complexes.

Remarques:

R1.Ces propriétés sont principalement imposées par notre approche intuitive de l'espace euclidien (espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels et muni d'un produit scalaire que nous verrons plus loin) et de son interprétation géométrique.

R2. Nous démontrerons un peu plus loin la propriété P4 sous la dénomination "d'inégalité triangulaire" et nous ferons une étude un peu plus générale de cette inégalité sous la dénomination "d'inégalité de Minkowski" dans le chapitre de Topologie.

PRODUIT SCALAIRE VECTORIEL

Définition: Un "espace vectoriel euclidien", est un espace vectoriel (réel et de dimension finie pour les puristes) possédant une opération particulière, le "produit scalaire" que nous noterons (notation spécifique à ce site Internet) en ce qui concerne le cas particulier des vecteurs:

Remarques:

R1. Nous trouvons dans certains ouvrages (pour information) la notation ou encore lors de la généralisation de cette définition comme nous le verrons un peu plus loin. Selon la norme ISO 80000-2:2009 il faudrait écrire le produit scalaire .

R2. Le produit scalaire a une importance énorme dans l'ensemble du domaine des mathématiques et de la physique; ainsi nous le retrouvons dans le calcul différentiel et intégral (de par le produit scalaire fonctionnel), en topologie, en physique quantique, en analyse du signal etc. Il convient donc de bien comprendre ce qui va suivre.

R3. Le produit scalaire peut être vu comme une projection de la longueur d'un vecteur sur la longueur d'un autre.

Ce produit scalaire possède les propriétés suivantes (dont la plupart découlent de la définition même du produit scalaire) dans un espace euclidien:

Seule cette dernière propriété nécessite peut-être une démonstration (de plus un des résultats de la démonstration nous servira à démontrer une autre propriété très importante du produit scalaire):

qui constitue la "projection orthogonale vectorielle" (le v en indice du proj signifiant "vectoriel") du vecteur

sur la normalisation à l'unité du vecteur

A l'aide du produit scalaire, le vecteur

peut être exprimé autrement il suffit de prendre la relation que nous avons vue plus haut:

Cette expression vaut également dans le cas où

est nul, à condition d'admettre que la projection orthogonale du vecteur nul est nulle.

est unitaire, les relations de projections précédentes se simplifient et deviennent:

Par des considérations géométriques élémentaires (distributivité du produit scalaire), il est facile de se rendre compte que:

et, d'après la définition la propriété de la projection orthogonale, il vient alors immédiatement en faisant la correspondance terme à terme:

d'où la propriété P6 qui s'ensuit par multiplication des deux membres de l'égalité par

et après simplification par

D2. Nous disons que les vecteurs

sont des "vecteurs orthogonaux" s'ils sont non nuls et que leur produit scalaire est nul (leur angle est égal à

Une base

de V est dite "base orthonormale" si les vecteurs

sont orthogonaux deux à deux et unitaires (donc constituant une famille libre).

Remarque: Nous verrons en calcul tensoriel (nous aurions pu le faire ici aussi mais bon...) comment à partir d'un ensemble de vecteurs indépendants construire une base orthogonale. C'est ce que le lecteur pourra trouver sous le nom de "méthode d'orthogonalisation de (Gram-)Schmidt".

Par le raisonnement géométrique, nous voyons que tout vecteur est la somme de ses projections orthogonales sur les vecteurs d'une base orthonormale, autrement dit, si

est une base orthonormale:

Cette décomposition s'obtient également par la propriété de P6 du produit scalaire. En effet,

étant les composantes de

Soit

les composantes respectives des vecteurs

dans une base orthonormale canonique

nous pouvons écrire le produit scalaire sous la forme:

qui constitue l'une des relations les plus importantes dans le domaine du calcul vectoriel et que nous appelons "produit scalaire canonique".

INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ

s'écrit également trivialement sous la forme suivante si nous utilisons la notion de norme et la définition du produit scalaire:

Il est intéressant de remarquer que si les deux vecteurs

sont orthogonaux, nous retrouvons le résultat d'un théorème fameux: le théorème de Pythagore!

Cette relation est très importante en physique-mathématique. Il faut s'en souvenir !

Nous appelons également "inégalité de Cauchy-Schwarz" l'inégalité, valable pour tout choix des vecteurs

, la relation:

D'abord nous considérerons comme évident que l'égalité n'a lieu qu'en cas de colinéarité des deux vecteurs.

Nous nous plaçons dans le cas où

. Alors, pour

nous avons trivialement selon les propriétés du produit scalaire:

Il s'agit donc d'une simple équation du deuxième degré où la variable est

. En se rappelant de ce que nous avons vu lors de notre étude des polynômes du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) la relation précédente (le fait qu'elle soit toujours supérieure ou égale à zéro) est satisfaite que si le discriminant

est négatif ou nul. En d'autres termes, si:

Lorsque E est

, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit avec les composantes des vecteurs:

ce qui montre que le carré de la moyenne arithmétique est inférieur ou égal à la moyenne arithmétique des carrés. Ce résultat est important pour l'étude des statistiques.

Par ailleurs, en vertu de la propriété du cosinus et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous pouvons écrire:

relation que nous retrouvons également dans le cadre de l'étude des statistiques (cf. chapitre de Statistiques).

INÉGALITÉ TRIANGULAIRE

En majorant

par

(de par l'inégalité de Cauchy-Schwarz!) et en mettant ceci dans la relation établie déjà précédemment:

ce qui entraîne la fameuse "inégalité triangulaire" (très utile dans l'étude des suites et séries pour l'étude des convergences ainsi qu'en topologie):

Remarque: La généralisation de cette inégalité relativement aux propriétés des normes telles que nous le verrons en topologie, donne ce que nous appelons "l'inégalité de Minkowski".

En appliquant une fois l'inégalité triangulaire aux vecteurs

et une autre fois aux vecteurs

nous obtenons la variante:

PRODUIT SCALAIRE (GÉNÉRAL)

Voyons maintenant une autre manière un peu plus générale (s'appliquant à des vecteurs ou fonctions), formelle et abstraite pour définir le produit scalaire tout en tentant de rester le plus simple possible (attention dans le cas général la notation du produit scalaire change!):

Définition: Soit E un espace vectoriel réel (!). Une "forme bilinéaire symétrique positive" sur E, est une application:

P4. La bilinéarité (forme bilinéaire) avec, dans l'ordre, la "linéarité à gauche" et la "linéarité à droite":

Remarque: A nouveau, ces propriétés sont principalement imposées par notre approche intuitive de l'espace euclidien et de son interprétation géométrique.

Définition: Un espace E muni d'un produit scalaire est appelé un "espace préhilbertien". Si E est de dimension finie, nous parlons alors "d'espace euclidien".

Nous avons vu en topologie (cf. chapitre de Topologie) que les propriétés du produit scalaire sont les briques de bases pour définir une norme et donc une distance dans un espace métrique. Cette distance sera alors donnée selon ce que nous avons obtenu dans le chapitre de Topologie:

Définition: Nous disons qu'un espace E muni d'un produit scalaire

est un "espace Hilbertien" ou "espace de Hilbert" si cet espace est complet pour la métrique définie ci-dessus.

En d'autres termes, avoir un espace métrique muni donc d'une distance générée par un produit scalaire est une chose. Ensuite, avoir une distance mesurable en est une autre. Un espace de Hilbert a donc des distances mesurables au sens topologique du terme car l'ensemble sur lequel on travaille est continu et n'importe quel point peut-être approché indéfiniment (imaginez avoir une règle et que vous ne puissiez pas avec cette règle approcher les points qui définissent les dimensions de votre objet... ce serait gênant...). Donc sans espace complet une grande partie des théorèmes de l'analyse fonctionnelle ne pourraient pas être utilisés dans l'étude des espaces vectoriels et cela serait très gênant en physique quantique ondulatoire par exemple...

Formellement, rappelons qu'un espace métrique est complet si toutes les suites de Cauchy (cf. chapitre des Suites Et Séries) de cet espace sont convergentes (cf. chapitre sur les Fractals) dans un espace métrique (cf. chapitre de Topologie).

PRODUIT VECTORIEL

Le produit vectoriel de deux vecteurs est une opération propre à la dimension 3. Pour l'introduire, il faut préalablement orienter l'espace destiné à le recevoir. L'orientation étant définie au moyen de la notion de "déterminant", nous commencerons par une brève introduction à l'étude de cette notion. Cette étude sera reprise plus tard dans le détail lors de l'analyse des systèmes linéaires dans le chapitre d'algèbre linéaire.

Définition: Nous appelons "déterminant" des vecteurs-colonnes de

(pour la forme générale du déterminant se reporter au chapitre d'Algèbre Linéaire):

Nous appelons déterminant des vecteurs-colonnes de

(cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

Ainsi, la fonction qui associe à tout couple de vecteurs-colonnes de

(à tout triplet de vecteurs-colonnes de

) son déterminant est appelée "déterminant d'ordre 2" (respectivement d'ordre 3).

Le déterminant a comme propriété d'être multiplié par -1 si l'un de ses vecteurs-colonnes est remplacé par son opposé ou si deux de ses vecteurs-colonnes sont échangés (la vérification étant simple nous nous abstiendrons de la démonstration, sauf sur demande). En plus, le déterminant est non nul si et seulement si ses vecteurs-colonnes sont linéairement indépendants (la démonstration se trouve quelques lignes plus bas et est d'une grande importance en mathématique).

Définition: Soit

les composantes respectives des vecteurs

dans la base orthonormale

. Nous appelons "produit vectoriel" de

, et nous notons indistinctement:

Remarques:

R1. La première notation est la notation internationale due à Gibbs (que nous utiliserons tout au long de ce site), la deuxième est la notation française due à Burali-Forti (assez embêtante car se confond avec l'opérateur ET en logique).

R2. Il est assez embêtant de retenir par coeur les relations qui forment le produit vectoriel habituellement. Mais heureusement il existe au moins trois bons moyens mnémotechniques:

1. Le plus rapide consiste à retrouver l'une des expressions des composantes du produit vectoriel et ensuite par décrémentation des indices (en recommençant à 3 lorsque qu'on arrive à 0) de connaître toutes les autres composantes. Encore faut-il trouver un moyen simple de se souvenir d'une des composantes. Un bon moyen est la propriété mathématique suivante de deux vecteurs colinéaires permettant facilement de retrouver la troisième composante (celle selon l'axe Z):

Soit deux vecteurs colinéaires dans un même plan, alors:

equation (12.98)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la troisième composante du produit vectoriel de deux vecteurs (non nécessairement colinéaires... eux!).

2. La seconde mais que nous verrons lors de notre étude du calcul tensoriel consiste à utiliser le symbole d'antisymétrie (également appelé "tenseur de Levi-Civita"). Cette méthode est certainement la plus esthétique d'entre toutes mais pas nécessairement la plus rapide à développer. Nous donnons ici juste l'expression sans plus d'explications pour l'instant (elle est également utile pour l'expression du déterminant par extension):

(12.99)

3. Cette dernière méthode est assez simple et triviale aussi mais elle utilise implicitement la première méthode: la i-ème composante est le déterminant des deux colonnes privées de leur i-ème terme, le deuxième déterminant étant cependant pris avec le signe "-" tel que:

equation (12.100)

Il est important, même si c'est relativement simple, de se rappeler que les différents produits vectoriels pour les vecteurs d'une base orthogonale sont:

Le produit vectoriel jouit aussi propriétés suivantes que nous allons démontrer:

Les deux premières propriétés découlent directement de la définition et la propriété P4 se vérifié aisément en développant les composantes et en comparant les résultats obtenus.

Démontrons alors la troisième propriété qui est très importante en algèbre linéaire.

Soient deux vecteurs

. Si les deux vecteurs sont linéairement dépendants alors il existe

tel que nous puissions écrire:

Si nous développons le produit vectoriel des deux vecteurs dépendants à un facteur

près, nous obtenons:

Il va sans dire que le résultat ci-dessus est égal au vecteur nul

si effectivement les deux vecteurs sont linéairement dépendants.

Si nous supposons maintenant que les deux vecteurs

sont linéairement indépendants et non nuls, nous devons démontrer que le produit vectoriel est:

Commençons par la première propriété P3.1 (première importance en physique!):

ce qui montre bien que le vecteur

est perpendiculaire au vecteur résultant du produit vectoriel entre

Terminons avec la deuxième propriété P3.2 (aussi de première importance en physique!):

Soit le carré de la norme du produit vectoriel

. D'après la définition du produit vectoriel nous avons:

Nous remarquerons que dans le cas où E est l'espace vectoriel euclidien, la norme du produit vectoriel représente l'aire (surface) du parallélogramme construit sur des représentants

d'origine commune.

sont linéairement indépendants, le triplet

et donc aussi le triplet

sont directs.

En effet,

étant les composantes de

(dans la base

), le déterminant de passage de

(par exemple) s'écrit:

Ce déterminant est donc positif, puisqu'au moins un des

n'est pas nul, d'après la troisième propriété d'indépendance linéaire du produit vectoriel.

Voici encore quelques propriétés très importantes d'utilité pratique du produit vectoriel (en physique particulièrement) qui sont triviales à vérifier si les développements sont effectués (nous pouvons les faire sur demande si jamais!):

Remarque: Cette dernière relation est parfois appelée la "règle de Grassmann", ou plus couramment "double produit vectoriel" et il est important de noter que sans les parenthèses le résultat n'est pas unique.

PRODUIT MIXTE

Nous pouvons étendre la définition du produit vectoriel à un autre type d'outil mathématique que nous appelons le "produit mixte":

D'après ce que nous avons vu lors de la définition du produit scalaire et vectoriel , le produit mixte peut également s'écrire:

Nous remarquerons que dans le cas où E est l'espace vectoriel euclidien

, la valeur absolue du produit mixte symbolyse le volume (orienté) du parallélépipède, construit sur des représentants

d'origine commune.

Remarque: Il est assez trivial que le produit mixte est une extension à 3 dimensions du produit vectoriel. Effectivement, dans l'expression du produire mixte, le produit vectoriel représente la surface de base du parallélépipède et le produit scalaire projette un des vecteurs sur le vecteur résultant du produit vectoriel ce qui donne la hauteur h du parallélépipède.

et le lecteur vérifiera sans aucune peine (nous le ferons s'il y a demande) en développant les composantes que:

Le produit mixte jouit également des propriétés que le lecteur ne devrait avoir aucun mal à vérifier en développant les composantes mis à part peut-être P3 qui découle des propriétés du produit scalaire et vectoriel (nous pouvons développer sur demande si jamais!):

Remarque: Nous reviendrons sur le produit mixte lors de notre étude du calcul tensoriel car il permet d'arriver à un résultat très intéressant en particulier en ce qui concerne la relativité générale!

ESPACES VECTORIELS FONCTIONNELS

Soit

l'ensemble des fonctions réelles k-fois dérivables dans l'intervalle fermé

. Nous désignerons les éléments de cet ensemble par les lettres

La valeur de

au point t sera bien évidemment notée

. Dire que

équivaudra donc à dire que:

De manière abrégée, nous écrirons

, le signe

indiquant ainsi que les deux membres sont égaux pour tout t de l'intervalle

Ces deux opérations satisfont à toutes les conditions des vecteurs d'un espace vectoriel que nous avons déjà définies au début de ce chapitre (associativité, commutativité, vecteur nul, vecteur opposé, distributivité, élément neutre) et munissent donc

d'une structure d'espace vectoriel. Le vecteur nul de cet espace étant bien évidemment la fonction nulle et l'opposé de

étant la fonction

Il est intéressant de constater que

en tant qu'espace vectoriel est une généralisation de

au cas continu. Nous pouvons en effet concevoir tout vecteur

sous la forme d'une fonction réelle définie dans l'ensemble

: la valeur de cette fonction au point i est tout simplement

Remarque: Les polynômes de degré n et à une inconnue forment aussi un exemple d'espace vectoriel fonctionnel de dimension n+1 (à chaque coefficient du polynôme correspond une composante du vecteur).

Le champ d'application privilégié de la théorie abstraite du produit scalaire est constitué par les espaces vectoriels fonctionnels. Nous appelons ainsi aussi produit scalaire canonique dans

l'opération définie par la relation:

Cette opération définit bien un produit scalaire, les propriétés de ce dernier sont vérifiées et, en outre, l'intégrale:

ESPACES VECTORIELS HERMITIENS

L'objectif de ce qui va suivre n'est pas de faire une étude détaillée du sujet des espaces vectoriels complexes mais juste de donner le bagage et le vocabulaire minimum nécessaire à l'étude de certaines théories physiques comme la physique quantique par exemple.

Lorsque les scalaires qui apparaissent dans la définition de la notion d'espace vectoriel sont des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres), et non plus des nombres réels, nous parlons alors "d'espaces vectoriels complexes".

Remarque: Rigoureusement dans la communication courante, il devrait systématiquement être fait mention si nous parlons d'espace vectoriel réel ou d'espace vectoriel complexe...

E1. L'espace vectoriel

des vecteurs-colonnes à n termes complexes (

étant identifié à

). Nous rencontrerons, entre autres, de tels vecteurs dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste.

E2. L'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée. Nous rencontrerons ce genre d'espaces dans les chapitres de Physique Quantique Ondulatoire ou encore de Chimie Quantique.

E3. L'espace vectoriel des fonctions complexes d'une variable réelle ou complexe dérivables ou non. Nous rencontrerons ce genre d'espace très fréquemment dans la section de Mécanique globalement et surtout dans les chapitres d'Électrodynamique ou encore de Mécanique Ondulatoire.

Il s'agit ici d'adapter ce que nous avons fait précédemment aux espaces vectoriels complexes. L'exemple suivant nous montre que nous ne pouvons pas transposer telles quelles les définitions précédentes. En effet, considérons l'espace vectoriel

. Comme pour

, nous pourrions être tenté de définir un produit scalaire sur

par:

Malheureusement, nous nous apercevons que cette définition n'est pas satisfaisante car nous aurions alors:

et cette quantité n'est pas en général un nombre réel dans l'espace des complexes ce qui viole la propriété de positivité du produit scalaire et donc empêche d'introduire tout concept de distance.

Pour que

soit un nombre réel positif nous voyons qu'il faudrait plutôt définir le produit scalaire comme ceci:

qui est bien un nombre réel positif. A partir de là, nous pouvons à nouveau définir une norme sur l'espace vectoriel complexe

en posant:

Nous allons à présent montrer comment définir un produit scalaire sur un espace vectoriel complexe dans le cas général.

PRODUIT HERMITIEN

Définition: Soit H un espace vectoriel complexe (!). Nous appelons "produit scalaire" ou plus exactement "produit hermitien" sur H, une application:

P4. La bilinéarité (forme bilinéaire) change un peu aussi... ce qui fait que nous parlons alors de "sesquilinéarité". Nous parlons alors, dans l'ordre, d'anti-linéarité à gauche et de linéarité à droite tel que:

Remarques:

R1. Certains mathématiciens mettent l'anti-linéarité à droite. C'est simplement une question de convention qui n'a aucune importance.

R2. Le lecteur remarquera peut-être sans peine que si les éléments des définitions précédentes sont tous dans alors la sesquilinéarité se réduit à la bilinéarité et le caractère hermitien à la symétrie. Donc le produit hermitien se réduit au produit scalaire.

R3. Nous souhaitons donner pour l'instant uniquement le minimum sur le vaste sujet que sont les espaces vectoriels complexes afin que le lecteur puisse lire sans trop de peine le début du chapitre de Physique Quantique Ondulatoire.

Lorsque nous munissons un espace vectoriel complexe d'un produit scalaire alors au même titre qu'un espace vectoriel réel devient un espace vectoriel euclidien ou préhilbertien, l'espace vectoriel complexe devient donc ce que nous appelons un "espace vectoriel hermitien" (terme assez souvent utilisé dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Définition: Encore une fois, nous disons qu'un espace H muni d'un produit hermitien

est un "espace de Hilbert" si cet espace est complet pour la métrique définie ci-dessus.

Ainsi, les espaces de Hilbert sont une généralisation comprenant les produits scalaires et produits hermitiens des espaces euclidiens, préhilbertiens et hermitiens.

TYPES D'ESPACES VECTORIELS

- Nous appelons espace préhilbertien (réel ou complexe) tout espace vectoriel, de dimension finie ou non, muni d'un produit scalaire.

- Nous appelons espace de Hilbert (réel ou complexe) tout espace préhilbertien complet (en tant qu'espace normé).

- Nous appelons espace euclidien tout espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

- Nous appelons espace hermitien tout espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Nous savons que tout espace vectoriel (réel ou complexe) normé de dimension finie est complet. Ainsi, les espaces euclidiens et les espaces hermitiens sont des espaces de Hilbert (respectivement réels ou complexes).

SYSTÈMES DE COORDONNÉES

Nous allons aborder ici, l'aspect des changements de coordonnées des composantes de vecteurs non pas d'une base à une autre (pour cela il faut aller voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) mais d'un système de coordonnées à un autre. Ce type de transformation a un fort potentiel en physique (ainsi qu'en mathématique) lorsque nous souhaitons simplifier l'étude de systèmes physiques dont les équations deviennent plus facilement manipulables dans d'autres systèmes de coordonnées.

Définition: En mathématiques, un "système de coordonnées" permet de faire correspondre à chaque point d'un espace à n dimensions, un n-uplet de scalaires.

Remarque: Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des nombres réels, mais il est possible d'utiliser des nombres complexes ou des éléments d'un quelconque corps (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles). Plus généralement, les coordonnées peuvent provenir d'un anneau ou d'une autre structure algébrique apparentée.

Bien que nous soyons dans un chapitre et une section de mathématiques du site, nous nous permettrons dans ce qui va suivre de faire une liaison directe avec la physique pour ce qui concerne les expressions de la vitesse et de l'accélération dans différents systèmes de coordonnées (désolé pour les matheux...)

SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES

Nous ne souhaitons pas trop nous attarder sur ce système car il est bien connu de tout le monde habituellement. Rappelons cependant que la plupart du temps, en physique, les systèmes cartésiens dans lesquels nous travaillons sont

(deux dimensions spatiales),

(trois dimensions spatiales) voir

(trois dimensions spatiales et une temporelle) lorsque nous travaillons en relativité.

Les systèmes cartésiens sont représentés par des vecteurs de base orthonormés (dans le sens qu'ils sont linéairement indépendants et de norme unité) qui forment une "base euclidienne" d'un espace vectoriel euclidien...

Dans

(cas le plus fréquent), il y a trois vecteurs de base notés traditionnellement:

Dans ce système, la position d'un point P (repérable par un vecteur

) est définie par le triplet de nombres noté (en calcul tensoriel):

où habituellement la coordonnée (z) représente la hauteur (la verticale), la coordonnée (x) la largeur et la coordonnée (y) la longueur (évidemment ces choix sont complètement arbitraires).

Ce point P peut être repéré par un vecteur noté arbitrairement

dans la base

par la relation (utilisant la notation tensorielle):

En physique, si nous travaillons avec des coordonnées, c'est toujours pour pouvoir déterminer l'emplacement d'un élément. Or, comme nous le verrons plus rigoureusement en mécanique analytique, le physicien travaille avec les notions suivantes (chaque élément dépendant souvent du temps):

Maintenant voyons comment s'expriment ces différentes notions dans des systèmes tels que les coordonnées sphériques, cylindriques et polaires.

SYSTÈME DE COORDONNÉES SPHÉRIQUES

Le choix de commencer avec ce système de coordonnées n'est pas un hasard. Il a pour avantage d'être une généralisation des systèmes cylindrique et polaire dont nous retrouverons par la suite plus facilement les expressions de la position, de la vitesse et de l'accélération.

Nous représentons traditionnellement (en Suisse... et ce conformément à la norme ISO 31-11) un système à coordonnées sphériques de la façon suivante:

Nous voyons très clairement si nous connaissons bien les relations trigonométriques élémentaires (voir le chapitre du même nom dans la section de géométrie) que nous avons les transformations:

où les deux angles sont respectivement la latitude et la colatitude. Nous avons inversement:

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base sphérique que nous choisissons de noter

avec les vecteurs de la base cartésienne

Indiquons qu'en divisant par

pour le deuxième vecteur de base, nous nous assurons ainsi de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que:

Remarque: Il est important de remarquer que le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne toujours le troisième vecteur de base perpendiculaire (comme pour les coordonnées cartésiennes donc!).

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune de ces coordonnées:

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation

exprimée en coordonnées sphériques:

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

ce qui nous amène donc à (nous aurons besoin de cette relation en astrophysique):

Il est intéressant de remarquer que nous arrivons au même résultat en passant par la méthode suivante qui est peut-être moins intuitive:

SYSTÈME DE COORDONNÉES CYLINDRIQUES

Le système de coordonnées cylindriques (très utile dans l'étude des systèmes à mouvements hélicoïdaux) est assez semblable à celui des coordonnées sphériques puisqu'il peut être vu comme une tranche de la sphère. Soit le schéma:

Attention!!! Le vecteur

est contrairement au cas sphérique précédent uniquement défini dans le plan XY ou un plan qui lui est parallèle!

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base cylindrique que nous choisissons de noter

(au lieu de

comme cela se fait traditionnellement) avec les vecteurs de la base cartésienne

. Nous avons, identiquement à ce que nous avons fait pour les coordonnées sphériques:

Indiquons qu'en divisant par

, nous nous assurons de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que:

sera bien normalisé à l'unité! Dans le cas des coordonnées cylindriques l'angle étant de toute façon droit, nous ne serions pas obligé d'indiquer cette division, mais nous avons fait ce choix par souci d'homogénéité avec les développements précédents...

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune de ces coordonnées:

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation

exprimée en coordonnées cylindriques:

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées cylindriques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons (rappelons que la composante z est indépendante des autres composantes cylindriques):

Pour l'accélération nous obtenons (exactement la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

SYSTÈME DE COORDONNÉES POLAIRES

Le système de coordonnées polaires est très semblable à celui des coordonnées cylindriques puisqu'il peut être vu comme un retranchement d'une dimension (la hauteur) du système cylindrique (nous retrouverons souvent ce système dans les chapitres de Mécanique Classique, Physique Quantique Corpusculaire et d'Astronomie).

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base polaire que je choisis de noter

(au lieu de

comme cela ce fait traditionnellement) avec les vecteurs de la base cartésienne

. Nous avons identiquement à ce que nous avions fait pour les coordonnées sphériques:

Explications pour la seconde ligne: en divisant par

, nous nous assurons de par les propriétés de la norme du produit vectoriel que

sera bien normalisé à l'unité. Dans le cas des coordonnées polaires l'angle étant de toute façon droit, nous ne serions pas obligé d'indiquer cette division, mais nous avons fait ce choix par souci d'homogénéité avec les développements précédents.

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune de ces coordonnées:

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation

exprimée en coordonnées polaires:

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées polaires, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

où le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire). L'expression de la vitesse en coordonnées polaires est très importante en astronomie puisqu'elle permet de calculer assez facilement l'énergie cinétique:

où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième l'accélération de Coriolis et le quatrième l'accélération tangentielle.

OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS

Définition: Définir un champ scalaire, vectoriel ou tensoriel, dans un volume V, c'est définir une application qui, à tout point

de ce volume V, associe respectivement une grandeur scalaire, vectorielle ou tensorielle.

Ainsi, l'application f qui, à tout point

de V, de coordonnées spatiales x, y, z associe la valeur scalaire

est un champ scalaire dans V.

En chaque point d'un volume traversé par un fluide en mouvement, le vecteur qui coïncide à chaque instant avec la vitesse de la particule changeante qui passe en ce point à ce même instant définit un champ vectoriel 3D, éventuellement variable dans le temps. Les champs ainsi définis constituent un outil mathématique de base dans l'ensemble de la physique.

Remarque: Lorsque nous représentons graphiquement un champ scalaire, l'ensemble des points continus de valeur égale constitue ce que l'on appelle des "isolignes" ou plus couramment "courbes de niveau".

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre que nous allons présenter ici. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles d'ordre 2.

Nous les rencontrerons en particulier dans les chapitres traitant de la mécanique des fluides, de l'électromagnétisme ainsi qu'en physique quantique ondulatoire où ils permettent d'exprimer facilement certaines propriétés.

GRADIENTS D'UN CHAMP SCALAIRE

Le gradient est un opérateur qui s'applique à un champ de scalaires et le transforme en un champ de vecteurs. Intuitivement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.

Soit un champ scalaire tridimensionnel

, où x et y et z sont les coordonnées cartésiennes d'un point M de l'espace. Lorsque M se déplace dans l'espace selon le vecteur

de composantes dx, dy et dz, le champ scalaire f varie de df selon la différentielle totale:

A partir de cette relation, nous pouvons définir "l'opérateur gradient" d'un champ scalaire tel que:

est un terme vectoriel appelé le "gradient du champ scalaire f". Pour condenser l'écriture, nous utilisons parfois le symbole

nommé le "nabla du champ scalaire f".

Le vecteur obtenu par le calcul du gradient a les quatre propriétés suivantes:

P1. Ses composantes représentent la variation (pente) de la fonction f selon les différentes directions de l'espace.

P3. Sa direction est selon la variation maximale de f en fonction de la distance.

et donc que finalement l'opérateur "gradient en coordonnées cartésiennes" est donné par:

Finalement nous voyons que le gradient d'un champ scalaire

est le champ vectoriel dont les composantes en chaque point sont les trois dérivées du champ scalaire f par rapport aux trois coordonnées spatiales, notées ici x, y, z.

La variation de f pour un déplacement

est donc le produit scalaire de

par le gradient du champ f. Or, un déplacement infinitésimal

effectué le long d'une isoligne (décrivant une isosurface), du champ scalaire tridimensionnel f(x, y, z) n'engendre aucune variation df de f. Le produit scalaire évoqué est donc nul dans ce cas, ce qui implique que

sont perpendiculaires.

En considérant cette fois un déplacement perpendiculaire aux isolignes, nous montrons facilement que le vecteur gradient de f est dirigé depuis les faibles valeurs de f vers les fortes valeurs de f. Sa norme étant d'autant plus grand que f varie rapidement au voisinage du point considéré.

Par sa direction, son sens et sa norme, le vecteur gradient d'un champ en un point comporte donc des indications sur la manière dont varie le champ autour de ce point.

Remarque: Une des conditions nécessaire et suffisante pour qu'un champ de vecteurs soit le gradient d'un champ scalaire f est que ce champ vectoriel soit irrotationnel (voir plus loin l'opérateur rotationnel d'un champ vectoriel).

Après avoir défini le gradient en coordonnées cartésiennes x, y, z nous devons nous intéresser à l'expression de cet opérateur dans d'autres systèmes de coordonnées. Il est fréquent en physique d'avoir à utiliser les coordonnées cylindriques, polaires et sphériques pour simplifier l'étude formelle de systèmes physiques. Ainsi, si nous faisons référence à notre étude des systèmes de coordonnées, nous avons (rappel) d'abord en coordonnées polaires:

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées polaires la définition suivante:

Si nous exprimons la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de df nous obtenons les relations suivantes:

Occupons-nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées cylindriques. Rappelons que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les coordonnées cylindriques:

Donc nous savons déjà que l'expression du gradient en coordonnées cylindriques sera identique à celle en coordonnées polaires à l'exception de l'ajout de la composante verticale z indépendante des autres coordonnées. Ainsi, nous obtenons l'opérateur "gradient en coordonnées cylindriques":

Occupons-nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées sphériques. Rappelons que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les coordonnées sphériques:

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées sphériques la définition suivante:

Si nous exprimons la différentielle totale de df nous obtenons les relations suivantes:

Ce qui nous permet d'obtenir la relation (nous utilisons maintenant la notation qui use de l'opérateur "nabla"):

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions de l'opérateur gradient dans les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

Voyons un exemple avec une fonction fictive dans Maple 4.00b (à défaut d'avoir trouvé la manière de faire pour les autres opérateurs vectoriels que nous verrons par la suite) en montrant d'abord la fonction seule et ensuite avec le gradient:

> with(linalg):
> with(plots):
> plot3d(sin(x)*sin(y),x=-3..3,y=-3..3,axes=framed);

>contourplot3d(sin(x)*sin(y),x=-3..3,y=-3..3,filled=true,axes=framed,
coloring=[red,blue],style=patch);

Figure: 12.12 - Deuxième étape: Pour compliquer nous affichons en même temps les isoclines

>Pa:=contourplot(sin(x)*sin(y),x=-3..3,y=-3..3,contours=10,coloring=[red,blue],filled=true):
>Pb:=fieldplot(grad(sin(x)*sin(y),vector([x,y])),x=-3..3,y=-3..3,arrows=THICK):
>display(Pa,Pb);

Figure: 12.13 - Troisième étape: Projection de la fonction dans le plan avec le gradient et les isoclines

>campo:=fieldplot3d([diff(sin(x)*sin(y),x),diff(sin(x)*sin(y),y),0],x=-3..3,y=-3..3,
z=-3..3,axes=framed,arrows=THICK):superf:=plot3d(sin(x)*sin(y),x=-3..3,y=-3..3):
> display({campo,superf});

GRADIENTS D'UN CHAMP DE VECTEURS

Le gradient d'un champ vectoriel

est le champ dit "champ tensoriel" défini par les 9 relations suivantes en coordonnées cartésiennes:

Nous utiliserons un tel gradient lors de notre étude dans le chapitre de Génie Météo de l'effet Papillon dont l'origine vient de la détermination des équations de Navier-Stokes en Mécanique des Milieux Continus ainsi que dans le chapitre de Méthodes Numériques lors de notre étude de la méthode d'optimisation de Gauss-Newton.

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions du gradient d'un champ vectoriel dans les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

DIVERGENCES D'UN CHAMP DE VECTEURS

La divergence s'applique à un champ de vecteurs et le transforme en un champ de scalaires. Intuitivement, et dans les cas le plus courant, la divergence d'un champ vectoriel exprime sa tendance à provenir ou converger vers certains points.

Remarque: Souvent les étudiants confondent l'opérateur gradient et divergence. Pour marquer la différence il faut se rappeler que la divergence d'un vecteur est un nombre alors que le gradient est un vecteur! Le gradient indique la direction dans laquelle la variation est la plus importante et son amplitude. La divergence dit simplement ce qui sort d'un point donné.

Cependant, il faut distinguer deux contributions à la divergence que nous définirons rigoureusement un peu plus loin: l'une due aux variations de direction appelée la "divergence directionnelle" et l'autre due aux variations de modules (norme) appelée la "divergence modulaire". Ainsi, pour des champs simples, nous pouvons imaginer des cas où la divergence ne serait que modulaire et d'autres, où elle ne serait que directionnelle. Nous pourrions aussi construire un champ où les deux types de divergence coexistent, mais d'effets contraires (convergence modulaire et divergence directionnelle par exemple).

Prenons par exemple un vecteur

de l'espace et faisons lui traverser une surface S quelconque. Les physiciens assimilent alors la quantité

qui se dirige suivant la normale à la surface au flux de

à travers S .

Pour se convaincre de cette analogie nous pouvons imaginer un fluide coulant sur une surface plane, le flux à travers la surface est évidemment nul, par contre si le fluide coule verticalement à travers une surface horizontale le flux sera maximal. Il est alors immédiat de vouloir représenter le flux par le produit scalaire de

avec la normale

de la surface S.

Remarque:Il faut toujours prendre garde à la direction de

car en un point quelconque d'une surface on a en général deux normales.

Si la surface est plane la normale est la même partout mais si elle change suivant les endroits, nous nous intéresserons alors à un petit élément de surface dS.

Supposons maintenant que notre vecteur

déplace un point

de l'espace en

à travers un parallélépipède rectangle de côtés dx, dy et dz:

Nous pouvons décomposer le mouvement (flux) à travers chaque face du parallélépipède (décompositions dans la base orthonormée). Par exemple, si nous nous intéressons à l'élément décomposé du flux à travers la face (dy, dz) décrite par les sommets BCFG nous avons bien évidemment

Il nous faut encore déterminer comment représenter le flux

pour cette direction. Comme le flux est une fonction, c'est-à-dire que chacune de ces composantes peut être dépendante des trois composantes de l'espace (si nous prenons le cas particulier d'une fonction dans

) nous avons:

Remarque: Ceux qui ne sont pas convaincus peuvent aller lire le début du chapitre d'Électrodynamique où nous prenons le champ électrique comme (excellent) exemple.

Par rapport à la première expression de

, le terme dxdydz est donc un élément de volume et non plus de surface. Nous avons aussi un résultat intéressant:

dont l'écriture plus explicite et plus rigoureuse devrait être (pour bien mettre en évidence que la surface fermée considérée est la frontière du volume fermé étudié):

Remarque: Voir les exemples pratiques dans le chapitre d'Électrodynamique où par exemple pour le champ électrique la divergence est nulle pour une charge sphérique libre car les vecteurs pointent dans des directions différentes (divergence directionnelle) et les normes décroissent comme l'inverse du carré du rayon (convergence modulaire). Les deux contributions sont en oppositions et donc la divergence totale est nulle.

Le développement ci-dessus est appelé "théorème d'Ostrogradsky" ou "théorème de Gauss-Ostrogradsky" ou encore "théorème de la divergence" et définit en fait la divergence totale de

dans un volume comme le flux de

à travers les parois du volume fermé (surface fermée Gauss), ce qu'exprime bien le nom divergence.

Nous définissons l'opérateur "divergence" par la relation suivante (la notation tensorielle a été utilisée afin d'abréger l'écriture) dans un espace à n dimensions:

Si la divergence d'un champ de vecteurs est identiquement nulle en tous les points d'un repère Eulérien, l'intégrale triple du flux de ce champ à travers un volume V sera:

Il en résulte que le flux de ce champ de vecteurs à travers les bords du volume est nul, c'est-à-dire que le flux entrant compense le flux sortant. Nous disons qu'un tel champ de vecteurs de divergence nulle présente un flux conservatif.

Pour déterminer l'expression de la divergence en coordonnées polaires rappelons les relations démontrées plus haut:

Connaissant l'expression de

en fonction de

, à partir de l'expression ci-dessus nous en déduisons:

En additionnant les deux termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions

en fonction des dérivées partielles des fonctions

à l'aide des relations:

Pour déterminer l'expression de l'opérateur divergence en coordonnées cylindriques rappelons les relations:

Connaissant l'expression de

en fonction de

, à partir de l'expression ci-dessus nous en déduisons:

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions

en fonction des dérivées partielles des fonctions

à l'aide des relations:

L'expression de l'opérateur "divergence en coordonnées cylindriques" est alors:

Pour obtenir l'expression de la divergence en coordonnées sphériques, rappelons les relations:

Connaissant l'expression de

en fonction de

, à partir de l'expression ci-dessus nous en déduisons:

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions

en fonction des dérivées partielles des fonctions

à l'aide des relations:

nous obtenons (nous pouvons développer les détails intermédiaires sur demande):

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions de la divergence d'un champ vectoriel dans les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

ROTATIONNELS D'UN CHAMP DE VECTEURS

Le rotationnel d'un champ de vecteurs peut être vu (c'est une simplification!) comme le champ de vecteurs dont les lignes de champs sont perpendiculaires à celles dont nous avons calculé le rotationnel comme le montre l'exemple particulier ci-dessous:

Le rotationnel transforme ainsi un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Plus difficile à se représenter précisément que le gradient et la divergence, il exprime intuitivement la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point (la manière dont il est tordu).

E1. Dans une tornade, le vent tourne autour de l'oeil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'oeil.

E2. Le rotationnel du champ des vitesses d'un disque qui tourne à vitesse constante est constant, dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct.

Un champ de vecteurs est dit "irrotationnel" lorsque le rotationnel de ce champ est identiquement nul en tous les points de l'espace. Dans le cas contraire, nous disons qu'il est "tourbillonnaire".

Dans le cas usuel où dx représente un élément de longueur, l'unité du rotationnel est alors l'unité du champ considéré divisée par une unité de longueur. Par exemple, en mécanique des fluides: l'unité du rotationnel d'un champ de vitesse est le radian par unité de temps, comme une vitesse angulaire!

La divergence donne certaines indications sur le comportement d'un vecteur ou d'un champ de vecteurs: comment il se dirige par rapport à la normale et comment il traverse les surfaces, mais c'est insuffisant. Prenons un champ qui aurait la forme d'un cylindre et un autre champ qui aurait la forme d'une hélice de même diamètre que le cylindre. S'ils se dirigent dans la même direction leur divergence sera identique alors que les mouvements sont bien différents. Il faut donc que nous déterminions la manière dont le champ est courbé quand il traverse une surface: ceci va être déterminé par la circulation (comme le travail d'une force par exemple) du vecteur le long d'une courbe fermée, obtenue avec la somme des produits scalaires

sur le contour fermé (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

en fait ça revient au même de regarder comment est tordu le vecteur par rapport à la normale à la surface ce qui nous amène à définir le "rotationnel" ou "vecteur tourbillon" en écrivant:

qui établit donc une relation entre l'intégrale curviligne et l'intégrale de surface (on transforme donc une intégrale curviligne sur un parcours fermé en une intégrale de surface délimitée par ledit parcours).

En d'autres termes, le rotationnel se calcule en utilisant le fait que la circulation autour d'un circuit élémentaire fermé d'un champ de vecteurs est égal au flux de son rotationnel à travers la surface élémentaire immédiate engendrée par ce circuit.

Ceci est le "théorème de Stokes" (qui est plus rigoureusement démontrable avec un formalisme mathématique assez lourd) qui est donc en fait une définition de l'opérateur rotationnel dont nous allons chercher l'expression mathématique explicite:

Soit

un champ vectoriel défini dans un espace donné. Nous voulons donc calculer la circulation du

autour d'un contour fermé C:

Nous choisissons comme contour C le contour d'un rectangle infinitésimal de côté

plongé dans

et parallèle au plan xOy (remarquez que nous parcourons le contour de façon a toujours avoir la surface à notre gauche):

et constitue le non moins fameux "théorème de Green" ou appelé encore "théorème de Green-Riemann" que nous retrouverons dans le chapitre d'Analyse Complexe.

Ce qui permet de mieux comprendre la notation, ou la définition non intuitive du rotationnel dans beaucoup d'ouvrages et qui est:

Cherchons maintenant à déterminer l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques (le rotationnel en coordonnées polaires n'étant pas définissable).

En réutilisant la même technique que pour le rotationnel en coordonnées cartésiennes, nous écrivons la circulation de

le long d'un contour correspondant à un petit morceau de cylindre orthogonal à (Oz): .

Nous avons alors en fixant z (attention le

n'a rien à voir avec le r du rayon du cylindre... la notation peut être confuse j'en suis désolé!):

Nous ne pouvons pas à cette étape directement comparer avec le rotationnel car il nous est difficile de faire apparaître la différentielle de la surface si nous regardons les différentielles qui apparaissent actuellement dans la circulation. Le mieux est alors de tout diviser par

Maintenant nous déterminons le rotationnel en fixant

. Le problème revient à avoir donc un rectangle dans l'espace que nous parcourons pour déterminer la circulation. Or, nous savons déjà ce qu'est le résultat du rotationnel pour un rectangle en coordonnées cartésiennes:

à la différence que dans les coordonnées cylindriques il faut substituer z par

, x par z, y par r,

par

et finalement

par

(ce choix s'impose toujours simplement parce que la circulation se fait de telle manière que la surface soit toujours à notre gauche) . Ce qui nous donne:

Il ne nous reste plus qu'à trouver la composante du rotationnel en r (soit quand r est fixé). Le calcul est alors plus délicat puisqu'il s'agit de parcourir (positivement toujours!) une surface courbée par la variation de l'angle

Et finalement le rotationnel en coordonnées cylindriques dans sa globalité est donné par:

Le lecteur pourrait aisément vérifier que ce résultat est simplement le gradient en coordonnées cylindriques appliqué au champ vectoriel

Pour s'en persuader, montrons maintenant directement l'expression du rotationnel en coordonnées sphériques en montrant ceci via le produit vectoriel du gradient en coordonnées sphériques avec le champ vectoriel

D'abord rappelons que nous avons obtenu pour le gradient en coordonnées sphériques:

ce que nous pouvons aussi écrire en décomposant à l'aide des vecteurs de base:

A l'aide des dérivées partielles que nous avions démontrées lors de notre introduction plus haut du système de coordonnées sphériques il vient:

Les produits vectoriels avec les vecteurs colinéaires s'annulent. Il reste donc:

Comme le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne le vecteur orthogonal correspondant (positivement ou négativement) nous avons alors:

LAPLACIENS D'UN CHAMP SCALAIRE

Le laplacien d'un champ scalaire

est le champ scalaire qui mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. En d'autres termes, la dérivée partielle deuxième mesure les variations de la pente au point étudié dans un entourage immédiat et selon une dimension à la fois. Si la dérivée partielle deuxième est nulle selon x, alors la pente est constante dans un entourage immédiat et selon cette dimension, cela implique que la valeur de la fonction au point étudié est la moyenne de son entourage (selon une dimension).

Le lecteur pourra par ailleurs retrouver des applications pratiques de cet opérateur dans les chapitres d'Analyse Complexe, de Chimie Quantique, d'Astronomie, d'Électrodynamique, de Génie Marin & Météo, de Mécanique Ondulatoire, de Physique Quantique Des Champs et de Physique Quantique Ondulatoire.

Cet opérateur e définit à partir de la divergence du gradient et nous le notons (écriture tensorielle):

Le laplacien est nul, ou assez petit, lorsque la fonction varie. Les fonctions vérifiant l'équation de Laplace:

Donc l'opérateur "laplacien en coordonnées cartésiennes" est de par cette définition, donné par:

Le laplacien d'un champ scalaire et dans d'autres systèmes de coordonnées est un peu plus long à développer. Il existe plusieurs méthodes et parmi celles existantes j'ai choisi celles dont le type de raisonnement et les outils utilisés semblaient pertinents. Il est intéressant d'aborder différentes stratégies mais bien sûr il existe des méthodes plus simples que celle présentée ci-dessous.

Pour déterminer cette expression en coordonnées polaires, nous allons utiliser la différentielle totale et la règle de chaîne en coordonnées polaires:

et compte tenu que les dérivées partielles secondes sont continues, alors les dérivées croisées sont égales selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

d'où l'expression du laplacien en coordonnées polaires en sommant les deux dernières expressions:

Donc l'opérateur "laplacien en coordonnées polaires" est finalement donné par:

Pour trouver l'expression du laplacien en coordonnées sphériques, nous allons utiliser l'intuition du physicien et les notions de similitude.

Nous allons tout d'abord nous aider de la figure ci-dessus pour savoir de quoi l'on parle:

Rappelons que les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques sont données par les relations:

L'objectif est de jouer avec cette correspondance avec d'abord le laplacien en coordonnées cylindriques où l'on a soustrait des deux côtés de l'égalité le terme

. Ainsi:

Le deuxième terme de l'égalité de cette dernière relation est l'équivalent sphérique du terme #1 du laplacien en coordonnées cylindriques:

Nous avons donc ci-dessus l'équivalent sphérique du terme #2 du laplacien en coordonnées cylindriques:

Le troisième et dernier terme est très simple à déterminer. Nous remplaçons

par

afin d'obtenir:

En rassemblant tous les termes obtenus précédemment, nous obtenons enfin la forme étendue du laplacien en coordonnées sphériques si utilisé en physique:

Si nous condensons encore un peu, nous obtenons l'expression finale de l'opérateur "laplacien en coordonnées sphériques" appelé aussi "laplacien sphérique":

LAPLACIENS D'UN CHAMP VECTORIEL

Comme pour le laplacien d'un champ scalaire, le laplacien d'un champ vectoriel n'est qu'un système de notation très commode pour condenser l'écriture des composantes d'un champ.

Le lecteur pourra par ailleurs retrouver des applications pratiques de cet opérateur dans les chapitres d'Électrocinétique, d'Électrodynamique et de Mécanique Des Milieux Continus.

Nous allons par ailleurs démontrer que dans le cas particulier des coordonnées cartésiennes, le laplacien d'un champ vectoriel a pour composantes le laplacien scalaire de chacune des composantes.

et donc le laplacien d'un champ vectoriel en coordonnées cartésiennes, est bien le laplacien laplacien scalaire de chacune des composantes:

Le laplacien d'un champ de vecteurs, appelé fréquemment "laplacien vectoriel", en d'autres systèmes de coordonnées est assez simple à obtenir à partir de la connaissance du laplacien d'un champ scalaire dans ces mêmes coordonnées.

Pour la simplification (faute de place) concentrons-nous d'abord sur la première ligne:

Ce qui donne donc pour le laplacien vectoriel en coordonnées cylindriques tel que nous pouvons le trouver dans les tables ou formulaires:

Pour finir en beauté et dans la joie et la bonne humeur faisons les calculs joyeux et détaillés du laplacien vectoriel en coordonnées sphériques (c'est long mais c'est juste pour s'assurer que l'on retrouve ce qu'il y a dans les tables et formulaires).

voilà pour la première ligne... Attaquons-nous maintenant à la deuxième ligne toujours dans la joie et la bonne humeur...:

Ce qui donne donc pour le laplacien vectoriel en coordonnées sphérique tel que nous pouvons le trouver dans les tables ou formulaires:

IDENTITÉS

Les opérateurs différentiels scalaires et vectoriels ont des identités remarquables très simples que nous retrouverons très souvent en physique.

Voyons d'abord les relations qui n'ont aucun sens (au cas où vous tomberiez dessus sans faire exprès...):

Le rotationnel d'une divergence n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que la divergence est un scalaire.

Le rotationnel d'un laplacien scalaire n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que par construction, le laplacien est un scalaire.

Voyons maintenant quelques propriétés remarquables sans démonstrations (cependant si vous en avez besoin car vous n'y arrivez pas seul, n'hésitez pas à nous contacter, nous compléterons):

I1. Par construction le laplacien scalaire est la divergence du gradient du champ:

Donc si le rotationnel d'une variable vectorielle est nul, la variable peut être exprimée comme le gradient d'un potentiel scalaire! C'est une propriété très importante en électromagnétisme et en mécanique des fluides!

I4. Le rotationnel du rotationnel d'un champ vectoriel est égal au gradient de la divergence de ce champ moins son laplacien vectoriel:

I5. La multiplication de l'opérateur nabla par le produit scalaire de deux vecteurs est égale à... (voir ci-dessous), qui donne une relation très utile en mécanique des fluides:

I6. Le produit scalaire du rotationnel d'un vecteur est la différence des opérateurs commutés tel que:

Nous réutiliserons cette dernière relation lors de notre étude en électromagnétisme de la pression de radiation (entre autres).

RÉSUMÉ

Dans le cadre de ce site Internet, nous faisons usage des différentes notations présentées et résumées dans le tableau ci-dessous. Leur usage permet dans le cadre de différentes théories d'éviter des confusions avec d'autres être mathématiques. C'est embêtant certes mais il faudra faire avec.

ÊTRE MATHEMATIQUE	NOTATIONS
Gradient d'un champ scalaire
Gradient d'un champ vectoriel
Divergence d'un champ de vecteurs	div()
Rotationnel d'un champ de vecteurs	rot()
Laplacien d'un champ scalaire
Laplacien d'un champ vectoriel

Tableau: 12.1 - Résumé des opérateurs différentiels vectoriels

Et pour les pragmatiques voici un résumé des explications des opérateurs les plus importants en physique:

- Le gradient signifie "la pente" (exemple: le champ électrique est la pente du potentiel électrostatique).

Les différentes expressions de l'opérateur gradient (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques sont les suivantes:

- La divergence caractérise un flux de quelque chose qui vient de quelque part, d'une source, ou qui y va. Si la divergence n'est pas nulle, c'est qu'il y a concentration autour d'un point, donc la densité augmente (ou diminue, c'est selon le signe). Ça peut être la densité de charges électriques ou bien la masse volumique. D'où le fameux théorème qui dit que le flux (ce qui passe dans une surface) est égal à l'intégrale de la divergence (ce qui reste).

Les différentes expressions de l'opérateur divergence (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques sont les suivantes:

- Le rotationnel caractérise l'existence d'un tourbillon (très utilisé en mécanique des fluides). S'il y a un tourbillon, on peut suivre une ligne de courant sur une courbe fermée sans qu'elle change de sens: la circulation ne sera pas nulle (elle vaut l'intégrale du rotationnel).

Les différentes expressions du rotationnel en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques sont les suivantes:

- Le laplacien d'un champ scalaire est le champ scalaire qui mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. En d'autres termes, la dérivée partielle deuxième mesure les variations de la pente au point étudiée dans un entourage immédiat et selon une dimension à la fois. Si la dérivée partielle deuxième est nulle selon une direction, alors la pente est constante dans un entourage immédiat et selon cette dimension, cela implique que la valeur de la fonction au point étudié est la moyenne de son entourage (selon une dimension).

Les différentes expressions du laplacien (mises sous la forme de l'opérateur nabla) en coordonnées cartésiennes, polaires et sphériques sont les suivantes: