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ENSEMBLISTE | CALCUL
DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
SUITES
ET SÉRIES | CALCUL
VECTORIEL | ALGÈBRE
LINÉAIRE | CALCUL
TENSORIEL
CALCUL
SPINORIEL
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Le
calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace
qui s'adapte parfaitement à l'étude des
propriétés
mécaniques et physiques de la matière dans l'espace
euclidien à trois
dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique,
il apparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent
plus être
facilement représentées par de simples vecteurs-colonnes
d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique
des milieux continus, fluides ou solides, en électromagnétisme,
relativité générale,
etc.
Ainsi, dès la fin du 19ème siècle, l'analyse
des forces qui s'exercent à l'intérieur d'un milieu
continu a conduit à mettre
en évidence des grandeurs physiques caractérisées
par neuf nombres représentant les forces de pression ou
de tension internes (cf.
chapitre de Mécanique Des Milieux Continus). La représentation
de ces grandeurs nécessita l'introduction d'un nouvel être
mathématique
qui fut appelé "tenseur", par référence à son
origine physique. Par la suite, à partir de 1900, ce furent
R. Ricci et T. Levi-Civita qui développèrent
le calcul tensoriel; puis l'étude
des tenseurs permit un approfondissement de la théorie des
espaces vectoriels et contribua au développement de la géométrie
différentielle
(voir chapitre du même nom).
Le calcul tensoriel, appelé aussi parfois "géométrie
différentielle absolue" a également
pour avantage de se libérer de tous les systèmes
de coordonnées et les résultats des développements mathématiques
sont ainsi invariants (énorme allégement des calculs).
Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel référentiel
il convient de travailler et cela, est très intéressant
en relativité générale.
Nous conseillons par ailleurs vivement au lecteur de bien maîtriser
les bases du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire
comme elles ont été présentées auparavant.
Au besoin, nous avons choisi lors de la rédaction de ce
chapitre de revenir sur certains points vus dans le chapitre de
Calcul Vectoriel (composantes covariantes, contravariantes,...).
Par ailleurs, si le lecteur a déjà parcouru l'étude
des contraintes dans les solides (cf. chapitre
de Mécanique
Des Milieux Continus) ou du tenseur de Faraday (cf.
chapitre d'Électrodynamique) ou du tenseur d'énergie-impulsion
(cf. chapitre de Relativité Générale)
ceci constituera un avantage pratique certain avant de parcourir
ce qui va suivre. Par ailleurs, la rédaction des objets susmentionnés
a été faite de telle manière que la notion
de tenseur y soit introduite si possible (...) intuitivement.
Nous ne ferons que très peu d'exemples pratiques dans cette
section. Effectivement les exemples concrets, vous l'aurez compris,
viendront
lorsque nous étudierons la mécanique des milieux
continus, la relativité générale,
la physique quantique des champs, l'électrodynamique, etc.
Un conseil peut-être: pensez matriciel, écrivez
tensoriel! (vous comprendrez mieux ce petit adage une fois après
avoir parcouru tout ce chapitre).
TENSEUR
Définition (simpliste): Les "tenseurs" sont
des objets mathématiques généralisant les
notions de vecteurs et de matrices. Ils ont été introduits,
en physique, pour représenter l'état de contrainte
et de déformation d'un volume soumis à des forces,
d'où leur nom (tensions).
La définition rigoureuse nécessite (je pense personnellement)
d'avoir d'abord lu le présent chapitre dans son intégralité.
Mais sachez qu'au fait un tenseur est grosso modo comme un déterminant...
(cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).
Eh oui! C'est simplement une application multilinéaire sur
un espace de dimension donnée (correspondant au nombre de
colonnes de la matrice/tenseurs) qui donne finalement un scalaire
(d'un corps donné).
Par exemple, nous avons démontré dans le chapitre
de Mécanique Des Milieux Continus que les forces normales
et tangentielles dans un fluide étaient données par
la relation:
(14.1)
ce qui se notait sous la forme traditionnelle condensée
suivante (où nous
ne distinguons plus ce qui est tangentiel de ce qui est normal
il y a donc une perte de clarté):
(14.2)
Nous faisons ainsi apparaître une grandeur mathématique ayant
9 composantes, alors qu'un vecteur dans le même espace en
possède 3.
Cette notion est aussi beaucoup utilisée dans le chapitre
de Relativité Générale où nous avons
démontré que le tenseur d'énergie-impulsion
dans un cas particulièrement simple est donné par:
(14.3)
et satisfait à la relation non moins importante
de conservation:
(14.4)
Ou sinon, toujours dans le chapitre de Relativité Générale,
nous avons démontré que le tenseur de la métrique
de Schwarzschild est:
(14.5)
et donne donc l'équation de la métrique
(cf. chapitre de Calcul Différentiel):
(14.6)
Signalons également que dans le chapitre de
Relativité Restreinte
nous avons démontré que le tenseur de transformation
de Lorentz est donné par:
(14.7)
qui sous forme condensée donne la transformation
de composantes suivantes:
(14.8)
En ce qui concerne la transformation du champ électromagnétique
nous avons également démontré que le tenseur
de Faraday est donné par:
(14.9)
et permet donc de passer d'un référentiel à un
autre à l'aide de la relation:
(14.10)
Mais ce sont des tenseurs très simples qui
peuvent être représentés sous formes de matrices.
Il faut également savoir que ce n'est pas parce qu'une lecture
d'une variable avec des indices semble indiquer que nous avons
affaire à un
tenseur que cela en est forcément un. Par exemple, la relation
fameuse (très utilisée dans le chapitre de Relativité Générale):
(14.11)
pourrait faire croire que le premier membre tout à gauche
est un tenseur mais au fait il n'est est rien... ce n'est qu'un
symbole... d'où son nom: symbole de Christoffel (et non
pas: tenseur de Christoffel).
L'intérêt des tenseurs en physique est que leurs
caractéristiques sont indépendantes des coordonnées
choisies. Ainsi, une relation entre tenseurs dans une base sera
vraie quelle que soit la base utilisée par la suite. C'est
une caractéristique fondamentale pour la Relativité Générale!
NOTATION INDICIELLE
Nous utilisons par la suite des symboles mathématiques:
coordonnées,
composantes de vecteurs et tenseurs, éléments de
matrice, etc..., dont le nombre, dans chaque catégorie,
est grand ou indéterminé.
Pour distinguer les divers symboles d'une catégorie nous
employons des indices. Par exemple, au lieu des variables traditionnelles x, y, z nous
utiliserons éventuellement les grandeurs (comme
nous l'avons déjà fait en algèbre linéaire).
Cette notation devient indispensable lorsque nous avons des variables
en nombre indéterminé.
Ainsi, si nous avons n variables, nous les noterons: 
Nous utilisons également des indices supérieurs, selon les besoins;
par exemple, .
Afin d'éviter toute confusion avec l'écriture des puissances, la
quantité à la
puissance p sera écrite .
Lorsque le contexte écarte tout risque d'ambiguïté, l'utilisation
des parenthèses n'est cependant pas fondamentalement nécessaire.
En calcul tensoriel il existe une convention de sommation qui
consiste à utiliser le fait que l'indice répété,
ci-dessous l'indice i,
va devenir lui-même l'indication de la sommation. Nous écrivons
alors, avec cette convention:
(14.12)
ce qui permet de condenser relativement bien les écritures.
Ainsi, pour représenter le système linéaire:
(14.13)
nous écrirons (remarquez bien comment s'écrivent
les composantes de la matrice associée!):
(14.14)
en spécifiant que c'est pour .
Nous voyons sur cet exemple, combien la convention de sommation
permet une écriture condensée et donc puissante.
La convention de sommation s'étend à tous les symboles mathématiques
comportant des indices répétés. Ainsi la décomposition d'un vecteur sur
une base s'écrit
pour dès
lors:
(14.15)
En résumé, toute expression qui comporte un indice deux fois répété représente
une somme sur toutes les valeurs possibles de l'indice répété.
Remarque: Nous
nommons, pour des raisons évidentes que nous détaillerons
plus loin,  la "composante
contravariante" du vecteur  .
SOMMATION SUR PLUSIEURS INDICES
La convention de sommation (due à Einstein) s'étend
au cas où figurent, en règle générale, plusieurs
indices répétés en positions supérieure
et inférieure dits "indices muets" dans
un même monôme (souvent les physiciens omettent la règle
de les mettre en position opposées comme ce sera aussi le
cas souvent sur ce site!). Soit par exemple, la quantité ,
celle-ci représente la somme suivante pour i et j prenant
les valeurs de 1 à 2:
(14.16)
Ainsi, nous voyons facilement qu'une expression avec deux indices
de sommation qui prennent respectivement les valeurs comportera termes; s'il
y a trois indices, de sommation etc.
Il faut faire cependant attention aux substitutions avec ce genre
de notation car si nous supposons que nous avons la relation:
avec
(14.17)
alors pour obtenir l'expression de A uniquement en fonction
des variables ,
nous ne pouvons pas écrire:
(14.18)
car cela ne revient pas à la même expression après
développement
puisque les indices muets sont systématiquement sommés
de manières
identiques et rigides (nous laissons au lecteur le soin de faire
ce petit exercice de style). En d'autres termes, un même indice
muet ne peut pas être
répété plus de 2 fois.
SYMBOLE DE KRONECKER
Ce symbole introduit par le mathématicien Kronecker, est
le suivant (souvent utilisé en physique en général
dans de nombreux domaines):
(14.19)
Ce symbole est appelé "symbole de Kronecker".
Il permet avantageusement d'écrire, par exemple, le produit scalaire
de deux vecteurs et ,
de norme unité et orthogonaux entre eux, sous la forme:
(14.20)
Lors d'une sommation portant sur deux indices muets, le symbole
de Kronecker annule tous les termes où les indices ont des valeurs
différentes. Par exemple:
(14.21)
Nous retrouverons ce symbole dans de nombreux exemples de physique
théorique (physique quantique ondulatoire, physique quantique
des champs, relativité générale, mécanique
des fluides, etc.).
Précisons qu'il existe une version généralisée
du symbole de Kronecker:
(14.22)
Nous avons aussi par exemple:
(14.23)
SYMBOLE D'ANTISYMÉTRIE
Un autre symbole fort utile est le "symbole
d'antisymétrie" ou appelé aussi "tenseur
d'antisymétrie" que nous retrouverons en Électrodynamique,
en Relativité Générale et en Physique Quantique
Relativiste.
Dans le cas où i, j, k prennent l'une
des valeurs {1,2,3} le symbole d'antisymétrie aura
les valeurs définies suivantes:
- ,
si deux quelconques des indices ou plus ont une valeur identique.
- ,
si les indices sont dans l'ordre naturel 1, 2, 3 ou sont dans un
ordre qui provient d'un nombre pair de permutations des indices
par rapport à l'ordre
naturel des indices.
- ,
si les indices sont dans un ordre qui provient d'un nombre impair
de permutations par rapport à l'ordre initial des indices.
Remarque: Pour se rappeler si nous avons
une permutation paire (respectivement impaire) d'indices, il suffit
(dans le cas particulier
de 3 indices)
d'observer si nous retrouvons la séquence dans la suite
123123 (respectivement 321321). Enfin, rappelons selon ce qui a été vu
dans le chapitre de Probabilité, avec n indices
il y a aura donc n!
permutations possibles.
En utilisant ce symbole, un déterminant d'ordre deux (cf.
chapitre d'Algèbre
Linéaire) s'écrit alors sous la forme avantageuse:
(14.24)
et le produit vectoriel (et ça c'est très pratique
en relativité générale et en électrodynamique):
(14.25)
où bien sûr, j et k sont sommés
et où l'indice muet i est le numéro de la ligne du vecteur
résultant (en cas de demande nous ferons les développements). En
particulier, le rotationnel d'un champ vectoriel est alors:
(14.26)
Comme exemple, calculons en notation indicielle le double produit
vectoriel :
(14.27)
où à nouveau, l'indice muet i est le numéro de
la ligne du vecteur résultant. Voyons la démonstration détaillée
de ces égalités (la démonstration des égalités ci-dessous n'a pas
besoin de respecter l'ordre des égalités de la relation précédente).
Démonstration:
Nous avons indirectement démontré dans le chapitre
de Calcul Vectoriel l'identité suivante:
(14.28)
Remarque: Cette dernière relation est parfois appelée
la "règle de Grassmann", ou plus couramment "double
produit vectoriel" et il est important de noter que sans les
parenthèses le résultat n'est pas unique.
Pour démontrer la relation:
(14.29)
au changement d'indices près montrons d'abord que:
(14.30)
ce qui nous donne:
(14.31)
Ne faisons le développement que pour la première
ligne (c'est déjà suffisamment
long...):
(14.32)
C'est ce qu'il fallait montrer.
Maintenant montrons que pour la l-ième ligne nous avons bien:
(14.33)
en s'aidant d'un résultat obtenu dans le chapitre de Calcul Vectoriel
(produit vectoriel de trois vecteurs différents) nous avons le
premier terme (la première ligne du vecteur résultant du calcul):
(14.34)
Il est alors immédiat que (pour i valant 1):
(14.35)
Montrons maintenant que pour i valant 1 nous avons aussi:
(14.36)
Effectivement:
(14.37)
C.Q.F.D.
Comme deuxième exemple, montrons comment la divergence
d'un rotationnel s'annule:
(14.38)
Comme de par le théorème de Schwarz (cf.
chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) est
symétrique (donc intervertir les indices n'a aucun impact)
dans les indices et que est
antisymétrique (par définition) dans les mêmes
indices, la somme sur i et j doit nécessairement
s'annuler. Par exemple, la contribution à la somme du terme est
l'opposée de celle de .
Remarques:
R1. Le symbole d'antisymétrie est très souvent appelé "tenseur
de Levi-Civita" dans la littérature. Au fait,
bien que ce soit bien un tenseur dans la forme de ses notations,
il
s'agit plus d'un outil mathématique qu'un "être" mathématique
d'où la préférence de certains physiciens de le
nommer "symbole" plutôt
que "tenseur". Mais c'est à vous de voir...
R2. Par abus d'écriture nous n'écrivons pas le vecteur
de base mais en toute rigueur, et pour éviter de l'oublier,
rappelons qu'afin d'équilibrer les membres de l'égalité et
dans le souci de préciser que les vecteurs sont exprimés
dans la même base, nous devrions écrire:
(14.39)
Voyons maintenant des applications concrètes de cette notation
indicielle en reprenant l'exemple du changement de base que nous
avons déjà vu en calcul vectoriel:
Soient deux bases et d'un
espace vectoriel euclidien .
Chaque vecteur d'une base peut être décomposé sur
l'autre base sous la forme d'une application linéaire (matrice
de changement de base - voir chapitre d'Algèbre Linéaire):
et
(14.40)
où nous utilisons bien évidemment la convention de sommation
pour .
Rappelons que la matrice de changement de base (ou "matrice
transformation") doit avoir autant de colonnes que
le vecteur de base a de lignes (dimensions). Petit exemple à trois
dimensions:
(14.41)
et il est évident qu'il est bien plus sympathique d'écrire cela
sous la forme:
(14.42)
où donc sur A, nous avons le k qui représente
la colonne de la matrice et i la ligne.
Un vecteur quelconque de peut être
décomposé (nous l'avons déjà vu dans
le chapitre de Calcul Vectoriel) sur chaque base de sous
la forme:
(14.43)
Si nous cherchons les relations entre les composantes et il
suffit de reprendre les relations de changement de base démontrées
dans le chapitre d'Algèbre Linéaire et nous avons alors:
(14.44)
De suite par l'unicité de la décomposition d'un
vecteur sur une base, nous pouvons égaler les coefficients
des vecteurs de base et nous obtenons (il faut prendre garde à réarranger à nouveau
l'ordre des termes car la multiplication matricielle n'est, en
règle générale, pas commutative comme nous le savons déjà):
et
(14.45)
Il vient également la relation triviale (cf.
chapitre d'Algèbre
Linéaire):
(14.46)
Effectivement faisons un exemple explicite simple avec une matrice
de dimension 2:
(14.47)
Une autre manière élégante de montrer en
toute généralité la relation
antéprécédente est de se rappeler du résultat
démontré dans le chapitre d'Algèbre Linéaire:
(14.48)
et en utilisant:
(14.49)
Il vient alors:
(14.50)
Les vecteurs de base étant linéairement indépendants, cette dernière
relation implique que lorsque :
(14.51)
et lorsque :
(14.52)
Ainsi il vient:
(14.53)
Quant au produit scalaire, les résultats obtenus avec la notation
indicielle sont forts intéressants et extrêmement puissants. Nous
avons déjà défini le produit scalaire dans le chapitre
de Calcul Vectoriel mais voyons comment nous manipulons ce dernier
avec la
notation indicielle:
Considérons un espace vectoriel euclidien rapporté à une
base quelconque .
Les vecteurs s'écrivent sur cette base (nous le savons déjà):
,
(14.54)
Le produit scalaire relativement à ses propriétés et à la notation
indicielle s'écrit alors:
(14.55)
Relation fondamentale pour la physique de pointe (relativité générale
et théorie des cordes) qui fait apparaître le "tenseur
métrique covariant":
(14.56)
et pour satisfaire la propriété de commutativité du produit scalaire
(cf. chapitre de Calcul Vectoriel)
nous devons évidemment avoir l'égalité:
(14.57)
La relation antéprécédente s'écrit
aussi parfois sous la forme:
(14.58)
Remarque: Lorsque
les vecteurs de base  forment
un espace vectoriel orthogonal (pas nécessairement orthonormé)
alors les quantités:
(14.59)
sont nulles si .
Le produit scalaire de deux vecteurs et se
réduit alors à:
(14.60)
Nous avons alors dans ce cas particulier:
(14.61)
et donc lorsque les vecteurs de base forment un espace vectoriel
orthonormal il est clair que est
alors égal au symbole de Kronecker seul tel que:
(14.62)
MÉTRIQUE ET SIGNATURE
Comme nous l'avons vu en calcul vectoriel, le produit scalaire
d'un vecteur peut
permettre de définir la notion de norme d'un vecteur (et le concept
de distance).
Rappelons que nous avons par définition la norme d'un vecteur
qui est donnée par (cf. chapitre de Calcul
Vectoriel):
(14.63)
où les nombres définissent
en quelque sorte une "mesure" des vecteurs; nous disons
alors dans le langage du calcul tensoriel qu'ils constituent la "métrique" de
l'espace vectoriel choisi.
Dans l'espace de la géométrie classique, la norme
est un nombre qui est toujours strictement positif et qui ne devient
égal à zéro que
si le vecteur mesuré est nul.
Par contre, l'expression précédente de la norme d'un
vecteur, peut être éventuellement négative
pour des nombres quelconques
(espaces complexes par exemple). Nous pouvons donc distinguer deux
genres d'espaces vectoriels pré-euclidiens (espace euclidien
dans lequel nous avons défini le produit scalaire) selon
que la norme est positive ou non. Cependant lorsqu'en physique
théorique nous
souhaitons faire l'analogie avec une structure d'espace vectoriel
il faut que la condition:
(14.64)
soit satisfaite ( peut être écrit
comme une matrice, rien ne nous l'empêche).
Explications: Nous savons que le produit scalaire doit satisfaire à la
propriété de commutativité telle que:
(14.65)
D'autre part, si pour tout non
nul nous avons:
(14.66)
cela implique (c'est
une des propriétés de la norme que nous avons vue
dans le chapitre de Calcul Vectoriel). Nous pouvons alors écrire:
(14.67)
Nous nous retrouvons ici simplement avec un système
de n équations à n inconnues
(ne devant admettre par hypothèse que la solution ),
il faut et il suffit pour cela que le déterminant du système,
noté g,
du système soit différent de zéro (cf.
chapitre d'Algèbre Linaire). Nous devons donc avoir:
(14.68)
C'est une des conditions pour qu'une expression assimilable à une
norme sous une écriture tensorielle forme dans le cadre d'une théorie
physique un espace vectoriel des états du système !!
Remarques:
R1. Le nombre de signes + et - se trouvant dans l'expression du
produit scalaire constitue une caractéristique d'un espace
vectoriel donné ;
elle est appelée la "signature
de l'espace vectoriel" .
R2. Une application pratique des calculs de la métrique
est proposée dans le chapitre de Relativité Générale.
(14.69)
En d'autres termes, le tenseur métrique deux fois covariant
est son propre inverse par son équivalent deux fois contravariant.
Nous le démontrerons
explicitement plus loin en montrant lors de notre étude
du déterminant
de Gram que les composantes contravariantes et covariantes d'un
espace
euclidien sont égales et que les deux espaces ont le même
nombre de dimensions.
Un cas particulier qui satisfait la relation ci-dessus est le
tenseur métrique de Minkowski (cf.
chapitres de Relativité Restreinte
et Générale) où nous avons:
(14.70)
Remarque: L'espace  est
aussi appelé " espace primal".
L'espace dual est sous-tendu par n vecteurs de base construits à partir
des vecteurs tels
que:
(14.71)
Il est dès lors facile de voir que le produit scalaire des vecteurs définit
la métrique de
l'espace dual:
(14.72)
tandis que les vecteurs (contravariants) et (covariants) sont
bien orthogonaux:
(14.73)
Nous pouvons exprimer aussi un vecteur dans la base duale par
l'écriture suivante en remarquant bien évidemment
que la position des indices muets est alors inversée:
(14.74)
Remarque: Les
composantes  (projections
orthogonales du vecteur sur les axes) sont
nommées, pour des raisons que nous verrons plus loin, les
composantes covariantes.
Ainsi nous avons finalement la possibilité de
passer aussi les vecteurs d'une base à l'autre:
(14.75)
où ce qu'il est important de retenir est que pour rendre contravariante
une composante covariante, nous montons son indice:
(14.76)
et inversement, pour la rendre covariante:
(14.77)
Ainsi, toujours dans
le cas de l'exemple de la métrique de Minkowski, si nous
considérons
le quadrivecteur contravariant:
(14.78)
Nous avons alors:
(14.79)
DÉTERMINANT DE GRAM
Voyons une autre approche pour déterminer les vecteurs de base
de l'espace dual qui peut permettre par ailleurs de mieux appréhender
le concept et qui nous permettra d'obtenir un résultat
intéressant que nous utiliserons lors de certains calculs
de la relativité générale (principalement
son étude selon le formalisme
lagrangien).
Nous avons donc pour :
(14.80)
Ce produit scalaire peut être vu comme une condition de normalisation
pour les deux bases et les deux produits scalaires comme
des conditions d'orthogonalisation. Ainsi, comme est
perpendiculaire à nous
pouvons écrire:
(14.81)
Où est
une constante de proportionnalité. Maintenant jouons un peu avec
la relation précédente:
(14.82)
Dès lors, nous obtenons:
(14.83)
où nous voyons apparaître le produit mixte tel que nous l'avions
défini dans le chapitre de Calcul Vectoriel.
Ainsi, nous obtenons très facilement:
(14.84)
ou de manière plus générale (sans démonstration car peut-être
trop évident) nous avons donc pour les vecteurs covariants:
(14.85)
et de même pour les vecteurs contravariants (sans démonstration
car peut-être trop évident?):
(14.86)
Remarques:
R1. Le lecteur aura remarqué que les relations ci-dessus
ne sont valables que pour un espace à trois dimensions.
R2. La notation des deux relations précédentes
est mathématiquement
un peu abusive car en réalité ce n'est pas une égalité entre
deux vecteurs mais une application d'un espace vectoriel dans
l'autre!
R3. Comme en physique, on considère très fréquemment
des bases cartésiennes, cylindriques
et sphériques orthonormées et que le dénominateur
des deux relations précédentes
est toujours égal à l'unité dans ces bases
alors les vecteurs de bases contravariants s'identifient
aux vecteurs de base covariants (et réciproquement). Donc
les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées
contravariantes.
Revenons maintenant sur quelque chose qui va nous sembler bien
ancien... Dans le chapitre de Calcul Vectoriel, nous avons défini
et étudié ce qu'étaient le produit vectoriel
et le produit mixte. Nous allons voir maintenant une autre manière
de représenter ceux-ci
et voir que cette représentation permet d'obtenir un résultat
pour le moins pertinent!
Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le produit
vectoriel était donné par:
(14.87)
Or, ce que nous n'avions pas vu et que nous pouvons constater
maintenant de manière triviale c'est que cette expression
n'est que le déterminant vectoriel des matrices suivantes:
(14.88)
...donc oui le résultat ne donne pas un scalaire! Il s'agit juste
d'une notation d'usage.
Mais comme nous faisons du calcul tensoriel, il nous faut maintenant
proprement distinguer composantes covariantes et contravariantes.
Nous allons donc réécrire cela correctement avec
les composantes contravariantes:
(14.89)
De même, le produit mixte peut être écrit à l'aide de cette relation
et notation:
(14.90)
Or, en regardant l'expression du déterminant nous voyons assez
facilement, sans même avoir à faire les développements
que:
(14.91)
Effectivement (nous calculons le déterminant en faisant usage
de la démonstration du déterminant à trois composantes vue dans
le chapitre d'Algèbre Linéaire):
(14.92)
La relation antéprécédente est fréquemment
notée:
(14.93)
avec:
(14.94)
appelé "volume euclidien" (effectivement
rappelons que le produit mixte est un volume!)
Remarque: Rappelons
encore une fois que si les vecteurs de base sont orthonormés, qu'ils
soient exprimés en coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques
alors:
(14.95)
Par ailleurs, nous avons aussi la relation non moins importante:
(14.96)
En effet, en utilisant la relation vue dans le chapitre de Calcul
Vectoriel:
(14.97)
Or, nous avons vu plus haut que donc:
(14.98)
et ainsi finalement:
(14.99)
Ceci ayant été fait revenons à la relation du produit vectoriel:
(14.100)
et exprimons les composantes de la 1ère ligne du déterminant
vectoriel dans leur base duale (en coordonnées contravariantes):
(14.101)
Bien évidemment, si le produit vectoriel est exprimé en composantes
covariantes alors nous avons:
(14.102)
Maintenant appliquons le produit mixte:
(14.103)
en connaissant l'expression du déterminant d'une matrice carrée (cf.
chapitre d'Algèbre Linéaire) il vient immédiatement:
(14.104)
Inversement, il vient immédiatement:
(14.105)
Or, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que .
Il vient alors:
(14.106)
et donc:
(14.107)
Cette dernière relation étant souvent appelée "déterminant
de Gram". Un cas particulier très intéressant nous
donne:
(14.108)
écrit autrement:
(14.109)
Ainsi, le volume euclidien est donné par ce que nous appellerons
le "déterminant fonctionnel" du
système (expression que nous retrouverons en relativité générale
pour calculer le volume réel et en théorie des cordes):
(14.110)
qui est sans unités (il faut donc le multiplier par un facteur
de volume élémentaire pour avoir des unités de volume). Si nous
notons autrement le déterminant:
(14.111)
Nous avons donc le "volume
riemmanien":
(14.112)
Le lecteur pourra vérifier
normalement assez aiséement que pour le repère orthonormal cartésienn
on retombe biens sur le volume d'un cube et pour le cas sphérique
nous retombons bien sur l'expression du volume infinitésimal
de la sphère tel que utilisé dans le chapitre sur les Formes
Géométriques.
COMPOSANTES CONTRAVARIANTES ET COVARIANTES
Jusqu'à maintenant nous avons écrit les indices
muets arbitrairement en exposant ou en indice selon notre bon vouloir.
Cependant, cela
n'est pas toujours autorisé et parfois le fait qu'un indice
muet soit en exposant ou en indice a une signification bien particulière.
Ceci constitue souvent la difficulté lors de l'étude
de certains théorèmes, car si nous n'étudions
pas ceux-là depuis le début,
nous ne savons pas vraiment comment interpréter la position
des indices muets. Il faut donc être extrêmement prudent à ce
niveau.
Pour un espace vectoriel euclidien rapporté à une
base quelconque ,
le produit scalaire d'un vecteur par
un vecteur de
sa base s'écrit:
(14.113)
Donc:
(14.114)
Cette relation est de première importance en physique théorique
et en calcul tensoriel. Il est important de s'en souvenir
lorsque nous étudierons la contraction des indices plus
tard (vous pouvez observer dans la relation précédente
que nous avons "abaissé" dans le membre de gauche
l'indice des composantes du membre droit de l'égalité).
Ces produits scalaires notés ,
s'appellent les "composantes covariantes",
dans la base ,
du vecteur .
Ces composantes sont donc définies par:
(14.115)
Remarque: Cela
constitue donc une projection d'un vecteur sur un des vecteurs
de sa propre base.
Elles seront notées au moyen d'indices inférieurs !!! Nous verrons
par la suite que ces composantes s'introduisent naturellement pour
certains vecteurs de la physique, par exemple le vecteur gradient.
D'autre part, la notion de composante covariante est essentielle
pour les tenseurs.
Remarque: Les
vecteurs de base ont toujours les indices notés en bas car ils
sont leurs propres composantes covariantes (ils se projettent sur
eux-mêmes par produit scalaire).
Inversement, les "composantes contravariantes" (autrement
dit les composantes non projetées) peuvent être calculées en résolvant,
par rapport aux n inconnues ,
le système de n équations de:
(14.116)
Les relations précédentes montrent que les composantes
covariantes sont
liées aux composantes classiques
et que les composantes contravariantes sont donc des nombres tels
que:
(14.117)
Elles seront indiquées au moyen d'indices supérieurs !! L'étude
des changements de base permettra de justifier encore plus l'appellation
des différentes composantes.
Dans une base orthonormée canonique (cas très particulier), les
composantes covariantes et contravariantes sont identiques comme
nous le savons déjà suite à l'étude
du déterminant de Gram. Effectivement:
(14.118)
Remarque: Nous
voyons ci-dessus, que l'écriture incessante d'indices muets en
exposants ou en indice peut parfois amener à certaines confusions
et à des maux de tête sérieux...
OPÉRATIONS DANS LES BASES
L'intérêt du physicien pour le calcul tensoriel, est le
passage de paramètres d'une base à une autre pour des raisons
données (souvent
dans le but soit de simplifier l'étude de problèmes
ou simplement parce que les états étudiés
dépendent - ou peuvent dépendre - de
la géométrie de l'espace dont il est question). Il
convient donc d'introduire les principaux outils qui y sont relatifs.
Nous en
profiterons aussi pour présenter des développements
que nous aurions pu déjà aborder dans le chapitre
de Calcul Vectoriel.
MÉTHODE D'ORTHOGONALISATION DE SCHMIDT
La "méthode d'orthogonalisation
de Schmidt" (dite également de "Gram-Schmidt")
permet la détermination effective d'une base orthogonale pour
tout espace vectoriel pré-euclidien (nous
aurions pu présenter cette méthode dans le chapitre
de Calcul Vectoriel mais il nous semblait plus intéressant
de la présenter
dans le cadre général et esthétique du calcul
tensoriel).
Pour cela, considérons un ensemble de n vecteurs linéairement
indépendants de et
supposons que nous ayons pour chaque vecteur le produit scalaire
(la norme):
(14.119)
Cherchons n vecteurs orthogonaux
entre eux. Partons pour cela de et
cherchons orthogonal à sous
la forme:
(14.120)
Le coefficient se
calcule en écrivant la relation d'orthogonalité:
(14.121)
Nous en déduisons sans trop de peine:
(14.122)
Le paramètre étant
déterminé, nous obtenons le vecteur qui
est orthogonal à et
non nul puisque le système est
linéairement indépendant.
Le vecteur est
cherché sous la forme:
(14.123)
Les deux relations d'orthogonalité: et ,
permettent le calcul des coefficients et .
Nous obtenons:
;
(14.124)
ce qui détermine le vecteur ,
orthogonal à et ,
et non nul puisque le système est
indépendant. En continuant le même type de calcul, nous obtenons
de proche en proche un système de vecteurs orthogonaux
entre eux et dont aucun n'est nul.
Dans le cas où certains vecteurs seraient tels que (leur
norme est nulle), nous remplaçons par ,
en choisissant un vecteur de
telle sorte que nous obtenions .
Nous en déduisons donc que tout espace vectoriel pré-euclidien
admet des bases orthogonales!
Ce système de calcul des bases est de première importance.
Il permet par exemple d'étudier des systèmes physiques à partir
d'un référentiel pré-euclidien dont les propriétés
changent dans le temps. Ce qui est par exemple typique de la relativité générale.
CHANGEMENTS DE BASES
Soient deux bases et d'un
espace vectoriel .
Chaque vecteur d'une base peut être décomposé sur l'autre base
sous la forme suivante (nous l'avons déjà démontré):
et
(14.125)
Un vecteur de peut être
décomposé sur chaque base sous la forme:
(14.126)
et nous avons aussi déjà démontré que:
et
(14.127)
Nous remarquons que les relations de transformation des composantes
contravariantes d'un vecteur sont le contraire de celles des vecteurs
de base, les grandeurs A et A'
s'échangeant, d'où l'origine de l'appellation "contra"-"variantes" de
ces composantes!
Soient et les
composantes covariantes du vecteur respectivement
sur les bases et .
Remplaçons les vecteurs de base, exprimés par les relations:
et
(14.128)
dans l'expression de définition des composantes covariantes, il
vient:
(14.129)
d'où la relation entre les composantes covariantes dans chaque
base:
(14.130)
Nous obtenons de même:
(14.131)
Nous remarquons que les composantes covariantes se transforment
comme les vecteurs de bases, d'où l'appellation de ces composantes.
BASES RÉCIPROQUES
Revenons maintenant sur le concept d'espace dual mais tel qu'il
est vu dans le cadre du calcul vectoriel. Cette deuxième
approche peut peut-être aider certains à mieux comprendre
le concept vu précédemment mais par contre masque
la raison profonde de l'origine des dénominations de "covariant" et
"contravariant". Pourtant c'est la présentation
la plus courante dans la littérature...
Soit une base quelconque d'un
espace vectoriel euclidien .
Par définition, n vecteurs qui
vérifient les relations suivantes:
(14.132)
sont appelés les "vecteurs réciproques" des
vecteurs .
Ils seront notés
avec des indices supérieurs.
Par définition, chaque
vecteur réciproque se
doit donc d'être orthogonal à tous les vecteurs ,
sauf pour .
Montrons d'abord que les vecteurs réciproques d'une
base donnée sont
linéairement indépendants. Pour cela, il faut montrer
qu'une combinaison linéaire donne
un vecteur nul, si et seulement si chaque coefficient est
nul.
Soit un
vecteur quelconque de .
Multiplions scalairement par la
combinaison linéaire précédente ,
on obtient:
(14.133)
Cette dernière égalité devant être vérifiée quels que soient les ,
il est nécessaire que chaque soit
nul et ainsi les vecteurs sont
donc linéairement indépendants (fallait déjà avoir l'idée de procéder
ainsi n'est-ce pas?).
Le système de n vecteurs réciproques forme
donc une base appelée la "base
réciproque" (qui
n'est autre que la base duale) de l'espace vectoriel .
Exemple:
Soient trois vecteurs formant
une base (non nécessairement orthonormée!) d'un espace
vectoriel euclidien. Nous décidons de noter:
(14.134)
où, rappelons-le, le symbole représente
le produit vectoriel (au cas où il y aurait un petit oubli...)
et l'ensemble est le produit mixte vu dans le chapitre de Calcul
Vectoriel et qui représente donc un volume orienté.
Les vecteurs
suivants:
(14.135)
vérifient la relation et
constituent le système réciproque des vecteurs .
En cristallographie, ces vecteurs constituent ce que nous appelons "l'espace
de Fourier associé".
Remarque: Nous
reconnaissons ici les relations que nous avions déjà obtenues
lors de notre étude du déterminant de Gram.
Maintenant, considérons donc un vecteur sur la base d'origine
que
nous noterons donc (comme déjà vu plus haut):
(14.136)
avec donc par définition les composantes contravariantes
du vecteur qui apparaissent comme nous l'avons défini plus
haut (et dont nous avons en même temps expliqué l'origine
du nom). Nous avons vu aussi plus haut que chaque composante contravariante
sera aussi (naturellement et par extension) donnée par:
(14.137)
De façon similaire, nous avons donc les composantes
covariantes qui apparaissent:
(14.138)
Dans cette approche, nous définissons alors le tenseur
métrique contravariant et respectivement covariant par:
(14.139)
Il vient alors par exemple pour les composantes contravariantes
(dans le cas particulier de l'espace à trois dimensions),
sachant que la démarche est la même pour les composantes covariantes:
(14.140)
Et donc nous retrouvons la relation de transformation
entre composantes covariantes et contravariantes déjà vue
plus haut à la différence que cela semble plus sortir
d'un chapeau par définitions successives et que cela masque
donc l'origine de la dénomination
de ces mêmes composantes. Mais peut-être que certains
lecteurs préférent cette approche.
TENSEURS EUCLIDIENS
La généralisation de la notion de vecteur nous a
conduits à l'étude
des espaces vectoriels à dimensions.
Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension quelconque
mais qui possèdent des propriétés supplémentaires
par rapport aux vecteurs.
Pour le physicien théoricien, le calcul tensoriel s'intéresse
en premier lieu à la manière dont les composantes des tenseurs
se transforment lors d'un changement de base des espaces vectoriels
dont ils sont issus. Nous commencerons donc à étudier ces propriétés
vis-à-vis des changements de base (car c'est le cas le plus intéressant).
Un tenseur est, en pratique, souvent uniquement défini
et utilisé sous
forme de ses composantes. Ces dernières peuvent être exprimées
sous forme covariante ou contravariante comme pour tout vecteur.
Mais un nouveau type de composantes va apparaître pour les
tenseurs, ce sont les "composantes mixtes". Ces trois
types de composantes constituent des décompositions des
tenseurs euclidiens sur des bases différentes.
TENSEUR FONDAMENTAL
Au cours de la théorie vue précédemment,
nous avons utilisé les
quantités ,
définies à partir du produit scalaire des vecteurs
de base d'un
espace vectoriel pré-euclidien à n dimensions,
par:
(14.141)
Ces quantités
constituent les composantes covariantes d'un tenseur appelé le "tenseur
fondamental" ou "tenseur
métrique".
Etudions comment varient les quantités lorsque
nous effectuons un changement de base:
Soit une
autre base liée à la précédente par les relations
connues:
et
(14.142)
Substituant la relation dans
l'expression de ,
il vient (nous changeons les indices comme il se doit lors d'une
substitution):
(14.143)
Dans la nouvelle base ,
les produits scalaires des vecteurs de base sont donc des quantités
telles que:
(14.144)
Nous avons donc finalement pour l'expression des composantes covariantes lors
d'un changement de base:
(14.145)
Identiquement nous avons:
(14.146)
De manière générale, une suite de quantités qui
se transforment, lors d'un changement de base de ,
selon les deux relations précédentes, à savoir:
et
(14.147)
constituent, par définition, les "composantes
covariantes d'un tenseur d'ordre deux" (à deux indices)
sur .
Nous pouvons ainsi manipuler des quantités exprimant les propriétés
intrinsèques des bases comme des tenseurs normaux !
PRODUIT TENSORIEL DE DEUX VECTEURS
Considérons un espace vectoriel euclidien de
base et
soient deux vecteurs de :
et
(14.148)
Formons les produits deux à deux des composantes contravariantes et ,
soit:
(14.149)
Nous obtenons ainsi quantités,
si les deux vecteurs ont le même nombre de composantes, qui constituent également
les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux appelé le "produit
tensoriel" du vecteur par
le vecteur .
Par exemple pour de
dimension 2 et de
dimension 3 nous avons:
(14.150)
Nous
pouvons bien évidemment construire des produits tensoriels
d'ordre trois (donc avec termes)
tels qu'avec le tenseur trois fois contravariant suivant:
(14.151)
etc...
Etudions les propriétés de changement de base de ces composantes.
Utilisons pour cela les relations de changement de base des composantes
contravariantes d'un vecteur, à savoir:
et
(14.152)
Remplaçons dans la relation les
composantes et par
leur expression de changement de base, il vient:
(14.153)
Les quantités sont
les nouvelles composantes:
(14.154)
La formule de transformation des quantités lors
d'un changement de base de est
donc finalement (très similaire au tenseur métrique):
(14.155)
Une telle relation de changement de base caractérise les composantes
contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, nous obtenons:
(14.156)
Les quantités constituent
donc les "composantes contravariantes
d'un tenseur d'ordre deux".
Nous pouvons former de même les produits deux à deux des composantes
covariantes et des
vecteurs et soit:
(14.157)
Les formules de changement de base des composantes covariantes
des vecteurs sont données par les relations suivantes que nous
avons déjà démontrées précédemment:
et
(14.158)
Substituant la première relation dans le produit ,
il vient:
(14.159)
C'est la relation de changement de base des composantes covariantes
d'un tenseur d'ordre deux. On vérifie que l'on a:
(14.160)
Identiquement nous avons bien évidemment: puisque .
Les quantités constituent
donc les "composantes covariantes d'un
tenseur d'ordre deux".
Formons à présent quantités
en multipliant deux à deux les composantes covariantes du vecteur par
les composantes contravariantes de ,
nous obtenons:
(14.161)
Effectuons un changement de base dans cette dernière relation
en tenant compte des expressions et ,
on obtient:
(14.162)
Cette relation de changement de base caractérise les "composantes
mixtes" d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, on
peut vérifier que l'on a:
(14.163)
Ces composantes mixtes constituent également des composantes
du produit tensoriel de par ,
selon une certaine base.
De manière générale, une suite de quantités qui
se transforment, lors d'un changement de base de ,
selon les relations établies juste précédemment constituent donc,
par définition, les "composantes mixtes
d'un tenseur d'ordre deux".
ESPACES TENSORIELS
Au cours de l'étude précédente, nous avons
utilisé des systèmes
de nombres,
créés à partir d'un espace vectoriel .
Lorsque ces nombres vérifient certaines relations de changement
de base, nous avons appelé ces grandeurs, par définition,
les "composantes
d'un tenseur".
Nous avons vu que toute combinaison linéaire de ces composantes
constitue les composantes d'autres tenseurs. Nous pouvons donc
additionner entre elles les composantes des tenseurs ainsi que
les multiplier par des scalaires, pour obtenir d'autres composantes
de tenseurs. Ces propriétés d'addition et de multiplication font
que nous allons pouvoir utiliser ces grandeurs tensorielles comme
composantes de vecteurs.
D'un point de vue pratique, nous pourrions nous contenter de définir
les tenseurs à partir des relations de transformation de leurs
composantes lors d'un changement de base. C'est ce qui est souvent
fait en physique. Cependant, la définition des tenseurs sous forme
de vecteurs conduit à une meilleure compréhension de leurs propriétés
et les rattache à la théorie générale des vecteurs.
Pour préciser comment nous définissons un tenseur
sur une base, étudions
le cas particulier d'un produit tensoriel de deux vecteurs constitués
par des triplets de nombres. Considérons l'espace vectoriel
euclidien dont
les vecteurs sont des triplets de nombre de la forme: .
La base orthonormée canonique de est
formée de trois vecteurs:
(14.164)
avec (jolie
façon d'écrire la chose n'est-il pas...).
Des vecteurs de permettent
de former les neuf quantités que
nous avons appelées les "composantes
du produit tensoriel" des vecteurs et .
Si nous effectuons tous les produits tensoriels possibles entre
vecteurs de ,
nous obtenons des suites de neuf nombres qui peuvent servir à définir
le vecteur suivant:
(14.165)
Remarque: Nous
voyons de suite avec la relation précédente que le produit tensoriel
n'est dès lors pas commutatif.
Nous nous retrouvons alors avec des éléments d'un espace vectoriel à neuf
dimensions, ayant pour éléments tous les multiplets formés de neuf
nombres.
Ces vecteurs peuvent être décomposés, par exemple, sur une base
canonique orthonormée:
(14.166)
avec .
Si nous renumérotons les quantités selon
la place qu'elles occupent dans l'expression de ,
soit:
(14.167)
avec et ,
les vecteurs s'écrivent
alors:
(14.168)
et constituent un exemple de tenseur d'ordre deux (évidemment
on peut généraliser la démarche).
En quoi ces tenseurs diffèrent-ils
des vecteurs ordinaires ? Ils sont certes identiques à certains
vecteurs de mais
ils ont été formés à partir des vecteurs de et de .
Pour rappeler ce fait, nous les notons:
(14.169)
et ils sont appelés "produits tensoriels
d'ordre deux" des vecteurs et .
Le symbole est
donc défini de la manière dont nous avons formé les quantités et
l'ordre dans lequel nous les avons classées pour former le vecteur .
Pour rappeler la dépendance entre une quantité et
le vecteur de base auquel
il est affecté, renumérotons ces vecteurs en mettant à la place
de l'indice k les deux indices i et j,
relatifs aux composantes, soit:
(14.170)
Ce dernier peut très bien être noté sous la forme:
(14.171)
Les vecteurs constituent
donc une base de qui
est appelée la "base associée".
Nous rappelons également que le produit tensoriel est non-commutatif
(il est vraiment important de s'en rappeler)! Autrement dit:
(14.172)
Les relations précédentes nous permettent finalement d'écrire
le produit tensoriel des vecteurs et sous
la forme:
(14.173)
L'espace vectoriel est
doté d'une structure plus précise que celle de simple espace vectoriel
de dimension neuf lorsque nous définissons les produits tensoriels comme
constituant la base de .
Nous disons que est
doté d'une "structure de produit tensoriel" ce
qui nous amène à noter cet espace ou
encore .
En tant qu'élément d'un espace ,
un tenseur est
un vecteur de la forme générale:
(14.174)
Etudions ses propriétés vis-à-vis d'un changement de base de tel
que:
et
(14.175)
Lors d'un tel changement, la base associée à devient
une autre base associée à , à savoir:
(14.176)
Par suite, le produit tensoriel a
pour composantes dans la nouvelle base:
(14.177)
Nous avons les propriétés suivantes pour le produit
tensoriel:
Soit donc:
(14.178)
P1. Distributivité, à gauche et à droite, par rapport à l'addition
des vecteurs:
(14.179)
La démonstration de ces propriétés découle simplement de
la définition du produit tensoriel. Nous avons par exemple:
(14.180)
P2. Associativité avec la multiplication par une grandeur scalaire:
(14.181)
Nous avons en effet:
(14.182)
P3. Lorsque nous choisissons une base dans chacun des espaces
vectoriels pour , pour ,
les éléments
de que
nous notons forment également
une base de .
Démonstration:
Déjà faite dans l'exemple particulier que nous avons utilisé au
début.
C.Q.F.D.
Remarque: En
pratique, nous avons souvent à utiliser des tenseurs formés à partir
de vecteurs appartenant à des espaces vectoriels identiques  .
Nous pouvons bien évidemment généraliser le produit tensoriel à un
nombre quelconque de vecteurs. De proche en proche, compte tenu
de la propriété P1, nous pouvons considérer vecteurs appartenant
chacun à des espaces vectoriels différents .
Si nous avons:
(14.183)
nous pouvons former le produit tensoriel:
(14.184)
avec .
Nous construisons ainsi des produits tensoriels d'ordre p appartenant à l'espace
vectoriel ,
espace qui est muni d'une structure de produit tensoriel. Les éléments
de cet espace constituent par définition des tenseurs d'ordre p.
Afin d'unifier la classification, les espaces vectoriels élémentaires,
qui ne peuvent être munis d'une structure de produit tensoriel,
peuvent être considérés comme ayant pour éléments
des tenseurs d'ordre un. En général, nous appelons
ces éléments des "vecteurs",
réservant le nom de "tenseurs" à des éléments
d'espaces tensoriels d'ordre égal ou supérieur à deux!
Remarque: Il
est commode d'appeler "tenseurs d'ordre
zéro" les grandeurs scalaires. Il est également rare
de rencontrer des tenseurs d'ordre supérieur à 2.
Il
est assez évident et nous n'en ferons pas la démonstration
(excepté s'il
y a une demande) que nous pouvons redéfinir absolument
tous les concepts (base, décomposition sur une base,
base réciproque,
produit scalaire, produit tensoriel) que nous avons vus jusqu'à maintenant
en considérant les tenseurs d'ordre un comme des vecteurs
(il faudrait donc que nous réécrivions tout ce
qui est déjà écrit ci-dessus... ce qui
est inutile).
Il est aussi tout à fait possible de réitérer toutes
ces définitions pour des tenseurs d'ordre supérieurs et ainsi
généraliser le concept d'espace tensoriel pour toutes les dimensions.
De ces considérations, nous pouvons énoncer le "critère
de tensorialité":
Pour que les éléments d'une suite de quantités,
rapportées à une base d'un espace vectoriel ,
puissent être considérés comme les composantes
d'un tenseur, il faut et il suffit que ces quantités
soit liées entre elles,
dans deux bases différentes de ,
par les relations de transformation des composantes.
Exemple:
Un vecteur peut se représenter dans une base quelconque
par une suite de n composantes. Cependant, nous ne
pouvons pas conclure que n'importe quelle suite de n chiffres
constitue un vecteur. En effet, lorsque nous nous plaçons
dans une autre base de l'espace, les composantes doivent changer également,
pour représenter le même objet: nous disons alors
que le vecteur est un objet intrinsèque (dont l'existence
ne dépend pas du choix du repère). Il reste alors à savoir
qu'un vecteur est un tenseur d'ordre 1.
COMBINAISONS LINÉAIRES DE TENSEURS
Nous pouvons former d'autres tenseurs en combinant entre elles
les composantes de différents produits tensoriels définis à l'aide
des vecteurs d'un même espace vectoriel. Considérons par exemple
les composantes contravariantes des produits tensoriels des
vecteurs et :
(14.185)
Formons les quantités suivantes:
(14.186)
Les quantités vérifient également
les formules générales de changement de base. Nous avons en
effet, en substituant les relations de transformation des composantes
contravariantes d'un produit tensoriel dans l'expression précédente:
(14.187)
Les quantités ,
vérifiant la relation de changement de base, constituent donc également
des composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux.
CONTRACTION DES INDICES
Considérons le produit tensoriel mixte de deux vecteurs et de
composantes respectives contravariantes et
covariantes .
Les composantes mixtes du produit tensoriel de
ces deux vecteurs, sont:
(14.188)
Effectuons l'addition des différentes composantes du
tenseur telles
que ,
soit:
(14.189)
Nous obtenons ainsi l'expression du produit scalaire des vecteurs et ;
la quantité est
un scalaire (tenseur d'ordre zéro). Une telle addition
sur des indices de variance différente constitue, par
définition,
l'opération de "contraction
des indices" du tenseur .
Cette opération a permis de passer d'un tenseur d'ordre
deux à un
tenseur d'ordre zéro; le tenseur a été amputé d'une
covariance et d'une contravariance.
Prenons également l'exemple d'un tenseur dont
les composantes mixtes sont une fois covariante et deux fois
contravariantes (attention...
il ne s'agit pas d'une matrice tridimensionnelle mais simplement
de l'indication que les composantes de ce tenseur s'expriment à partir
de trois autres variables). Considérons certaines de
ses composantes telles que , à savoir
les quantités et
effectuons l'addition de ces dernières. Nous obtenons
alors:
(14.190)
Ces nouvelles quantités forment
les composantes d'un tenseur d'ordre
un (donc un vecteur!) et constituent
ce que nous appelons alors les "composantes
contractées" du
tenseur et
satisfont bien évidemment aux relations de changement
de base (sur demande nous pouvons faire la démonstration
mais sachez qu'elle est similaire à celle que nous avions
faite pour les vecteurs). Nous sommes ainsi passé d'un
tenseur d'ordre trois à un
tenseur d'ordre un.
Ainsi, nous pouvons constater que l'idée sous-jacente de la
contraction est de nous permettre de faciliter la résolution
d'un problème purement
mathématique
et suivant la situation il peut être arrangeant d'élever ou
de réduire l'ordre d'un tenseur. C'est souvent un choix qui
se fait par tâtonnements en fonction d'un contexte précis
ou qui découle naturellement d'un développement purement mathématique
ou mathematico-physique (comme nous en verrons des exemples
concrets plus loin).
Si nous partons d'un tenseur de composantes contravariantes
ou covariantes, nous pouvons abaisser/élever
un ou plusieurs des indices par multiplication (le cas échéant
répétée) par ou (métrique
diagonale unitaire et à signature positive: de type canonique) afin
d'obtenir des composantes mixtes sur lesquelles nous pourrons
ensuite effectuer des opérations de contraction.
Considérons un tenseur euclidien de
composantes contravariantes .
Si nous voulons effectuer une contraction sur ce tenseur,
il nous faudra d'abord le transformer en un tenseur mixte.
Cette transformation se fera à l'aide d'un
tenseur fondamental.
Écrivons en
composantes mixtes en
abaissant à la position covariante l'indice par
exemple (cela revient donc à exprimer cette composante contravariante
en composante covariante). Alors:
(14.191)
Nous voyons bien que dans le cas présent pour descendre
un indice contravariant dans un tenseur au moyen d'un
tenseur fondamental, il faut d'abord aller rechercher
dans les indices covariants du tenseur fondamental celui qui
se retrouve en contravariant dans le tenseur d'origine
et le remplacer à sa position (mais cette fois en covariance)
par l'autre indice du tenseur fondamental (il en est de même
lorsque l'on souhaite monter un indice dans le cas où l'on
souhaiterait opérer une contraction sur un tenseur covariant).
Effectivement, rappelons que nous avons démontré que:
(14.192)
Maintenant que nous avons obtenu un tenseur à composantes
mixtes, nous pouvons très bien en plus contracter les
indices. Choisissons par exemple l'indice et
effectuons la contraction avec l'indice ,
posons (nous
ne nous intéressons plus alors qu'à certains termes
particuliers), il vient alors en écrivant toute la démarche
depuis le début:
(14.193)
Nous obtenons donc après abaissement de l'indice et contraction,
un tenseur d'ordre .
Ainsi, nous verrons plus loins une exemple où nous
contracterons un tenseur d'ordre 1 (une des composantes contravariantes
des vecteurs de la base sphérique) ayant un
indice déjà abaissé:
(14.194)
Remarques:
R1. La deuxième égalité de l'expression
précédente
est une notation abusive que l'on retrouve dans certains ouvrages
(car rigoureusement il faudrait faire le calcul en deux étapes).
R2. Par
suite de la symétrie des quantités (produit
scalaire est commutatif) ce dernier tenseur est identique à celui
que nous obtiendrions en abaissant à la position covariante
l'indice puis
en effectuant la contraction de l'indice avec
l'indice .
Voyons cela :
La symétrie prend
ici la forme :
(14.195)
(cela peut paraître déroutant mais rappelons-nous
que le chiffre d'une composante i indique la place de cette
composante)
Donc il vient :
(14.196)
et en posant :
(14.197)
De manière générale, la contraction d'un tenseur permet donc
de former un tenseur d'ordre à partir
d'un tenseur d'ordre p. Nous pouvons naturellement
répéter l'opération de contraction. Ainsi, un tenseur pair,
2p, deviendra un scalaire après p contractions
et un tenseur d'ordre impair, ,
deviendra un vecteur.
Nous pouvons étendre après cette définition de la contraction
des indices, le critère de tensorialité. Nous avons vu jusqu'à maintenant,
deux manières de reconnaître le caractère tensoriel d'une suite
de quantités:
- la première consiste à démontrer que ces quantités
sont formées par le produit tensoriel de composantes
de vecteurs ou par une somme de produits tensoriels;
- la deuxième consiste à étudier la manière
dont ces quantités
se transforment lors d'un changement de base et à vérifier
la conformité des relations de transformation;
- la troisième et nouvelle amène à poser que pour qu'un ensemble
de quantités,
comportant p indices supérieurs et q indices
inférieurs soit tensoriel, il faut et il suffit que leur produit
complètement contracté par les composantes contravariantes
de p vecteurs quelconques et les composantes
covariantes de q vecteurs quelconques, soit une
quantité (la norme au fait...) qui demeure invariante par changement
de base.
TENSEURS PARTICULIERS
Nous pouvons être confrontés en physique théorique à des tenseurs
qui ont des propriétés intéressantes. Afin d'éviter de faire
un travail redondant au cas par cas, nous allons énumérer et
démontrer les différentes propriétés existantes et parler de
leurs possibles implications.
TENSEUR SYMÉTRIQUE
Considérons un tenseur d'ordre
deux de composantes contravariantes .
Supposons que, suivant une base ,
toutes ces composantes satisfassent aux relations:
(14.198)
Sur une autre base ,
liée à la précédente par les relations de transformation connues,
les nouvelles composantes de vérifient
la relation:
(14.199)
Nous voyons que la propriété est
donc une caractéristique intrinsèque du tenseur ,
indépendante de la base ! Nous disons alors que le tenseur
est un "tenseur symétrique" (nous
reviendrons sur cette notion un peu plus loin).
La propriété de symétrie se vérifie également pour les composantes
covariantes d'un tenseur symétrique puisque nous avons:
(14.200)
Réciproquement, la symétrie des composantes covariantes entraîne
celle des composantes contravariantes.
Pour des tenseurs d'ordre plus élevé, la symétrie peut être
partielle, portant sur deux indices covariants ou deux indices
contravariants. Ainsi, un tenseur d'ordre quatre, de composantes
mixtes peut être également
symétrique en i et j, par exemple,
soit:
(14.201)
Nous vérifions, de même que ci-dessus, qu'une telle propriété est
intrinsèque.
Un tenseur est dit "tenseur complètement
symétrique" si toute transposition de deux indices
de même variance, change la composante correspondante en
elle-même. Par exemple, pour un tenseur d'ordre trois ,
complètement symétrique, nous avons les composantes suivantes
qui sont égales entre elles:
(14.202)
Des exemples de tenseurs compléments symétriques sont le tenseur
des contraintes que
nous verrons lors de notre étude des équations de Navier-Stokes
en mécanique des fluides et les tenseurs des transformations
relativistes de Lorentz que nous verrons en mécanique relativiste.
Ces tenseurs sont alors dits aussi "tenseurs
totalement invariants" (sous-entendu par changement
de base).
Nous pouvons également (curiosité intéressante) obtenir une
représentation géométrique des valeurs des composantes d'un
tenseur symétrique d'ordre deux. Pour cela, considérons dans
l'espace géométrique ordinaire des coordonnées ,
l'équation suivante:
(14.203)
où, rappelons-le, peut être
vu comme un produit tensoriel avec et
où les sont
des coefficients réels donnés. Supposons que
ces coefficients soient tels que:
(14.204)
L'équation précédente s'écrit alors:
(14.205)
Nous retrouvons ici l'équation d'une surface de second degré ou
quadrique similaire à celle du plan que nous avons vue en géométrie
plane. Nous savons par extension à la troisième dimension
que ces surfaces sont des ellipsoïdes ou hyperboloïdes, selon
les valeurs des quantités .
Étudions comment se transforment les quantités lorsque
nous effectuons un changement de coordonnées tel que:
et
(14.206)
L'équation de la quadrique s'écrit dans ce nouveau système
de coordonnées:
(14.207)
d'où l'expression des coefficients dans le nouveau système
d'axes:
(14.208)
Les coefficients se
transforment donc comme les composantes covariantes d'un tenseur
d'ordre deux. Réciproquement, si les quantités sont
les composantes d'un tenseur symétrique, ces composantes définissent
les coefficients d'une quadrique. Il existe donc une certaine équivalence
entre un tenseur symétrique et les coefficients d'une quadrique.
Nous dirons que l'équation de la quadrique est la "quadrique
représentative" du tenseur symétrique.
Nous savons de par notre étude des quadriques en géométrie
plane (en étendant cela au cas tridimensionnel) que nous pouvons
toujours trouver un système de coordonnées par rapport auquel
l'équation d'une quadrique prend une forme plus simple:
(14.209)
Dans ce cas, les vecteurs de base sont portés par les axes
principaux de la quadrique. Dans ce système de coordonnées,
les composantes du tenseur se
réduisent à:
(14.210)
et pour
les autres composantes. Les quantités sont
appelées les "composantes principales" du
tenseur .
Si les quantités sont
positives, la surface est un ellipsoïde, si deux quantités
sont strictement positives et la troisième strictement
négative,
nous avons un hyperboloïde à une nappe, si deux quantités
sont strictement négatives et la troisième positive,
nous avons un hyperboloïde à deux nappes (pour plus d'information
voir le chapitre de Géométrie Analytique).
La comparaison de l'expression de la quadrique obtenue précédemment
avec l'équation classique:
(14.211)
où a, b, c sont les demi-axes d'un
ellipsoïde montre que nous avons:
(14.212)
TENSEUR ANTISYMÉTRIQUE
Lorsque les composantes contravariantes d'un
tenseur d'ordre deux, vérifient les relations:
(14.213)
nous disons que le tenseur est un "tenseur
antisymétrique" (il en va de même
si les composantes sont covariantes).
C'est une propriété intrinsèque
du tenseur qui se démontre comme pour les tenseurs
symétriques,
au signe "-" près. Un tenseur contravariant
d'ordre deux, vérifiant donc la relation suivante sera dit
"tenseur symétrique"
(nous l'avons déjà mentionné un paquet de fois dans les paragraphes
précédents):
(14.214)
Et il en va de même si les composantes sont covariantes.
Un tenseur antisymétrique
doit bien évidemment satisfaire au fait que ses composantes
diagonales soient nulles telles que:
(14.215)
Si les composantes contravariantes d'un tenseur sont antisymétriques,
ses composantes covariantes le sont également.
Un tenseur par exemple covariant d'ordre trois sera
dit symétrique en i et k si pour toutes
les valeurs que peuvent prendre les indices, nous avons:
(14.216)
Ou encore le tenseur covariant sera
dit antisymétrique en i et l si pour
toutes les valeurs que peuvent prendre les indices, nous avons:
(14.217)
Un tenseur sera
partiellement antisymétrique si nous avons par exemple:
(14.218)
Il sera complètement antisymétrique si toute transposition
d'indice de même variance change la composante correspondante
en son opposée.
Tout tenseur peut être
mis sous la forme d'une somme d'un tenseur symétrique et d'un
tenseur antisymétrique. Nous avons en effet:
(14.219)
Le premier terme de la somme ci-dessus est un tenseur symétrique
et le second, un tenseur antisymétrique.
Considérons maintenant deux vecteurs et d'un
espace vectoriel .
Formons les quantités antisymétriques suivantes (nous y trouvons
deux produits tensoriels):
(14.220)
où nous voyons immédiatement que les composantes sont
celles d'un tenseur antisymétrique .
La décomposition du vecteur dans
la base s'écrit:
(14.221)
Le tenseur (noté ainsi
en analogie avec le produit vectoriel pour )
est appelé le "produit extérieur" des
vecteurs et .
Nous disons encore que ce tenseur est un "bivecteur".
Le produit extérieur est donc un tenseur antisymétrique qui
vérifie les propriétés suivantes:
P1. Anticommutativité: ,
il en résulte:
(14.222)
P2. Distributivité à gauche et à droite pour l'addition vectorielle:
(14.223)
P3. Associativité pour la multiplication par un scalaire:
(14.224)
P4. Les produits extérieurs:
(14.225)
constituent une base de l'ensemble des bivecteurs.
Démonstration:
Un tenseur antisymétrique d'ordre
deux, élément de ,
peut s'écrire sous la forme:
(14.226)
Échangeant, dans la dernière somme de la relation
ci-dessus, le nom des indices et en tenant compte que ,
nous obtenons:
(14.227)
Les éléments:
(14.228)
sont linéairement indépendants puisque les vecteurs le
sont également. Ces éléments constituent donc une base sur
laquelle les tenseurs antisymétriques peuvent être décomposés.
C.Q.F.D.
Le nombre de vecteurs distinguables
est égal au nombre de combinaisons de vecteurs pris deux à deux
et distinguables parmi n tel que:
(14.229)
Effectivement parmi les composantes, n composantes
sont nulles et les autres
composantes ont des valeurs opposées deux à deux. Nous pouvons
donc considérer que la moitié de ces dernières suffit à caractériser
le tenseur.
Dans le cadre du produit tensoriel extérieur où nous
avons:
(14.230)
le nombre de composantes distinguables est également de et
elles sont appelées "composantes
strictes".
Nous remarquons que pour ,
le nombre de composantes strictes du produit extérieur de deux
vecteurs est aussi égal à trois. Ceci permet de former avec
les composantes du bivecteur, les composantes d'un produit
vectoriel .
Ainsi, un produit vectoriel n'existe donc que pour un sous-espace
de bivecteurs dont le nombre de dimensions est égal à 3
et dont les pré-images sont des tenseurs antisymétriques.
Si
toutes ces conditions sont satisfaites, nous disons que le
vecteur constitue
le "tenseur adjoint" du
tenseur .
TENSEUR FONDAMENTAL
Nous avons vu au début de notre étude du calcul tensoriel
la définition des composantes covariantes du
tenseur fondamental, à savoir:
(14.231)
Ces quantités interviennent, nous le savons, dans
l'expression du produit scalaire de deux vecteurs et ,
de composantes contravariantes et ,
donné par la relation:
(14.232)
Utilisons le critère général de tensorialité pour mettre
en évidence le caractère tensoriel des .
L'expression précédente est un produit complètement contracté des
quantités avec
les composantes contravariantes d'un tenseur
arbitraire. Comme le produit scalaire est une quantité invariante
(en l'occurrence un scalaire) par rapport aux changements
de base, il en résulte que les quantités sont
les composantes covariantes d'un tenseur.
Ce tenseur est de plus symétrique par suite de la
propriété de symétrie
du produit scalaire des vecteurs de base telle que:
(14.233)
Nous avons de même pour les composantes contravariantes
du tenseur fondamental:
(14.234)
Si nous notons les
composantes mixtes du tenseur fondamental à lui-même:
(14.235)
avec évidemment dans la base canonique:
(14.236)
COORDONNÉES CURVILIGNES
Les notions classiques de système de coordonnées peuvent être
généralisées à des espaces ponctuels (voir le chapitre traitant
des Principes) à n dimensions. Nous appelons "système
de coordonnées" dans (espace
ponctuel à n dimensions donc), tout mode de
définition d'un point M dans le système considéré.
Pour un système donné de coordonnées
(cartésiennes, sphériques,
cylindriques, polaires...), nous appelons "ligne
de coordonnées" le "lieu" des
points M lorsqu'une
seule coordonnée varie, les autres étant égales à des
constantes.
Etudions tout d'abord la généralisation d'un système de
coordonnées relatives à un repère fixe (nous conseillons
vivement au lecteur d'avoir lu au préalable la partie traitant
des systèmes de coordonnées dans le chapitre de Calcul Vectoriel
et la partie traitant du formalisme lagrangien dans le chapitre
Principes).
Considérons un espace ponctuel et
un repère de
cet espace. Soit les
coordonnées rectilignes d'un point M de par
rapport à ce repère. Un système de coordonnées quelconque , ,
est obtenu en se donnant n fonctions arbitraires des
paramètres ,
telles que:
(14.237)
Nous supposerons par la suite que ces n fonctions
satisfont aux trois propriétés suivantes:
P1. Elles sont de classe supérieure ou égale à (dérivables
au moins deux fois pour les besoins de la physique). Cette
hypothèse implique, en tout point où elle est satisfaite,
que nous avons la permutabilité des dérivations
(par rapport aux deux dérivations):
(14.238)
P2. Ces fonctions sont telles que nous pouvons résoudre
le système des n équations de changement de
système de coordonnées par rapport aux variables et
les exprimer en fonction des ,
soit:
(14.239)
toujours avec .
P3. Lorsque les variables varient
dans un domaine ,
les variables varient
dans un domaine .
Le jacobien des fonctions ,
défini par:
(14.240)
sera supposé différent de zéro dans
le domaine (ainsi
que le jacobien des
fonctions ) et
est l'inverse du jacobien de .
Si les jacobiens existent, ils sont non nuls comme conséquence
en premier lieu de la deuxième propriété ci-dessus
et implicitement de la première.
Si nous fixons paramètres en
faisant varier un seul paramètre, par
exemple, nous obtenons les coordonnées d'un
ensemble de points M de qui
constituent une "ligne de coordonnées".
En général, les lignes de coordonnées
ne sont pas des droites mais des courbes; ces coordonnées sont
appelées pour cette raison des "coordonnées
curvilignes". En un point M de se
croisent d'ailleurs n lignes de coordonnées.
Nous démontrons en mécanique analytique, lors de l'étude
des espaces ponctuels, que les dérivées et les différentielles
d'un vecteur de sont
indépendantes du point O d'un repère donné.
Si est
rapporté à un système de coordonnées curvilignes ,
nous écrivons:
(14.241)
Exemple:
Un exemple de coordonnées curvilignes ,
où chaque est
une fonction uniforme des coordonnées rectilignes ,
les étant
de plus des fonctions continues au point courant M,
est celui des coordonnées sphériques où nous
avons (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(14.242)
Rappelons aussi que lors de notre étude du système de coordonnées
sphériques en calcul vectoriel nous avions obtenu:
(14.243)
Ainsi, nous voyons bien cette dépendance sous l'expression
des relations suivantes:
(14.244)
Dans un espace non-euclidien, nous ne pouvons définir
une base valable sur tout l'espace. Ainsi, nous construisons
une base en chaque point séparément et pour
cela, nous utilisons bien les coordonnées curvilignes
telles qu'en chaque point M,
les vecteurs de base sont
tangents à la ligne de coordonnées correspondante via
la relation donnée plus haut:
(14.245)
Soient maintenant les
coordonnées curvilignes du point M par
rapport à un repère cartésien .
Dans ce repère, nous avons bien évidemment:
(14.246)
où les coordonnées cartésiennes sont des fonctions .
Le vecteur a
donc pour expression:
(14.247)
A partir des composantes du
vecteur ,
nous pouvons former un déterminant qui
est précisément le jacobien des fonctions que
nous avions défini précédemment. Puisque ce déterminant
est différent de zéro (du moins imposé tel quel), il en résulte
que les n vecteurs sont
linéairement indépendants.
Ces n vecteurs, définis par la relation:
(14.248)
sont appelés la "base
naturelle" au
point M de l'espace vectoriel .
Ils sont colinéaires aux tangentes des n lignes
coordonnées qui se coupent au point M où ils
sont définis.
Nous n'insisterons pas sur le fait évident qu'à tout
système
de coordonnées curvilignes est associé un
repère naturel
dont la base est exprimée par ces mêmes coordonnées
(cf.
chapitre de Calcul Vectoriel).
Exemple:
En coordonnées sphériques, les vecteurs de la base naturelle
sont ceux que nous avons obtenus lors de notre étude du système
de coordonnées sphériques dans le chapitre de Calcul Vectoriel
et qui sont orthogonaux mais non orthonormés.
Associons au point M de un
repère formé par le point M et par les vecteurs
de la base naturelle. Ce repère est appelé le "repère
naturel" en M du système de coordonnées .
Il sera noté:
ou
(14.249)
La différentielle du vecteur s'exprime
alors sous la forme:
(14.250)
Les quantités constituent
les composantes contravariantes du vecteur dans
le repère naturel du
système de coordonnées .
Considérons maintenant deux systèmes quelconques de coordonnées
curvilignes et ,
liées entre elles par les relations:
(14.251)
où les fonctions sont
supposées plusieurs fois continument dérivables par rapport
aux et
de même pour les fonctions par
rapport aux coordonnées .
Lorsque nous passons d'un système de coordonnées à un
autre, nous disons que nous effectuons un "changement
de coordonnées curvilignes".
Nous avons vu en relativité générale que le carré de la
distance entre
deux points M et M' infiniment
proches est donné par la relation:
(14.252)
où les sont
les composantes du vecteur ,
rapportées à un repère fixe d'un espace ponctuel .
Lorsque cet espace est rapporté à un système de coordonnées
curvilignes ,
nous avons vu que la relation:
(14.253)
montre que le vecteur a
pour composantes contravariantes les quantités par
rapport au repère naturel .
Le carré de la distance s'écrit
alors dans le repère naturel:
(14.254)
où les quantités sont
les composantes du tenseur fondamental ou du tenseur métrique
définies à l'aide d'une base naturelle. L'expression précédente
s'appelle "l'élément linéaire
de l'espace ponctuel" ou
encore la "métrique" de
cet espace.
Les vecteurs du
repère naturel varient en général d'un point un autre. C'est
le cas, par exemple, des coordonnées sphériques dont les
quantités (nous
le démontrerons de suite après) sont variables !!
Une courbe de peut être
définie par la donnée des coordonnées curvilignes du
lieu des points en
fonction d'un paramètre .
La distance élémentaire ds sur cette courbe s'écrit
alors:
(14.255)
REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace
ponctuel de
la géométrie ordinaire, en coordonnées
sphériques. Ecrivons
l'expression des vecteurs dans
un repère cartésien fixe qui
est par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel
pour plus de détails):
(14.256)
Les vecteurs de la base naturelle étant donnés
par:
(14.257)
Nous avons ainsi:
(14.258)
La dérivée de par
rapport à donne
le vecteur :
(14.259)
La dérivée par rapport à donne
le vecteur :
(14.260)
Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que
nous le vérifions aisément en effectuant les
produits scalaires .
Lorsqu'il en est ainsi, nous disons que les coordonnées
sont des "coordonnées curvilignes
orthogonales" (cf. chapitre
de Géométrie Différentielle).
Nous retrouvons donc bien le même résultat
que dans le chapitre de Calcul Vectoriel.
Ces vecteurs ne sont cependant pas tous normés, puisque
nous avons:
(14.261)
Le repère naturel, en coordonnées sphériques,
est donc formé par
des vecteurs variables en direction et en module en chaque
point de M. Les quantités constituent
un exemple de tenseur métrique attaché à chacun
des points M de
l'espace .
L'élément linéaire du plan est donné par (les détails des
calculs peuvent être trouvés dans le chapitre de Relativité Générale):
(14.262)
REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES POLAIRES
Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace
ponctuel de
la géométrie ordinaire, en coordonnées
polaires. Ecrivons l'expression des vecteurs dans
un repère fixe cartésien qui
est par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel
pour plus de détails):
(14.263)
Les vecteurs de la base naturelle étant donnés
par:
(14.264)
Nous avons:
(14.265)
La dérivée de par
rapport à donne
le vecteur :
(14.266)
Ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que nous
le vérifions aisément en effectuant les produits
scalaires .
Nous retrouvons donc bien le même résultat que dans le chapitre
de Calcul Vectoriel.
Nous avons:
(14.267)
L'élément linéaire du plan est alors
donné par (cf.
chapitre de Relativité Générale):
(14.268)
REPÈRE NATUREL EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel associé à l'espace
ponctuel de
la géométrie ordinaire, en coordonnées
cylindriques. Écrivons l'expression des vecteurs dans
un repère fixe cartésien qui
est par définition (voir le chapitre de Calcul Vectoriel
pour plus de détails):
(14.269)
Les vecteurs de la base naturelle étant donnés
par:
(14.270)
Nous avons:
(14.271)
La dérivée de par
rapport à donne
le vecteur :
(14.272)
et enfin:
(14.273)
Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi qu'on
le vérifie aisément en effectuant les produits
scalaires .
Nous retrouvons donc encore une fois le même résultat
que dans le chapitre de Calcul Vectoriel.
Nous avons:
(14.274)
L'élément linéaire du plan est alors donné par (cf.
chapitre de Relativité Restreinte):
(14.275)
SYMBOLES DE CHRISTOFFEL
L'étude des champs de tenseurs constitue, pour le physicien,
l'essentiel de l'analyse tensorielle. Le tenseur générique de
ce champ est une fonction du point M et nous le
notons:
(14.276)
Si le tenseur est
une fonction seulement de M, le champ considéré est
appelé un "champ fixe".
Si est,
en outre, une fonction d'un ou plusieurs paramètres autres
que les coordonnées de M, nous disons alors que
ce champ est variable et nous le notons:
(14.277)
Les différentes opérations algébriques sur les tenseurs associés à un
même point M ne soulèvent pas de difficulté particulière.
La dérivée de par
rapport à un paramètre conduit à utiliser
les résultats classiques relatifs à la dérivation des vecteurs.
Cependant, une difficulté apparaît lorsque nous cherchons à calculer
la dérivée d'un tenseur par
rapport aux coordonnées curvilignes. En effet, les composantes
du tenseur sont définies en chaque point M par
rapport à un repère naturel qui varie d'un point à un autre.
Par suite, le calcul de la variation élémentaire,
appelée "transport élémentaire":
(14.278)
lorsque nous passons d'un point M à un point
infiniment voisin M ' ne peut se faire que
si nous avons recours à une même base. Pour pouvoir comparer
l'un à l'autre les tenseurs et ,
nous sommes amenés à étudier comment varie
un repère naturel,
pour un système de coordonnées donné,
lorsque nous passons d'un point M au point
infiniment voisin M '.
Pour un système de coordonnées curvilignes donné d'un
espace ponctuel un
problème fondamental de l'analyse tensorielle consiste
donc à déterminer,
par rapport au repère naturel au
point M, le repère naturel au
point infiniment voisin M '. Nous disons alors que
nous recherchons une "connexion
affine".
D'une part, le point M' sera parfaitement
défini par rapport à M si nous déterminons
le vecteur tel
que .
Pour des coordonnées curvilignes ,
la décomposition d'un vecteur élémentaire est
donnée par la relation que nous avons démontrée précédemment:
(14.279)
les quantités étant
les composantes contravariantes du vecteur sur
la base naturelle .
D'autre part, les vecteurs vont
pouvoir être déterminés en calculant les variations élémentaires des
vecteurs ,
par rapport au repère naturel ,
lorsque nous passons de M en M ';
nous avons alors:
(14.280)
Le calcul des vecteurs reste
alors le problème essentiel à résoudre.
Nous allons tout d'abord étudier un exemple de ce
type de calcul en coordonnées
sphériques.
Pour cela, reprenons l'expression des vecteurs de
la base naturelle en coordonnées sphériques, soit:
(14.281)
Les vecteurs de base du
repère fixe cartésien étant constants en module et en direction,
la différentielle du vecteur s'écrit:
(14.282)
Nous remarquons que les termes entre parenthèses représentent
respectivement les vecteurs et ,
d'où:
(14.283)
Nous calculons de même, en différentiant les vecteurs :

(14.284)
Avec:
(14.285)
nous avons:
(14.286)
Donc finalement:
(14.287)
Et:
(14.288)
Après quelques opérations algébriques élémentaires et très
pertinentes (...), nous arrivons à:
(14.289)
Les différentielles sont
ainsi décomposées sur la base naturelle .
Si nous notons ,
les composantes contravariantes du vecteur ,
celui-ci s'écrit:
(14.290)
Les composantes du
vecteur sont
des formes différentielles (combinaisons linéaires
de différentielles).
Nous avons, par exemple:
(14.291)
Si nous notons de manière générale les
coordonnées sphériques, nous avons:
(14.292)
Les différentielles des coordonnées sont alors notées:
(14.293)
et les composantes s'écrivent
alors de manière générale:
(14.294)
où les quantités sont
des fonctions de qui
vont être explicitement obtenues en identifiant chaque composante .
Par exemple, la composante s'écrit
avec la notation de la relation précédente:
(14.295)
Identifiant les coefficients des différentielles, il vient:
(14.296)
En procédant de même avec les neuf composantes ,
nous obtenons les vingt-sept (...) termes dont
les calculs détaillés pour les 27 sont
donnés
beaucoup plus bas dans le texte. Pour un système
de coordonnées
curvilignes quelconques, ces quantités sont
appelées les "symboles
de Christoffel de deuxième espèce" ou
encore "fonctions
euclidiennes de connexion affine".
Ainsi, pour un espace ponctuel et
un système de coordonnées curvilignes quelconque,
la différentielle des
vecteurs de
la base naturelle s'écrit sur cette base:
(14.297)
Nous venons de voir, sur l'exemple des coordonnées sphériques,
qu'un calcul direct permet, par identification, d'obtenir
explicitement les quantités .
Nous allons voir que nous pouvons également obtenir l'expression
de ces quantités en fonction des composantes .
Le calcul des quantités en
fonction des va
nous amener à introduire d'autres symboles de Christoffel.
Pour cela, écrivons les composantes covariantes, notées ,
des différentielles ,
soit:
(14.298)
Les composantes covariantes sont également des combinaisons
linéaires des différentielles que
nous pouvons écrire sous la forme:
(14.299)
Les quantités sont
appelées les "symboles de Christoffel
de première espèce".
Nous voyons très bien en parcourant à nouveau
les définitions des symboles de Christoffel que:
1. Pour ce qui est des symboles de 2ème espèce,
ils sont symétriques par rapport à leurs
indices inférieurs et donc si la métrique est symétrique,
nous avons:
(14.300)
2. Pour ce qui est des symboles de 1ère
espèce, ils sont aussi symétriques par rapport à leurs
indices extrêmes si la métrique est symétrique:
(14.301)
Effectivement (suite à la demande d'un lecteur), puisque
nous avons:
(14.302)
Il vient alors:
(14.303)
et en permutant les indices i et j:
(14.304)
L'identification terme à terme du développement sur un
cas concret des deux dernières relations donnera (forcément)
l'égalité:
(14.305)
que nous voulions prouver.
Puisque les composantes covariantes sont liées aux composantes
contravariantes par les relations (contraction des indices):
(14.306)
nous obtenons l'expression liant les symboles de Christoffel
de chaque espèce:
(14.307)
Inversement:
(14.308)
Remarque: Diverses
notations sont utilisées pour représenter les symboles de
Christoffel. Les plus usuelles sont les suivantes:
- Symboles de première espèce:
(14.309)
- Symboles de deuxième espèce:
(14.310)
Considérons maintenant un espace ponctuel et
soit un élément linéaire donné de
cet espace:
(14.311)
Partant de:
(14.312)
nous obtenons par différenciation:
(14.313)
En y injectant l'expression des différentielles cela
nous
donne:
(14.314)
où le terme représente
la composante mixte du
vecteur .
On peut rendre cette composante covariante en la prémultipliant
par le tenseur métrique de
manière à former
quantité que
l’on pourra à son tour
exprimer au moyen des symboles de Christoffel comme suit:
(14.315)
substituant la relation dans
l'expression précédente (les indices utilisés
dans cette relation ne sont pas ceux de l'expression
en cause, mais mutatis mutandis cela revient
au même), nous obtenons alors:
(14.316)
La différentielle s'écrit
alors:
(14.317)
D'autre part, la différentielle de la fonction s'écrit également:
(14.318)
d'où en identifiant les coefficients des différentielles dans
ces deux dernières expressions (beaucoup plus bas
dans le présent chapitre, il y a un exemple détaillé de toutes
les relations qui vont suivre avec plusieurs systèmes de
coordonnées):
(14.319)
Relation que le lecteur pourra (s'il doute) vérifier avec
les exemples pratiques détaillés qui se trouvent bien plus
bas.
Comme nous avons (dans le cas pour rappel d'une métrique
symétrique):
(14.320)
où il est fortement recommandé au lecteur
de se rappeler pour la suite que la permutation des indices
respectant cette dernière relation ne fonctionne,
en général, que sur les indices extrêmes.
Nous pouvons donc écrire l'avant-dernière
relation:
(14.321)
puis en effectuant une permutation circulaire sur les indices
(donc il ne s'agit pas d'une permutation des indices extrêmaux!),
nous obtenons:
(14.322)
En effectuant la somme:
(14.323)
et en retranchant:
(14.324)
En simplifiant il vient:
(14.325)
d'où:
(14.326)
C'est l'expression des symboles de Christoffel de première
espèce en fonction des dérivées partielles
des composantes du
tenseur fondamental. Nous comprenons ainsi pourquoi dans
un référentiel localement inertiel (du type
Minkowski) les symboles de Christoffel sont tous nuls (étant donné que
la métrique est constante).
Nous obtenons ceux de deuxième espèce à partir
de la relation (par définition) suivante souvent appelée
"théorème fondamental
de la géométrie
riemannienne" ou "connexion
de Levi-Civita":
(14.327)
Les deux dernières expressions encadrées ci-dessus
permettent le calcul effectif des symboles de Christoffel
pour une métrique
donnée
(d'où un énorme gain en calculs). Lorsque les quantités sont
données a priori, nous pouvons ainsi étudier
les propriétés
de l'espace ponctuel défini par la donnée de
cette métrique,
ce qui est le cas des espaces de Riemann que nous verrons
plus loin.
Exemple:
Proposons-nous de calculer les correspondant
au système de coordonnées polaires (ce sera
déjà suffisamment
long...) dans le plan que nous noterons cette fois-ci (contrairement
au chapitre de Calcul Vectoriel) en notation indicielle:
avec
(14.328)
Nous allons calculer les symboles de Christoffel à partir
de notre dernière relation:
(14.329)
Occupons-nous de déterminer les composantes de la
métrique.
Au fait, elles sont les mêmes que celles que nous avions
calculées pour les coordonnées cylindriques
plus haut à la
différence normalement évidente que n'existe
pas. Dès lors, nous avons:
(14.330)
Calculons alors les .
Dans cet exemple c'est assez trivial, il suffit d'appliquer
la relation démontrée au début de ce
chapitre:
(14.331)
Nous avons alors immédiatement:
(14.332)
Maintenant développons l'écriture de symboles de Christoffel
pour ces coordonnées:
(14.333)
d'où en raison des propriétés de symétrie:
(14.334)
De même:
(14.335)
En résumé:
(14.336)
THÉORÈME DE RICCI
Avant de lire ce qui va suivre... je tiens à rappeler
au lecteur que la rédaction de ce chapitre n'est
pas terminée!
Ainsi, il me faut encore illustrer les notions abstraites
qui vont suivre par des exemples pratiques concrets!
Ceci étant dit, nous avons donc vu dans le chapitre de Relativité Générale
que les géodésiques sont les distances les
plus courtes entre deux points dans n'importe quel type d'espace.
Ce qui va nous intéresser maintenant, c'est d'étudier
les variations d'un vecteur au cours d'un tel déplacement.
Rappelons d'abord que l'équation des géodésiques
pour un système de coordonnées curvilignes
quelconque de
l'espace ponctuel (cf.
chapitre des Principes) est donnée par (cf.
chapitre de Relativité Générale):
(14.337)
Considérons maintenant un vecteur de de
composantes covariantes et
formons le produit scalaire des vecteurs et (ce
dernier vecteur, noté directement ici de manière
abusive avec les indices, donne les composantes tangentes à la
géodésique sur laquelle circule le premier
vecteur), nous avons alors la quantité suivante:
(14.338)
Lors d'un déplacement le long de la géodésique,
d'un point M à un point infiniment voisin M',
le scalaire subit la variation:
(14.339)
et comme:

(14.340)
d'où:
(14.341)
Remplaçons dans cette dernière expression,
d'une part la différentielle de par
sa différentielle totale exacte:
(14.342)
et d'autre part, la dérivée seconde par
son expression tirée de l'équation des géodésiques.
Nous obtenons:
(14.343)
qui peut encore s'écrire:
(14.344)
où nous avons posé:
(14.345)
qui sont par définition les différentielles
absolues des composantes covariantes du vecteur .
Nous définissons également la "dérivée
covariante" (appelée également "connexion")
par la relation:
(14.346)
Remarque: Dans
les ouvrages anciens ou américains ceci est souvent
noté sous la forme (que nous n'utiliserons aucunement
sur ce site):
(14.347)
faisant donc usage du ";" pour noter la dérivée
covariante et de la "," pour différentielle partielle.
Puisque la dérivée du produit de deux fonctions
est la somme des dérivées partielles, nous
avons alors aussi:
(14.348)
Si nous posons alors
nous avons (résultat que nous utiliserons après
avoir démontré le théorème de
Ricci pour déterminer plus loin le tenseur d'Einstein
nécessaire
dans le chapitre de Relativité Générale):
(14.349)
En coordonnées curvilignes, pour que la différentielle
d'un vecteur soit un vecteur, il faut que les deux vecteurs
dont nous prenons la différence se trouvent en un
même point de l'espace. En d'autres termes, il faut
transporter, d'une manière ou d'une autre, l'un des
deux vecteurs infiniment voisins au point où se trouve
le second et , seulement après faire la différence
des deux vecteurs qui se trouvent maintenant en un seul et
même point de l'espace. L'opération de transport
parallèle doit être définie de telle
sorte qu'en coordonnées cartésiennes (pour
le petit exemple), la différence des composantes coïncide
avec la différence ordinaire .
Ainsi, nous avons bien en coordonnées cartésiennes:
(14.350)
puisque dans ce système: .
Ainsi, en coordonnées curvilignes la différence
des composantes des deux vecteurs après le transport
de l'un d'entre eux au point où se trouve l'autre
est notée telle
que nous ayons:
(14.351)
Ceci nous amène à:
(14.352)
Mais aussi à écrire le principe de moindre
action (principe variationnel) sous la forme tensorielle:
(14.353)
Considérons maintenant un tenseur d'ordre deux, produit
de deux tenseurs d'ordre un tel que (nous l'avons vu lors
de notre étude des compositions de tenseurs):
(14.354)
Donc:
(14.355)
d'où (nous sortons les deux dernières égalités juste
pour l'esthétique!):
(14.356)
Ce qui nous amène à pouvoir écrire
la métrique sous sa forme variationnelle appelée "identité de
Ricci":
(14.357)
Mais nous avons aussi puisque :
(14.358)
d'où l'identité:
(14.359)
Avec les deux relations:
et
(14.360)
et la différentielle absolue (qui se généralise
simplement pour un tenseur d'ordre deux):
(14.361)
Nous avons:
(14.362)
Or, rappelons que nous avons par définition:
et
(14.363)
Donc finalement:
(14.364)
La différentielle absolue sur une géodésique
dans l'approximation d'un transport infinitésimal
du tenseur fondamental est donc (comme nous pouvions nous
y attendre) nulle. C'est le "théorème
de Ricci". Certains physiciens théoriciens
disent dès lors que "la dérivée
covariante tue la métrique" dans le sens où la
métrique ne change pas sur un différentiel
d'espace.
Finalement, nous voyons aussi que pour un tenseur d'ordre
deux (la métrique en particulier) nous avons:
(14.365)
Nous pouvons donc écrire la différentielle
absolue qui dans ce cas particulier est nulle:
(14.366)
et donc la dérivée covariante de la métrique
est bien nulle:
(14.367)
Remarque: Il
faudra se rappeler lors de la définition du tenseur
d'Einstein que:
et
(14.368)
et qu'il s'agit d'une autre manière d'exprimer qu'une
variation infinitésimale sur une géodésique
selon le principe de moindre action tue la métrique.
Nous allons donc travailler à partir de maintenant
(comme avant déjà) avec des équations
différentielles non nécessairement linéaires
qu'il faudra intégrer pour trouver le comportement
de la matière dans un espace donné.
Déterminons maintenant une expression qui nous sera
très utile en relativité générale
lorsque nous déterminerons l'équation d'Einstein
des champs (une autre manière d'exprimer que la dérivée
covariante de la métrique est nulle):
Effectuons la multiplication contractée de:
(14.369)
par ,
il vient alors en utilisant la relation (que
nous avions démontrée beaucoup plus haut) que:
(14.370)
d'où la relation:
(14.371)
Les quantités et représentant
les mêmes sommes, nous avons alors:
(14.372)
Considérons maintenant g le
déterminant des quantités .
La dérivation du déterminant nous donne:
(14.373)
Démonstration:
Soit une variable quelconque
que nous choisissons ici être
le temps t uniquement pour simplifier les notations
des calculs qui vont suivre. Lorsque la partie principale
du développement sera achevée, le résultat
peut être adapté à toute autre variable.
Nous noterons pour la suite les éléments
de la j-ème colonne de .
Pour les développements qui vont suivre, nous définissons
les notations:
(14.374)
La règle de dérivation d'un déterminant
fonctionnel est (cf. chapitre d'Algèbre
Linéaire):
(14.375)
En considérant le premier déterminant, en
faisant appel aux mineurs pour le développement de
sa première colonne:
(14.376)
Pour le j-ème déterminant, il vient:
(14.377)
Soit:
ou
(14.378)
Or, nous avons démontré bien plus haut que
le tenseur métrique est son propre inverse. Donc
(14.379)
Ce qui nous permet d'écrire:
(14.380)
et donc:
(14.381)
Ce qui s'écrit également (suite aux conventions
définies au début de la démonstration):
(14.382)
où le lecteur doit donc prendre garde à ne pas mal lire
en pensant typiquement que la dérivée dans le terme de droite
dérive tout... alors qu'il ne dérive que .
Nous pouvons adopter cependant une autre variable. Soit h cette
autre variable:
(14.383)
Soit en réarrangeant:
(14.384)
C'est ce que nous voulions (devions) démontrer.
C.Q.F.D.
Maintenant en combinant:
(14.385)
démontré plus haut et le résultat
que nous venons de démontrer:
(14.386)
il vient:
(14.387)
Nous avons donc:
(14.388)
Montrons qu'il est possible de dériver cette dernière
relation de l'égalité importante suivante:
(14.389)
Effectivement:
(14.390)
Cette relation ne veut pas dire grand-chose tant que nous
n'en ferons pas un usage plus explicite lors de notre étude
de la relativité générale (cf.
chapitre de Relativité Générale).
Soit maintenant à déterminer la dérivée
covariante seconde du tenseur métrique. Rappelons-nous
avant d'aller plus loin (car c'est important) que nous avions
obtenu:
(14.391)
TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL
Rappelons que nous avons démontré plus haut
que:
(14.392)
Cette relation exprime sauf erreur de la part du rédacteur
de ces lignes.... la dérivée covariante d'un
tenseur d'ordre deux - tel que la métrique - sur un
chemin géodésique dans deux directions parallèles
(la dérivée covariante seconde permettant
de créer la "perpendiculaire géodésique" entre
les deux géodésiques infiniment proches de
la dérivée covariante première). Nous
appelons un tel déplacement: un "transport
parallèle".
En y substituant:
(14.393)
Nous avons alors:
(14.394)
Permutons maintenant les indices j et k dans
l'expression précédente pour avoir une différentielle
par rapport à un autre chemin:
(14.395)
En admettant que les composantes vérifient les propriétés
classiques ,
nous obtenons par soustraction des deux expressions précédentes:
(14.396)
et puisque nous avons démontré que dans le
cas d'une métrique symétrique nous avions:
(14.397)
Nous avons donc:
(14.398)
Remarque: Le fait d'avoir dans le
cas d'une métrique symétrique et
qui s'annule dans la relation précédent, amène
de nombreux praticiens à définir ce que nous
appelons le "tenseur
de torsion" ou "torseur" (mais en réalité il
s'agit d'un cas particulier d'une relation plus générale
qui appartient au domaine de la géométrie
différentielle). Ainsi, nous définissons
le tenseur de torsion comme:
(14.399)
et dans le cas d'une métrique symétrique
(espace euclidien), la torsion est par extension nulle! En
réalité,
l'équation d'Einstein
des champs que nous démontrerons plus loin supposera
implicitement une métrique symétrique à torsion
nulle. Cependant, il est possible de démontrer qu'un
tenseur non symétrique peut toujours
être décomposé en un tenseur symétrique
et non symétrique (c'est trivial car c'est comme séparer
une matrice complète en la somme d'une matrice ayant
une diagonale seule et une autre matrice ayant la diagonale
nulle).
Il reste alors:
(14.400)
Comme le transport parallèle se fait sur des chemins de
géodésiques infiniment proches, nous prenons la limite:
(14.401)
ce qui sous-tend surtout le fait que le champ de vitesse
est quasi égal
en deux points parallèles infiniment proches.
Il reste alors:
(14.402)
Cette relation exprime le fait que, comme la gravité,
la courbure de l'espace-temps cause une accélération
mutuelle entre les géodésiques. De plus, il
est facile de constater, que l'accélération
mutuelle entre les géodésiques est nulle
si les tenseurs de Riemann-Christoffel sont nuls (typiquement
en coordonnées cartésiennes, in extenso cela
signifie pour un espace-temps plat). C'est exactement ce
que nous attendons
de la gravité: si nous n'observons aucune accélération,
la courbure (nous allons de suite définir ce que c'est)
est nulle et si la courbure est nulle, nous n'observons aucune
accélération. Morale de l'histoire: la gravité est
courbure et la courbure est gravité!!
Nous voyons que la quantité entre parenthèses
est un tenseur d'ordre quatre que nous noterons sur ce site
(car il y a plusieurs traditions dans la manière de
le noter...):
(14.403)
et qui résume à lui seul le transport parallèle
et le fait que gravité et géométrie
de l'espace sont liées ensemble. Évidemment,
si la métrique est de type Minkowski (ou tend vers
une métrique
de Minkowski dans certaines conditions), est
alors nul!!! De très rares auteurs notent cette dernière
égalité sous la forme (malheureuse....):
(14.404)
Le tenseur est
appelé "tenseur de Riemann-Christoffel" ou "tenseur
de l'espace Riemannien". La courbure d'un espace Riemannien
peut aussi être caractérisée à l'aide
de ce tenseur.
Si nous multiplions le tenseur par ,
nous avons alors les données covariantes de ce tenseur
telles que:
(14.405)
et soient les relations suivantes que nous avions démontrées:
(14.406)
Dès lors, il vient:
(14.407)
et remplaçons les quantités par .
Nous obtenons alors:
(14.408)
Nous avions aussi démontré que:
(14.409)
D'où:
(14.410)
et comme:
(14.411)
Nous avons:
(14.412)
et nous avions aussi démontré que:

d'où:
(14.413)
et en les reportant dans l'avant-dernière relation,
nous obtenons:
(14.414)
Nous avons donc finalement pour l'expression covariante
du tenseur de Riemann-Christoffel:
(14.415)
Il convient de remarquer que le tenseur de Riemann-Christoffel
est donc antisymétrique:
(14.416)
et que dans la parenthèse de la relation antéprécédente,
nous n'avons que des dérivées partielles doubles
alors qu'en dehors de la parenthèse les symboles de
Christoffel ne contiennent que des dérivées
partielles simples!
Enfin, la permutation en bloc des indices ij et rs nous
donne, par suite de la symétrie des et
en invertissant leur ordre de dérivation:
(14.417)
Effectuons maintenant une permutation circulaire sur les
indices j, r, s dans l'expression
(obtenue juste un peu plus haut):
(14.418)
il vient:
(14.419)
et nous avons alors (c'est très simple à contrôler
en sommant les trois lignes ci-dessus):
(14.420)
L'identité précédente est appelée "première
identité de Bianchi" ou également "identité
de Bianchi algébrique" et elle met en
évidence la propriété de cyclicité du
tenseur. En réalité, nous ne devrions pas
parler d'identité
puisqu'elle est vérifiée uniquement (du moins
à ma connaissance) dans le cas d'un tenseur métrique
symétrique
(sinon quoi la torsion n'est pas nulle pour rappel!).
Le lecteur
observera qu'il est immédiat que cette dernière
relation est satisfaite dans le cas de la métrique
de Minkowski puisque si en tout point la dérivée
partielle de la métrique
est nulle nous avons:
(14.421)
Et nous verrons dans le chapitre de Relativité Générale
que cette première identité
servira de base à la construction de la métrique
de Schwarzschild.
Si la métrique est de type Minkowski (nous changeons
les notations des indices afin d'être
plus conforme aux écritures
habituelles en relativité générale)
alors il est immédiat que nous avons aussi:
(14.422)
Mais dans le cas où la métrique n'est pas
du type Minkowski, cette dernière relation peut être
satisfaite et a un intérêt que si et seulement
si la métrique
choisie est décomposable en série
de Taylor dont les dérivés partielles premières
sont nulles en 0 (cf. chapitre de Géométrie Différentielle
lors de notre étude.
Relation qui ne serait valable que dans le cas d'un système
localement inertiel où tous les symboles de Christoffel
s'annulent mais pas leurs dérivées.
Par extension:
(14.423)
Rappelons qu'implicitement, cette relation (appelée "deuxième
identité de Bianchi" ou "identité
de Bianchi différentielle") exprime
toujours simplement (si l'on peut dire...) le fait que gravité et
géométrie
de l'espace sont liées ensemble.
TENSEUR DE RICCI
Avant de voir les conséquences de l'identité de
Bianchi, nous avons besoin de définir le "tenseur
de Ricci":
(14.424)
qui est donc simplement la contraction des premier et troisième
indices du tenseur de Riemann-Christoffel que nous avions
donné plus haut:
(14.425)
en d'autres termes c'est juste une notation
plus condensée... et puis les lettres pour les indices
supérieurs
ou inférieurs ainsi que la présence de la virgule
sont au libre choix de celui qui écrit (en fonction
de l'humeur et surtout si le contexte permet d'éviter
toute confusion).
Par exemple avec le tenseur de Riemann-Christoffel
que nous venons de donner le tenseur de Ricci pourrait en
fonction de l'humeur s'écrire des deux manières
suivantes (nous gardons les indices avec les lettres latines):
(14.426)
D'autres contractions d'autres indices
pourraient aussi être
possibles mais parce que est
antisymétrique sur et alors
la contraction sur ces indices reviennent à avoir .
De manière similaire, nous définissons le "scalaire
de Ricci" (aussi parfois appelé "scalaire
de Riemann") par la relation:
(14.427)
qui possède les propriétés suivantes:
- Si l'espace est plat, le scalaire de Ricci
est nul
- Si l'espace est courbé comme une sphère,
le scalaire de Ricci est positif
- Si l'espace est courbé comme une selle
de cheval, le scalaire de Ricci est négatif
Soit explicitement (en changeant de notation
pour les indices afin de bien insister sur le fait que cela
n'a aucun impact!):
(14.428)
Nous aurons des exemples pratiques concrets
dans le chapitre de Relativité Générale
pour les deux premiers cas mais regardons des exemples simplifiés
pour les deux premiers (nous ne démontrerons par contre
pas la réciproque).
Exemples
(tous avec des métriques symétriques...):
E1. Commençons par la métrique de l'espace
plat (sans la composante temporelle). Nous avons (cf.
chapitre de Relativité Générale):
(14.429)
En reprenant la définition du scalaire de Ricci sous forme
explicite:
(14.430)
Il est immédiat que R est nul puisque les
dérivées
partielles seront toutes nulles. Donc un espace plat a un
scalaire de Ricci nul.
E2. Regardons maintenant avec la métrique du plan
exprimée en
coordonnées sphériques (sans la composante
temporelle). Nous avons (cf. chapitre
de Relativité Générale):
(14.431)
et:
(14.432)
avec:
(14.433)
Nous savons que pour calculer le scalaire de Ricci (ou:
courbure de Ricci), il nous faut donc calculer la contraction
du tenseur
de Riemann-Christoffel (soit: le tenseur de Ricci) qui lui-même
dépend
des symboles de Christoffel de deuxième
espèce qui eux-mêmes dépendent des symboles
de Christoffel de première espèce (argh!).
Nous allons donc commencer par le plus bas niveau, c'est-à-dire
par déterminer tous les symboles de Christoffel de première
espèce donnés pour rappel par:
(14.434)
Nous avons donc ,
soit 27 symboles de Christoffel de première espèce possibles!
Même si certains symboles sont égaux (nous l'avons démontré!),
nous allons quand même tout calculer.
Commençons dans la joie et la bonne humeur...:




(14.435)




Calculons maintenant tous les symboles de Christoffel de
deuxième espèce dans les détails:
(14.436)
Encore une fois, comme le tenseur métrique est diagonal,
cela va nous simplifier les calculs!
Nous avons alors:
(14.437)
Calculons maintenant les 9 composantes du tenseur de Ricci
dans les détails selon:
(14.438)
Nous avons alors (nous les calculons tous, même si nous
savons que par la suite ceux qui n'ont pas seront
inutiles de par la métrique diagonale):


(14.439)





Calculons maintenant le scalaire de Ricci:
(14.440)
Nous avons alors:
(14.441)
Le scalaire de Ricci est donc nul aussi. Ce résultat peut
surprendre, mais en réalité il est logique puisque nous n'avons
fait que de calculer la courbure scalaire d'un espace plat
exprimé en coordonnées sphériques.
E3. Imposons-nous maintenant la métrique diagonale
de surface de la 2-sphère (sans
la composante temporelle). Nous avons alors conformément à ce
que nous avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle:
(14.442)
et:
(14.443)
Soit (cf. chapitre de Géométrie Différentielle):
(14.444)
où r est une constante!
Nous allons donc commencer par le plus bas niveau, c'est-à-dire
par déterminer tous les symboles de Christoffel de première
espèce donnés pour rappel par:
(14.445)
Nous avons donc ,
soit 8 symboles de Christoffel de première espèce possibles!
Même si certains symboles sont égaux (nous l'avons démontré!),
nous allons quand même tout calculer.
(14.446)


Calculons maintenant tous les symboles de Christoffel de
deuxième espèce dans les détails:
(14.447)
Encore une fois, comme le tenseur métrique est diagonal,
cela va nous simplifier les calculs!
Nous avons alors:
(14.448)
Calculons maintenant les 4 composantes du tenseur de Ricci
dans les détails selon:
(14.449)
Nous avons alors (nous les calculons tous, même si nous
savons que par la suite ceux qui n'ont pas seront
inutiles de par la métrique diagonale):


(14.450)

Calculons maintenant le scalaire de Ricci:
(14.451)
Nous avons alors:
(14.452)
Nous constatons que:
1. Le scalaire de Ricci est une constante. Cela signifie
que l'hypersurface possède une courbure constante
en tous points de la surface (nous savons que la sphère
par symétrie
possède une courbure constante en tous points). Elle
possède
donc une forme de symétrie, vis-à-vis de sa
courbure. Nous avons alors affaire à une "variété maximalement
symétrique".
2. Ce scalaire est positif ce qui décrit un espace bombé (boule,
sphère)
Remarque: Attention à ne pas
confondre la valeur de la courbure de Ricci, et celle de
la courbure de Gauss.
TENSEUR D'EINSTEIN
Appliquons une contraction à la deuxième identité de
Bianchi (valable pour rappel que si la métrique est
positive):
(14.453)
Rappelons que et
de même par extension que .
Donc finalement ceci nous amène à écrire
de par la propriété des dérivées
(produit en somme):
(14.454)
et donc à obtenir:
(14.455)
En utilisant la propriété d'antisymétrie
du tenseur de Riemann-Christoffel, nous écrivons:
(14.456)
Ce qui revient finalement à écrire de par
la définition du tenseur de Ricci:
(14.457)
Cette dernière relation étant appelée "identité de
Bianchi contractée".
Contractons cette relation encore une fois:
(14.458)
Ce qui revient identiquement à écrire en utilisant
les propriétés de la sommation d'Einstein (qui permet librement
de changer les indices):
(14.459)
Ce qui équivaut à:
(14.460)
Comme ,
nous avons:
(14.461)
En montant l'indice par
multiplication avec ,
nous obtenons "l'identité d'Einstein":
(14.462)
Le "tenseur d'Einstein" (tenseur
d'ordre deux et contravariant dans le cas présent) qui est
donc une constante dans un espace Riemannien donné est
dès lors défini par:
(14.463)
et exprime de la façon la plus courte qui soit, le
transport parallèle..
Identiquement, nous pouvons obtenir la forme covariante:
(14.464)
Le tenseur est donc construit pour une métrique uniquement
Riemannienne (ce qui fait cependant quand même pas
mal d'espaces possibles...), et est automatiquement non divergent:
(14.465)
Il faut bien se rappeler cependant qu'une grande partie
des derniers développements considèrent une
métrique symétrique.
Raison pour laquelle certains parlent de "théorie
gravitationnelle symétrique".
Nous retrouverons ce tenseur naturellement dans le chapitre
de Relativité Générale
lorsqu'en faisant usage du principe variationnel nous décomposerons
l'action en deux termes:
1. l'action de la masse dans le champ gravitationnel
2. l'action du champ gravitationnel en l'absence de masse
En exprimant le tout dans un espace Riemannien nous obtiendrons
alors la non moins fameuse équation d'Einstein des
champs (sans plus d'explications dans ce chapitre):
(14.466)
les détails étant donnés dans le chapitre
de Relativité Générale.
Remarque: Comme
nous le voyons, nous pouvons très bien rajouter un
terme constant à l'expression du tenseur d'Einstein,
sans que cela ne change la nullité de sa divergence.
Ce fait, utilisé en astrophysique, permet de construire
des modèles d'Univers particuliers que nous traitons
dans le chapitre d'Astrophysique.
Exemple:
Calculons le tenseur d'ordre 2 covariant d'Einstein:
(14.467)
basé
sur la métrique diagonale de surface de
la 2-sphère (sans
la composante temporelle):
(14.468)
Comme la métrique est diagonale, nous avons
bien démontré plus haut par l'exemple que:
(14.469)
et comme dans le cas présent, nous avons
aussi:
(14.470)
Il vient que:
(14.471)
Donc nous n'avons qu'à nous concentrer sur
deux composantes:
(14.472)
ce qui vérifie bien ce que nous avons dit
plus haut.

- Le calcul tensoriel en physique,
J. Hladik + P.-E. Hladik, Éditions Dunod, ISBN10: 2100040715
(172 pages) - Imprimé en
1993
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