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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Comme nous le verrons en premier en physique
quantique relativiste, les spineurs jouent un rôle majeur
dans la théorique quantique et en conséquence dans
toute la physique contemporaine (théorique quantique des
champs, modèle standard, théorie des cordes,...).
Ce fut à partir de
1927 que les physiciens Pauli, puis Dirac introduisirent les spineurs
pour la représentation des fonctions d'onde (cf.
chapitre de Physique Quantique Relativiste). Cependant,
sous leur forme mathématique,
les spineurs avaient été
découverts par Élie Cartan dès 1913 lors de
ses recherches sur les représentations des groupes en faisant
suite à la théorie générale des espaces
de Clifford (introduits par le mathématicien W.K. Clifford
en 1876). Il montra, comme nous le verrons, que les spineurs
fournissent
au fait une représentation linéaire du groupe des
rotations d'un espace à un nombre quelconque de dimensions.
Ainsi, les spineurs sont donc étroitement liés à
la géométrie mais leur présentation est souvent
faite de manière abstraite sans signification géométrique
intuitive. Ainsi, nous allons nous efforcer (comme toujours sur
ce site) dans ce chapitre d'introduire de la manière la
plus simple et intuitive possible les théories des spineurs.
Le formalisme spinoriel n'intéresse
pas seulement la physique quantique et ses travaux, entre
autres, de Roger Penrose ont montré que la théorie
spinorielle était une approche extrêmement féconde
de la théorie de la relativité générale.
Bien que le plus couramment utilisé pour le traitement
de la relativité générale soit le calcul
tensoriel, Penrose a montré que dans le cas spécifique
de l'espace
à quatre dimensions et la métrique de Lorentz, le
formalisme des spineurs à deux composantes est plus approprié.
La théorie des spineurs
ou "géométrie spinorielle" est extrêmement
vaste mais ce site ayant plus pour objectif de s'adresser aux
physiciens,
nous nous limiterons aux spineurs utiles en physique quantique
ainsi que leurs propriétés y relatives.
Remarque: Nous conseillons vivement au lecteur
d'avoir lu au préalable
le sous-chapitre sur les quaternions (cf.
chapitre Nombres), le sous-chapitre sur les rotations
dans l'espace (cf. chapitre Géométrie
Euclidienne) et enfin, si possible pour avoir un exemple
pratique physique, le chapitre de physique quantique relativiste.
SPINEUR
UNITAIRE
Nous allons donner ici une
première définition (ou exemple) particulière
simplifiée des spineurs. Ainsi, nous allons montrer qu'il
est possible à
partir d'un tel outil de représenter un vecteur d'un espace
à trois composantes à l'aide d'un spineur à
deux composantes. La méthode est extrêmement simple
et celui qui a déjà lu la partie du chapitre de
Physique Quantique Ondulatoire traitant de l'équation de
Dirac ainsi que le chapitre d'Informatique Quantique y verra une
analogie
assez grandiose.
Considérons pour commencer la sphère
suivante d'équation (cf. chapitre
de Géométrique Analytique)
(15.1)
Et considérons le schéma suivant:

Figure: 15.1 - Sphère unitaire
Considérons-y les
coordonnées (x, y, z)
d'un point P de la sphère centrée
en O et
de rayon unité et
notons N et S les points d'intersection
de l'axe Oz avec la sphère.
Le point S aura par convention pour coordonnées:
(15.2)
Nous
obtenons une projection dite "projection
stéréographique" P'
du point P en traçant la droite SP qui
traverse un plan équatorial xOy complexe au
point P'
de coordonnées (x', y', z').
Les triangles semblables
SP'O et SPQ (avec Q étant
la projection orthogonale sur l'axe Oz du
point P)
nous donnent les relations suivantes en appliquant simplement
le théorème
de Thalès:
(15.3)
Remarque: Les deux dernières relations s'obtiennent par
application du théorème de Thalès (cf. chapitre
de Géométrie)
dans le plan équatorial complexe.
Posons maintenant:
(15.4)
Il
vient, compte tenu de la relation précédente que:
(15.5)
en prenant le module au carré
(voir l'étude des nombres complexes
dans le chapitres des Nombres):
(15.6)
et comme de l'équation de la sphère il découle:
(15.7)
nous
avons finalement:
(15.8)
Mettons maintenant le nombre
complexe
sous la forme
où
sont deux nombres complexes auxquels nous pouvons toujours imposer
de vérifier la condition d'unitarité (rien ne nous l'interdit
mais en physique cela nous arrange bien):
(15.9)
Remarque: Les nombres complexes suivants satisfont donc
la relation précédente:
(15.10)
Rappelons avant de continuer
que nous avons démontré lors de notre étude des nombres complexes
que:
(15.11)
Dès lors il vient en injectant ces deux dernières relations dans
l'équation déterminée plus haut:
(15.12)
d'où finalement la coordonnée verticale du point P:
(15.13)
Comme nous avons:
(15.14)
alors:
(15.15)
tenant compte des derniers
développements nous avons finalement:
(15.16)
Ainsi, à tout point P situé sur
la sphère
de rayon unité, nous pouvons faire correspondre
un couple de nombres complexes vérifiant la relation d'unitarité imposée.
Soit sous forme complète et explicite nous avons finalement:
(15.17)
Cette dernière relation nous indique donc que est
l'angle entre Oz et (puisque
l'hypoténuse de l'angle du vecteur à une norme unitaire) et
donc par déduction représente
l'angle entre Ox et le plan (Oz,OP):

Figure: 15.2 - Représentation de la rotation
Le couple de nombres complexes de la relation antéprécédente constitue
par définition
un "spineur
unitaire". Ainsi, comme nous l'avons vu, un spineur
unitaire peut se mettre sous la forme:
(15.18)
de même un spineur quelconque
peut se mettre sous la forme un peu plus générale:
(15.19)
Le spin ainsi mesuré l'est essentiellement à partir
d'un axe orienté OZ comme nous venons de le voir
avec la figure précédente.
La projection stéréographique
conduit donc à représenter certains vecteurs de l'espace euclidien
avec
des éléments d'un espace vectoriel complexe de dimension deux
qui est l'espace des spineurs.
Remarque: Cette représentation n'est pas unique
car les arguments de nombres complexes ne sont (sous forme trigonométrique)
déterminés
qu'à une constante près.
Le lecteur qui aura déjà étudié
un peu la physique quantique ondulatoire (voir chapitre du même
nom) aura certainement remarqué
l'étrange similarité non innocente de la condition et des relations:
(15.20)
par rapport à la condition
de normalisation de de Broglie (l'intégrale sur tout
l'espace de la somme des produits des fonctions d'ondes complexes
conjuguées
est égaleà l'unité) et des développements
déterminant
l'équation
de continuité en physique quantique ondulatoire.
Voyons maintenant pour les
besoins ultérieurs, que nous pouvons trouver deux nouveaux vecteurs
de l'espace euclidien ,
associés à un spineur unitaire
déterminé sur la sphère unité. Ces vecteurs seront cherchés orthogonaux
entre eux et de norme unité, chacun étant orthogonal au vecteur
.
Notons pour simplifier les notations
et .
Les composantes respectives des vecteurs sont
bien sûr liés par le produit vectoriel:
(15.21)
d'où tenant compte de l'expression
des composantes
en fonction de celles du spineur associé, ainsi que du fait ,
nous avons connaissant l'expression du produit vectoriel (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(15.22)
Écrivant l'orthogonalité des
vecteurs entre eux nous obtenons bien évidemment six équations
supplémentaires.
Cependant l'orientation des vecteurs
n'étant pas fixée, il existe une certaine indétermination
sur les valeurs de leurs composantes. Choisissons des valeurs telles
que:
(15.23)
Prenant les quantités complexes
conjuguées des relations précédentes, nous obtenons par addition
les composantes de :
(15.24)
Par soustraction, nous obtenons
de même les composantes du vecteur :
(15.25)
Nous vérifions aisément que
ces valeurs redonnent bien les relations du produit vectoriel.
A tout spineur unitaire
nous pouvons donc associer trois vecteurs .
Nous pouvons vérifier directement que les vecteurs ainsi calculés
sont bien orthogonaux entre eux et de norme unité.
PROPRIÉTÉS
GÉOMÉTRIQUES
Nous allons étudier
les transformations des vecteurs de
associés à un spineur afin d'en déduire les
propriétés correspondantes
de transformation du spineur. Certaines rotations dans l'espace
pouvant toujours s'exprimer sous forme du produit de deux symétries
planes (faire dans la tête l'expérience imaginaire), nous
commençons par
l'étude de ces dernières.
SYMÉTRIES
PLANES
Considérons dans un
premier temps la symétrie plane d'un vecteur:
Lors d'une symétrie par rapport
à un plan P,
un vecteur quelconque
se transforme en un vecteur .
Déterminons une matrice S qui représente
cette symétrie par rapport à ce plan. Soit
un vecteur unitaire normal au plan P et soit
H le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point M de
l'espace sur le plan P.

Figure: 15.3 - Symétrie par rapport à un plan
Soit M'
le point symétrique de M par rapport à P,
nous avons:
(15.26)
Soient
les composantes cartésiennes de
et
les composantes respectives des vecteurs ,
la relation précédente nous donne les relations linéaires:
(15.27)
La matrice S qui fait passer du vecteur
au vecteur
a donc pour expression:
(15.28)
Gardons en mémoire ce résultat
et considérons à présent deux vecteurs ,
orthogonaux entre eux et unitaires, définissant comme nous l'avons
vu un spineur unitaire .
Une symétrie par rapport à un plan P transforme
les vecteurs
en vecteurs
auxquels sont associés le spineur .
Nous allons maintenant montrer que la transformation suivante
du
spineur
en spineur
est:
(15.29)
et transforme précisément
les vecteurs
en vecteurs ,
ces vecteurs se déduisant respectivement - comme nous allons
le montrer - les uns des autres par une simple symétrie
plane et que la matrice
représente bien la transformation cherchée.
La relation précédente nous
donne donc:
(15.30)
En tout nous avons:
(15.31)
Nous en déduisons:
(15.32)
Par suite du fait que ,
nous obtenons:
(15.33)
Nous retombons donc bien
sur la matrice de symétrie:
(15.34)
Ainsi, la matrice que nous retrouverons dans le chapitre de Physique
Quantique Relativiste:
(15.35)
engendre donc la transformation d'un spineur en
un spineur
telle que les vecteurs associées
se déduisent respectivement de
par une symétrie plane.
ROTATIONS
Comme nous l'avons vu dans
le chapitre de géométrie euclidienne, il est possible
faire une rotation d'un vecteur dans le plan ou dans l'espace à
l'aide de matrices. De même, par extension, il est évident
que la multiplication de deux rotations est une rotation (c'est
de l'algèbre linéaire élémentaire -
du moins nous le considérons tel quel).
Considérons dès
lors, deux plans P, Q dont l'intersection
engendre une droite (ligne) L et notons et
des vecteurs unitaires portés par les normales respectives
à ces deux plans sécantes en L:

Figure: 15.4 - Intersection imagée de deux plans
Notons
l'angle des vecteurs
entre eux (la raison de cette notation provient de notre étude
des quaternions (cf. chapitre Nombres). Soit
le vecteur unitaire porté par la droite L résultant
de l'intersection des plans P, Q et tel que:
(15.36)
Explications: sont unitaires mais pas nécessairement perpendiculaires et
nous devons quand même nous assurer que
soit un vecteur unitaire (sa norme soit égale à l'unité
donc). Dès lors, la relation ci-dessus nous assure que:
(15.37)
Le produit vectoriel précédent
nous donne pour les composantes de :
(15.38)
D'autre part, le produit scalaire
s'écrit:
(15.39)
Remarque: Nous allons nous servir des ces deux plans comme
plans de symétrie pour nos rotations
Comme nous l'avons fait remarquer précédemment,
une rotation dans
peut toujours se faire avec au plus deux symétries planes.
Ainsi, une rotation peut se noter par l'application (multiplication)
de deux matrices de symétrie selon les résultats
obtenus plus haut:
(15.40)
Développant le produit
de ces deux matrices et tenant compte de relations découlant
du produit vectoriel et scalaire nous obtenons:
(15.41)
Ainsi, nous pouvons écrire
la transformation d'un spineur
et un spineur
à l'aide d'une matrice de la forme:
(15.42)
dont les paramètres
sont appelés "paramètres de Cayley-Klein".
La matrice
peut être écrite sous une autre forme si nous faisons
un développement limité pour des rotations infiniment
petites
(eh voilà la physique qui revient....). Ainsi, les développements
de Maclaurin (cf. chapitre Suites Et Séries) nous
donnent:
(15.43)
En utilisant seuls les termes
du premier ordre, la matrice de rotations s'écrit finalement:
(15.44)
Cette matrice constitue le
développement limité de la matrice de rotations au
voisinage de la matrice identité, cette dernière
correspondant
évidemment à la rotation nulle. Nous notons cette
dernière également sous la forme:
(15.45)
où la matrice
est la matrice unité d'ordre deux et
s'appelle la "matrice infinitésimale de rotation". Maintenant,
si nous posons
dans
nous obtenons:
(15.46)
Comment interpréter
ce résultat ? Eh bien c'est assez simple, choisir ,
nous donne un vecteur
colinéaire à l'axe Ox de .
Dès lors, nous pouvons très bien nous imaginer les
plans générant l'axe Ox qui porte .
Comme
(in extenso )
est généré par les vecteurs
perpendiculaires à
et donc à Ox,
alors l'angle
(ou sa variation) représente une variation de la direction
des plans normaux à
qui par symétrie servent à construire la rotation
(rappelons que
ne sont pas nécessairement orthogonaux entre eux). Donc
par extension, avoir
ne permet plus que de faire des rotations (symétries) autour
de Ox.
De même, une rotation
autour de l'axe Oy correspond
à ,
ce qui donne:
(15.47)
et de même avec
nous avons enfin:
(15.48)
Les trois matrices:


(15.49)
sont donc les matrices de rotation dans l'espace des
"spineurs à deux composantes". Les physiciens et mathématiciens
disent que ces matrices constituent une représentation irréductible
de dimension deux du groupe "SU(2)"
ou encore appelé "groupe
spécial des rotations spatiales SU(2)" (cf.
chapitre d'Algèbre Ensembliste).
Les matrices infinitésimales
précédentes font donc apparaître de manière
habile les matrices suivantes:
(15.50)
Ces matrices sont appelées
"matrices de Pauli" et nous les retrouverons
dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire et dans le
cadre de l'étude
de l'équation
de Dirac et de la détermination de ses solutions explicites
(utilisant les spineurs) dans le chapitre de Physique Quantique
Relativiste.
En utilisant ces matrices
de Pauli, la matrice de rotations infinitésimales peut finalement
s'écrire:
(15.51)
Définissons un vecteur
, appelé "vecteur de Pauli", ayant pour composantes les matrices
de Pauli:
(15.52)
L'expression
peut alors s'écrire sous forme d'une sorte de produit scalaire
qui représente une somme de matrices (la flèche au-dessus
du sigma est parfois omise si aucune confusion n'est possible):
(15.53)
Le développement limité
s'écrit alors:
(15.54)
La matrice de rotations:
(15.55)
peut à l'aide des
matrices de Pauli s'écrire sous la forme remarquable:
(15.56)
forme que nous utiliserons dans le chapitre d'Informatique Quantique
pour exprimer les matrices R de manière explicite ainsi
que dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste.
Ce qui s'écrit parfois:
(15.57)
Ce qui peut s'écrire
aussi:
(15.58)
qui a donc la forme d'un
quaternion de rotation d'angle
et d'axe .
D'où la raison d'avoir depuis le début choisi la notation
de .
Il est clair, pour que l'analogie
avec les quaternions soit plus forte, que les matrices de
Pauli forment un ensemble de quatre matrices linéairement
indépendantes ! Tel que la base canonique pour les quaternions
!
Si nous notons
alors
le "produit spinoriel" est défini finalement par:
(15.59)
Cette matrice constitue comme nous en avons déjà
fait mention, au développement limité de la matrice
de rotation au voisinage de la matrice identité, les composantes
de
étant associées à un spineur dont la rotation
se fait par la double symétrie définie par deux plans
dont l'intersection est définie par le vecteur .
Nous pouvons par ailleurs remarquer la conséquence intéressante
qu'une rotation de 360° ne restore pas l'objet dans sa position
initiale.
Effectivement:
(15.60)
Il faut donc une rotation de 720° pour faire un tour complet!
Cela correspond au spin de ½. Il faut faire deux tours pour retrouver
que l'objet réapparaisse de manière équivalente. Nous disons
alors que la représentation des rotations est "bivaluée".
PROPRIÉTÉS
DES MATRICES DE PAULI
Le lecteur vérifiera
aisément (si ce n'est pas le cas il pourra toujours nous
contacter pour que nous en rédigions les détails)
les propriétés suivantes des matrices de Pauli
dont certaines seront utilisées dans le chapitre de physique
quantique relativiste:
P1. Unitarité:
(15.61)
P2. Anticommutativité:
(15.62)
pour et
Les deux dernières propriétés
nous donnent:
(15.63)
avec
P3. Cyclicité:
(15.64)
P4. Commutation:
(15.65)
P5. Produit
vectoriel:
Soit le carré des
composantes de
en notant abusivement par "1" la matrice unitaire (nous
changeons les indices afin de vous habituer aux autres notations
courantes):
(15.66)
Ce qui conduit à écrire
que (norme du vecteur de Pauli au carré):
(15.67)
Considérons maintenant
les produits suivants:
(15.68)
Toutes ces relations peuvent se résumer sous la forme:
(15.69)
où pour rappel (cf. chapitre de Calcul
Tensoriel) le symbole
de Kronecker est défini par:
(15.70)
et le tenseur d'antisymétrie par:
 Nous avons aussi:
(15.71)
Nous retrouvons donc ici
les composantes du produit vectoriel:
(15.72) Maintenant voyons une identité spinorielle qui nous sera utile
dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste:
(15.73)
Or nous avons aussi:
(15.74)
Donc finalement:
(15.75)
P6. Nous noterons que ces matrices sont aussi hermitiennes (rappelons
qu'une matrice hermitienne est une matrice transposée suivie
de sa conjuguée complexe selon ce que nous avons vu dans
le chapitre d'Algèbre Linéaire) tel que:
(15.76)
Il s'agit donc dans le langage de la physique quantique, d'opérateurs
hermitiques!
Voyons maintenant quels sont les vecteurs et valeurs propres
des matrices de Pauli car ce résultat est très utile
en physique quantique ainsi qu'en informatique quantique!
Rappelons que lorsqu'une transformation (application d'une matrice)
agit sur un vecteur, elle modifie la direction de ce vecteur excepté pour
certaines matrices particulières qui ont des valeurs propres. Dans
ce cas, la direction est conservée mais pas leur longueur. Cette
propriété est exploitée en mécanique quantique.
Déterminons dans un premier temps, les vecteurs et valeurs propres
(cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) associées à en
utilisant la méthode la plus courante:
L'équation aux valeurs propres (cf. chapitre
d'Algèbre Linéaire)
s'écrit donc:
(15.77)
Ce qui nous donne comme équation caractéristique:
(15.78)
d'où les valeurs propres .
Ce qui nous permet de déterminer les vecteurs propres comme suit:
(15.79)
Donc pour :
(15.80)
Ce qui impose que .
Le vecteur propre est donc:
(15.81)
quelle que soit la valeur de x.
Conclusion: La direction propre du vecteur est conservée mais
pas sa longueur car elle dépend de la valeur de x.
Pour :
(15.82)
Ce qui impose que et
donc que le vecteur propre est:
(15.83)
Les vecteurs propres précédents écrits avec le formalisme de
Dirac (cf. chapitre de Physique Quantique
Ondulatoire) donnent
pour :
(15.84)
avec une norme de (1 puisque nous normalisons à l'unité):
(15.85)
Remarque: Dans
le formalisme de Dirac,  est
le Bra et  est
le Ket.
Ceci n'étant valable que pour des composantes qui sont des nombres
réels. Le vecteur propre normé a donc pour expression:
(15.86)
et pour :
(15.87)
et:
(15.88)
et le vecteur propre normé a donc pour expression:
(15.89)
Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à en
procédant de même:
Nous avons donc pour les valeurs propres:
(15.90)
Les vecteurs propres se déterminant comme suit:
(15.91)
et donc pour :
(15.92)
Le vecteur propre est dès lors:
(15.93)
La norme associée:
(15.94)
Le vecteur propre normé a donc pour expression:
(15.95)
Pour :
(15.96)
Le vecteur propre est dès lors:
(15.97)
la norme associée:
(15.98)
Le vecteur normé a donc pour expression:
(15.99)
Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à en
procédant de même.
Nous avons alors:
(15.100)
Les vecteurs propres sont alors pour :
(15.101)
ce qui nous pose légèrement problème pour dire quoi que ce soit... la
seule possibilité est de choisir et
ainsi:
(15.102)
et la norme associée:
(15.103)
Le vecteur propre normé a alors pour expression:
(15.104)
et pour nous
aurons le même choix à faire en posant cette fois-ci donc:
(15.105)
d'où la norme associée:
(15.106)
Le vecteur propre normé a donc finalement pour expression:
(15.107)
Donc les vecteurs propres normés de se
trouvent sur les directions des axes de coordonnées cartésiennes.
C'est pour cette raison particulière que les vecteurs propres de sont
notés en informatique quantique:
(15.108)
et il faut savoir que l'on note alors aussi:
(15.109)

- Les spineurs en physique,
J. Hladik, Éditions
Masson,
ISBN10: 2225853134 (190 pages) - Imprimé en
1996
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